Aufgabensammlung Mathematik für Wirtschaft und Technik Dorothea Reimer Wolfgang Gohout VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten Europa-Nr.: 54326 Dr. Dorothea Reimer Akademische Oberrätin im Bereich Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der Professur für Statistik und Ökonometrie an der Justus-Liebig-Universität Gießen Professor Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Wolfgang Gohout Professor für Operations Research, Statistik und Mathematik Studiendekan Wirtschaftsingenieurwesen an der Hochschule Pforzheim 1. Auflage 2009 Druck 5 4 3 2 ISBN 978-3-8085-5432-6 Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden. c 2013 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten http://www.europa-lehrmittel.de Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald Druck: Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn Vorwort Das Erlernen mathematischer Methoden erfordert vor allem Übung. Daher haben die Autoren die vorliegende Aufgabensammlung als Begleitmaterial ihrer Vorlesungen am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Justus-Liebig-Universität in Gießen und an der Fakultät für Technik der Hochschule Pforzheim zusammengestellt. Die Aufgaben umfassen sowohl den klassischen Stoff einer einführenden MathematikVorlesung als auch propädeutische Bereiche zur Wiederholung und Auffrischung von Schulkenntnissen. Die Lösungen wurden bewusst von den Aufgaben räumlich getrennt, um ein vorzeitiges „Spicken“ zu erschweren. Sie folgen den Aufgabenstellungen jeweils am Ende eines Abschnitts. Die Leser sollten nach Möglichkeit die Aufgaben so lange bearbeiten, bis sie sicher sind, dass sie sie auch in einer Klausur so abgeben würden. Danach kann man sich der Lektüre der Lösungen widmen. Obwohl die Aufgaben dieser Sammlung schon lange in den Übungen und Tutorien der Autoren sowie zur Klausurvorbereitung unserer Studenten verwendet werden, sind wir uns durchaus bewusst, dass noch einige (hoffentlich wenige) Fehler drin stecken können. Für entsprechende Hinweise wären wir natürlich dankbar. Nun bedanken wir uns noch bei dem Verlag Harri Deutsch und speziell Herrn Horn für die Unterstützung und wünschen den Lesern viele Erfolgserlebnisse und gute Fortschritte beim Erlernen ihrer Mathematik. Gießen, im August 2009 Dorothea Reimer [email protected]ßen.de Pforzheim, im August 2009 Wolfgang Gohout [email protected] Inhaltsverzeichnis A. Mathematische Grundlagen A1. A2. A3. A4. A5. A6. A7. A8. 1 Mathematische Logik . . . . . . . . . . Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Arithmetik und Algebra Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . Relationen, Ordnungen, Abbildungen . Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . Finanzmathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Analysis von Funktionen einer Variablen 1 4 7 31 37 39 50 58 71 B1. Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 B2. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 B3. Differential- und Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 110 C. Lineare Algebra C1. C2. C3. C4. Vektorrechnung . . . . . . Matrixalgebra . . . . . . . Lineare Gleichungssysteme Eigenwerte und -vektoren . 123 . . . . . . . . D. Funktionen mit mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 139 159 176 181 D1. Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 D2. Extrema und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 D3. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Literaturempfehlungen 213 A. Mathematische Grundlagen A1. Mathematische Logik Aufgabe A1.1 Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Geben Sie bei den Aussagen den Wahrheitswert an! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Die Lahn ist länger als der Rhein. Mein Bruder ist dein Onkel. Mathe macht Spaß. Haben die Beatles „Yesterday“ gesungen? Ich weiß, was eine Aussage ist. Herr Ober, ein Bier! Auf anderen Planeten gibt es intelligente Lebewesen. Hilfe, Überfall! 1+1 = 2 √ xy Aufgabe A1.2 Wenn A ⇒ B gilt, gilt dann auch a) B ⇒ A, b) ¬A ⇒ ¬B, c) ¬B ⇒ ¬A? Aufgabe A1.3 Ermitteln Sie den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage ((¬A ∨ B) ∧ ¬(B ∨ ¬C) ) ⇒ (¬A ⇒ ¬C), wenn A eine wahre, B und C jedoch falsche Aussagen sind! 2 A. Mathematische Grundlagen Aufgabe A1.4 Schreiben Sie folgende Aussagen in symbolischer Form! a) Es gibt eine Zahl x für die x > 0 und x2 − 25 = 0 gilt. b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich n(n + 1)/2 ist. Aufgabe A1.5 Beweisen Sie folgende Aussagen durch vollständige Induktion! n (n + 1) (n + 2) 3 1 1 1 1 1 b) + + + . . . + n = 1 − n ∀n ∈ 2 4 8 2 2 a) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = N ∀n ∈ N Lösungen zum Abschnitt A1 Lösung zu Aufgabe A1.1 keine Aussage a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) × × × × × Aussage wahr × × falsch × Wahrheitswert unbekannt × × × × × × × Lösung zu Aufgabe A1.2 a) und b) gelten nicht, c) ist zutreffend. 3 A1. Mathematische Logik Lösung zu Aufgabe A1.3 A wahr; B,C falsch ⇒ D := ¬A ∨ B ist falsch. ⇒ D∧ beliebig ist falsch ⇒ Die Aussage, also die Implikation „⇒“, ist wahr. Lösung zu Aufgabe A1.4 R : (x > 0 ∧ x2 − 25 = 0) n(n + 1) ∀n ∈ N : 1 + 2 + . . . + n = 2 a) ∃x ∈ b) Lösung zu Aufgabe A1.5 a) Induktionsanfang n = 1: 1 (1 + 1) = 2 = 1 (1 + 1) (1 + 2) gilt für n = 1 3 Induktionsvoraussetzung: 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = gelte für ein n ∈ N Induktionsschluss n → n + 1: n (n + 1) (n + 2) 3 ! 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = Beweis: (∗) (n + 1) (n + 2) (n + 3) 3 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = (∗) = = n (n + 1) (n + 2) + (n + 1)(n + 2) 3 n (n + 1) (n + 2) 3 (n + 1)(n + 2) + 3 3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) q.e.d. 3 b) Induktionsanfang n = 1: 1 1 = 1− gilt für n = 1 2 2 Induktionsvoraussetzung: 1 1 1 1 1 + + + . . . + n = 1 − n gelte für ein n ∈ 2 4 8 2 2 N. (∗) 4 A. Mathematische Grundlagen Induktionsschluss n → n + 1: 1 1 1 1 1 ! 1 + + + . . . + n + n+1 = 1 − n+1 2 4 8 2 2 2 Beweis: 1 1 1 1 + + . . . + n + n+1 2 4 2 2 = (∗) = = = 1 1 + 2n 2n+1 1 2 1 − n + n+1 2 2 2 1 2 1 − n+1 + n+1 2 2 1 q.e.d. 1 − n+1 2 1− A2. Mengenlehre Aufgabe A2.1 Man schreibe mit Hilfe der Symbolik der Mengenlehre a) die Menge A der ersten fünf Buchstaben des griechischen Alphabets, b) die Menge B aller reellen Zahlen zwischen +2 und –1, die Grenzen jeweils ausgeschlossen, ohne die Null, c) die Menge C aller natürlichen Zahlen zwischen 5 und 15 einschließlich der Grenzen. Aufgabe A2.2 Erläutern Sie die Unterschiede zwischen ∅, {0}, {∅} und 0! Aufgabe A2.3 Gegeben sei die Menge A = {4, {6, 7}, ∅}. Welche der folgenden Aussagen sind falsch? a) 6 ∈ A; e) 4 ∈ A; i) ∅ ∈ A; b) {6, 7} ⊂ A; f) 4 ⊂ A; j) {∅} ∈ A; c) {4} ∈ A; g) ∅ ⊂ A; k) {{6, 7}} ⊂ A. d) {4} ⊂ A; h) {∅} ⊂ A; Aufgabe A2.4 Geben Sie zu der Menge A = {α , β , γ } die Potenzmenge an! 5 A2. Mengenlehre Aufgabe A2.5 Sei Ω = {n ∈ {1, 2, 3, 5, 7}. N: 1 ≤ n ≤ 10} und A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4} sowie C = a) Zeichnen Sie das Venn-Diagramm und tragen Sie die Elemente von Ω in die entsprechenden Teilflächen ein! b) Geben Sie folgende Ereignisse an: • A und B und C, • A oder B, • Entweder (A und B) oder (A und C), nicht beide, • C und (A ohne B), • A, aber weder B noch C. Aufgabe A2.6 Wie lautet (A\B) ∪ B, wenn a) A ∩ B = ∅, b) A ∩ B 6= ∅ und A 6= A ∩ B 6= B, c) A ∩ B = B, d) A ∩ B = A? Man veranschauliche sich dies am Venn-Diagramm. Lösungen zum Abschnitt A2 Lösung zu Aufgabe A2.1 a) A = {α , β , γ , δ , ε } b) B = {x ∈ : −1 < x < 2, x 6= 0} c) C = {5, 6, . . ., 15} = {n ∈ : 5 ≤ n ≤ 15} R N Lösung zu Aufgabe A2.2 ∅ ist die leere Menge, also die Menge, die kein Element enthält. {0} ist die Menge mit dem (einzigen) Element 0. {∅} ist die Menge mit dem Element ∅, das selbst wieder eine Menge ist. 0 ist keine Menge, sondern eine Zahl. 6 A. Mathematische Grundlagen Lösung zu Aufgabe A2.3 a) falsch e) wahr i) wahr b) falsch f) falsch j) falsch c) falsch g) wahr k) wahr d) wahr h) wahr Lösung zu Aufgabe A2.4 P(A) = {∅, {α }, {β }, {γ }, {α , β }, {α , γ }, {β , γ }, A} Lösung zu Aufgabe A2.5 a) C 9 7 5 2 6 1 3 8 4 10 A B b) • • • • • A ∩ B ∩C = {2} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} (A ∩ B)△(A ∩C) = A ∩ (B△C) = {4} C ∩ (A\B) = ∅ A\(B ∪C) = {6, 8, 10} Lösung zu Aufgabe A2.6 a) A ∩ B = ∅ ⇒ A\B = A ⇒ (A\B) ∪ B = A ∪ B A B Ω 7 A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra b) (A\B) ∪ B = A ∪ B, gilt übrigens stets! A B Ω c) A ∩ B = B ⇒ (A\B) ∪ B = A B A Ω d) A ∩ B = A ⇒ (A\B) ∪ B = B A B Ω A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra Aufgabe A3.1 Transformieren Sie die folgenden Zahlen in die jeweils angegebenen Zahlensysteme: a) 11,687510 in das Dualsystem, b) 345110 in das Hexadezimalsystem, c) 1010111000102 in das Hexadezimalsystem, d) 110110011,01012 in das Dezimalsystem. Aufgabe A3.2 Geben Sie zu den folgenden Zahlen an, zu welcher der √Zahlenmengen sie gehören: −2; 5; 2,7; 3/8; π ; e; 7i; 3; 5 + i. N, Z, Q, R, C 8 A. Mathematische Grundlagen Aufgabe A3.3 Berechnen Sie folgende Summen: 10 i=1 8 d) ∑ 2i + 3(−1)i i=4 5 b) ∑ (2i + 10), c) 3 j(−1) j − 1 , 3j j=1 (−i)3 , i i=−2 2 f) ∑ i+1 + ∑ n a) ∑ i, i2 i=1 4 , e) ∑ ∑ 4 i2 i=1 2 i(i − 1) , i2 i=1 3 g) ∑ (−3) j 210− j , j=−2 Aufgabe A3.4 Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens: a) 7 + 12 + 17 + 22 + 27, b) −3 + 4/2 − 5/3 + 6/4 − . . .. Aufgabe A3.5 Für welchen Wert j ergibt nachfolgender Ausdruck stets null? n+1 n 4i − 4n 2i j − 4 ∑ ∑ i=1 i=2 Aufgabe A3.6 Gegeben sei die folgende Tabelle von n2 Zahlen: a11 a21 .. . an1 a12 a22 .. . an2 ··· ··· .. . ··· a1n a2n .. . ann . Geben Sie unter Verwendung des Summenzeichens die Summe aller Elemente an, die a) b) c) d) e) f) in der 2-ten bis (n − k)-ten Spalte stehen, in der ℓ-ten bis n-ten Zeile stehen, auf der Hauptdiagonalen stehen, auf der Nebendiagonalen stehen, im oberen Dreieck (einschließlich der Hauptdiagonalen) stehen, außerhalb der Hauptdiagonalen stehen! 9 A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra Aufgabe A3.7 Wie groß ist die Summe a) der geraden b) der ungeraden Zahlen k ∈ mit |101 − k| < 26? N Aufgabe A3.8 Berechnen Sie folgende Produkte: 5 3 a) ∏ 2, 5 b) ∏ 4, i=1 i=0 3 3 e) ∏ (15 + 3i), f) i=−3 ∏ j=−2 10 c) ∏ 2i, d) ∏ (2i − 3), i=2 2·3j 3+ j i=5 0 n , 2i + 2 , i=1 6i g) ∏ h) i2 − 1 . i=−2 i + 3 ∏ Aufgabe A3.9 Berechnen Sie folgende Ausdrücke: 2 3 5 i=0 j=1 2 2 1 b) ∑ ∑ i j+1 , a) ∑ ∑ i( j + 2), c) i=3 j=−1 3 1 e) ∏ ∏ ji , 3 f) ∑ ∏ (i + 2 j), i=0 j=1 i=−1 j=1 3 i + jn ∑∑ 6 , i=1 j=1 3 m d) n i+ j−1 , i=1 j=1 m · n ∑∑ i g) ∏ ∑ i3− j . i=1 j=1 Aufgabe A3.10 Geben Sie die Ergebnisse der folgenden Operationen an: a) 1 + 2 · 34 , 2 b) 4(3 ) , 2 c) (43 ) . Aufgabe A3.11 Fassen Sie, sofern möglich, vereinfachend zusammen (Produkte statt Summen bzw. Ausklammern): a) 102 + 4 · 153 , d) c2 + cx , b) 74 + 114 + 134 , e) ax + 2ax+y − nax−3 . c) ax2 + ay2 + 2axy, 10 A. Mathematische Grundlagen Aufgabe A3.12 Berechnen Sie durch Umformen und ohne Taschenrechner: √ 2 4 3 5 −2 2 √ 3a2 b a b b c 4 2 −5 4 −2 a) 3 · 27 · 9 , b) , c) a bc + , : c a c x3 + 5x2 − 11x + 21 102 √ , , e) ld 16 − ld 64 + ld 8, f) d) x+7 52 · 23 √ 3 3 g) 125−1/2 · 5 · 252 , h) (163 )2 · (184 )−2 · 12(−2 ) · 3(3 ) . Aufgabe A3.13 √ x+8 Wie lautet die Lösung der folgenden Gleichung? √ =2 x+3 Aufgabe A3.14 Üben Sie das Arbeiten auf Ihrem Taschenrechner: a) lg 123 = f) ln 123 = b) lg 1,23 = g) ln 1,23 = c) lg e = h) ln e = d) lg 1000 = i) ln 1000 = e) lg(3e) = j) ln(3e) = Aufgabe A3.15 a) Welche numerische Beziehung besteht zwischen lg x und ln x? b) Bestimmen Sie den Logarithmus der Zahl 46 zur Basis 5,3! c) Ist x = log50 100 größer oder kleiner als 1? Aufgabe A3.16 Bestimmen Sie die Logarithmen der folgenden Ausdrücke: x2 x 3 d) x(5 ) · y6 · z3 , e) x2 · y + x · y2 , a) x · y, b) , c) 3 , y y √ p √ c g) 3 x · y−1/3 , h) a · x−6 , i) aloga (b) . f) x2 · 5 y3 , 11 A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra Aufgabe A3.17 Wie lauten die dualen Logarithmen der folgenden Zahlen: 25; 10; 4; 2; 1; 0,125? Aufgabe A3.18 Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen: a) lg(a) + lg(b) − lg(c), b) − lg(x) − lg(y), d) 3 · (lg(3) − 2 · lg(x) − 0,5 · lg(y)), √ 1 . f) lg 3 − 3 · lg 9 − 12 · lg √ 3 3 c) lg(2) + 2 · lg(x) − 2 · lg(a), 1 1 e) · lg(a) − · lg(a2 − x), 2 2 Aufgabe A3.19 Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: c) ln x2 = 20; a) lg x = 1,2345; b) ln x − 4 = 1; d) lg(3x − 5) = 2; e) lg g) lg(lg x) = 0; h) lg(ln x) = 1; i) ln(lg x) = 1; j) ld x = 4; k) x − 2 ld 4 = ld 8; l) 3x − 5 = 8. √ x + 1 = 1; f) lg(x) + lg(x − 3) = 1; Aufgabe A3.20 Bestimmen Sie Lösungen folgender Gleichungen und die Definitionsbereiche der enthaltenen Ausdrücke: 2 3 5 + = ; x 2−x x+2 √ c) 7 − x = x − 1; a) b) x2 − 231 − 9x = 4x; x+9 d) x4 + 2x2 − 15 = 0. Aufgabe A3.21 Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 auf analytischem Wege! 12 A. Mathematische Grundlagen Aufgabe A3.22 Bestimmen Sie die Nullstelle x0 des Polynoms f (x) = x4 + 27x3 + 221x2 + 683x − 2646 im Intervall [xu , xo ] = [0, 4] a) mit der Methode der Intervallhalbierung, b) mit der Regula-falsi-Iteration, so dass | f (x0 )| < 0,05! (Rechnen Sie in den Zwischenschritten mit vier Nachkommastellen!) Aufgabe A3.23 Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen: Z R; d) x < 0, x ∈ N; a) |x| < 4, x ∈ ; N N R c) x + y ≤ 3, x ∈ , y ∈ ; √ e) 4x > −2, x ∈ + 0; 3 − 2x 2x + 1 g) 5 + < 3x − , x∈ 2 4 i) 2x2 − 14x + 20 < 0, x ∈ ; R k) x2 + 6x + 15 > 0, x ∈ R; m) |2 − x| < 5, x ∈ Z; o) |x − 2| ≥ 5; b) x < 4, x ∈ Q; R f) 3x − 5 < −4x + 9, x ∈ ; 8 2 h) < , x ∈ \ {0}; x 3 j) 2x2 − 14x + 20 > 0, x ∈ ; R R l) x2 ≥ 16, x ∈ ; 1 > 0, x ∈ n) |x − 2| − 3 R R \ {−1, 5}; p) 3 · 0,1x−7 ≤ 30. Aufgabe A3.24 Stellen Sie die Wertepaare (x, y) graphisch dar, die die folgenden vier Ungleichungen erfüllen: y + x/2 ≤ 4; y + 3x ≤ 9; x ≥ 0; y ≥ 2. Aufgabe A3.25 In einer Möbelfabrik werden in einem gegebenen Zeitraum Tische und Stühle in den Mengen x1 und x2 hergestellt. Beide Produkte werden auf einer Sägemaschine, einer Hobelmaschine und in der Lackiererei bearbeitet. Die verfügbaren Kapazitäten sowie 13 A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra die Bearbeitungszeiten je Stuhl bzw. Tisch bei den drei Anlagen sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt. Sägemaschine Hobelmaschine Lackiererei Bearbeitungszeit für 1 Stuhl 1 Tisch 2 [h] 5 [h] 5 [h] 4 [h] 2 [h] 1 [h] verfügbare Kapazität 1.000 [h] 1.000 [h] 320 [h] a) Beschreiben Sie die Produktionsmöglichkeiten durch ein System von Ungleichungen, das Sie anschließend graphisch darstellen! b) Gibt es Mengenkombinationen, bei denen alle Kapazitäten voll ausgelastet sind? c) Wie kann man für den Fall, dass es nicht möglich ist, alle Kapazitäten voll auszulasten, eine Vollauslastung aller Kapazitäten herbeiführen? Aufgabe A3.26 Es ist i2 := −1. Wie lauten i3 , i4 , i5 und i6 ? Aufgabe A3.27 Seien a = 5 − 3i und b = −2 + i. Berechnen Sie a + b, a · b, a/b, a2 und a · a ! Aufgabe A3.28 Berechnen Sie jeweils den Betrag und das Argument (Hauptwert in Radiant) der folgenden komplexen Zahlen: √ a) z = 2 − i · 2 b) z = −1 + i · 3 c) z = −2 − i Aufgabe A3.29 Stellen Sie die komplexen Zahlen aus der vorigen Aufgabe in der G AUSSschen Zahlenebene dar! Aufgabe A3.30 Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in Polarkoordinaten dar! a = 3 + 4i, b = 6 − 6i, c = −5i, d = −1 + i 14 A. Mathematische Grundlagen Aufgabe A3.31 Transformieren Sie folgende komplexe Zahlen von der Darstellung in Polarkoordinaten in die allgemeine Form! √ b = (5; 0), c = (0,8; −2π /3), d = (5 2; −π /4) a = (2; π /2), Aufgabe A3.32 a) Bestimmen Sie den Real- und √ Imaginärteil von y = 2 · ei·π /2 und z = 3 · 2 · (cos(π /4) + i · sin(π /4)) ! b) Bestimmen Sie y − z, y · z, z/y und z−1 in algebraischer Form! Aufgabe A3.33 Bestimmen Sie folgende Werte ohne Taschenrechner! π 2 3 π sin , cot cos − , tan − π , π 3 6 4 3 Aufgabe A3.34 Sie beobachten einen Turm aus einer (ebenerdigen) Entfernung von 100 Metern und messen einen Winkel von 30◦ vom Boden bis zur Spitze. a) Wie lautet der Winkel im Bogenmaß? b) Wie hoch ist der Turm? Aufgabe A3.35 Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck (a, b – Katheten, c – Hypothenuse) mit a = 6cm und c = 12cm. a) Wie groß ist der Winkel α in Altgrad? (Hinweis: α liegt gegenüber von a.) b) Wie groß ist der Winkel β in Altgrad? (Hinweis: β liegt gegenüber von b.) c) Wie lang ist b? Aufgabe A3.36 Beweisen und verallgemeinern Sie die folgenden Aussagen! Für ein Dreieck mit c = 8, a) b = 9 und β = 76◦ gibt es genau eine Lösung, b) b = 7 und β = 37◦ gibt es genau zwei Lösungen, c) b = 5 und β = 57◦ gibt es keine Lösung. 15 A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra Lösungen zum Abschnitt A3 Lösung zu Aufgabe A3.1 a) 11 : 2 = 5 Rest 1 5:2 = 2 Rest 1 2:2 = 1 Rest 0 1:2 = 0 Rest 1 ⇒ 1110 = 10112 0,6875 = a1 · 2−1 + a2 · 2−2 + a3 · 2−3 + . . . = a1 · 0,5 + a2 · 0,25 + a3 · 0,125 + . . . = 1 · 0,5 +00 · 0,25 +11 · 0,125 +11 · 0,0625 + 0 ⇒ 0,687510 = 0,10112 ⇒ 11,687510 = 1011,10112 b) 3451 : 16 = 215 Rest 11 215 : 16 = 13 Rest 7 13 : 16 = 0 Rest 13 ⇒ 345110 = D7B c) 1010111000102 = 210 + 3210 + 6410 + 12810 + 51210 + 204810 = 278610 2786 : 16 = 174 Rest 2 174 : 16 = 10 10 : 16 = 0 Rest 14 Rest 10 ⇒ 1010111000102 = 278610 = AE216 oder: 1010 | {z } | 1110 | {z } | 0010 | {z} E A 2 d) 110110011,01012 = 2−4 + 2−2 + 20 + 2 + 24 + 25 + 27 + 28 = 435,312510 Lösung zu Aufgabe A3.2 Z R N −2 ∈ ; 5 ∈ ; 2,7 ∈ √ 3 ∈ ; 5+i ∈ . C Q; 3/8 ∈ Q; π∈ R; e∈ R; 7i ∈ i R ⊂ C; 16 A. Mathematische Grundlagen Lösung zu Aufgabe A3.3 10 a) ∑ i = 1 + 2 + . . . + 10 = i=1 n n i=1 i=1 10 · 11 = 55 2 b) ∑ (2i + 10) = 2 ∑ i + 10n = 2 n(n + 1) + 10n = n2 + 11n 2 5 c) 3 j(−1) j − 1 −3 − 1 6 − 1 −9 − 1 12 − 1 −15 − 1 = + + + + = 3j 3 6 9 12 15 j=1 ∑ −4 5 −10 11 −16 −240 + 150 − 200 + 165 − 192 317 + + + + = =− 3 6 9 12 15 180 180 = −1,7611 8 d) 2i + 3(−1)i 8 + 3 10 − 3 12 + 3 14 − 3 16 + 3 = + + + + = 1,90553 2 i 16 25 36 49 64 i=4 e) 8 1 0 1 8 27 64 1 27 (−i)3 = + + − − − − = 32 + 2 − − 2 − −4 i 2 1/4 1/2 1 2 4 8 16 2 8 i=−2 ∑ 4 ∑ = 24,125 4 f) i2 2 i(i − 1) 1 4 9 16 0 2 = + + + + + = i2 2 3 4 5 1 4 i=1 ∑ i+1 + ∑ i=1 30 + 80 + 135 + 192 + 30 467 = = 7,7833 60 60 g) 3 ∑ (−3) j 210− j = j=−2 1 12 1 11 · 2 − · 2 + 210 − 3 · 29 + 9 · 28 − 27 · 27 = −1891, 55 9 3 Lösung zu Aufgabe A3.4 5 a) 7 + 12 + 17 + 22 + 27 = ∑ (5i + 2) i=1 ∞ b) −3 + 4/2 − 5/3 + 6/4 − . . . = ∑ (−1)i i=3 ∞ i i+2 = ∑ (−1)i i − 2 i=1 i