Musterloesung

KW 25/2015
Prof. Dr. R. Reifarth, Dr. J. Glorius
Übungen zur Experimentalphysik II
Aufgabenblatt 8 - Lösung
Aufgabe 1:
a) Im Magnetfeld ist die Lorentzkraft gleich der Zentripetalkraft:
m · v2
= qvB
r
Zur Kreisfrequenz ω = v/r umformen (für Protonen gilt: e = q und m = mp ):
ω =
v
eB
eµ0 H
1
=
=
= 6.0 · 107
r
mp
mp
s
(1)
b) Die Kinetische Energie ist mit v = ω · r:
1
1
mv 2 = mp ω 2 r2
2
2
= 4.7 MeV
E =
(2)
(3)
c) Energiegewinn pro Umlauf:
∆E = 2 · 50 keV = 0.1 MeV
Anzahl der Umläufe um auf 4.7 MeV zu beschleunigen:
N=
4.7 M eV
= 47
0, 1 M eV
d) Die Kreisfrequenz und somit auch die kinetische Energie ist umgekehrt proportional zur Teilchenmasse. Bei doppelter Masse und wenn alle anderen Größen konstant bleiben, werden ω und Ekin entsprechend
halb so groß. Die Anzahl der Umläufe die nötig ist um eine bestimmte kin. Energie zu erreichen, hängt
hingegen (klassisch) nicht von der Masse ab, sondern nur von der Teilchen-Ladung bzw. der Beschleunigungspannung im Feld-freien Bereich.
Aufgabe 2:
Für Teilchen mit Sollgeschwindigkeit v0 gilt im Wien-Filter:
v0 · q · B = q · E ⇒ v0 =
E
B
Teilchen mit einer um ∆v vom Sollwert abweichenden Geschwindigkeit, erfahren eine Zusatzkraft in
x-Richtung:
Fx = m · ẍ = ∆v · q · B
Erste Integration liefert:
dx
q
= ∆v · B · t + C1
dt
m
Bei Eintritt in das Feld (t = 0) ist die Geschwindigkeit der Teilchen in x-Richtung 0:
dx
dt
= 0 ⇒ C1 = 0
t=0
Zweite Integration liefert:
1 q
∆v · B · t2 + C2
2m
Mit der Anfangsbedingung, dass zu Zeitpunkt t = 0 das Teilchen sich noch auf der z-y-Achse befindet:
x=
x(t = 0) = 0 ⇒ C2 = 0
Die Durchflugzeit ist (mit der Näherung, dass sich die Geschwindigkeit in z-Richtung durch die Ablenkung
kaum ändert)
L
2mxv02
L
≈
⇒ ∆v =
t=
vz
v0
qBL2
Mit x ≤ ∆b
2 folgt, dass der Filter bei einer Blendengröße ∆b Teilchen mit Geschwindigkeitsabweichungen
∆v durchlässt, für die gilt:
mB
∆bv02
∆v ≤
qL2
Aufgabe 3:
Wir suchen die induzierte Spannung:
Uind = −L ·
dI
dt
Die Induktivität ergibt sich aus:
A
l
Allerdings ist µr noch unbekannt und kann aus dem Magnetfeld im Eisenkern berechnet werde:
L = µr · µ0 · N 2 ·
B = µr µ0
Nach der Permeabilitätszahl umstellen:
µr =
N
I
l
Bl
µ0 N I
Einsetzen liefert:
B
N A = 10 H
I
Der Strom fällt von I = 1 A auf Null ab und zwar im Zeitraum ∆t = 1 ms, das liefert eine Steigung:
L=
dI
∆I
1A
A
=
= −3 = 1000
dt
∆t
10 s
s
Somit ergibt sich eine induzierte Spannung von:
Uind = −L ·
dI
= −10 kV
dt
Aufgabe 4:
a) Es gilt:
U (t) = UB − Uind = UB − L
dI
dt
mit U (t) = R · I(t) ergibt sich:
RI = UB − L
dI
dt
Trennung der Variablen liefert:
dt
dI
=
L
UB − RI
Beidseitiges Integrieren
1
L
Z I
Z t
dt =
0
0
liefert
1
ln(UB − RI)
t= −
L
R
Auflösen nach I:
I(t) =
dI
UB − RI
I
UB − RI
1
ln
R
UB
=−
0
R
UB
(1 − e− L t )
R
Wobei URB = Imax als maximal Strom gedeutet werden kann und R
L = τ als Zeitkonstante. Um die
Zahlenwerte zu berechnen fehlt uns noch die Induktivität L der Spule
L = µ0 n 2
sowie ihr Widerstand R:
R=ρ
π 2
d
As
= µ0 n2 4 s = 4.2 H
ls
ls
nπds
lD
=ρ
= 600 Ω
AD
AD
Damit berechnen wir:
Imax = 66.7 mA
τ = 7.02 ms
Für
I
Imax
= 0.95 ergibt sich somit der Zeitpunkt:
t1 = −τ · ln(1 −
I
) = 21 ms
Imax
b) Feldstärke
Hmax =
N
nImax
= 2.22 · 103
ls
Wb
Flussdichte
Bmax = µ0 Hmax = 2.79 · 10−3
Wb
m2
Energiedichte
wF,max =
HB
J
= 3.1 3
2
m
Feldenergie
1
2
= 9.36 · 10−3 J
WF,max = L · Imax
2
c) Die Differenz zwischen Feldenergie und Energieentnahme stellt die an der Spule in Wärme umgewandelte “Verlustenergie” dar. Der zeitliche Verlauf der Feldenergie WF ergibt sich einfach aus dem
Verlauf des Stromes:
1
1
WF (t) = L · I(t)2 = L · I02 (1 − e−t/τ )2 = WF,max (1 − e−t/τ )2
2
2
Die Energieentnahme WB aus der Batterie hingegen hängt von der Gesamtleistung P (t) = UB · I(t)
der Schaltung ab:
Z t
Z t
I(t)
P (t)dt = UB
WB (t) =
0
0
= UB · Imax
Z t
(1 − e−t/τ )dt
0
h
= UB · Imax t + τ e−t/τ
= UB · Imax (t + τ e
−t/τ
it
0
− τ)
= UB · Imax (t − τ (1 − e−t/τ ))