1 Einführung in die Messtechnik

Einführung in die Messtechnik
1 Einführung in die Messtechnik
Tab. 1.3: Abgeleitete SI-Einheiten
Yotta
Y
1024
Zetta
Z
1021
Exa
E
1018
Peta
P
1015
Tera
T
1012
Giga
G
109
Mega
M
106
Kilo
k
103
Hekto
h
102
Deka
da
101
Dezi
d
10-1
Zenti
c
10-2
Milli
10-3
Mikro
m
m
10-6
Nano
n
10-9
Pico
p
10-12
Femto
f
10-15
Atto
a
10-18
Zepto
z
10-21
Yokto
y
10-24
1.1.1 Größen–, Einheiten– und Zahlenwert-Gleichungen
p
p
2
2
2
VKegel = {VKegel } éëêVKegel ùûú = {r } ⋅ {h} ⋅ [ r ] ⋅ [ h ] = {r } ⋅ mm 2 ⋅ {h} ⋅ m
3
3
-1-
K2: Aufgaben
Aufgabe 2.1
a) Histogramm
b) Mittelwert und Standardabweichung
c) Signifikanztest
(cP=0,95 = 1,96) > (c = 2,993)
Hier liegen signifikante Abweichungen vor!
Aufgabe 2.2
Lösung
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5

2
3
14
18
2
1
40
n⋅ pj
0,701
5,181
14,083
14,083
5,181 0,701
nj - n⋅ pj
1,299
-2,181
-0,083
3,917
-3,181 0,299
0,071
2,406
0,918
4,846*10-4
1,09
1,953 0,127
6,494
Klassenmitte
Anzahl n j
(n j - n ⋅ p j )
2
n⋅ pj
Die n ⋅ p j berechnen sich direkt aus der Normalverteilung:
1
 2  x  x 2
1
h( x ) 
e 2
 2
-1-
Kap.3: Messdatenverarbeitung
f ( x)
nichtlineare
Kennlinie
lineare Kennlinie
x
Abb. 3.1:Kennlinien
B e i s p i e l:
i
xi
yi
ai
bi
0
1
5
5
10
1
2
15
15
1,5
2
4
18
18
1
3
6
20
20
0,5
4
8
21
-
-
-1-
Kap.3: Messdatenverarbeitung
10
5
0
5
S ( x)
[ xi , yi ]
10
0
5
10
x
4
d S ( x) d x
d 2 S ( x) d x 2
2
0
2
0
5
10
x
Abb. 3.2: Beispiel für eine kubische Spline-Funktion mit erster und zweiter Ableitung
¥
E ( c ) = ò [ f ( x ) - F (c , x ) ] d x
2
2
(0.1)
-¥
f ( x)
yi
( xi , yi )
( xi , ui )
ui
xi
x
Abb. 3.3: Kubische Ausgleichsspline-Funktion
-2-
Kap.3: Messdatenverarbeitung
y
[0, w = 10-4 ]
P0(x)
[1, w* ]
[n -1, w* ]
*
[2, w ]
(xi, ui)
P1(x)
Pn-1(x)
[n - 2, w ]
*
[n, w = 10-4 ]
Pn-2(x)
(xi, yi)
Pn-3(x)
P3(x)
P2(x)
w* = 1
[3, w* ]
x
Abb. 3.4: Allgemeines Beispiel für einen kubischen Ausgleichsspline-Funktion
-3-
Kap.3: Messdatenverarbeitung
10
y
8
Ausgleichsgerade
6
4
2
wi=10-6
wi=10-2
wi=1
wi=10
wi=103
ui
exakt interpolierende
kubische Spline-F'n
0
4
2
0
2
4
6
8
10
x
Abb. 3.5: Beispiel für die Variation der Gewichte wi einer Ausgleichssplines-Funktion
Aufgaben
Aufgabe 3.1
Das Newton-Interpolationspolynom lautet konkret:
PNewton ( x) = b0 + b1 ⋅ ( x - x0 ) + b2 ⋅ ( x - x0 )⋅ ( x - x1 ) + b3 ⋅ ( x - x0 )⋅ ( x - x1 )⋅ ( x - x2 )
= 1,5 + 0,75 ⋅ ( x - x0 ) - 0,073 ⋅ ( x - x0 )⋅ ( x - x1 ) + 0,021⋅ ( x - x0 )⋅ ( x - x1 )⋅ ( x - x2 )
= 1,5 + ( x - x0 )⋅ (0,75 + ( x - x1 )⋅ (-0,073 + 0,021⋅ ( x - x2 )))
Aufgabe 3.2
a) Der Wert der stückweise definierten Kennlinie an der Stelle x A = 7 ist auszuwerten.
-4-
Korrekturen Kap. 5
5 Messen elektrischer Größen
i
R1
i1
R2
i2
R1
ud
R3
ud
uq
uq
R3
R4
R2
S. 120, Abb. 5.11: Messbrücke
-1-
R4
Länge
6 Messen geometrischer Größen
eine ohm´sche Widerstandsänderung, verschaltet in einer Wheatstone’schen Messbrücke, in eine
elektrische Spannungsänderung umgewandelt werden kann. Der typische Versorgungsdruck beträgt 1
bar.
…
Vorteile der pneumatischen Längenmessung:
-
Der Messaufnehmer misst fast ohne Messkraft und meist berührungsfrei
-
Einfaches Messen von Bohrungs-, Form- und Lageabweichungen ( Fertigungsmesstechnik)
-
Berührungslose Tastelemente erlauben ein Messen bei laufender Fertigung.
„Ganze“ Millimeter
Skalenhülse
6
Skalentrommel 20
Messwert
6,20 mm
Bezugslinie
„Halbe“ Millimeter
Abb. 6.1: Beispiel einer Ablesung
Inkremente
Spur A
Spur B
Nullspur
Nullmarker
Abb. 6.2: Teilscheibe mit Inkrementen
-1-
A
A
B
B
M
M
Kraft- und Drehmomentmessung
9 Messen von Kraft und Drehmoment
Formel-Kapitel 9 Abschnitt 9
DR = DR(Dl ) + DR(J)
(9.1)
Eingesetzt in die DMS sind:
R1 = R4 = R0 + DR(Dl ) + DR(J)
(9.2)
R2 = R3 = R0 - DR(Dl ) + DR(J)
Diese
erweiterten
Ausdrücke
sind
nun
in
die
Brückengleichung
Fehler! Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. einzusetzen. Für die Widerstandsummen gilt:
R1 + R2 = 2 R0 + 2DR(J)
(9.3)
R3 + R4 = 2 R0 + 2DR(J)
æ R + DR(Dl ) + DR(J) R0 - DR(Dl ) + DR(J) ö÷
DR(Dl )
÷÷ = uq ⋅
um = uq ⋅ çç 0
÷
çè
R0 + DR(J)
2 R0 + 2DR(J)
2 R0 + 2DR(J)
ø
f
(9.4)
f
Abb. 9.1: Mechanischer Aufbau eins Kraftaufnehmers mit DMS
Aufgabe 9.1
Mit Hilfe eines Dehnungsmessstreifens (DMS) soll die Dehnung eines als Biegebalken ausgeführten
Maschinenelementes gemessen werden. Die Verschaltung in einer Messbrücke soll gemäß der Skizze
erfolgen. Dabei
uq
R1 = R0
ud
R3 = R0 + DR
R2 = R0
R4 = R0
-1-
Kraft- und Drehmomentmessung
wird ein Halbleiter-DMS mit k = 100 und R0 = 200 Ω eingesetzt. Bei der mechanischen
Beanspruchung des Maschinenelementes kann von einer Längenänderung im elastischen Bereich von
1/10.000 bei einer Länge von l = 500 mm ausgegangen werden.
a) Es ist die ohm`sche Widerstandsänderung der DMS bei Zug- oder Druckbeanspruchung zu
bestimmen.
b) Wie groß ist die Diagonalspannung ud bei dieser Widerstandsänderung, wenn die
Quellenspannung uq = 10 V ist ?
-2-
Temperaturmessung
10 Messen von TemperaturenFormel-Kapitel 10 Abschnitt 10
S. 177
Der maximale Linearitätsfehler im Bereich 0 C £ J £ 50 C ergibt sich bei J = 50 C zu:
Flin (J = 50 C) = -1, 45W
Und der relative Fehler zu:
Frel (J = 50 C) = -1,215 0 00
Der Fehlerverlauf über den gesamten Temperaturbereich ist ...
Aufgabe 10.2
Ein PT100-Widerstandsthermometer
(a = 3,90802 ⋅10-3
soll in einer Zweileiterschaltung eingesetzt werden
C-1 ; b = -0,580195 ⋅10-6 C-2 ; R0 = 100 Ω) .
Wie
groß
muss
der
Abgleichwiderstand RA eingestellt werden, wenn die Messbrücke bei J = 50 C abgeglichen sein
soll? Die Zuleitung sei mittels Kupferleiter (l = 5 m; d = 0, 2 mm sCu = 58,0 ⋅106 S/m) realisiert.
Der Leitungswiderstand berechnet sich zu RL =
l 1
⋅ .
A s
Lösung
Für den Widerstand der Zuleitung gilt:
RL =
l
⋅
1
=
sCu
p 2
⋅d
4
5m
1
=
⋅
= 2,744 Ω
6
p
⋅ 0,00022 m 2 58,0 ⋅10 S/m
4
Bei J = 50 C hat der PT100-Widesrstand den Wert
R(J) = R0 éêë1 + a ⋅ J + b ⋅ J2 ùúû = 119,395 Ω
Für den Abgleichwiderstand gilt:
RA = 2 ⋅ RL + RJ (J = 50 C) = 1124,883 Ω
-1-
K12: Aufgaben
Aufgabe 12.1
Lösung
Dp
Pa
3 10
4
2 10
4
1 10
4
0
0
25
50
75 100 125 150
v (D p )
ms
vP_Diagramm.ai
Aufgabe 12.2
Der Volumenstrom beträgt dann:
Q1 = A1 ⋅ v1 =
p 2
m3
d ⋅ v1 = 0,033
4
s
-1-
Messverstärker
13 MessverstärkerFormel-Kapitel 13 Abschnitt 13
u A (u D )
V
12
Du A
DuD
-100
u0
100
uD
mV
-12
Abbildung13.1: Kennlinie der Ausgangsspannung als Funktion der Eingangsspannung
t
ua (t ) = -
1
1
ie (t ) d t = - ⋅ q (t )
ò
C 0
C
AdB = 20log
(13.1)
ua
ue
(13.2)
Die oberen und unteren Grenzfrequenzen ( f u , f o ) sind beim Messverstärker als jene Frequenzen
definiert, an denen die Amplitude um 1 dB (entspricht ca. 89 % des Nennwertes) abgefallen ist.
Aufgabe 13.1
Daten:
a = 3,90802 ⋅10-3 C-1 ; b = -0,580195 ⋅10-6 C-2 ;
R0 = 100 Ω; R L = 2 W ;
uamax = 10 V; imax = 1 mA;
u q = 10 V
Lösung
Vorwiderstand:
R1 = -
R2
= 359 Ω
V
-1-
Messverstärker
Aufgabe 13.2
+15V
imax
R
R2
RV 2
R1
R0
im
uD
+
RV 1
u1
u2
R3
+
R4
imax
um
Der Strom-Spannungswandler realisiert die zuvor berechnete Verstärkung. Der Subtrahierer bringt
eine Verstärkung von Vi = 1 . Somit ist als Spannung u1 ein Potential von u1 = 2,5 V bereitzustellen
(hier mit dem Spannungsteiler RV 1 und RV 2 ).
a) Auslegung der Schaltung
Strom-Spannungswandler:
R0 =
DU
10 V
=
= 625 Ω
Di 16 mA
Subtrahierer:
Er kann z. B. so erfolgen, dass die Widerstände R1...R4 gleich groß sind und der
Rückkopplungswiderstand R2 mit maximal 10 mA (gewählter Wert) durchflossen wird:
R2 =
um
10 V
=
= 1 kΩ = R14
0,01 A
i2
Spannungsteiler zur Erzeugung der 2,5 V (Annahme: Versorgungspannung 15 V):
RV 1 =
u1
imax
aus imax =
RV 2 =
uq
imax
=
2,5 V
= 2,5 kΩ
0,001 A
uq
RV 1 + RV 2
- RV 1 =
folgt
15 V
- 2,5 kΩ = 12,5 kΩ
0,001 A
-2-
K14: Aufgaben
Aufgabe 14.1 Lösung
Auslegung des Tiefpassfilters:
T1 = R ⋅ C
=
1
1
1
=
=
= 63,662 ms
we 50 ⋅ wn 50 ⋅ (2p ⋅ n)
Wird der Widerstand R = 100 kΩ gewählt, so ergibt sich für die Kapazität:
C=
T
1
1
63,662 ms
⋅
= 1=
= 0,637 nF
100 kΩ
R 50 ⋅ wn R
Auslegen des Analogverstärkers - hier: Nicht-invertierender Verstärker
A=
u
R1 + R2
7V
= a =
= 3,5
R2
uTacho 2 V
Vorgabe des maximalen Stromes durch R1 und R2 mit der Annahme, dass der Eingangswiderstand des
OP unendlich groß ist:
imax (uamax ) = 1 mA =
 R1 + R2 =
uamax
R1 + R2
uamax
imax
Eingesetzt in die Verstärkungsgleichung:
A=
uamax
R1 + R2
=
R2
imax ⋅ R2
 R2 =
uamax 1
⋅ = 2 kΩ
imax A
Damit ergibt sich der Widerstand R1 zu:
R1 =
uamax
imax
- R2 = 5 kΩ
-1-
K15: Aufgaben
Frage 15.1
Was ist bei der Digitalisierung von sich zeitlich verändernden Signalen zu beachten?
-
Jeder Abtastvorgang eines analogen kontinuierlichen Signals stellt einen Informationsverlust
dar. Darum ist die Abtastzeit möglichst kurz zu wählen. Sie ist abhängig von der höchsten
darzustellenden Frequenz des analogen Signals. Nach Shannon u. a. ist die Abtastfrequenz
mindestens doppelt so hoch zu wählen, wie die höchste darzustellende Frequenz des analogen
Signals.
Welche Aufgabe hat ein Sample & Hold-Stufe bei der Wandlung analoger Signale in digitale Signale?
-
Eine Sample & Hold-Stufe hat die Aufgabe, ein sich zeitlich veränderndes Analogsignal für
eine kurze Zeitspanne konstant zu halten, damit ein Analog-Digital-Umsetzer dieses quasi
konstante Signal in einen digitalen Wert umwandeln kann.
Aufgabe 15.1
Wie groß ist der Quantisierungsfehler eines 14-Bit-Wandlers bei einem Eingangsspannungsbereich
von 5 V ?
Lösung
n = 14  214 = 16384
eQ =
10 V
» 0,6104 mV
214
-1-