Arbeitsblatt 2: Verallgemeinerte Potenzregel zu f(x) = x

Arbeitsblatt 2: Verallgemeinerte Potenzregel zu f(x) = xr
Verallgemeinerte Potenzregel:
Die Potenzregel f(x) = xn f '(x) = n⋅xn-1 gilt viel allgemeiner für jeden reellen Exponenten (z.B.
Dezimalzahlen, negative Zahlen oder auch Wurzelzahlen), nicht nur für natürliche Exponenten:
f(x) = xr f '(x) = r · xr-1
Hinweis: Warum dies so ist, wird leider erst später (in der Jgst.12) begründet!
1
1
1
1 −1 1 −
1 1
1
Beispiele:
f1(x) = x = x 2
f1'(x) = x 2 = x 2 = ⋅ 1 =
2
2
2 2 2 x
x
−3
9
f2(x) = 3 = −3 ⋅ x −3 f2'(x) = −3 ⋅ (−3) ⋅ x −3−1 = 9x −4 = 4
x
x
1
1
4
−
1
−
1
1
1
f3(x) = 5 ⋅ 5 x = 5 ⋅ x 5 f3'(x) = 5 ⋅ x 5 = x 5 = 4 =
5
5
x4
x5
Die Nutzung der verallgemeinerten Potenzregel ist allerdings nur dann möglich, wenn ein
Funktionsterm in der Form a⋅xr notiert ist.
Wiederholung: Definition von Potenzen
Wenn x ≠ 0: x1n = x-n
z. B. x17 = x-7;
Wenn x > 0:
n
1
x = xn
1
x = x2 ;
z. B.
= x-4;
1
x4
5
1
x
= x-1
1
x = x5 ;
7
1
x = x7
Beide Definitionen kombiniert:
Wenn x > 0:
1
x
n
=x
− n1
z. B.
1
x
3
−1
=x 3;
5
x
−1
= 5⋅x 2 ;
−4
x
4
= −4 ⋅ x
− 41
Wiederholung: Rechenregeln für Potenzen
Potenzsatz (xm)n = xm · n
z. B. (x3)2 = x3 · x3 = x6 = x3 · 2
Spezialfall:
m
n
xn = x m
z. B.
5
x7 =
( x ) = (x )
7
5
1
5
7
7
= x5
Beispiele zur Schreibweise in der Form xr:
4
1
1
7
7
7
−4
= 4 =x 3;
= −4 = 1 = 7 ⋅ x5
5
3
4
x −4 x 5
x4 x 3
5
x
1.
Forme um zu einem Term a · xr:
a)
f(x) = 7 · x
b) f(x) = - 9 ·
2.
Leite die Funktionen aus 1. ab.
3.
Forme um und leite ab:
a)
f(x) = x2 + 1x
d)
f(x) =
g)
f(x) =
j)
f(x) =
3
x +
4
x
1
2
−6
5
3⋅ 5 x6
+x
x2
b) f(x) =
1
x2
3
+ 7x
e) f(x) = -4 ·
4
h) f(x) = 5 +
9
3
x
k) f(x) =
2
x
x
−
x+5
3
7⋅ 3 x 7
c) f(x) =
1
3⋅x 4
d) f(x) =
c) f(x) = - x33 +
−4
x6
1
5⋅x 5
f) f(x) = -0,5 · x2 + 7 ·
i) f(x) = 19x −
l) f(x) = -π +
7
x
6
6
x
4,7
2⋅ x5
+π·x