C) Operator-Analysis 12. Spektrum und Resolvente

C) Operator‐Analysis 12. Spektrum und Resolvente 12.1. Motivation Lösen der Schrödingergleichungen, mögliche Messergebnisse für Observable, Diagonalisieren von Operatoren, Vorbereitung zum Bilden von Funktionen der Op. ... 12.2. Def.: Resolventenmenge, Spektrum, Resolvente (A)...Resolventenmenge = Menge der komplexen Zahlen z, für die (A – z) eine Bijektion zwischen D(A) und H ist. ..... Spektrum = Komplement der Resolventenmenge (A) = \(A) H → D(A) z(A)   Resolvente Rz(A) := (A – z)–1 B(H) 12.3. Beispiele Spin‐Matrizen Beschränkter Operator X‐Operator Selbstadjungierter Operator Spektrum ( x) =  (y) =  (z) = {–1,+1} |z| > ‖A‖  z(A) (Neumann‐Reihe) (X) =  A = A*  (A)   1 12.4. Satz: Die erste Resolventengleichung Rz(A) – Rw(A) = (z – w) Rz(A)Rw(A) Beweis: Verwende H = ( A– w ) ∙ Rw(A) und D(A) = Rz(A) ∙ ( A – z )  Rz(A) – Rw(A) = Rz(A) H – D(A) Rw(A) = Rz(A) (A– w) Rw(A) – Rz(A) (A – z)Rw(A) Die Terme mit A in der Mitte kürzen sich weg Korollar: Die Resolventen kommutieren Beweis: Vertauschen von z und w 12.5. Satz: a) Die Resolventenmenge (A) ist offen b) Die Resolvente Rz(A) ist eine in z analytische Operator‐wertige Funktion c) Das Spektrum (A) ist nicht die leere Menge Beweis: a) Sei w(A), |z – w| < 1/‖Rw(A)‖  Formel für Rz(A) als konvergente Reihe: 
( ) Multiplikation dieser Reihe mit (A – z)  z(A) Rz(A) =  (z  w)n (R w (A))n1  BH
n 0
b) Rz(A) ist differenzierbar nach komplexem z, Taylor‐Reihen c) Satz von Liouville 2 12.6. Def.: Greensche Funktion Wenn Rz(A) als Integrations‐Operator mit Kern darstellbar ist, so nennt man den Integrationskern Greensche Funktion von Rz(A) (oder auch Gr. Fktn. von A). (A – z)ψ = φ  ψ(x) = G(x,s)φ(s)ds [(A – z)G](x,s) = + δ(x − s) 12.7. Beispiele Greensche Funktion von (p2 – z) auf L2() (Übungsbeispiel), von ( – z) auf L2(3):  
 z xy
 
1 e
(  z)1 ... G z (x  y)   4   xy
12.8. Def.: Punktspektrum P (A) ... Menge der Eigenwerte des Operators A Beispiel: P ein orthogonaler Projektor  (P) = P(P) = {0,1} 12.9. Satz über Wertebereiche des Spektrums a) A beschränkt   ()  {z, |z|  ‖A‖} b) U unitär  (U)  Einheitskreis der komplexen Zahlen c) A selbstadjungiert  (A)   d) A selbstadjungiert und A  a  (A)  {r, r  a} 3