Aufgabe 1 (3 + 2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende Funktion

Aufgabe 1
(3 + 2 + 2 + 2 + 1 Punkte)
Gegeben sei folgende Funktion f (x, y):
2
x + 2y + c
4 ≤ x ≤ 5, −2.5 ≤ y ≤ −1.5
3
f (x, y) =
0
sonst.
a) Zeigen Sie, dass für c = 2 die Funktion f (x, y) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
zweier Zufallsvariablen X und Y ist.
R −1.5
R −1.5
! R −1.5 R 5
1 = −2.5 4 f (x, y) dxdy = −2.5 [ 31 x2 + 2xy + cx]54 dy = −2.5 (3 + 2y + c) dy =
⇔ c=2
[3y + y 2 + cy]1.5
−2.5 = −1 + c
b) Zeigen Sie, dass für die Randdichte f (x) gilt:
2
f (x) = x − 2
3
f (x) =
R 1.5
−2.5
−1.5
f (x, y) dy = [ 23 xy + y 2 + 2y]−2.5
= 23 x − 2
c) Bestimmen Sie die bedingte Dichte f (y|X = x).
f (y|X = x) =
f (x,y)
f (x)
=
2
x+2y+2
3
2
x−2
3
d) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
R5
E(X) = 4 xf (x) dx = [ 29 x3 − x2 ]54 = 4.56
e) Berechnen Sie P (X ≤ 5, Y ≤ −1.5).
P (X ≤ 5, Y ≤ −1.5) = 1
Aufgabe 2
(5 + 2 + 1 Punkte)
Die sogenannte “negative Binomialverteilung” hat folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
r+x−1 r
p (1 − p)x
x ∈ {0, 1, 2, . . .}
x
f (x; r, p) =
0
sonst,
wobei r ∈ {1, 2, 3, . . .} und 0 < p ≤ 1.
a) Leiten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer dieser Verteilung für den Parameter p einer
Stichprobe vom Umfang n her.
Q
L = ni=1 r+xxii −1 pr (1 − p)xi
P
P
ln L = ni=1 r+xxii −1 + nr ln p + ni=1 xi ln(1 − p)
Pn
!
d ln L
1
= nr
+ (−1) 1−p
i=1 xi = 0
dp
p
nr
p̂
=
Pn
i=1
1−p̂
⇔ p̂ =
Pn nr
i=1 xi +nr
b) Zeigen Sie, dass für r = 1 die geometrische Verteilung in der Schreibweise
(1 − p)x p
x ∈ {0, 1, 2, . . .}
f (x; p) =
0
sonst
als Spezialfall in der negativen Binomialverteilung enthalten ist.
1
x
x
f (x; 1, p) = 1+x−1
p
(1
−
p)
=
p(1 − p)x = (1 − p)x p
x
x
c) Bekanntlich sind Maximum-Likelihood-Schätzer unter gewissen Regularitätsbedingungen
asymptotisch erwartungstreu. Erläutern Sie diese Eigenschaft.
Der Erwartungswert des Schätzer konvergiert für n → ∞ gegen seinen
wahren Wert des Schätzers
Aufgabe 3
(3 + 3 + 5 Punkte)
Betrachten Sie eine stochastisch unabhängig, identisch normalverteilte Stichprobe vom Umfang
n = 15 einer Zufallsvariablen X. Die Stichprobe liefert folgende Statistiken:
15
s∗2 =
x = 4.5
1 X
(xi − x)2 = 12.25
14 i=1
a) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall der Varianz von X mit α = 0.1.
(n−1)s2
(n−1)s2
−1 (1−α/2) ; (χ2
−1 (α/2) ]
)
n−1
n−1 )
[ (χ2
= [ 14·12.25
; 14·12.25
] = [7.24; 26.10]
23.68
6.57
b) Testen Sie mit α = 0.1 folgendes Hypothesenpaar:
H0 : µ ≥ 6
gegen H1 : µ < 6.
√
√
0
T S = x−µ
n = √4.5−6
15 = −1.66
s∗
12.25
k = z0.1 = −1.345
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.1 nicht werden, da −1.66 < −1.345.
c) Wie verändert sich (bei ansonsten unveränderten Bedingungen) das Konfidenzintervall
aus Teilaufgabe a), falls
• die Stichprobenvarianz doppelt so groß ist?
Sowohl Unter- als auch Obergrenze des Intervalls verdoppeln sich.
• die einzelnen Beobachtungen der Stichprobe jeweils 10% größer sind?
dadurch vergrößert sich die Stichprobenvarianz um den Faktor 1.12 =
1.21, so dass schließlich auch Unter- und Obergrenze des Intervalls
um diesen Faktor größer sind.
• die einzelnen Beobachtungen der Stichprobe jeweils um den Wert 0.1 größer sind?
Dies hat keinerlei Einfluss auf das Intervall, da die Stichprobenvarianz durch eine bloße Verschiebung nicht beeinflusst wird.
Begründen Sie Ihre Aussagen!
Aufgabe 4
(5 Punkte)
Der Ballsponsor zweier Fußball-Ligen A und B hat aus den letzten nA = 81 und nB = 49
Spielen folgende durchschnittliche Anzahl von benötigten Bällen X pro Spiel berechnet:
xA = 10
xB = 14
Gehen Sie davon aus, dass die Anzahl an benötigten Bällen pro Spiel beider Ligen unabhängig
voneinander ist und die Anzahl an benötigten Bällen pro Spiel jeweils unabhängig und identisch
normalverteilt mit Mittelwert µA bzw. µB und Varianz σA2 = 16 bzw σB2 = 25 sind.
Testen Sie die Nullhypothese, dass die Anzahl an benötigten Bällen in Liga A um zwei kleiner
ist als in Liga B mit α = 0.01.
H0 : µA − µB = −2
−(µA −µB )
rB
√ 16 25 | = | − 2.38| = 2.38
| = | 10−14−(−2)
|T S| = | xA −x
σ2
σ2
A+ B
nA
nB
81
+ 49
k = z0.995 = 2.5758
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.01 nicht abgelehnt werden, da 2.38 6>
2.5758.
Aufgabe 5
(4 + 3 + 2 Punkte)
Bezeichne X das Gewicht von Bordsteinen (in kg). Gehen Sie davon aus, dass folgende Stichprobe des Gewichts von n = 9 Bordsteinen stochastisch unabhängig, identisch normalverteilt
mit Mittelwert µ und Varianz σ 2 = 4 ist:
i
xi
1
24
2
25
3
26
4
22
5
28
6
24.5
7
26.5
8
27
9
22
a) Testen Sie mit α = 0.025 folgendes Hypothesenpaar:
H0 : µ = 24 gegen
H1 : µ = 26
√
0
· 3 = 1.5
T S = x−µ
n = 25−24
σ
2
k = z0.975 = 1.96
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.025 nicht abgelehnt werden, da 1.5 6>
1.96.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art β.
√
√
√
0
1
1
β = P ( x−µ
n < k|H1 ) = P ( x−µ
n < k + µ0 −µ
n) = Φ(−1.04) = 0.1492
σ
σ
σ
c) Nehmen Sie begründet (!) Stellung zu folgender Aussage:
Die Wahrscheinlichkeiten für den Fehler erster und zweiter Art können nicht gemeinsam
minimiert werden.
Stimmt. Je kleiner zB α gewählt wird, desto größer wird β et vice versa.
Aufgabe 6
(3 + 5 Punkte)
Ein Inhaber eines Reisebüros vermutet, dass die Saison (Haupt-/Nebensaison) einen Einfluss
auf die Art einer Urlaubsreise (Pauschal-/ Individual-/Luxusreise) hat. Er kategorisiert die
letzten 100 gebuchten Reisen und erhält folgende Tabelle:
Nebensaison
Hauptsaison
Pauschal
10
25
Individual
15
35
Luxus
5
10
a) Wie würde die obige Tabelle idealtypischerweise aussehen, falls es keinen Zusammenhang
zwischen der Saison und der Art der Reise geben würde?
Nebensaison
Hauptsaison
Pauschal
10.5
24.5
Individual
15
35
Luxus
4.5
10.5
b) Ermitteln Sie mittels eines geeigneten Tests, ob ein signifikanter Zusammenhang zwischen
der Saison und der Art der Reise besteht. Verwenden Sie α = 0.05.
P
2
2
2
2
0.52
i)
= −0.5
+ 0.5
+ 24.5
+ −0.5
= 0.1134
T S = 6i=1 (Niq−q
2
10.5
4.5
10.5
i
(k = χ22·1 )−1 (0.95) = 5.99
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.05 nicht abgelehnt werden, da 0.1134 6>
5.99.
Aufgabe 7
(8 Punkte)
In einem Callcenter wird die Anzahl an Anrufen pro Stunde X gemessen. Man erhält folgende
Stichprobe vom Umfang n = 30:
Anzahl an Anrufen pro Stunde xi
Anzahl an Stunden Ni
0
4
1
8
2
9
3
6
[4, ∞)
3
Aus der Urliste der Daten berechnen Sie einen Schätzer für den Parameter λ einer Poissonverteilung:
λ̂ = 2.1
Testen Sie mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von α = 0.1 folgendes Hypothesenpaar:
H0 : Die Anzahl an Anrufen pro Stunde ist poissonverteilt mit λ = 2.4
gegen
H1 : Die Anzahl an Anrufen pro Stunde ist nicht poissonverteilt mit λ = 2.4
Anzahl an Anrufen pro Stunde xi
0
1
2
3
[4, ∞)
Anzahl an Stunden Ni
4
8
9
6
3
P (X = xi |H0 )
0.1225 0.2572 0.27 0.189 0.1613
qi
3.67
7.716
8.1
5.67 4.839
Zusammenfassen der letzten zwei Klassen, so dass qi > 5 ∀ i
P
2
i)
= 0.0297 + 0.0105 + 0.1 + 0.2167 = 0.3569
T S = 4i=1 (Ni −q
qi
−1
2
k = (χ4−1−1 ) (0.9) = 4.61
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.1 nicht abgelehnt werden, da 0.3569 6> 4.61
Aufgabe 8
(5 + 6 Punkte)
Ein Hersteller von Speiseeis vermutet, dass die sommerliche Durchschnittstemperatur X (in
◦
C) einen Einfluss auf seinen Umsatz Y (in Tausend Euro) hat. Deshalb hat er folgende Daten
über die letzten sechs Jahre zusammengestellt:
P
i
1
2
3
4
5
6
Temperatur (xi ) 22.4 24.1 23.5 19.5 17.4 22.1 129.0
Umsatz (yi )
8.9 12.4 14.1 7.6 11.0 13.5 67.5
Daraus wurden folgende Statistiken berechnet:
6
X
x2i
= 2806.24,
i=1
6
X
yi2
= 792.79,
i=1
6
X
xi yi = 1467.5
i=1
Unterstellen Sie das lineare Regressionsmodell:
Yi = a + bxi + Ui
mit stochastisch unabhängigen, normalverteilten Störgrößen Ui mit Erwartungswert E(Ui )=0
und Varianz σU2
a) Schätzen Sie die Koeffizienten des obigen Modells mittels der Methode der kleinsten
Quadrate und interpretieren Sie b̂ am Sachverhalt.
P
x = 16 P ni=1 xi = 21.5
y = 16 ni=1 yi = 11.25
P
sXY = 16 6i=1 xi yi − xy = 2.7083
P
s2X = 16 6i=1 x2i − x2 = 5.4567 b̂ = ssXY
= 0.4963
2
X
â = y − b̂x = 0.5795
Nach dem Modell steigt der Umsatz um 579.50 Euro für jedes Grad, welches die Temperatur höher ist.
b) Testen Sie mit α = 0.1, ob die Temperatur einen signifikanten Einfluss auf den Umsatz
hat.
H0 : b =P0
s2Y = 16 6i=1 yi2 − y 2 = 5.5692
n
σ̂U2 = n−2
(s2Y − b̂sXY ) = 6.3376
2
σ̂U
= 0.1936
ns2X
b̂−b0
|T S| = | σ̂ | = 1.128
b̂
−1
k = T6−2
(0.95) = 2.132
σ̂b̂2 =
Testentscheidung: H0 kann mit α = 0.1 nicht abgelehnt werden, da 1.128 6>
2.132.