Aufgabensammlung Mathematik für Wirtschaft und Technik

Aufgabensammlung Mathematik
für Wirtschaft und Technik
Dorothea Reimer
Wolfgang Gohout
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
Europa-Nr.: 54326
Dr. Dorothea Reimer
Akademische Oberrätin im Bereich Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler der
Professur für Statistik und Ökonometrie an der Justus-Liebig-Universität Gießen
Professor Dr. rer. nat. Dr. rer. pol. Wolfgang Gohout
Professor für Operations Research, Statistik und Mathematik
Studiendekan Wirtschaftsingenieurwesen an der Hochschule Pforzheim
1. Auflage 2009
Druck 5 4 3 2
ISBN 978-3-8085-5432-6
Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwendung außerhalb
der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.
c 2013 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Umschlaggestaltung: braunwerbeagentur, 42477 Radevormwald
Druck: Media-Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn
Vorwort
Das Erlernen mathematischer Methoden erfordert vor allem Übung. Daher haben die
Autoren die vorliegende Aufgabensammlung als Begleitmaterial ihrer Vorlesungen
am Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Justus-Liebig-Universität in Gießen
und an der Fakultät für Technik der Hochschule Pforzheim zusammengestellt. Die
Aufgaben umfassen sowohl den klassischen Stoff einer einführenden MathematikVorlesung als auch propädeutische Bereiche zur Wiederholung und Auffrischung von
Schulkenntnissen.
Die Lösungen wurden bewusst von den Aufgaben räumlich getrennt, um ein vorzeitiges „Spicken“ zu erschweren. Sie folgen den Aufgabenstellungen jeweils am Ende
eines Abschnitts. Die Leser sollten nach Möglichkeit die Aufgaben so lange bearbeiten, bis sie sicher sind, dass sie sie auch in einer Klausur so abgeben würden. Danach
kann man sich der Lektüre der Lösungen widmen.
Obwohl die Aufgaben dieser Sammlung schon lange in den Übungen und Tutorien
der Autoren sowie zur Klausurvorbereitung unserer Studenten verwendet werden, sind
wir uns durchaus bewusst, dass noch einige (hoffentlich wenige) Fehler drin stecken
können. Für entsprechende Hinweise wären wir natürlich dankbar.
Nun bedanken wir uns noch bei dem Verlag Harri Deutsch und speziell Herrn Horn
für die Unterstützung und wünschen den Lesern viele Erfolgserlebnisse und gute Fortschritte beim Erlernen ihrer Mathematik.
Gießen, im August 2009
Dorothea Reimer
[email protected]ßen.de
Pforzheim, im August 2009
Wolfgang Gohout
[email protected]
Inhaltsverzeichnis
A. Mathematische Grundlagen
A1.
A2.
A3.
A4.
A5.
A6.
A7.
A8.
1
Mathematische Logik . . . . . . . . . .
Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . .
Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . .
Relationen, Ordnungen, Abbildungen .
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . .
Folgen und Reihen . . . . . . . . . . .
Finanzmathematik . . . . . . . . . . . .
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B. Analysis von Funktionen einer Variablen
1
4
7
31
37
39
50
58
71
B1. Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
B2. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
B3. Differential- und Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 110
C. Lineare Algebra
C1.
C2.
C3.
C4.
Vektorrechnung . . . . . .
Matrixalgebra . . . . . . .
Lineare Gleichungssysteme
Eigenwerte und -vektoren .
123
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D. Funktionen mit mehreren Variablen
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123
139
159
176
181
D1. Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
D2. Extrema und Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
D3. Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Literaturempfehlungen
213
A. Mathematische Grundlagen
A1. Mathematische Logik
Aufgabe A1.1
Welche der folgenden Sätze sind Aussagen? Geben Sie bei den Aussagen den Wahrheitswert an!
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Die Lahn ist länger als der Rhein.
Mein Bruder ist dein Onkel.
Mathe macht Spaß.
Haben die Beatles „Yesterday“ gesungen?
Ich weiß, was eine Aussage ist.
Herr Ober, ein Bier!
Auf anderen Planeten gibt es intelligente Lebewesen.
Hilfe, Überfall!
1+1 = 2
√
xy
Aufgabe A1.2
Wenn A ⇒ B gilt, gilt dann auch
a) B ⇒ A,
b) ¬A ⇒ ¬B,
c) ¬B ⇒ ¬A?
Aufgabe A1.3
Ermitteln Sie den Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage
((¬A ∨ B) ∧ ¬(B ∨ ¬C) ) ⇒ (¬A ⇒ ¬C),
wenn A eine wahre, B und C jedoch falsche Aussagen sind!
2
A. Mathematische Grundlagen
Aufgabe A1.4
Schreiben Sie folgende Aussagen in symbolischer Form!
a) Es gibt eine Zahl x für die x > 0 und x2 − 25 = 0 gilt.
b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt, dass die Summe der ersten n natürlichen Zahlen
gleich n(n + 1)/2 ist.
Aufgabe A1.5
Beweisen Sie folgende Aussagen durch vollständige Induktion!
n (n + 1) (n + 2)
3
1
1
1 1 1
b) + + + . . . + n = 1 − n ∀n ∈
2 4 8
2
2
a) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) =
N
∀n ∈
N
Lösungen zum Abschnitt A1
Lösung zu Aufgabe A1.1
keine Aussage
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
×
×
×
×
×
Aussage
wahr
×
×
falsch
×
Wahrheitswert unbekannt
×
×
×
×
×
×
×
Lösung zu Aufgabe A1.2
a) und b) gelten nicht, c) ist zutreffend.
3
A1. Mathematische Logik
Lösung zu Aufgabe A1.3
A wahr; B,C falsch ⇒ D := ¬A ∨ B ist falsch.
⇒ D∧ beliebig ist falsch
⇒ Die Aussage, also die Implikation „⇒“, ist wahr.
Lösung zu Aufgabe A1.4
R : (x > 0 ∧ x2 − 25 = 0)
n(n + 1)
∀n ∈ N : 1 + 2 + . . . + n =
2
a) ∃x ∈
b)
Lösung zu Aufgabe A1.5
a) Induktionsanfang n = 1:
1 (1 + 1) = 2 =
1 (1 + 1) (1 + 2)
gilt für n = 1
3
Induktionsvoraussetzung:
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) =
gelte für ein n ∈
N
Induktionsschluss n → n + 1:
n (n + 1) (n + 2)
3
!
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) =
Beweis:
(∗)
(n + 1) (n + 2) (n + 3)
3
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) + (n + 1)(n + 2)
=
(∗)
=
=
n (n + 1) (n + 2)
+ (n + 1)(n + 2)
3
n (n + 1) (n + 2) 3 (n + 1)(n + 2)
+
3
3
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
q.e.d.
3
b) Induktionsanfang n = 1:
1
1
= 1−
gilt für n = 1
2
2
Induktionsvoraussetzung:
1
1
1 1 1
+ + + . . . + n = 1 − n gelte für ein n ∈
2 4 8
2
2
N.
(∗)
4
A. Mathematische Grundlagen
Induktionsschluss n → n + 1:
1 1 1
1
1 !
1
+ + + . . . + n + n+1 = 1 − n+1
2 4 8
2
2
2
Beweis:
1
1
1 1
+ + . . . + n + n+1
2 4
2
2
=
(∗)
=
=
=
1
1
+
2n 2n+1
1
2
1 − n + n+1
2 2 2
1
2
1 − n+1 + n+1
2
2
1
q.e.d.
1 − n+1
2
1−
A2. Mengenlehre
Aufgabe A2.1
Man schreibe mit Hilfe der Symbolik der Mengenlehre
a) die Menge A der ersten fünf Buchstaben des griechischen Alphabets,
b) die Menge B aller reellen Zahlen zwischen +2 und –1, die Grenzen jeweils ausgeschlossen, ohne die Null,
c) die Menge C aller natürlichen Zahlen zwischen 5 und 15 einschließlich der Grenzen.
Aufgabe A2.2
Erläutern Sie die Unterschiede zwischen ∅, {0}, {∅} und 0!
Aufgabe A2.3
Gegeben sei die Menge A = {4, {6, 7}, ∅}. Welche der folgenden Aussagen sind falsch?
a) 6 ∈ A;
e) 4 ∈ A;
i) ∅ ∈ A;
b) {6, 7} ⊂ A;
f) 4 ⊂ A;
j) {∅} ∈ A;
c) {4} ∈ A;
g) ∅ ⊂ A;
k) {{6, 7}} ⊂ A.
d) {4} ⊂ A;
h) {∅} ⊂ A;
Aufgabe A2.4
Geben Sie zu der Menge A = {α , β , γ } die Potenzmenge an!
5
A2. Mengenlehre
Aufgabe A2.5
Sei Ω = {n ∈
{1, 2, 3, 5, 7}.
N:
1 ≤ n ≤ 10} und A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 2, 3, 4} sowie C =
a) Zeichnen Sie das Venn-Diagramm und tragen Sie die Elemente von Ω in die entsprechenden Teilflächen ein!
b) Geben Sie folgende Ereignisse an:
• A und B und C,
• A oder B,
• Entweder (A und B) oder (A und C), nicht beide,
• C und (A ohne B),
• A, aber weder B noch C.
Aufgabe A2.6
Wie lautet (A\B) ∪ B, wenn
a) A ∩ B = ∅, b) A ∩ B 6= ∅ und A 6= A ∩ B 6= B,
c) A ∩ B = B,
d) A ∩ B = A?
Man veranschauliche sich dies am Venn-Diagramm.
Lösungen zum Abschnitt A2
Lösung zu Aufgabe A2.1
a) A = {α , β , γ , δ , ε }
b) B = {x ∈ : −1 < x < 2, x 6= 0}
c) C = {5, 6, . . ., 15} = {n ∈ : 5 ≤ n ≤ 15}
R
N
Lösung zu Aufgabe A2.2
∅ ist die leere Menge, also die Menge, die kein Element enthält.
{0} ist die Menge mit dem (einzigen) Element 0.
{∅} ist die Menge mit dem Element ∅, das selbst wieder eine Menge ist.
0 ist keine Menge, sondern eine Zahl.
6
A. Mathematische Grundlagen
Lösung zu Aufgabe A2.3
a) falsch
e) wahr
i) wahr
b) falsch
f) falsch
j) falsch
c) falsch
g) wahr
k) wahr
d) wahr
h) wahr
Lösung zu Aufgabe A2.4
P(A) = {∅, {α }, {β }, {γ }, {α , β }, {α , γ }, {β , γ }, A}
Lösung zu Aufgabe A2.5
a)
C
9
7
5
2
6
1
3
8
4
10
A
B
b)
•
•
•
•
•
A ∩ B ∩C = {2}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
(A ∩ B)△(A ∩C) = A ∩ (B△C) = {4}
C ∩ (A\B) = ∅
A\(B ∪C) = {6, 8, 10}
Lösung zu Aufgabe A2.6
a) A ∩ B = ∅ ⇒ A\B = A
⇒ (A\B) ∪ B = A ∪ B
A
B
Ω
7
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
b) (A\B) ∪ B = A ∪ B,
gilt übrigens stets!
A
B
Ω
c) A ∩ B = B
⇒ (A\B) ∪ B = A
B
A
Ω
d) A ∩ B = A
⇒ (A\B) ∪ B = B
A
B
Ω
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Aufgabe A3.1
Transformieren Sie die folgenden Zahlen in die jeweils angegebenen Zahlensysteme:
a) 11,687510 in das Dualsystem,
b) 345110 in das Hexadezimalsystem,
c) 1010111000102 in das Hexadezimalsystem,
d) 110110011,01012 in das Dezimalsystem.
Aufgabe A3.2
Geben Sie zu den folgenden Zahlen an, zu welcher der
√Zahlenmengen
sie gehören: −2; 5; 2,7; 3/8; π ; e; 7i;
3; 5 + i.
N, Z, Q, R, C
8
A. Mathematische Grundlagen
Aufgabe A3.3
Berechnen Sie folgende Summen:
10
i=1
8
d)
∑
2i + 3(−1)i
i=4
5
b) ∑ (2i + 10),
c)
3 j(−1) j − 1
,
3j
j=1
(−i)3
,
i
i=−2 2
f)
∑ i+1 + ∑
n
a) ∑ i,
i2
i=1
4
,
e)
∑
∑
4
i2
i=1
2
i(i − 1)
,
i2
i=1
3
g) ∑ (−3) j 210− j ,
j=−2
Aufgabe A3.4
Schreiben Sie die folgenden Summen unter Verwendung des Summenzeichens:
a) 7 + 12 + 17 + 22 + 27,
b) −3 + 4/2 − 5/3 + 6/4 − . . ..
Aufgabe A3.5
Für welchen Wert j ergibt nachfolgender Ausdruck stets null?
n+1
n
4i
−
4n
2i
j
−
4
∑
∑
i=1
i=2
Aufgabe A3.6
Gegeben sei die folgende Tabelle von n2 Zahlen:
a11
a21
..
.
an1
a12
a22
..
.
an2
···
···
..
.
···
a1n
a2n
..
.
ann .
Geben Sie unter Verwendung des Summenzeichens die Summe aller Elemente an,
die
a)
b)
c)
d)
e)
f)
in der 2-ten bis (n − k)-ten Spalte stehen,
in der ℓ-ten bis n-ten Zeile stehen,
auf der Hauptdiagonalen stehen,
auf der Nebendiagonalen stehen,
im oberen Dreieck (einschließlich der Hauptdiagonalen) stehen,
außerhalb der Hauptdiagonalen stehen!
9
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Aufgabe A3.7
Wie groß ist die Summe
a) der geraden
b) der ungeraden
Zahlen k ∈ mit |101 − k| < 26?
N
Aufgabe A3.8
Berechnen Sie folgende Produkte:
5
3
a) ∏ 2,
5
b) ∏ 4,
i=1
i=0
3
3
e) ∏ (15 + 3i),
f)
i=−3
∏
j=−2
10
c) ∏ 2i,
d) ∏ (2i − 3),
i=2
2·3j
3+ j
i=5
0
n
,
2i + 2
,
i=1 6i
g) ∏
h)
i2 − 1
.
i=−2 i + 3
∏
Aufgabe A3.9
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
2
3
5
i=0 j=1
2
2
1
b) ∑ ∑ i j+1 ,
a) ∑ ∑ i( j + 2),
c)
i=3 j=−1
3
1
e) ∏ ∏ ji ,
3
f) ∑ ∏ (i + 2 j),
i=0 j=1
i=−1 j=1
3
i + jn
∑∑ 6 ,
i=1 j=1
3
m
d)
n
i+ j−1
,
i=1 j=1 m · n
∑∑
i
g) ∏ ∑ i3− j .
i=1 j=1
Aufgabe A3.10
Geben Sie die Ergebnisse der folgenden Operationen an:
a) 1 + 2 · 34 ,
2
b) 4(3 ) ,
2
c) (43 ) .
Aufgabe A3.11
Fassen Sie, sofern möglich, vereinfachend zusammen (Produkte statt Summen bzw.
Ausklammern):
a) 102 + 4 · 153 ,
d) c2 + cx ,
b) 74 + 114 + 134 ,
e) ax + 2ax+y − nax−3 .
c) ax2 + ay2 + 2axy,
10
A. Mathematische Grundlagen
Aufgabe A3.12
Berechnen Sie durch Umformen und ohne Taschenrechner:
√
2 4 3 5 −2 2
√
3a2 b
a b
b c
4
2
−5
4
−2
a) 3 · 27 · 9 ,
b)
, c) a bc +
,
:
c
a
c
x3 + 5x2 − 11x + 21
102
√ ,
,
e) ld 16 − ld 64 + ld 8,
f)
d)
x+7
52 · 23
√
3
3
g) 125−1/2 · 5 · 252 , h) (163 )2 · (184 )−2 · 12(−2 ) · 3(3 ) .
Aufgabe A3.13
√
x+8
Wie lautet die Lösung der folgenden Gleichung? √
=2
x+3
Aufgabe A3.14
Üben Sie das Arbeiten auf Ihrem Taschenrechner:
a) lg 123 =
f) ln 123 =
b) lg 1,23 =
g) ln 1,23 =
c) lg e =
h) ln e =
d) lg 1000 =
i) ln 1000 =
e) lg(3e) =
j) ln(3e) =
Aufgabe A3.15
a) Welche numerische Beziehung besteht zwischen lg x und ln x?
b) Bestimmen Sie den Logarithmus der Zahl 46 zur Basis 5,3!
c) Ist x = log50 100 größer oder kleiner als 1?
Aufgabe A3.16
Bestimmen Sie die Logarithmen der folgenden Ausdrücke:
x2
x
3
d) x(5 ) · y6 · z3 , e) x2 · y + x · y2 ,
a) x · y, b) , c) 3 ,
y
y
√
p
√
c
g) 3 x · y−1/3 , h) a · x−6 ,
i) aloga (b) .
f) x2 · 5 y3 ,
11
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Aufgabe A3.17
Wie lauten die dualen Logarithmen der folgenden Zahlen:
25; 10; 4; 2; 1; 0,125?
Aufgabe A3.18
Fassen Sie zu einem Logarithmus zusammen:
a) lg(a) + lg(b) − lg(c),
b) − lg(x) − lg(y),
d) 3 · (lg(3) − 2 · lg(x) − 0,5 · lg(y)),
√
1
.
f) lg 3 − 3 · lg 9 − 12 · lg √
3
3
c) lg(2) + 2 · lg(x) − 2 · lg(a),
1
1
e) · lg(a) − · lg(a2 − x),
2
2
Aufgabe A3.19
Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
c) ln x2 = 20;
a) lg x = 1,2345;
b) ln x − 4 = 1;
d) lg(3x − 5) = 2;
e) lg
g) lg(lg x) = 0;
h) lg(ln x) = 1;
i) ln(lg x) = 1;
j) ld x = 4;
k) x − 2 ld 4 = ld 8;
l) 3x − 5 = 8.
√
x + 1 = 1;
f) lg(x) + lg(x − 3) = 1;
Aufgabe A3.20
Bestimmen Sie Lösungen folgender Gleichungen und die Definitionsbereiche der enthaltenen Ausdrücke:
2
3
5
+
=
;
x 2−x x+2
√
c) 7 − x = x − 1;
a)
b)
x2 − 231
− 9x = 4x;
x+9
d) x4 + 2x2 − 15 = 0.
Aufgabe A3.21
Bestimmen Sie alle Nullstellen des Polynoms x4 − 10x3 + 35x2 − 50x + 24 auf analytischem Wege!
12
A. Mathematische Grundlagen
Aufgabe A3.22
Bestimmen Sie die Nullstelle x0 des Polynoms
f (x) = x4 + 27x3 + 221x2 + 683x − 2646
im Intervall [xu , xo ] = [0, 4]
a) mit der Methode der Intervallhalbierung,
b) mit der Regula-falsi-Iteration,
so dass | f (x0 )| < 0,05! (Rechnen Sie in den Zwischenschritten mit vier Nachkommastellen!)
Aufgabe A3.23
Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Ungleichungen:
Z
R;
d) x < 0, x ∈ N;
a) |x| < 4, x ∈ ;
N N
R
c) x + y ≤ 3, x ∈ , y ∈ ;
√
e) 4x > −2, x ∈ +
0;
3 − 2x
2x + 1
g) 5 +
< 3x −
, x∈
2
4
i) 2x2 − 14x + 20 < 0, x ∈ ;
R
k) x2 + 6x + 15 > 0, x ∈ R;
m) |2 − x| < 5, x ∈ Z;
o) |x − 2| ≥ 5;
b) x < 4, x ∈
Q;
R
f) 3x − 5 < −4x + 9, x ∈ ;
8 2
h) < , x ∈ \ {0};
x 3
j) 2x2 − 14x + 20 > 0, x ∈ ;
R
R
l) x2 ≥ 16, x ∈ ;
1
> 0, x ∈
n)
|x − 2| − 3
R
R \ {−1, 5};
p) 3 · 0,1x−7 ≤ 30.
Aufgabe A3.24
Stellen Sie die Wertepaare (x, y) graphisch dar, die die folgenden vier Ungleichungen
erfüllen: y + x/2 ≤ 4;
y + 3x ≤ 9;
x ≥ 0;
y ≥ 2.
Aufgabe A3.25
In einer Möbelfabrik werden in einem gegebenen Zeitraum Tische und Stühle in den
Mengen x1 und x2 hergestellt. Beide Produkte werden auf einer Sägemaschine, einer
Hobelmaschine und in der Lackiererei bearbeitet. Die verfügbaren Kapazitäten sowie
13
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
die Bearbeitungszeiten je Stuhl bzw. Tisch bei den drei Anlagen sind in der nachfolgenden Tabelle aufgeführt.
Sägemaschine
Hobelmaschine
Lackiererei
Bearbeitungszeit für
1 Stuhl
1 Tisch
2 [h]
5 [h]
5 [h]
4 [h]
2 [h]
1 [h]
verfügbare
Kapazität
1.000 [h]
1.000 [h]
320 [h]
a) Beschreiben Sie die Produktionsmöglichkeiten durch ein System von Ungleichungen, das Sie anschließend graphisch darstellen!
b) Gibt es Mengenkombinationen, bei denen alle Kapazitäten voll ausgelastet sind?
c) Wie kann man für den Fall, dass es nicht möglich ist, alle Kapazitäten voll auszulasten, eine Vollauslastung aller Kapazitäten herbeiführen?
Aufgabe A3.26
Es ist i2 := −1. Wie lauten i3 , i4 , i5 und i6 ?
Aufgabe A3.27
Seien a = 5 − 3i und b = −2 + i. Berechnen Sie a + b, a · b, a/b, a2 und a · a !
Aufgabe A3.28
Berechnen Sie jeweils den Betrag und das Argument (Hauptwert in Radiant) der folgenden komplexen Zahlen:
√
a) z = 2 − i · 2
b) z = −1 + i · 3
c) z = −2 − i
Aufgabe A3.29
Stellen Sie die komplexen Zahlen aus der vorigen Aufgabe in der G AUSSschen Zahlenebene dar!
Aufgabe A3.30
Stellen Sie folgende komplexe Zahlen in Polarkoordinaten dar!
a = 3 + 4i,
b = 6 − 6i,
c = −5i,
d = −1 + i
14
A. Mathematische Grundlagen
Aufgabe A3.31
Transformieren Sie folgende komplexe Zahlen von der Darstellung in Polarkoordinaten in die allgemeine Form!
√
b = (5; 0),
c = (0,8; −2π /3),
d = (5 2; −π /4)
a = (2; π /2),
Aufgabe A3.32
a) Bestimmen Sie den Real- und
√ Imaginärteil von
y = 2 · ei·π /2 und z = 3 · 2 · (cos(π /4) + i · sin(π /4)) !
b) Bestimmen Sie y − z, y · z, z/y und z−1 in algebraischer Form!
Aufgabe A3.33
Bestimmen Sie folgende Werte ohne Taschenrechner!
π
2
3
π
sin ,
cot
cos −
,
tan − π ,
π
3
6
4
3
Aufgabe A3.34
Sie beobachten einen Turm aus einer (ebenerdigen) Entfernung von 100 Metern und
messen einen Winkel von 30◦ vom Boden bis zur Spitze.
a) Wie lautet der Winkel im Bogenmaß?
b) Wie hoch ist der Turm?
Aufgabe A3.35
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck (a, b – Katheten, c – Hypothenuse) mit a =
6cm und c = 12cm.
a) Wie groß ist der Winkel α in Altgrad? (Hinweis: α liegt gegenüber von a.)
b) Wie groß ist der Winkel β in Altgrad? (Hinweis: β liegt gegenüber von b.)
c) Wie lang ist b?
Aufgabe A3.36
Beweisen und verallgemeinern Sie die folgenden Aussagen! Für ein Dreieck mit c =
8,
a) b = 9 und β = 76◦ gibt es genau eine Lösung,
b) b = 7 und β = 37◦ gibt es genau zwei Lösungen,
c) b = 5 und β = 57◦ gibt es keine Lösung.
15
A3. Grundlagen der Arithmetik und Algebra
Lösungen zum Abschnitt A3
Lösung zu Aufgabe A3.1
a) 11 : 2 =
5 Rest 1
5:2 =
2 Rest 1
2:2 =
1 Rest 0
1:2 =
0 Rest 1
⇒ 1110 = 10112
0,6875 = a1 · 2−1 + a2 · 2−2 + a3 · 2−3 + . . .
= a1 · 0,5 + a2 · 0,25 + a3 · 0,125 + . . .
= 1 · 0,5 +00 · 0,25 +11 · 0,125 +11 · 0,0625 + 0
⇒ 0,687510 = 0,10112
⇒ 11,687510 = 1011,10112
b) 3451 : 16
= 215 Rest 11
215 : 16
= 13
Rest 7
13 : 16
= 0
Rest 13
⇒ 345110 = D7B
c) 1010111000102 = 210 + 3210 + 6410 + 12810 + 51210 + 204810 = 278610
2786 : 16
= 174 Rest 2
174 : 16
= 10
10 : 16
= 0
Rest 14
Rest 10
⇒ 1010111000102 = 278610 = AE216
oder: 1010
| {z } | 1110
| {z } | 0010
| {z}
E
A
2
d) 110110011,01012 = 2−4 + 2−2 + 20 + 2 + 24 + 25 + 27 + 28 = 435,312510
Lösung zu Aufgabe A3.2
Z
R
N
−2 ∈ ; 5 ∈ ; 2,7 ∈
√
3 ∈ ; 5+i ∈ .
C
Q;
3/8 ∈
Q;
π∈
R;
e∈
R;
7i ∈ i
R ⊂ C;
16
A. Mathematische Grundlagen
Lösung zu Aufgabe A3.3
10
a) ∑ i = 1 + 2 + . . . + 10 =
i=1
n
n
i=1
i=1
10 · 11
= 55
2
b) ∑ (2i + 10) = 2 ∑ i + 10n = 2
n(n + 1)
+ 10n = n2 + 11n
2
5
c)
3 j(−1) j − 1 −3 − 1 6 − 1 −9 − 1 12 − 1 −15 − 1
=
+
+
+
+
=
3j
3
6
9
12
15
j=1
∑
−4 5 −10 11 −16 −240 + 150 − 200 + 165 − 192
317
+ +
+
+
=
=−
3
6
9
12
15
180
180
= −1,7611
8
d)
2i + 3(−1)i
8 + 3 10 − 3 12 + 3 14 − 3 16 + 3
=
+
+
+
+
= 1,90553
2
i
16
25
36
49
64
i=4
e)
8
1
0 1
8
27
64
1
27
(−i)3
=
+
+ − − −
−
= 32 + 2 − − 2 −
−4
i
2
1/4
1/2
1
2
4
8
16
2
8
i=−2
∑
4
∑
= 24,125
4
f)
i2
2
i(i − 1) 1 4 9 16 0 2
= + + +
+ + =
i2
2 3 4
5
1 4
i=1
∑ i+1 + ∑
i=1
30 + 80 + 135 + 192 + 30 467
=
= 7,7833
60
60
g)
3
∑ (−3) j 210− j =
j=−2
1 12 1 11
· 2 − · 2 + 210 − 3 · 29 + 9 · 28 − 27 · 27 = −1891, 55
9
3
Lösung zu Aufgabe A3.4
5
a) 7 + 12 + 17 + 22 + 27 = ∑ (5i + 2)
i=1
∞
b) −3 + 4/2 − 5/3 + 6/4 − . . . = ∑ (−1)i
i=3
∞
i
i+2
= ∑ (−1)i
i − 2 i=1
i