Ferromagnetische Hysteresis

Vorbereitung
Ferromagnetische Hysteresis
Stefan Schierle
Versuchsdatum: 06. 12. 2011
Inhaltsverzeichnis
1 Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule
1.1 Bestimmung von Verlustwiderstand und Induktivität . . . . . . . . . . . .
1.2 Berechnung von Verlustwiderstand und Induktivität . . . . . . . . . . . .
2
2
3
2 Induktivität und Verlustwiderstand mit geschlossenem Eisenkern
2.1 Bestimmung der Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Berechnung von Gesamtverlustleistung und Permeabilität . . . . . . . . .
4
4
4
3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste
3.1 Oszilloskopische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Eichung der Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bestimmung des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Permeabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8
8
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4 Vergleich: Eisen - Ferrit
9
5 Literatur
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1
1 Induktivität und Verlustwiderstand einer Spule
Bei einer Spule in einem Wechselstromkreis wird in der Theorie meistens nur der induktive Widerstand betrachtet. In der Praxis muss aber berücksichtigt werden, dass eine
Spule sich auch wie ein ohmscher Widerstand verhält, wegen Drahtwiderstand, Abstrahlung... . Deshalb muss die reelle Spule theoretisch als Reihenschaltung von Widerstand,
dem Verlustwiderstand, und Spule, der induktive Widerstand, betrachtet werden.
1.1 Bestimmung von Verlustwiderstand und Induktivität
Es soll nach Aufgabenstellung eine Reihenschaltung aus einem Widerstand (10Ω) und
einer Transformatorspule (n = 1000) ohne Kern aufgebaut werden. An diese Schaltung
wird ein 50Hz-Wechselstrom mit einer Effektivstromstärke von Ief f ≈ 0, 3A angelegt.
Schaltplan
Zur Berechnung der Spuleninduktivität (L) und des Verlustwiderstandes(RL ) müssen
cR ), an der Spule (U
cL )
wir im Experiment die Spannungsamplitude am Widerstand (U
und die Zeitdifferenz (∆t) der beiden Schwingungen am Oszilloskop ermitteln. Aus der
Zeitdifferenz lässt sich gleich die Phasenverschiebung ermitteln:
ϕ = 2πf ∆t
ϕ = ω∆t
Zur Berechnung von L:
q
2 + ω 2 L2
|Z| = RL
cL
U
Ib
q
c
2 + ω 2 L2 = UL
|Z| = RL
Ib
q
c
2 + ω 2 L2 = UL R
|Z| = RL
cR
U
|Z| =
|Z| =
2
RL
cR
U
Ib =
R
cL 2
U
2
+ω L =
2R
c
UR
2 2
2
Zudem gilt: tan ϕ =
2
RL
Im(Z)
ωL
, da Z = RL + iωL ist.
=
Re(Z)
RL
cL 2
U
2
+ω L =
2R
cR
U
2 2
RL =
ωL
tan ϕ
cL 2
tan2 ϕ
U
R2
L = 2
ω (1 + tan2 ϕ) U
cR 2
2
L=
L=
2
RL
+ ω 2 L2 =
2
RL
=
RL =
RL =
cL
tan ϕ
U
p
R
cR
ω 1 + tan2 ϕ U
cL
U
R sin ϕ
cR
ωU
cL 2
U
2
2R
c
UR
cL 2
U
1
R2
(1 + tan2 ϕ) U
cR 2
cL 2
1
U
p
R2
cR 2
1 + tan2 ϕ U
cL 2
U
2
2 R cos ϕ
cR
U
π π
tan ϕ
p
≈ sin ϕ; ϕ ∈ − ,
2 2
1 + tan2 ϕ
L=
RL
tan ϕ
ω
π π
1
p
≈ cos ϕ; ϕ ∈ − ,
2 2
1 + tan2 ϕ
Wie schon im Hinweis der Aufgabenstellung angeführt, ist es auch aus den Formeln zur
b die Größen nicht
Berechnung von L und RL ersichtlich, dass die Effektivstromstärke (I)
beeinflusst.
1.2 Berechnung von Verlustwiderstand und Induktivität
Die Induktivität und der Verlustwiderstand lassen sich auch durch die angegebenen
Werte Berechnen.
Die Induktivität einer langen Spule lässt sich mit nachfolgender Formel berechnen, jedoch
darf die Transformatorspule nicht als lang angenommen werden. Daher muss L noch mit
dem in der Hilfe angegebenen Korrekturfaktor k = 0, 55 multipliziert werden.
A
l
A
2
L = n µ0 · k
l
Llang = n2 µ0
(1)
(2)
Zur Berechnung fehlt noch der mittlere Spulenquerschnitt (Ā). Berechnet:
Ā = πr̄2 = π(3, 4cm)2
3
Mit den angegebenen Werten und Ā erhält man folgenden Wert:
L = 10002 · 4π10−7
V s π(3, 4cm)2
·
· 0, 55
Am
6, 8cm
= 36, 91mH
Damit der Widerstand des Drahtes berechnet werden kann, benötigt man den spezifischen Widerstand von Kupfer: ρ = 1, 678·10−8 Ωm1 Der Drahtwiderstand der Spule lässt
sich nun wie folgt berechnen:
RL = ρ
=ρ
l
A
2πr̄n
2
π d4
= 1, 678 · 10−8 Ωm ·
8 · 3, 4cm · 1000
(0, 7mm)2
= 9, 32Ω
2 Induktivität und Verlustwiderstand mit geschlossenem
Eisenkern
Nun wird der Versuchsaufbau der ersten Aufgabe leicht verändert. Es kommt nun die
selbe Spule nur mit geschlossenem Eisenkern zum Einsatz.
2.1 Bestimmung der Induktivität
Hier sollen analog zu 1.1 Messungen durchgeführt werden. Wieder bei den Effektivströmen
von 300mA und 30mA. Aus den Messwerten lässt sich die Induktivität nach obiger Formel ermitteln.
2.2 Berechnung von Gesamtverlustleistung und Permeabilität
Das Magnetfeld ist in diesem Fall fast ausschließlich auf das Volumen des Jochs begrenzt.
Somit darf man die Formel zur Berechnung der Induktivität einer langen Spule nach µr
umformen:
L = n 2 µ0 µr
µr =
1
A
l
lL
n2 µ
0A
http://de.wikibooks.org/wiki/Elektrotechnik Bausteine/ Schule/ Spezifischer Widerstand
4
Die Verlustleistung lässt sich nach der Formel der Vorbereitungshilfe errechnen:
Z
1 T
Re(U (t)).Re(I(t))dt
P =
T 0
Ib2 RL
=
2
2
= Ief
f RL
T =
2π
ω
3 Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste
Theoretischer Einschub
Die Magnetisierung und eines Körpers hängt stark von den Stoffeigenschaften des verwendeten Materials ab. Dabei ist zwischen den einzelnen Magnetismusarten zu unterscheiden:
• Diamagnetismus: Wird ein diamagnetischer Gegenstand in ein äußeres Magnetfeld gebracht, so werden magnetische Dipole induziert, die sich aber gegen das
außen angelegte Feld ausrichten. Daher ist die magnetische Suszeptibilität χm in
diesem Fall negativ.
• Paramagnetismus: Beim paramagnetischen Verhalten werden vorhandene Elementarmagnete, gegen deren thermisch bedingten Ausrichtungen, durch ein äußeres
Magnetfeld ausgerichtet. Wird das äußere Feld entfernt, so richten sich die Elementarmagnete wieder durch thermische Bewegung wild aus. Somit kann also kein
Dauermagnet aus paramagnetischen Stoffen bestehen. Die Suszeptibilität ist hier
größer 0 (χm > 0).
• Ferromagnetismus: Ferromagnetische Stoffe verhalten sich ähnlich wie paramagnetische, jedoch bleibt die Magnetisierung nach der Entfernung der äußeren Magnetfeldes erhalten, die sogenannte Remanenzfeldstärke. χ ist ebenfalls größer Null.
Hier kann es vorkommen, dass lokal, parallel ausgerichtete, magnetische Molekulardipole vorhanden sind. Diese Zonen werden als Weißsche Bezirke bezeichnet.
Somit kann eine Hysteresiskurve nur mit einem ferromagnetischen Gegenstand erzeugt
werden, da nur hier eine Remanenzfeldstärke vorkommt, wenn das äußere Feld H = 0
ist. Will man, dass Bm = 0, so muss ein äußeres entgegengesetztes Feld angelegt werden.
Die Feldstärke dieses Feldes wird als Koerzitivkraft bezeichnet.
Bei der Magnetisierung werden die Weißschen Bezirke so lange ausgerichtet, bis ein
Sättigungsgrad erreicht ist. Ohne vorherige Magnetisierung hat dieser Vorgang den Verlauf der sogenannten Neukurve.
Diese Eigenschaft führt dann zu einer Hysteresiskurve, wenn man B über H in einem
Diagramm aufträgt.
5
Hysteresisa
a
Aus FerromagnetischeHysteresis-Hilfe.pdf der Literatur
3.1 Oszilloskopische Darstellung
Hier soll eine Magnetisierungskurve auf dem Oszilloskop als Hystersiskurve dargestellt
werden. Dazu muss B auf der y-Achse und H auf der x-Achse aufgetragen werden. Jedoch
können diese beiden Größen nicht direkt vom Oszilloskop erfasst werden.
Zur Bestimmung der Magnetischen Feldstärke (H) sollen wir die Spannung am 10ΩWiderstand des Primärkreises messen, da dies einer Reihenschaltung entspricht, ist die
Stromstärke am Widerstand und an der Transformatorspule gleich.
I1
l
UR1
H = n1
R1 l
R1 l
UR1 = H
n1
H = n1
I1 =
UR1
R1
Für die Ermittlung von B wird die Spannung am Kondensator des RC-Integrierglieds
gemessen. Für einen hinreichend großen Widerstand (R2 ) und einen Kondensator (C2 )
im Integrierer gilt damit:
Z
1
UC2 =
I2 dt
C
Z
1
=
UR2 dt
R2 C
Z
1
=
(U2 − UC2 )dt
R2 C
6
Hier ist U2 die induzierte Spannung im Sekundärstromkreis. Sind R und C richtig di1
mensioniert (R2 RC
), gilt UC2 U2 , daher kann man (U2 − UC2 ) ≈ U2 nähern.
Außerdem gilt:
U2 (t) = n2 AḂ
Z
1
B=
U2 dt
n2 A
R2 CUC2
B=
n2 A
Bn2 A
UC2 =
R2 C
Z
U2 dt = R2 CUC2
Schaltplan
Wir sollen die Messung mit den beiden Effektivstromstärken Ief f = 30mA und 10mA
durchführen.
3.2 Eichung der Achsen
Wie bereits oben hergeleitet lassen sich die Achsen skalieren. dies geschieht nun durch
das Einsetzen der bereits bekannten Werte:
• H:
UR1
R1 l
1000
H=
· UR1
10Ω · 0, 48m
A
H = 208, 33
· UR1
Vm
H = n1
• B:
R2 CUC2
n2 A
R2 C
B=
· UC2
n2 A
B=
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Dies kann noch nicht errechnet werden, da R und C noch nicht dimensioniert
wurden.
3.3 Bestimmung des Integrals
H
Nun soll das Integral B · dH ermittelt werden. Dafür stehen laut Aufgabenstellung
verschiedene Methoden zur Verfügung.
• Ermittlung der Anzahl der Kästchen durch zählen und ausgleichen.
• Ausdrucken der Hysteresiskurve und anschließendes Ausschneiden, um so über das
Gewicht und die Dichte den Flächeninhalt zu bestimmen.
• Analytisches Auswerten der Textdatei am Computer.
H
WM
Durch B · dH wird die Ummagnetisierungsarbeit pro Volumen
angegeben.
V
Hieraus folgt für die Verlustleistung:
WM
T
WM V
=
V T
WM
=
f · AKern · lKern
V
PM =
PM
PM
V
= f AKern lKern
T
Es soll zudem noch der der Verlustwiderstand RM bestimmt werden.
RM =
PM
2
Ief
f
3.4 Permeabilität
Aus B = µ0 µr H lässt sich die relative Wechselfeld-Permeabilität herleiten. Hierfür werden die Maximalwerte von B und H verwendet und die Formel umgeformt.
B = µ 0 µr H
B
µr =
µ0 H
3.5 Vergleich
Es sollen die Ergebnisse aus Aufgabe 2 und 3 miteinander verglichen werden. Hierbei
ist zu erwarten, dass die Ummagnetisierungs-Verlustleistung (aus 3.3) und die Drahtverlustleistung (aus 1.1) zusammen die Gesamtverlustleistung (aus 2.2) sein müssten.
In der Aufgabenstellung wird jedoch schon vorgegriffen und erwähnt, dass dem nicht so
sein wird, da Wirbelströme trotz lamelliertem Eisenjoch für weitere Verluste sorgen.
8
4 Vergleich: Eisen - Ferrit
Hier soll eine Hysteresiskurve für einen Eisenkern und einen Ferrit-Schalenkern erzeugt
werden.
Es sollen speziell
• Remanenz
• Koerzitivkraft
• Ummagnetisierungs-Verlustleistung
• Sättigungsinduktion
Untersucht und verglichen werden. Die Achsen sollen hierzu wie in Aufgabe 3 geeicht
werden.
5 Literatur
• Vorbereitungshilfe
• http://de.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismus
• http://de.wikipedia.org/wiki/Paramagnetismus
• http://de.wikipedia.org/wiki/Diamagnetismus
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