4 Bewegungslehre
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4 Bewegungslehre kinematics 4.2 Kreisförmige Bewegung Umfangsgeschwindigkeit: v⫽d⋅π⋅n v n⋅π n⫽ v d⋅π v⫽ω⋅r r⫽ v ω d⫽ Winkelgeschwindigkeit: ω⫽ v r Zeichen Bedeutung Einheit v n d ω r Umfangsgeschwindigkeit Umdrehungsfrequenz Durchmesser Winkelgeschwindigkeit Radius m/s 1/s m 1/s m Einheitenumformung m 1 m km 1 ⫽ ⫽ 0,06 min 60 s h 4.3 1 m m km ⫽ 60 ⫽ 3,6 s min h Kurbeltrieb vm ⫽ 2 ⋅ s ⋅ n n⫽ vm 2⋅s s⫽ vm 2⋅n s⫽d Zeichen Bedeutung Einheit vm n s d Mittlere Kolbengeschwindigkeit Anzahl der Doppelhübe (Drehzahl) Hublänge Wirksamer Durchmesser des Kurbelkreises m/min 1/min m m 21 5 Mechanische Arbeit, Energie und Leistung mechanical work, power and performance 5.1 Mechanische Arbeit Arbeit: F⫽ W s W ⫽ µ ⋅ FN ⋅ s s⫽ W µ ⋅ FN W ⫽ FR ⋅ s FR ⫽ W s s⫽ W FR FN ⫽ FR µ µ⫽ FR FN FG ⫽ W h h⫽ W FG W⫽F⋅s s⫽ W F Reibungsarbeit: FN ⫽ W µ⋅s Reibungskraft: F R ⫽ FN ⋅ µ Hubarbeit: W ⫽ FG ⋅ h Zeichen Bedeutung Einheit F Kraft in Wegrichtung N FG Gewichtskraft N FN Normalkraft N FR Reibungskraft N W Arbeit J (Joule), Nm s Kraftweg m h Hubhöhe m µ Reibungskoeffizient ⫺ Einheitenumformung 1J⫽1N⋅1m⫽1W⋅1s⫽ 1 kg ⋅ m2 s2 23 5 Mechanische Arbeit, Energie und Leistung mechanical work, power and performance 5.11 Mechanische Leistung Leistung bei geradliniger Bewegung und konstanter Geschwindigkeit: P⫽ W t W⫽P⋅t t⫽ W P F⋅s t F⫽ P⋅t s s⫽ P⋅t F P⫽F⋅v F⫽ P v v⫽ P F P⫽ t⫽ F⋅s P Einheitenumformung J N⋅m 1W⫽1 ⫽1 1 kW ⫽ 1 000 W ⫽ 1,36 PS s s Leistung bei kreisförmiger Bewegung und konstanter Drehzahl: P⫽F⋅v F⫽ P v v⫽ P F P⫽F⋅π⋅d⋅n F⫽ P π⋅d⋅n d⫽ P π⋅F⋅n n⫽ P d⋅π⋅F P⫽M⋅2⋅π⋅n M⫽ P 2⋅π⋅n n⫽ P M⋅2⋅π P⫽M⋅ω M⫽ P ω ω⫽ P M P⫽ M⫽ M⋅n 9 550 P ⋅ 9 550 n Hinweis: Als Zahlenwertgleichung sind hier nur die Maßzahlen verknüpft. Die Größen sind einzusetzen: M in N ⋅ m; n in 1/min; P in kW n⫽ P ⋅ 9 550 M Winkelgeschwindigkeit: ω⫽ v r v⫽ω⋅r r⫽ v ω 31 6 Temperatur und Wärme temperature and heat 6.1 Temperatur Temperatur in Kelvin: 0 K ⫽ ⫺273 °C T ⫽ t ⫹ 273 Temperatur in Celsius: 273 K ⫽ 0 °C t ⫽ T ⫺ 273 Zeichen Bedeutung Einheit T Absolute Temperatur K t Relative Temperatur °C 6.2 Längenänderung (durch Erwärmung) Berücksichtigung der relativen Temperatur in °Celsius: ∆l ⫽ α1 ⋅ l1 ⋅ ∆t ∆t ⫽ t 2 ⫺ t 1 l1 ⫽ ∆l α1 ⋅ ∆t t 2 ⫽ ∆t ⫹ t 1 ∆t ⫽ ∆l α1 ⋅ l 1 t 1 ⫽ t 2 ⫺ ∆t Berücksichtigung der absoluten Temperatur in Kelvin: Anmerkung: Alle Formeln gelten auch für die Berechnung von Durchmesseränderungen durch Erwärmung von Rundteilen. Anstelle von l wird der Durchmesser d in die Formeln eingesetzt. ∆l ⫽ αl ⋅ l1 ⋅ ∆T ∆T ⫽ T 2 ⫺ T 1 l1 ⫽ ∆l αl ⋅ ∆T T 2 ⫽ ∆T ⫹ T 1 ∆T ⫽ ∆l αl ⋅ l1 T 1 ⫽ T 2 ⫺ ∆T Gesamtlänge: l ⫽ l1 ⫹ ∆l l1 ⫽ l ⫺ ∆l ∆l ⫽ l ⫺ l1 Zeichen Bedeutung Einheit αl Längenausdehnungskoeffizient 1/K; 1/°C l1 Ursprüngliche Länge mm ∆l Längenänderung mm l Gesamtlänge mm T1 Temperatur (in Kelvin) vor der Temperaturveränderung K T2 Temperatur (in Kelvin) nach der Temperaturveränderung K t1 Temperatur (in °Celsius) vor der Temperaturveränderung °C t2 Temperatur (in °Celsius) nach der Temperaturveränderung °C ∆t Temperaturdifferenz (in °Celsius) °C ∆T Temperaturdifferenz (in Kelvin) K 33 8 Mechanische Antriebe mechanical drives 8.1 Riementrieb Einfache Übersetzung Umfangsgeschwindigkeit/Riemengeschwindigkeit: v1 ⫽ v2 ⫽ v v1 ⫽ d1 ⋅ π ⋅ n1 v2 ⫽ d2 ⋅ π ⋅ n2 Grundformel: n1 d2 ⫽ n2 d1 d1 ⋅ n1 ⫽ d2 ⋅ n2 n1 ⫽ d2 ⋅ n2 d1 n2 ⫽ d1 ⋅ n1 d2 d1 ⫽ d2 ⋅ n2 n1 d2 ⫽ d1 ⋅ n1 n2 Mehrfache Übersetzung Übersetzungsverhältnis: i⫽ n1 n2 n1 ⫽ i ⋅ n2 i⫽ d2 d1 d1 ⫽ d2 i n2 ⫽ n1 i d2 ⫽ i ⋅ d1 Gesamtübersetzungsverhältnis bei mehrfacher Übersetzung: i⫽ i= n1 n4 n1 · n3 · n5 … n2 · n4 · n6 … i⫽ i= nE nA d2 · d4 · d6 … d1 · d3 · d5 … i = i1 · i2 · i3 … Keilriemen Übersetzungsverhältnis: i⫽ i⫽ n1 n2 d w2 d w1 n1 ⫽ i ⋅ n2 d w1 ⫽ d w2 i n2 ⫽ n1 i d w2 ⫽ i ⋅ d w1 Wirksamer Scheibendurchmesser: dw ⫽ da ⫺ 2 ⋅ c 40 da ⫽ dw ⫹ 2 ⋅ c c⫽ d a ⫺ dw 2 8 Mechanische Antriebe mechanical drives 8.5 Zahnradgrößen bei Geradverzahnung Grundformel: d⋅π⫽p⋅z d⫽ p⋅z π z⫽ d⋅π p p⫽ d⋅π z Teilkreisdurchmesser, Teilung, Modul, Zähnezahl: m⫽ z⫽ p π d m p⫽m⋅π d⫽m⋅z m⫽ d z d ⫽ da ⫺ 2 ⋅ m m⫽ da ⫺ d 2 da (z ⫹ 2) z⫽ da ⫺2 m m⫽ (d ⫺ d f) ⫺c 2 Kopfkreisdurchmesser: da ⫽ d ⫹ 2 ⋅ m d a ⫽ m (z ⫹ 2) m⫽ Fußkreisdurchmesser: d f ⫽ d ⫺ 2 (m ⫹ c) d ⫽ d f ⫹ 2 (m ⫹ c) c ⫽ 0,1 ⋅ m … 0,3 ⋅ m Zahnkopfhöhe: ha ⫽ m Zahnfußhöhe: hf ⫽ m ⫹ c m ⫽ hf ⫺ c c ⫽ hf ⫺ m hf ⫽ h ⫺ ha ha ⫽ h ⫺ hf d1 ⫽ 2 ⋅ a ⫺ d2 d2 ⫽ 2 ⋅ a ⫺ d1 Zahnhöhe: h ⫽ hf ⫹ ha h⫽2⋅m⫹c Achsabstand: a⫽ a⫽ 44 d1 ⫹ d2 2 m ⋅ (z 1 ⫹ z 2) 2 z1 ⫽ 2⋅a ⫺ z2 m z2 ⫽ 2⋅a ⫺ z1 m 9 Festigkeitsberechnung calculation of stability 9.4 Abscherung und Schneidkraft F ⫽ τaBmax ⋅ S τaBmax ⫽ F S S⫽ F τaBmax Bei Stahl: τaBmax 艐 0,8 ⋅ Rmmax Scherfläche bei kreisrundem Ausschnitt: S S S⫽d⋅π⋅s d⫽ s⫽ π⋅s d⋅π Zeichen Bedeutung Einheit τaBmax Maximale Scherspannung N/mm2 Rmmax Maximale Zugfestigkeit N/mm2 F Schneidkraft N S Scherfläche (gescherte Fläche) mm2 s Blechdicke mm d Durchmesser des Ausschnittes mm 9.5 Flächenpressung p⫽ 54 F A F⫽p⋅A A⫽ Zeichen Bedeutung Einheit p Flächenpressung N/mm2 F Druckkraft N A Berührungsfläche/projizierte Fläche mm2 F p 11 Gleichstromkreis direct current circuit Gruppenschaltung von Widerständen, Gemischte Schaltungen R⫽ R 12 ⋅ R 3 R 12 ⫹ R 3 U R U⫽I⋅R I⫽ R ⫽ R 12 ⫹ R 3 U R U⫽I⋅R I⫽ R 12 ⫽ R 1 ⫹ R 2 U R 12 U 2 ⫽ I12 ⋅ R 2 I ⫽ I12 ⫹ I3 I12 ⫽ U 1 ⫽ I12 ⋅ R 1 R 12 ⫽ U R3 U ⫽ I3 ⋅ R 3 I3 ⫽ R1 ⋅ R2 R1 ⫹ R2 I ⫽ I 1 ⫹ I2 ⫽ I3 U 12 ⫽ I ⋅ R 12 U 12 R1 U 3 ⫽ I3 ⋅ R 3 I1 ⫽ I2 ⫽ U 12 R2 Zeichen Bedeutung Einheit U Elektrische Spannung V U 12 Gruppenspannung V I Elektrische Stromstärke A I1 … I 3 Teilströme A R Elektrischer Gesamt-, Ersatzwiderstand Ω R 12 Gruppenwiderstand Ω R1 … R3 Teilwiderstände Ω I12 Strom durch Widerstände R1 und R2 A I3 ⫽ U3 R3 61 12 Wechselstromkreis alternating current circuit Reihenschaltung von Wirkwiderstand und Kapazität Z 2 ⫽ R 2 ⫹ X 2c Z ⫽ 冪R 2 ⫹ X 2c U I X c ⫽ 冪Z 2 ⫺ R 2 I⫽ U Z U⫽I⋅Z R Z Z⫽ R cos ϕ R ⫽ Z ⋅ cos ϕ sin ϕ ⫽ Xc Z Z⫽ Xc sin ϕ X c ⫽ Z ⋅ sin ϕ tan ϕ ⫽ Xc R R⫽ Xc tan ϕ X c ⫽ R ⋅ tan ϕ U w ⫽ 冪U 2 ⫺ U 2c U c ⫽ 冪U 2 ⫺ Uw2 Z⫽ cos ϕ ⫽ Widerstandsdreieck U 2 ⫽ U 2w ⫹ U 2c R ⫽ 冪Z 2 ⫺ X 2c U ⫽ 冪Uw2 ⫹ U 2c U⫽I⋅Z Spannungsdreieck cos ϕ ⫽ Uw U U⫽ Uw cos ϕ U w ⫽ U ⋅ cos ϕ sin ϕ ⫽ Uc U U⫽ Uc sin ϕ U c ⫽ U ⋅ sin ϕ tan ϕ ⫽ Uc Uw Uw ⫽ Uc tan ϕ U c ⫽ U w ⋅ tan ϕ Zeichen Bedeutung Einheit U Uw Uc I Z R Xc cos ϕ sin ϕ tan ϕ Elektrische Spannung Wirkspannung Kapazitive Blindspannung Scheinstrom, Gesamtstrom Scheinwiderstand Wirkwiderstand, ohmscher Widerstand Kapazitiver Blindwiderstand Wirkleistungsfaktor Blindleistungsfaktor Verlustfaktor V V V A Ω Ω Ω ⫺ ⫺ ⫺ 73 15 Elektronik electronics 15.4 Operationsverstärker ⴚ Grundschaltungen Invertierender Verstärker Ie 艐 0 UD 艐 0 UE ⫽ UR1 VU ⫽ UA UR0 R0 ⫽ ⫽ UE UR1 R1 R0 ⋅ UE R1 UA ⫽ ⫺ Nicht invertierender Verstärker UA ⫽ UR0 Ie 艐 0 UD 艐 0 UE ⫽ UR1 VU ⫽ UA ⫽ UR0 ⫹ UR1 UA UR0 ⫹ UR1 UR0 ⫽ ⫽ ⫹1 UE UR1 UR1 UR0 R0 ⫽ UR1 R1 UA ⫽ VU ⫽ 冢R R0 冣 ⫹ 1 UE 1 Summierverstärker (Addierer) R0 ⫹1 R1 I1 ⫽ UE1 R1 I0 ⫽ I2 ⫽ UE2 R2 Ie 艐 0 I3 ⫽ UE3 R3 UD 艐 0 I0 ⫽ I1 ⫹ I2 ⫹ I3 ⫺ UA UE1 UE2 UE3 ⫽ ⫹ ⫹ R0 R1 R2 R3 UA ⫽ ⫺R0 92 冢R UE1 1 ⫹ 冣 UE2 UE3 ⫹ R2 R3 UA R0
