Physik I Klausur 200809

Klausur Physik I
Studiengang Biomedizinische Technik
Wintersemester 2008/2009
11.3.2009
Konstanten: Erdbeschleunigung g = 9, 81 m/s2 , Gravitationskonstante G = 6, 6142·10-11 N ⋅ m2 /kg2
Teil I: nur zu bearbeiten, wenn keine Mid-Term-Klausur gewertet werden soll!
(
1. (7 Punkte) Das Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers wird durch die Funktion s(t ) = vs t - tqe
vs = 5 m/s und tq = 2 s beschrieben.
-t /tq
) , mit
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t ) und die Beschleunigung a(t ) als Funktionen der Zeit
b) Durch welche Funktion lässt sich v(t ) für sehr kleine Zeiten ( t  tq ) annähern?
c) Skizzieren Sie s(t ) und v(t ) für 0 £ t £ 10 s ! Zeichnen Sie auch die Ergebnisse aus b) ein!
d) Wie lange dauert es, bis sich v(t ) um nur noch 2% von vs unterscheidet?
2. (3 Punkte) Ein CD-Player benötigt eine Sekunde, um eine CD von einer Umdrehungsgeschwindigkeit
von 600 min-1 gleichmäßig auf eine Umdrehungsgeschwindigkeit von 240 min-1 abzubremsen.
a) Wieviele Umdrehungen hat die CD bis dahin zurückgelegt?
b) Welche Fliehkraft wirkt dann auf die Umdrehungsachse, wenn auf der CD im Abstand von 4,5 cm
von der Achse ein Aufkleber mit einem Gewicht von 0,1 g aufgeklebt ist?
3. (2 Punkte) Wie könnte man mit Hilfe einer schiefen Ebene einen der Reibungskoeffizienten eines
Materials bestimmen? Geben Sie die betreffende Formel an!
4. (2 Punkte) Die Federn eines Autos (Masse m = 1200 kg) werden um 5 cm komprimiert, wenn die
Karosserie von einer Hebebühne auf die Räder abgelassen wird. Bestimmen Sie die Federkonstante!
5. (2 Punkte) Unter welchem Winkel (relativ zur Horizontalen) muß man einen Gegenstand werfen,
damit er möglichst lange in der Luft bleibt? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
Teil II: von allen zu bearbeiten!
6. (4 Punkte) Bei einem Looping fährt ein Skater (aus dem Stand) zuerst eine schiefe Ebene der Höhe h
herunter und dann durch eine senkrecht stehende Kreisbahn mit einem Durchmesser d = 5 m. Aus
welcher Mindesthöhe hmin muss er starten, um am höchsten Punkt der Kreisbahn – dort steht er auf
dem Kopf – nicht herunter zu fallen? (Reibung und Trägheitsmoment der Räder sind zu
vernachlässigen!)
7. (2 Punkte) Der Kraftstoffverbrauch eines Motorfahrzeugs ist wegen des Luftwiderstands bei höheren
Geschwindigkeiten größer. Überprüfen Sie folgende Behauptung: Wenn man schneller fährt, legt man
aber die gleiche Strecke in kürzerer Zeit zurück, dadurch verbraucht man doch nicht mehr Kraftstoff
als wenn man langsamer fährt. Stimmt diese Behauptung? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
8. (8 Punkte) Bei einem Fahrradergometer wirkt auf den äußeren Umfang eines scheibenförmigen Rades
mit Durchmesser d = 40 cm und Masse m = 50 kg eine Reibungskraft FR = 100 N .
a) Welches Drehmoment und welche Leistung sind muss ein Proband aufbringen, um eine Drehzahl
von 120 U/min konstant zu halten?
b) Welche Arbeit hat er geleistet, wenn er diese Drehzahl in 10 s erreicht hat? Sie dürfen hier ohne
weitere Begründung annehmen, daß die mittlere Drehzahl während dieses Vorgangs 60 U/min ist.
9. (2 Punkte) In einer Formelsammlung ist durch einen Druckfehler der Ausdruck
-G
m1m2
r12
einmal als Gravitationskraft und einmal als potentielle Energie zweier Massen m1 und m2 im Abstand
r12 bezeichnet. Was davon ist richtig? Begründen Sie Ihre Antwort!
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(
1. (7 Punkte) Das Weg-Zeit-Gesetz eines Körpers wird durch die Funktion s(t ) = vs t - tqe
vs = 5 m/s und tq = 2 s beschrieben.
-t /tq
) , mit
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v(t ) und die Beschleunigung a(t ) als Funktionen der Zeit
Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion berechnet sich als Ableitung der Weg-Zeit-Funktion, also
(
)
d
-t /t
v t - tqe q
dt s
æd
d -t /t ö
= vs çç t - tq e q ÷÷
çè dt
dt
ø÷
é
æ 1 -t /t öù
÷
= vs êê 1 - tq ççç - e q ÷÷ úú
çè tq
ø÷÷ ûú
ëê
-t /t
= vs 1 + e q
v(t ) =
(
)
Für die Ableitung der Exponentialfunktion gilt die Kettenregel.
Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion berechnet sich als Ableitung der Geschwindigkeits-ZeitFunktion, also
(
)
d
-t /t
vs 1 + e q
dt
æd
d -t /t ö
= vs çç 1 + e q ÷÷÷
èç dt
ø
dt
é
æ 1 -t /t ÷öù
= vs êê 0 + ççç - e q ÷÷ úú
÷÷ø
çè tq
êë
úû
vs -t /tq
=- e
tq
a(t ) =
b) Durch welche Funktion lässt sich v(t ) für sehr kleine Zeiten ( t  tq ) annähern?
Es ist eine Betrachtung in Form einer Taylor-Entwicklung um die Stelle t = 0 notwendig
(Formelsammlung Nr.50):
v(t ) = v(0) +
dv
dt
⋅t +
t =0
1 d2v
2 dt 2
⋅ t2 + 
t =0
Die erste Ableitungsfunktion ist schon bekannt, damit ist
1 da
(0) ⋅ t 2 + 
2 dt
v
v
» 2 ⋅ vs - s ⋅ t + s ⋅ t 2
tq
2tq2
æ
t ö÷
t2
v(t ) » vs ççç 2 - ÷÷ - vs
tq ÷ø÷
2tq2
èç
v(t ) = v(0) + a(0) ⋅ t +
In erster Näherung ist v(t ) eine Gerade, für kleine Zeiten nähert sich die Bewegung also einer
gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Beschleunigung a(0) an.
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c) Skizzieren Sie s(t ) und v(t ) für 0 £ t £ 10 s ! Zeichnen Sie auch die Ergebnisse aus b) ein!
50
40
s
sa
s (m)
30
20
10
0
-10
0
5
10
t (s)
10
9
8
7
v (m/s)
6
5
4
v
va
3
2
1
0
0
5
10
t (s)
An Achsen müssen unbedingt Einheiten stehen! Nicht verschiedene Größen in ein Diagramm
einzeichnen! (oder deutlich unterschiedene y-Achsen verwenden).
d) Wie lange dauert es, bis sich v(t ) um nur noch 2% von vs unterscheidet?
(
Es ist v(t ) = vs 1 + e
-t /tq
) eine Funktion, die sich mit zunehmender Zeit an v annähert.
s
Gesucht ist ein t1 für das gilt
v(t1 ) - vs £ 0, 02 ⋅ vs
Es wird hier nicht von Anfang an vorausgesetzt, von wo sich v(t ) an vs annähert, deshalb
zunächst Betragsstriche! Erst ganz zum Schluss Zahlen einsetzen!
(
vs 1 + e
-t1 /tq
)-v
s
e
-t1 /tq
e
-t1 /tq
-
t1
tq
t1
= 0, 02 ⋅ vs
= 0, 02
= 0, 02
= ln 0, 02
= ln 50
tq
t1 = tq ⋅ ln 50 = 7,82 s
Man beachte die Rechenregeln für Logarithmen!
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2. (3 Punkte) Ein CD-Player benötigt eine Sekunde, um eine CD von einer Umdrehungsgeschwindigkeit
von 600 min-1 gleichmäßig auf eine Umdrehungsgeschwindigkeit von 240 min-1 zu abzubremsen.
a) Wieviele Umdrehungen hat führt die CD in dieser Zeit aus?
Es handelt sich um eine gleichmäßig beschleunigte Drehbewegung (nicht in FS).
w(t ) = a ⋅ t + w0
j(t ) =
1
a ⋅ t 2 + w0 ⋅ t + j0
2
Die Anfangswinkelgeschwindigkeit beträgt
w 0 = 2p ⋅
600 1 min
1
⋅
= 20p
min 60 s
s
Die Endwinkelgeschwindigkeit beträgt
w(t1 ) = 2p ⋅
240 1 min
1
⋅
= 8p
min 60 s
s
Die Winkelbeschleunigung beträgt
a=
w(t1 ) - w0
t1 - 0
= -12p
1
s2
Der zurückgelegte Winkel beträgt (mit j0 = 0 )
j(t1 ) = -6p
1
1
⋅ 1 s2 + 20p ⋅ 1 s = 14p = 7 Umdrehungen
s
s
2
b) Welche Fliehkraft wirkt auf die Umdrehungsachse, wenn auf der CD im Abstand von 4,5 cm von
der Achse ein Aufkleber mit einem Gewicht von 0,1 g aufgeklebt ist?
Die Fliehkraft beträgt (FS 100)
2
-4
Fz = m ⋅ r ⋅ w = 1 ⋅ 10
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-2
kg ⋅ 4, 5 ⋅ 10
æ 1 ö÷2
m ⋅ çç 8p ÷÷ = 2, 842 ⋅ 10-3 N
çè s ø
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3. (2 Punkte) Wie könnte man mit Hilfe einer schiefen Ebene einen der Reibungskoeffizienten eines
Materials bestimmen?
Hangabtriebskraft (FS 91): FH = FG sin a = m ⋅ g ⋅ sin a
Reibungskraft (FS91,102): FR = -mRFG cos a = -mRFN = -mR ⋅ m ⋅ g ⋅ cos a
Haftreibung: Winkel der schiefen Ebene erhöhen, bis ein Objekt aus dem Material ins Rutschen
kommt FH + FR = 0 :
Gleitwinkel
tan a = mR
Gleitreibung: Beschleunigung bei genügend großem Winkel messen
m ⋅ a = FH + FR
m ⋅ a = m ⋅ g ( sin a - μR cos a )
a = g ⋅ sin a - mR ⋅ g ⋅ cos a
a
μR = tan a g ⋅ cos a
4. (2 Punkte) Die Federung eines Autos sei so ausgelegt, dass die Stoßdämpfer um 5 cm komprimiert
werden, wenn die Karosserie (Masse m = 1200 kg) von einer Hebebühne auf die Räder abgelassen
wird. Bestimmen Sie die Federkonstante!
Die Federkonstante, eine Eigenschaft der Federn, berechnet sich aus dem Hooke’schen Gesetz
(FS95).
F = -D ⋅ x
F
x
m ⋅g
=
x
1200 kg ⋅ 9, 81 m
N
=
= 235440
2
m
0, 05 m ⋅ s
D =
5. (2 Punkte) Unter welchem Winkel (relativ zur Horizontalen) muß man einen Gegenstand werfen,
damit er möglichst lange in der Luft bleibt? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch!
(Einzelne Komponenten siehe FS 80)
Die Bewegungsgleichung lautet (mögliche Variante: Zeit bis v = 0 bestimmen)
1
y(t ) = v0 ⋅ sin a ⋅ t - g ⋅ t 2
2
Der Gegenstand berührt den Boden, wenn y(tmax ) = 0, tmax ¹ 0 ist, damit also
1
2
g ⋅ tmax
2
1
v0 ⋅ sin a ⋅ = g ⋅ tmax
2
2v 0
⋅ sin a = tmax
g
v 0 ⋅ sin a ⋅ tmax =
Das ist maximal, wenn sin a = 1 ist, also für den Wurf senkrecht nach oben.
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6. (4 Punkte) Bei einem Looping fährt ein Skater (aus dem Stand) zuerst eine schiefe Ebene der Höhe h
herunter und dann durch eine senkrecht stehende Kreisbahn mit einem Durchmesser d = 5 m. Aus
welcher Mindesthöhe hmin muss er starten, um am höchsten Punkt der Kreisbahn – dort steht er auf
dem Kopf – nicht herunter zu fallen? (Reibung und Trägheitsmoment der Räder sind zu
vernachlässigen!)
Am höchsten Punkt der Kreisbahn wirkt die Zentrifugalkraft (FS 100, FS 83) nach oben und die
Gewichtskraft nach unten, die resultierende Kraft darf nicht nach unten wirken, um nicht herunter zu
fallen. In Formeln (positive Richtung nach oben):
Fz + Fg ³ 0
Fz ³ -Fg
m ⋅ r ⋅ w2 ³ m ⋅ g
mit
w=
voben
r
2
voben
³m⋅g
r
2
m ⋅ voben
³ m ⋅g ⋅r
m⋅
Diese Bedingung ähnelt schon sehr dem Ausdruck für die kinetische Energie, für diese gilt (FS 128)
1
1
2
Ekin,oben = m ⋅ voben
³ m ⋅g ⋅r
2
2
Die kinetische Energie am oberen Punkt des Loopings muss also den berechneten Mindestwert haben.
Am Startpunkt ist die Geschwindigkeit – und damit die kinetische Energie – Null, demnach muss die
potentielle Energie am Startpunkt um den angegebenen Betrag höher sein – zu erreichen durch einen
höher gelegenen Startpunkt. Da keine Reibung wirken soll gilt ansonsten Energieerhaltung.
Ekin,start + E pot ,start = Ekin,oben + E pot ,oben
0 + E pot ,start = Ekin,oben + E pot ,oben
E pot ,start - E pot ,oben = Ekin,oben
1
m ⋅g ⋅r
2
1
- hoben ) ³ r
2
m ⋅ g ⋅ ( hstart - hoben ) ³
( hstart
Der Startpunkt muss also um den halben Radius des Loopings höher liegen als der höchste Punkt des
Loopings. Auf den Boden bezogen ergibt sich
hoben = 2 ⋅ r
hstart ³ 2, 5 ⋅ r = 6, 25 m
Es sind hier auch etwas andere Rechenwege, ausgehend von der Bedingung für die Mindestgeschwindigkeit am höchsten Punkt möglich:
 Berechnung des Zahlenwertes dieser Geschwindigkeit (4,95 m/s), dann Berechnung der nötigen
Höhe über dem höchsten Punkt
 Berechnung der Mindestgeschwindigkeit am tiefsten Punkt (potentielle Energie dort um 2mgr
geringer, demnach entsprechend höhere Geschwindigkeit nötig), dann Anlaufhöhe dafür.
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7. Der Kraftstoffverbrauch eines Motorfahrzeugs ist wegen des Luftwiderstands bei höheren
Geschwindigkeiten größer. Überprüfen Sie folgende Behauptung: Wenn man schneller fährt, legt man
die gleiche Strecke in kürzerer Zeit zurück, dadurch lässt sich erreichen, dass man doch nicht mehr
Kraftstoff verbraucht als wenn man langsamer fährt. Stimmt diese Behauptung? Begründen Sie Ihre
Entscheidung, indem Sie eine Formel für die benötigte Energie angeben.
Lösung:
Um bei einer Fahrt unter Einfluss einer der Geschwindigkeit v entgegengesetzten Reibungskraft –Fr
mit konstanter Geschwindigkeit zu fahren, muss während der ganzen Fahrtstrecke s eine
entgegengesetzt gleiche Antriebskraft Fr aufgebracht werden. Die Energie, also der verbrauchte
Kraftstoff, wird dazu benötigt, um die entsprechende Arbeit W (Kraft  Weg)
W = s ⋅ FR
zu leisten. Bei gleich langer Strecke s bedeutet eine höhere Reibungskraft also auch einen höheren
Energieverbrauch. Der hier genannte Luftwiderstand ergibt
1
W = s ⋅ cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 2
2
Bei einer Reibungskraft, die mit der Geschwindigkeit ansteigt, ergibt sich also auf jeden Fall mehr
Benzinverbrauch bei höherer Geschwindigkeit.
Bemerkung:
Eine eventuell am Anfang der Strecke aufgewendete Beschleunigungsarbeit, die die während der
Bewegung vorhandene kinetische Energie erbringt, kann zum Schluss (durch „Gas wegnehmen“ statt
Bremsen) wieder zurückgewonnen werden. Die Tatsache, dass die kinetische Energie quadratisch mit
der Geschwindigkeit zunimmt, ist daher kein Argument für die Beantwortung der gestellten Frage,
zumal nur bei Betrachtung der kinetischen Energie die Länge der zurückgelegten Strecke nicht
berücksichtigt wird: Eine Fahrt von Saarbrücken nach Paris mit 100 km/h benötigt eben doch mehr
Benzin als eine Fahrt von Saarbrücken nach Homburg mit 200 km/h.
Es gibt keine Punkte für die Feststellung, dass durch den Luftwiderstand bei höherer Geschwindigkeit
der Verbrauch steigt, denn das steht schon in der Aufgabe!
Es gibt keine Punkte für die Feststellung, dass man mit höherer Geschwindigkeit schneller am Ziel ist,
denn das ist selbstverständlich!
Alternative Lösung:
Wahlweise lässt sich die während der Fahrt benötigte Leistung
1
P = F ⋅ v = cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 3
2
betrachten, die Fahrzeit beträgt
t =
s
v
und es ist ebenfalls die geleistete Arbeit
1
W = P ⋅ t = s ⋅ cw ⋅ r ⋅ A ⋅ v 2
2
Oder natürlich auch:
Der Benzinverbrauch wird gemeinhin in liter/100 km angegeben, also auf die Strecke und nicht auf
die Zeit bezogen. Die verbrauchte Kraftstoffmenge ist damit (bei gleicher Strecke) höher, wenn der
Verbrauch höher ist.
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8. (8 Punkte) Bei einem Fahrradergometer wirkt auf den äußeren Umfang eines scheibenförmigen Rades
mit Durchmesser d = 40 cm und Masse m = 50 kg eine Reibungskraft FR = 100 N .
a) Welches Drehmoment und welche Leistung sind muss ein Proband aufbringen, um eine Drehzahl
von 120 U/min konstant zu halten?
Eine Drehbewegung mit konstanter Drehzahl ist eine Drehbewegung mit konstantem Drehimpuls,
wenn das Trägheitsmoment des rotierenden Objekts sich nicht ändert (was hier der Fall ist).
Der Drehimpuls bleibt konstant, wenn die Summe aller Drehmomente Null ist; hier muss also das
durch den Probanden erzeugte Drehmoment entgegengesetzt gleich dem durch die Reibungskraft
erzeugten Drehmoment sein.
Alle Drehimpulse und Drehmomente beziehen sich auf die Achse des Rades.
Die Reibungskraft wirkt bekanntlich entgegen der Bewegungsrichtung, also hier entgegengesetzt
zur Umfangsgeschwindigkeit, d.h. parallel zum Umfang und senkrecht zum Radius. Das

Drehmoment einer Kraft F die im Abstand r zum Ursprung angreift, ist definiert als
(Formelsammlung Nr. 108)

 
M = r ´F ;
da hier Radius und Kraft senkrecht aufeinander stehen, ist das durch die Reibungskraft FR
erzeugte Drehmoment
M R = r ⋅ FR =
d
⋅ F = 20 Nm
2 R
Es ist unerheblich, ob Achse und Kraft senkrecht aufeinander stehen.
Die benötigte Leistung lässt sich entweder aus Reibungskraft und Umfangsgeschwindigkeit oder
aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit errechnen (vgl. Formelsammlung Seite 21):
P = FR ⋅ v = FR ⋅ ( r ⋅ w ) = FR ⋅
d
⋅w =M ⋅w
2
mit der Winkelgeschwindigkeit
w = 2p ⋅
120
120
= 2p ⋅
= 4p s -1
min
60 s
ergibt das
P = 80 ⋅ p
Nm
= 251 W
s
b) Welche Arbeit hat er geleistet, wenn er diese Drehzahl bei gleichmäßiger Beschleunigung in 10 s
erreicht hat?
Die geleistete Arbeit ist einerseits die Reibungsarbeit. Nimmt man im Mittel die halbe Drehzahl
an, so muss im Mittel auch nur die Hälfte der in a) errechneten Leistung gegen die Reibung
aufgebracht werden, also (FS 129)
WR = P ⋅ t = 251 W⋅ 5 s = 755 J
Der andere Teil ist die Beschleunigungsarbeit, diese entspricht der erreichten kinetischen Energie.
Die Rotationsenergie des Rades beträgt am Ende der Beschleunigungsphase ( w = wmax )
1
Ekin = J ⋅ w 2
2
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Nach Aufgabenstellung handelt es sich um ein scheibenförmiges Rad, das Trägheitsmoment ist
(vgl. Formelsammlung Seite 17)
J =
æ d ö2
1
1
1
m ⋅ r 2 = m ⋅ çç ÷÷÷ = m ⋅ d 2 = 1 kgm2
ç
è2ø
2
2
8
mit der Winkelgeschwindigkeit
wmax = 2p ⋅
120
120
= 2p ⋅
= 4p s -1
min
60 s
ergibt sich
1
2
m ⋅ d 2 ⋅ wmax
16
2
2
1
=
⋅ 50 kg ⋅ ( 0,4 m ) ⋅ ( 4p s -1 )
16
50 ⋅ 0,16 ⋅ 16p 2 kg m2
=
16
s2
= 78,95 J
Ekin =
zusammen also 834 J.
9. (2 Punkte) In einer Formelsammlung ist durch einen Druckfehler der Ausdruck
-G
m1m2
r12
einmal als Gravitationskraft und einmal als potentielle Energie zweier Massen m1 und m2 im Abstand
r12 bezeichnet. Was davon ist richtig? Begründen Sie Ihre Antwort!
Die Aufgaben ist, festzustellen welche Dimension der gegebene Ausdruck hat. Dies ist am
einfachsten dadurch möglich, dass die Einheit berechnet wird. Im Kopf der Klausur ist der Wert für
die Gravitationskonstante G = 6, 6142·10-11 N ⋅ m2 /kg2 gegeben, die Einheit von m1 und m2 ist kg,
die Einheit von r12 ist m. Damit folgt
2
2
é
mm ù
ê -G 1 2 ú = N⋅ m ⋅ kg = N⋅ m = J
ê
r12 úû
m
kg2
ë
das ist die Einheit der Energie (vgl. Kraft · Weg).
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