Physik I Klausur 200708

Klausur Physik I
Studiengang Biomedizinische Technik
Wintersemester 2007/2008
3
Konstanten (auf Meereshöhe): Dichte der Luft ρ0 = 1,293 kg/m ,
Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2
14.3.2008
Luftdruck p0 = 1013 mbar,
1. (9 Punkte) Die Geschwindigkeit einer fallenden Kugel in einer Flüssigkeit werde beschrieben durch
die Funktion v(t ) = vs ( 1 - e -t / tq ) , mit vs = 2 m/s und tq = 3 s . Zur Zeit t = 0 befinde sich die
Kugel in der Tiefe s = 0 .
ds
a) Bestimmen sie die Weg-Zeit-Funktion s(t ) , wenn v(t ) =
ist, und die Beschleunigungs-Zeitdt
dv
Funktion a(t ) =
.
dt
b) Durch welche Funktionen lässt sich s(t ) annähern für
▪ t  tq ?
▪ t  tq ?
c) Skizzieren Sie s(t ), v(t ) und a(t ) für 0 £ t £ 20 s ! Zeichnen Sie auch die Ergebnisse aus b) ein!
d) Wie lange dauert es, bis sich v(t ) um nur noch 1% von vs unterscheidet?
2. (5 Punkte) Wie hoch fliegt eine Rakete, die mit einer Geschwindigkeit von 5000 m/s senkrecht von
der Erdoberfläche abgeschossen wird? Rechnen Sie
a) mit konstanter Erdbeschleunigung g und
b) mit dem ausführlichen Gravitationspotential. (Gravitationskonstante G = 6,67·10-11 Nm2kg-2, Erdradius rE = 6387 km, Erdmasse mE = 6·1024 kg) Hinweis: g = G · mE/ rE2, Erdoberfläche: r = rE!
3. (4 Punkte) Ein PKW mit Masse m = 1950 kg, Luftwiderstandsbeiwert cW = 0,32, Stirnfläche
A = 2 m2, Rollreibungskoeffizient µRR = 0,02 soll mit einer Geschwindigkeit von 226 km/h fahren.
Welche Motorleistung wird dazu benötigt?).
4. (6 Punkte) Bei einem Fahrradergometer wirkt auf den äußeren Umfang eines scheibenförmigen Rades
mit d = 50 cm eine Reibungskraft F = 100 N.
a) Welches Drehmoment muss der Proband erzeugen, um die Drehzahl konstant zu halten?
b) Welche Arbeit hat er geleistet, wenn das Rad eine Masse von 50 kg hat, die Drehzahl 120 U/min
beträgt und er 5 s dafür gebraucht hat? (bei gleichmäßiger Beschleunigung)
5. (3 Punkte) Ein Verkehrsflugzeug fliegt in einer Höhe von h = 10000 m. In seinem Inneren wird ein
Luftdruck von pi = 990 mbar aufrechterhalten. Welche Kraft wirkt durch die Druckdifferenz zum
Außendruck auf eine Fensterscheibe mit einer Fläche A = 0,05 m2? In welche Richtung?
6. (3 Punkte) Der größte Anteil eines Eisberges liegt bekanntlich unter Wasser. Die Dichte des Eises
betrage ρE = 920 kg/m3, die Dichte von Meerwasser ρW = 1025 kg/m3. Wie groß ist der Volumenanteil
des Eisberges, aus dem Wasser ragt?
7. (2 Punkte) Der Durchmesser eines kleinen Blutgefäßes verringert sich durch Verkalkung um 20%.
Wie muß sich der Blutdruck ändern, um das gleiche Blutvolumen pro Zeit wie vor der Verkalkung
durch das Gefäß zu pumpen?
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1. (9 Punkte) Die Geschwindigkeit einer fallenden Kugel in einer Flüssigkeit werde beschrieben durch
die Funktion v(t ) = vs ( 1 - e -t / tq ) , mit vs = 2 m/s und tq = 3 s . Zur Zeit t = 0 befinde sich die
Kugel in der Tiefe s = 0 .
ds
a) Bestimmen sie die Weg-Zeit-Funktion s(t ) , wenn v(t ) =
ist, und die Beschleunigungs-Zeitdt
dv
Funktion a(t ) =
.
dt
Als Ausgangsinformation ist die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion v(t ) = vs ( 1 - e -t / tq ) gegeben,
diese Funktion ist kein Produkt von Funktionen, vs ist eine Konstante! Es ist also weder
Produktregel noch partielle Integration zu benutzen!
Zur Bestimmung der Weg-Zeit-Funktion muss integriert werden (vgl. Formelsammlung Nr.51):
s(t ) =
ò v(t ) + C ,
dabei ist C so zu wählen, dass die Anfangsbedingung s(0) = 0 erfüllt ist. Es ist nicht von
vornherein C = s(0) !
Die Stammfunktion berechnet sich als (siehe auch Formelsammlung Nr. 58)
-t / t
ò vs (1 - e ) dt + C
= vs ( ò 1dt - ò e -t / t dt ) + C
= vs éëê t - ( -tqe -t / t ) ùûú + C
s(t ) =
q
q
q
= vs éêë t + tqe -t / tq ùúû + C
Die Anfangsbedingung wird folgendermaßen berücksichtigt
s(0) = 0 = vs êëé 0 + tqe -0 / tq ûúù + C
0 = vs ⋅ tq + C
C = -vs ⋅ tq
also zusammen
s(t ) = vs éêë t + tq (e -t / tq - 1 ) ùûú
Wahlweise kann auch mit einem bestimmten Integral gerechnet werden, es ist dann
t
s(t ) =
ò vs ( 1 - e
-t '/ tq
) dt '
0
t
= vs éêë t ' + tqe -t '/ tq ùúû
0
/
t
t
q
= vs éêë t + tqe
- tqe -0 / tq ùúû
= vs ëêé t + tq (e -t / tq - 1 ) ûúù
Dabei ist zu beachten, dass innerhalb des Integrals ein anderer Variablenname gewählt wird, also
t ' oder t statt t .
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Die Beschleunigungs-Zeit-Funktion berechnet sich als Ableitung der Geschwindigkeits-ZeitFunktion, also
d
a(t ) =
vs ( 1 - e -t / tq )
dt
d
d
= vs
1 - e -t / tq
dt
dt
é
æ 1
öù
= vs ê 0 - çç - e -t / tq ÷÷÷ ú
êë
èç tq
ø úû
v
= s e -t / tq
tq
(
)
Für die Ableitung der Exponentialfunktion gilt die Kettenregel.
b) Durch welche Funktionen lässt sich s(t ) annähern für
 t  tq ?
 t  tq ?
b1 Für t  tq wird die Exponentialfunktion sehr klein:
e -t / tq  1
für
t  tq
e -t / tq - 1 » -1
damit lässt sich die Weg-Zeit-Funktion abschätzen durch
s(t ) = vs éêë t + tq (e -t / tq - 1 ) ùúû
» vs ( t - tq )
also durch eine Gerade mit Steigung vs durch den Punkt (t, s ) = (tq , 0) ; für große Zeiten nähert
sich die Bewegung also einer gleichförmigen Bewegung mit Geschwindigkeit vs an.
b2 Für t  tq nähert sich die Exponentialfunktion an 1 an; diese Betrachtung ist aber eine zu
ungenaue Näherung, da in diesem Falle der ganze Term e -t / tq - 1 wegfallen würde. Es ist daher
eine genauere Betrachtung in Form einer Taylor-Entwicklung um die Stelle t = 0 notwendig
(Formelsammlung Nr.50):
s(t ) = s(0) +
ds
dt
⋅t +
t =0
1 d2s
2 dt 2
⋅ t2 + 
t =0
Die einzelnen Ableitungsfunktionen sind schon bekannt, nämlich
1
s(t ) = s(0) + v(0) ⋅ t + a(0) ⋅ t 2 + 
2
vs 2
» 0 + 0⋅t +
⋅t
2tq
v
s(t ) » s ⋅ t 2
2tq
In erster Näherung ist s(t ) also eine Parabel, für kleine Zeiten nähert sich die Bewegung also einer
gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Beschleunigung a(0) an.
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c) Skizzieren Sie s(t ), v(t ) und a(t ) für 0 £ t £ 20 s ! Zeichnen Sie auch die Ergebnisse aus b) ein!
40
m
s
sa
s0
s
30
20
10
0
0
5
10
15
s
t
20
2,5
m/s
2,0
v
1,5
v
va
v0
1,0
0,5
0,0
0
5
10
15
t
m/s2
s
20
1,0
0,9
0,8
0,7
a
aa
a0
a
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0
5
10
15
s
20
t
An Achsen müssen unbedingt Einheiten stehen! Nicht verschiedene Größen in ein Diagramm
einzeichnen! (oder deutlich unterschiedene y-Achsen verwenden).
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d) Wie lange dauert es, bis sich v(t ) um nur noch 1% von vs unterscheidet?
Es ist v(t ) = vs ( 1 - e -t / tq
) eine Funktion, die sich
mit zunehmender Zeit an vs annähert.
Gesucht ist ein t1 für das gilt
v(t1 ) - vs £ 0, 01 ⋅ vs
Es wird hier nicht von Anfang an vorausgesetzt, von wo sich v(t ) an vs annähert, deshalb mit
Betragsstrichen bis das klar ist! Erst ganz zum Schluss Zahlen einsetzen!
vs ( 1 - e -t1 / tq ) - vs = 0, 01 ⋅ vs
-e -t1 / tq = 0, 01
e -t1 / tq = 0, 01
-
t1
= ln 0, 01
tq
t1
= ln 100
tq
t1 = tq ⋅ ln 100 = 13,81 s
man beachte die Rechenregeln für Logarithmen!
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2. (5 Punkte) Wie hoch fliegt eine Rakete, die mit einer Geschwindigkeit von 5000 m/s senkrecht von
der Erdoberfläche abgeschossen wird?
Für beide Aufgabenteile gilt Energieerhaltung: die Summe aus potentieller und kinetischer Energie
bleibt gleich:
 beim Abschuss ( r = rE , h = 0 ) mit Geschwindigkeit v 0 beträgt die kinetische Energie
1
E kin,0 = mv02
2
 am höchsten Punkt ( r = rmax = rE + hmax ) betragen Geschwindigkeit v1 und kinetische Energie
Ekin,1 beide Null.
 für beide Orte ist die potentielle Energie nach der jeweiligen Formel zu bestimmen, dann ist
E pot ( rE ) + E kin,0 = E pot ( rmax ) + E kin,1
1
E pot ( rE ) + mv 02 = E pot ( rmax )
2
.
a) Bei konstanter Erdbeschleunigung (Näherung für kleine Entfernungen von der Erdoberfläche) ist
die potentielle Energie (Formelsammlung Nr.125)
E pot,a (h ) = m ⋅ g ⋅ h
E pot,a (r ) = m ⋅ g ⋅ ( r - rE )
also hier
1
m ⋅ g ⋅ 0 + mv 02 = m ⋅ g ⋅ hmax,a
2
v2
hmax,a = 0
2g
( 5000 m/s )2
= 1274 km
2 ⋅ 9,81 m/s2
= hmax,a + rE = 7661 km
hmax,a =
rmax,a
die Rakete entfernt sich 1274 km von der Erdoberfläche.
Alternative Lösungswege ohne explizite Energiebetrachtungen:
I: Senkrechter Wurf
Hier handelt es sich um einen schiefen Wurf (Formelsammlung Nr. 80) mit Winkel a = 90 ,
damit beträgt die Wurfhöhe ebenfalls
hmax .a =
v02
2g
II: Gleichmäßig verzögerte Bewegung
Hier handelt es sich um eine gleichmäßig verzögerte
Anfangsgeschwindigkeit und Anfangshöhe h = 0 :
1
h(t ) = v 0t - gt 2
2
v(t ) = v 0 - gt
Bewegung
mit
endlicher
Die maximale Höhe ist erreicht zu derjenigen Zeit tmax , bei der v(tmax ) = 0 ist:
0 = v 0 - gtmax
tmax =
v0
g
Damit ist dann
hmax,a = h(tmax ) = v0
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v 0 1 æ v0 ö÷2
v2
- g çç ÷ = 0
g
2 èg ø
2g
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b) Rechnen Sie mit dem ausführlichen Gravitationspotential.
(Gravitationskonstante G = 6, 67 ⋅ 10-11 Nm2 kg -2 , Erdradius rE = 6387 km ,
Erdmasse mE = 6 ⋅ 1024 kg ) Hinweis: g = G ⋅ mE / rE2 , Erdoberfläche: r = rE !
Mit dem ausführlichen Gravitationspotential (Formelsammlung Nr. 124) ist die potentielle
Energie einer Masse m im Abstand r vom Erdmittelpunkt
m ⋅ mE
E pot,b (r ) = -G
r
m ⋅ mE
E pot,b (h ) = -G
rE + h
Dies ist eine völlig andere Funktion!
 Diese Funktion gilt für beliebig große Höhen.
 Im Gegensatz dazu ist E pot,a = m ⋅ g ⋅ h eine Näherung für kleine Höhen. Es ist also unsinnig,
die beiden Ausdrücke gleichzusetzen. Wenn man die Ausdrücke vergleichen möchte, muss man
in beiden Ausdrücken r oder in beiden Ausdrücken h verwenden!
 Die potentielle Energie ist nicht mehr proportional zum Abstand von der Erdoberfläche, sondern
umgekehrt proportional zum Abstand vom Erdmittelpunkt.
 Der Nullpunkt der potentiellen Energie liegt nicht mehr an der Erdoberfläche ( r = rE ) sondern
bei r = ¥ !
also insgesamt
-G
m ⋅ mE
1
m ⋅ mE
+ mv 02 = -G
rE
2
rmax,b
-G
mE
1
mE
+ v 02 = -G
rE
2
rmax,b
1
v 02
1
=
2 ⋅ G ⋅ mE
rE
rmax,b
umgedreht
rmax,b =
rE
v02 ⋅ rE
12 ⋅ G ⋅ mE
6387 ⋅ 103 m
=
1-
2
( 5000 ms-1 ) ⋅ 6387 ⋅ 103 m
=
6387 ⋅ 103 m
= 7978 km
1 - 0,1995
2 ⋅ 6,67·10-11 Nm2 kg -2 ⋅ 6 ⋅ 1024 kg
Anmerkung:
Die zusätzliche Angabe g = G ⋅ mE / rE2 war nicht als Aufforderung gemeint, g auszurechnen,
sondern sollte einen Vergleich der beiden Ergebnisse ermöglichen, bzw. die Rechnung
vereinfachen:
1
rmax,b
=
1
v02
rE
2 ⋅ G ⋅ mE
1
v 02
rE
2 ⋅ g ⋅ rE2
hmax,a
1
=
rE
rE2
=
1
rmax,b
Dies hat unbeabsichtigt zu Verwirrungen geführt.
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3. (4 Punkte) Ein PKW mit Masse m = 1950 kg , Luftwiderstandsbeiwert cw = 0, 32 , Stirnfläche
A = 2 m2 , Rollreibungskoeffizient μRR = 0, 02 soll mit einer Geschwindigkeit von 226 km/h
fahren. Welche Motorleistung wird dazu benötigt?
Auf den PKW wirkt die Summe FR aus zwei Reibungskräften: dem Rollwiderstand FRR und dem
Luftwiderstand FL .
FR = FRR + FL
Im Folgenden ist die Bewegungsrichtung die positive Richtung.
Der Rollwiderstand verhält sich analog zur Gleitreibung (Formelsammlung Nr. 102):
FRR = -mRR ⋅ FN = -mRR ⋅ m ⋅ g
= -0, 02 ⋅ 1950 kg ⋅ 9,81 ms-2 = -382,59 N
Der Luftwiderstand berechnet sich als (Formelsammlung Nr. 103):
1
FL = - cW ⋅ r ⋅ A ⋅ v 2
2
3
æ
ö2
1
kg
2 ç 226 ⋅ 10 m ÷
= - ⋅ 0, 32 ⋅ 1, 293 3 ⋅ 2m ⋅ ç
çè 3600 s ÷÷ø
2
m
=-
0, 32 ⋅ 1, 293 ⋅ 2 ⋅ 2260002 kgm2 m2
= -1630,65 N
2 ⋅ 36002
m 3 s2
Zusammen ist dann die Reibungskraft
FR = FRR + FL = -2013,24 N
Wenn die Umrechnung der Geschwindigkeit von km/h in m/s vorher erfolgt, so ist der Wert korrekt
zu runden und nicht einfach die letzten Stellen wegzulassen:
226 ⋅ 103
= 62, 77  » 62, 8
3600
Um mit konstanter Geschwindigkeit zu fahren, muss die Summe aller Kräfte Null sein. Der Motor
muss also eine der Reibungskraft entgegengesetzt gleich große Antriebskraft FA aufbringen:
FA + FR = 0
FA = 2013,24 N
Anmerkung:
Es tritt keine Beschleunigung auf, irgendwelche zusätzlichen Terme der Form F = m ⋅ a treten also
nicht auf, insbesondere nicht F = m ⋅ g (die Bewegung ist horizontal!)
Wird bei konstanter Geschwindigkeit v die Kraft FA aufgebracht, so beträgt die Leistung
(Formelsammlung Nr. 116):
P = FA ⋅ v
= 2013,24 N ⋅
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226 ⋅ 103 m
= 126,386 kW
3600 s
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4. (6 Punkte) Bei einem Fahrradergometer wirkt auf den äußeren Umfang eines scheibenförmigen Rades
mit d = 50 cm eine Reibungskraft FR = 100 N .
a) Welches Drehmoment muss der Proband erzeugen, um die Drehzahl konstant zu halten?
Eine Drehbewegung mit konstanter Drehzahl ist eine Drehbewegung mit konstantem Drehimpuls,
wenn das Trägheitsmoment des rotierenden Objekts sich nicht ändert (was hier der Fall ist).
Der Drehimpuls bleibt konstant, wenn die Summe aller Drehmomente Null ist; hier muss also das
durch den Probanden erzeugte Drehmoment entgegengesetzt gleich dem durch die Reibungskraft
erzeugten Drehmoment sein.
Alle Drehimpulse und Drehmomente beziehen sich auf die Achse des Rades.
Die Reibungskraft wirkt bekanntlich entgegen der Bewegungsrichtung, also hier entgegengesetzt
zur Umfangsgeschwindigkeit, d.h. parallel zum Umfang und senkrecht zum Radius. Das

Drehmoment einer Kraft F die im Abstand r zum Ursprung angreift, ist definiert als
(Formelsammlung Nr. 108)

 
M = r ´F ;
da hier Radius und Kraft senkrecht aufeinander stehen, ist das durch die Reibungskraft FR
erzeugte Drehmoment
d
M R = r ⋅ FR = ⋅ FR = 25 Nm
2
Es ist unerheblich, ob Achse und Kraft senkrecht aufeinander stehen.
b) Welche Arbeit hat er geleistet, wenn das Rad eine Masse von 50 kg hat, die Drehzahl 120 U/min
beträgt und er 5 s dafür gebraucht hat? (bei gleichmäßiger Beschleunigung)?
Die geleistete Arbeit des Probanden wird zum Teil in kinetische Energie und zum Teil in
Wärmeenergie (Reibungskraft mal Weg, bzw. –drehmoment mal Winkel) umgewandelt. An
dieser Stelle wird kein Integral benötigt, weil Reibungskraft- bzw. drehmoment konstant sind.
W = Ekin + FR ⋅ s
= Ekin + M R ⋅ j
Die Rotationsenergie des Rades beträgt am Ende der Beschleunigungsphase ( w = wmax )
1
2
Ekin = J ⋅ wmax
2
Nach Aufgabenstellung handelt es sich um ein scheibenförmiges Rad, das Trägheitsmoment ist
J =
()
1
1
d
m ⋅ r2 = m ⋅
2
2
2
2
=
1
m ⋅ d 2 = 1,5625 kgm2
8
mit der Winkelgeschwindigkeit
wmax = 2p ⋅
120
120
= 2p ⋅
= 4p s -1
min
60 s
ergibt sich
1
2
m ⋅ d 2 ⋅ wmax
16
1
2
=
⋅ 50 kg ⋅ ( 0,5 m )2 ⋅ ( 4p s-1 )
16
50 ⋅ 0, 25 ⋅ 16p2 kg m2
=
16
s2
= 123,37 J
Ekin =
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Zur Berechnung der gegen die Reibung geleisteten Arbeit ist es notwendig, den insgesamt
zurückgelegten Drehwinkel j bzw. den insgesamt zurückgelegten Weg s zu berechnen, d.h. die
Weglänge, die ein Punkt auf dem Umfang des Rades zurückgelegt hat
1
s = j ⋅r = j ⋅d
2
Die momentane und maximale Umfangsgeschwindigkeit sind
1
v
= w ⋅r = w ⋅d
2
1
m
v max = wmax ⋅ r = wmax ⋅ d = p
2
s
Bei gleichmäßiger (Winkel)beschleunigung a bzw. a auf (Winkel)geschwindigkeit wmax bzw.
v max in der Zeit t ist
w
1
a = max = 2,513
s
t
m
v max
= 0,628
a =
s
t
und es ist der zurückgelegte Winkel
1
1
j = a ⋅ t 2 = wmax ⋅ t = 31,42 rad = 5 Umdrehungen ,
2
2
und die zurückgelegte Strecke
1
1
1
s = at 2 = j ⋅ d = wmax ⋅ t ⋅ d = 7,854 m ,
2
2
4
die geleistete Reibungsarbeit
1
F ⋅ wmax ⋅ t ⋅ d
4 R
1
= ⋅ 100 kg m s -2 ⋅ 4p s -1 ⋅ 5 s ⋅ 0,5 m
4
= 250p kg m2 s -2
WR = FR ⋅ s = M R ⋅ j =
= 785 J
Alternativ kann auch die zur Winkelbeschleunigung aufgewendete Arbeit über das entsprechende
Drehmoment berechnet werden: Zur gleichmäßigen Beschleunigung auf Drehimpuls
Lmax = J ⋅ wmax in der Zeit t benötigt man ein Drehmoment
L
Ma = max ,
t
Die geleistete Arbeit berechnet sich (analog zu Kraft × Weg) als
W = Ma ⋅ j ,
dabei ist M das aufgewendete (konstante) Drehmoment und j der zurückgelegte Winkel (s.o.)
1
j = w ⋅t
2
zusammen also
1
M ⋅ wmax ⋅ t
2 a
1 Lmax
=
⋅ wmax ⋅ t
2 t
1
= Lmax ⋅ wmax
2
1
2
= J ⋅ wmax
2
W =
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5. (3 Punkte) Ein Verkehrsflugzeug fliegt in einer Höhe von h = 10000 m . In seinem Inneren wird ein
Luftdruck von pi = 990 mbar aufrechterhalten. Welche Kraft wirkt durch die Druckdifferenz zum
Außendruck auf eine Fensterscheibe mit einer Fläche A = 0, 05 m2 ? In welche Richtung?
Hier ist zunächst nach dem Atmosphärendruck in einer Höhe h = 10000 m gefragt. Dieser wird nach
der sog. barometrischen Höhenformel (Formelsammlung Nr. 141) berechnet:
p(h ) = p0 ⋅ e
-
r0
⋅g ⋅h
p0
dabei sind Luftdichte r0 = 1,293 kg/m 3 und Luftdruck p0 = 1013 mbar , beide auf Meereshöhe
( h = 0 ), sowie die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 gegeben:
pa = p(h ) = 1013 mbar ⋅ e
= 1013 mbar ⋅ e
= 1013 mbar ⋅ e
-
1,293 kg m -3
⋅9,81 m s -2 ⋅10000 m
101300 Pa
-
1,293 kg m -3 ⋅9,81 m s -2 ⋅10000 m
101300 kg m -1 s -2
-
1,293⋅9,81⋅10000 kg⋅m -3 ⋅m⋅m⋅s -2
101300 kg⋅m -1 ⋅s -2
= 1013 mbar ⋅ e -1,25215
= 1013 mbar ⋅ 0, 28588
pa = 289,6 mbar
Die Druckdifferenz zwischen Kabine und Außenluft beträgt also
Dp = pi - pa
= 990 mbar - 290 mbar = 700 mbar
Die Kraft auf die Fensterfläche ist die Differenz der Kräfte, die Innen- und Außendruck auf sie
ausüben, da der Innendruck höher ist, wirkt sie nach außen.
DF = Dp ⋅ A
= 70000 Pa ⋅ 0,05 m2 = 3500 N
Anmerkung:
Die Benutzung der Formel für den hydrostatischen Druck in der Form
p(h ) = r ⋅ g ⋅ h
ist aus mehreren Gründen falsch:
 Luft ist kompressibel, also gilt die einfache Proportionalität zur Höhe/Tiefe nicht
 In dieser Formel bezeichnet h die Tiefe, in der der Druck gemessen wird, bzw. die Höhe der über
dem Messpunkt stehenden Wassersäule. Der Druck nimmt in jedem Fall nach oben hin ab!
 Wäre Luft inkompressibel (d.h. wäre die Dichte konstant) dann wäre die korrekte Form der
Gleichung
p(h ) = p0 - r0 ⋅ g ⋅ h
dabei wäre p0 der Druck und r0 die Dichte bei der Höhe h = 0 . Dies ist auch eine zulässige
Näherung der barometrischen Höhenformel für kleine Höhen, wie sich durch Taylor-Entwicklung
der Exponentialfunktion leicht feststellen lässt.
 Völlig abwegig ist die Annahme, der Druck würde mit 10 m Höhe um 1 bar steigen, dies gilt erstens
für Wasser und zweitens für Tiefe! Es war nicht nach einem Unterseeboot gefragt!
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6. (3 Punkte) Der größte Anteil eines Eisberges liegt bekanntlich unter Wasser. Die Dichte des Eises
betrage rE = 920 kg/m 3 , die Dichte von Meerwasser rW = 1025 kg/m 3 . Wie groß ist der
Volumenanteil des Eisberges, aus dem Wasser ragt?
Wenn ein Objekt schwimmt, dann taucht es so tief ein, dass die Auftriebskraft FA (entsprechend der
Gewichtskraft des verdrängten Volumens VW des Umgebungsmediums) entgegengesetzt gleich der
Gewichtskraft FG des (gesamten) schwimmenden Objekts ist:
FG = -rE ⋅ VE ⋅ g
FA =
rW ⋅ VW ⋅ g
FG + FA = 0
rE ⋅ VE = rW ⋅ VW
VE
r
= W
VW
rE
Gefragt ist nach dem Volumenanteil der aus dem Wasser ragt. Das aus dem Wasser ragende Volumen
ist die Differenz aus Gesamtvolumen und eingetauchtem Volumen, damit ist
VE - VW
V
= 1- W
VE
VE
r
= 1- E
rW
rW - rE
=
rW
1025 - 920
=
= 0,1024
1025
Es ragen also etwa 10% des Volumens des Eisbergs aus dem Wasser.
Anmerkung:
Die Formel (Formelsammlung Nr. 140)
F = ( rFl - rK ) ⋅ V ⋅ g
bezeichnet die Gesamtkraft (Summe aus Auftriebskraft nach oben und Gewichtskraft nach unten) auf
einen vollständig eingetauchten Körper, ist also für die hier besprochene Situation nicht geeignet.
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7. (2 Punkte) Der Durchmesser eines kleinen Blutgefäßes verringert sich durch Verkalkung um 20%.
Wie muß sich der Blutdruck ändern, um das gleiche Blutvolumen pro Zeit wie vor der Verkalkung
durch das Gefäß zu pumpen?
In einem kleinen Blutgefäß kann davon ausgegangen werden, dass die Strömung laminar ist und die
innere Reibung nicht vernachlässigt werden kann.
Es gilt also das Gesetz von Hagen-Poiseuille (Formelsammlung Nr. 146):
8h ⋅ L ⋅ IV
Dp =
p ⋅ R4
In der Aufgabe ist gefragt, wie sich der Blutdruck, also die Druckdifferenz Dp ändern muss, wenn
sich der Durchmesser (bzw. der Radius R ) des Gefäßes ändert, der Volumenstrom IV (und die
anderen Parameter: Viskosität h und Länge L ) aber unverändert bleiben. Es gilt damit
8h ⋅ L ⋅ IV
Dp1 ⋅ R14 =
= Dp2 ⋅ R24
p
also
Dp2
æ R ö4
= çç 1 ÷÷÷
è R2 ø
Dp1
Der Radius verringert sich um 20%, also
R2 = 0, 8 ⋅ R1
Dp2
æ 1 ö÷4
= çç
= 1, 254 » 2, 44
è 0, 8 ø÷
Dp1
Die Druckdifferenz über dem Blutgefäß muss also auf das 2,44-fache steigen.
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