Zusammenfassung Kapitel 7 : Stochastik - Meranier

Das Wichtigste auf einen Blick
Zusammenfassung : Stochastik
1.Der Additionssatz
Im folgenden werden Ergebnisse und Ereignisse eines Zufallsexperiments betrachtet:
jedes Zufallsexperiment hat mehrere verschiedene Ergebnisse, die eintreten können;
sie werden im Ergebnisraum Ω={ω1, ω2, ω3, ω4, ..., ωn} zusammenfassend dargestellt.
Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ergebnisraums, z.B. A={ω2, ω4, ω5}; tritt ein Element
des Ereignisses ein, gilt A, tritt keines der Elemente des Ereignisses A ein, gilt
A
Bei einem Laplace-Experiment geht man davon aus, dass alle Ergebnisse gleich
wahrscheinlich sind, d.h. P (ω1 ) = P (ω 2 ) = ...P (ω n ) =
1
n
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses eines Laplace-Experiments mit k möglichen
Ergebnissen ist demnach P ( A) = P (ω1 , ω 2 ,..., ω k ) =
k
n
Werden zwei Ereignisse A, B parallel betrachtet, so gibt es die Verknüpfungen
A∪B =
A∩B =
Vereinigungsmenge von A und B ,
Schnittmenge von A und B ,
A „oder“ B
A „und“ B
Sind zwei Ereignisse vereinbar, gibt es eine Schnittmenge, d.h. gemeinsame Elemente,
sind zwei Ereignisse unvereinbar, ist die Schnittmenge eine leere Menge.
Beispiel : Werfen eines Laplace-Würfels Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = “gerade Zahl“ = {2, 4, 6}
B = “Primzahl“ = {2, 3, 5}
A∩B = {2}
⇒ P(A∩B)= 16
A∪B = {2, 3, 4, 5, 6}
⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) =
allgemein lässt sich formulieren:
die Wahrscheinlichkeit eines „A-oder-B-Ereignisses“ ist
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Additionssatz
3
6
+ 36 − 16 =
5
6
2.Vierfeldertafel
Mit Hilfe der Vierfeldertafel kann man die Wahrscheinlichkeiten für das gleichzeitige
Eintreten bzw. das Nichteintreten zweier Ereignisse darstellen,
Beispiel:
A =Geschlecht weiblich
B =kein(e) Brillenträger(in)
A = Geschlecht männlich
B = Brillenträger(in)
Angaben: P(A)=52%, B(B)=15%, P(A∩B)=11%
Die Vervollständigung der Vierfeldertafel führt zur folgenden Tabelle; Zeilen- und
Spaltensummen müssen jeweils stimmig sein:
Brille
keine Brille
männlich
11%
41%
52%
weiblich
4%
44%
48%
15%
85%
Mit Hilfe dieser Vierfeldertafel können folgende Fragen beantwortet werden:
Wahrscheinlichkeit für
-
Brillenträger:P(B)=15% (Zeilensumme)
-
weiblich: P( A )=48% (Spaltensumme)
-
männlicher Brillenträger:P(A∩B)=11%(und)
-
männlich oder Brillenträger: P(A∪B)=56% ( oder ⇒ Additionssatz !)
bedingte Wahrscheinlichkeit
-
Brillenträger unter der Bedingung männlich
-
Mann unter der Bedingung Brillenträger:
PA ( B ) =
PB ( A) =
11%
= 21%
52%
11%
= 73%
15%
Bei „und“ Wahrscheinlichkeiten wird eines der vier Felder gezählt,
bei „oder“ Wahrscheinlichkeiten werden drei der vier Felder gezählt !
3.Venn-Diagramme
„und“ - bzw. „oder“ - Verknüpfungen zweier Ereignisse lassen sich auch durch
Mengendiagramm, sog. VENN-Diagramm graphisch illustrieren, ebenso die Symbole
„außer“ und „nicht“
4.Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Sind zwei Ereignisse E1 und E2 unabhängig voneinander, so hat das Eintreten des
Ereignisses E1 keinen Einfluss auf das Eintreten von E2: die bedingten
Wahrscheinlichkeiten sind jeweils gleich:
PE1 ( E 2 ) = PE ( E 2 ) = P( E 2 )
1
Mathematisch äquivalent – aber wesentlich einfacher im Umgang – ist das Kriterium:
P( E1 ) ⋅ P( E 2 ) = P( E1 ∩ E 2 )
Für die Vierfeldertafel hat es zur Konsequenz, dass
a) bei vorausgesetzter stochastischen Unabhängigkeit von A und B die Einträge in
den vier Feldern die Produkte von Zeilen- bzw. Spalteneinträgen sind:
A
A
P(A)⋅P(B)
P( A )⋅P(B)
P(B)
P(A)⋅P( B )
P( A )⋅P( B )
P( B )
P(A)
P( A )
B
B
b) die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse dadurch nachgeprüft werden
kann, dass man P(A)⋅P(B) mit P(A∩B) vergleicht.