Experimentalphysik 2 - TUM

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Ferienkurs
Experimentalphysik 2
Sommer 2014
Vorlesung 3
Thema: Zeitlich veränderliche Felder und elektromagnetische
Schwingungen
Technische Universität München
1
Fakultät für Physik
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Inhaltsverzeichnis
4
5
Zeitlich veränderliche Felder
3
4.1
Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.2
Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4.3
Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.4
Die Energie des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.5
Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.6
Maxwellgleichungen und elektrodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . .
6
Elektromagnetische Schwingungen
8
5.1
Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.2
Komplexe Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.3
Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
5.4
Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
5.5
Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
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2
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4
Zeitlich veränderliche Felder
Bisher: zeitlich konstante elektrische und magnetische Felder. Alle Eigenschaften dieser stationären Felder lassen sich durch die folgenden Gleichungen herleiten:
~ · E~ = %
~ × E~ = 0
∇
∇
~ ·B
~ ×B
~=0
~ = µ0 · ~j
∇
∇
(1)
~ ·φ
E~ = −∇
4.1
~ ×A
~=∇
~
B
Faradaysches Induktionsgesetz
Entlang eines Leiters in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld entsteht eine elektrische
Spannung: Induktionsspannung
Uind = −
d
d
φm = −
dt
dt
Z
~ dA
~
B
(2)
Weiterhin kann die Spannung auch auf ein elektrisches Feld E~ zurückgeführt werden:
I
Uint =
E~ d~s
Unter Verwendung des Stokesschen Satz ergibt sich:
I
Z
Z
d~ ~
~ × E~ dA
~
B dA =
E~ d~s =
∇
Uint = −
dt
(3)
(4)
Da dies für beliebige Flächen muss, folgt:
~
~ × E~ = − d B
∇
dt
(5)
d.h., dass ein zeitlich veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt.
4.2
Lenzsche Regel
Aus dem negativen Vorzeichen im Induktionsgesetz ergibt sich folgender Sachverhalt:
• Änderung von Uint ist der Änderung von φm entgegengerichtet
~ ind
• Die durch diese Spannung erzeugten Ströme erzeugen ein Magnetfeld B
~ int ist vom Vorzeichen von φ̇ abhängig: Zeigt in Richtung des ursprüngli• Richtung von B
chen Magnetfeldes
• Die bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld induzierten Ströme sind immer so
gerichtet, dass sie die Bewegung, durch die sie erzeugt werden versuchen zu hemmen
Allgemein wird dies als Lenzsche Regel bezeichnet:
Die durch Induktion entstehenden Ströme, Felder und Kräfte sind stets so gerichtet, dass sie
ihrer Ursache entgegen wirken.
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4.3
Selbstinduktion
In einer stromdurchflossenen Spule wird bei einer zeitlichen Änderung des Stromes der magnetische Fluss durch die Spule geändert. Nach dem Induktionsgesetz entsteht deshalb in der Spule
eine Induktionsspannung. Das magnetische Feld einer Spule mit N Windungen, der Länge l und
dem Radius r ist:
N
B = µ0 · · I
(6)
l
Der magnetische Fluss ist somit:
Z
2
2
~ dA
~ = N · B · πr2 = µ0 · π · r · N ·I = L · I
φm =
B
(7)
l
|
{z
}
=L
L ist die Induktivität mit der Einheit [L] = 1 V s A−1 = 1 H.
Für die Induktionsspannung ergibt sich:
Uind = −
dφm
dI
= −L ·
dt
dt
(8)
Stromkreis mit Induktivität:
Betrachte: Stromkreis mit einer Spule und einem Widerstand in Reihe geschalten. Es liegt eine
konstante Spannung U0 an, die durch schließen eines Schalters angelegt werden kann.
Wird der Schalter zur Zeit t = 0 geschlossen so ergibt sich nach der Kirchhoffschen Regel:
U0 = I · R − Uint = I · R + L ·
dI
dt
(9)
Lösung der Differentialgleichung:
R
1
dt =
dI
L
I − UR
U/R − I R
− t = ln
L
U/R
R
U
1 − e− L ·t
I(t) =
R
−
(10)
Der Strom steigt beim Einschalten nicht plötzlich an, sondern meiner Zeitverzögerung, die von
der Induktivität der Spule abhängt.
Beim
springt der Strom von UR auf I = 0
Abschalten
dI
⇒ ist groß ⇒ hohe Induktionsspannung ⇒ Spannungsstoß
dt
4.4
Die Energie des magnetischen Feldes
Die Energie des magnetischen Feldes ist:
dWmag = Uind · I · dt = L · I ·
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4
dI
dt = L · I · dI
dt
(11)
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Somit ergibt sich:
Wmag =
1 2
LI
2
(12)
Für eine Spule ergibt sich dann mit (6) und einem Volumen von V = πr2 l:
Wmag =
B2
µo N 2 πr2 B2 l2
=
·V
2µ0
2lµ20 N 2
(13)
Wmag 1
= BH
V
2
(14)
Die Feldenergiedichte ist dann:
wmag =
4.5
Der Verschiebungsstrom
In vielen Fällen ist die bisherige Formulierung des Ampereschen Gesetzes
I
Z
~ d~s = µ0 I = µ0
~j dA
~
B
(15)
F
nicht eindeutig.
Um die differentielle Form
~ ×B
~ = µ0 ~j
∇
(16)
zu erhalten, muss (15) für beliebige Wege um den Strom führenden Leiter gelten, sowie für
beliebige Flächen A, die von diesem Weg umrandet werden.
Betrachte: Stromkreis mit einem Kondensator so sind zwei Integrationswege möglich
1. kreisförmige Kurve s1 um den Leiter
2. kreisförmige Kurve s2 zwischen den Kondensatorplatten
Im ersten Fall ergibt sich für (15):
I
~ d~s1 = µ0 I
B
(17)
~ d~s2 = 0
B
(18)
Im zweiten Fall erhält man hingegen:
I
Um diesen Widerspruch aufzulösen wird der Verschiedungsstrom eingeführt. Wenn in einem
Leitungen ein Strom I fließt, ändert sich die Ladung Q auf den Kondensatorplatten. Diese Ladungsänderung führt zu einer Änderung des elektrischen Feldes zwischen den Platten. Dadurch
kann man zwischen den Platten einen Verschiebungsstrom definieren:
IV =
~
dQ
d
~ E)
~ = 0 A
~ · ∂E
= (0 A
dt
dt
∂t
(19)
Die Verschiebungsstromdichte ist dann:
~
~jV = 0 · ∂E
∂t
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(20)
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Damit ergibt sich dann der Verallgemeinerte Strom:
I0 = I + IV
(21)
Durch die Einführung des Verschiebungsstroms gilt nun überall
Hieraus ergibt sich:
H
~ d~s = µ0 I0 .
B
~
~ ×B
~ = µ0 ~j + µ0 0 · ∂E
~ d~s = µ0 I + µ0 0 · ∂φel und ∇
B
∂t
∂t
I
(22)
Es gilt die Relation:
µ0 0 =
1
c2
(23)
Anmerkung: Durch Einführung des Veschiebungsstroms folgt die Kontinuitätsgleichung aus den
Maxwellgleichungen:
~
~× ∇
~ ×B
~ · ~j + 0 ∇
~ · ∂E = µ0 ∇ · ~j + ∂% = 0
~ = µ0 ∇
∇
∂t
∂t
4.6
(24)
Maxwellgleichungen und elektrodynamische Potentiale
Die Maxwellgleichungen im Vakuum sind:
~ × E~ = − ∂B
∇
∂t
~ × E~ = %
∇
0
~ ×B
~ = µ0 ~j + 1 ∂E
∇
c2 ∂t
~ ·B
~=0
∇
(25)
Und in Materie:
~ × E~ = − ∂B
∇
∂t
~ ×H
~ = ~j + ∂D
∇
∂t
~ ·D
~ =%
∇
~ ·B
~=0
∇
(26)
Das elektrostatische Potential:
~ × E , 0 kann E~ nicht mehr als ∇φ
~ el geschrieben werden. Aber:
Wegen ∇
~
~ × E~ + ∂ B = ∇
~ E~ + ∂A = 0
∇
∂t
∂t
(27)
Deshalb:
~ · φel = E~ + ∂A ⇒ E~ = −∇
~ · φel − ∂A
−∇
∂t
∂t
Eichfreiheit: Lorentz-Eichung
~ ·A
~ = − 1 · ∂φel
∇
c2 ∂t
Mit dieser Eichung folgt dann:
2
~ × E~ = ∇
~ · −∇
~ · φel − ∂A = % ⇒ ∆φel − 1 ∂ φel = %
∇
2
∂t
0
0
c ∂t2
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6
(28)
(29)
(30)
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Das Vektorpotential:
~ ergibt sich:
Für das Vektorpotential A
~× ∇
~ × A)
~· ∇
~ ·A
~ el − ∆A
~ = µ0 ~j + 1 ∂E = ∇
~ − ∆ A
~ = − 1 ∂ ∇φ
~
∇
2
c ∂t
c2 ∂t
~ el :
~ = E~ + ∇φ
Mit − ∂t∂ A
~−
∆A
~
1 ∂2 A
= −µ0 ~j
2
2
c ∂t
(31)
(32)
Zusammen:
∆φel −
%
1 ∂2 φel
=
0
c2 ∂t2
und
~−
∆A
~
1 ∂2 A
= −µ0 ~j
c2 ∂t2
(33)
Integralform der Maxwellgleichungen:
Q=
Ladung:
Z
% dV
ZV
~j dA
~
I=
ZA
~ dA
~
φel =
D
A
Z
~ dA
~
φm =
B
Strom:
elektrischer Fluss:
magnetischer Fluss:
(34)
A
I
dφm
E~ d~s = −
dt
I
dφ
~ d~s = I + el
H
dt
~ dA
~=Q
D
~ dA
~=0
B
Induktionsgesetz:
Ampere-Maxwell-Gesetz:
Coulomb-Gauss-Gesetz:
Quellfreiheit des B-Feldes:
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5
5.1
Elektromagnetische Schwingungen
Wechselstromkreise
Effektivwerte:
s
U0 cos ωt
s
Die anliegende Wechselspannung ist:
U(t) = U0 cos ωt
Somit ergibt sich für den Strom mit I =
I(t) =
(35)
U
I :
U0
cos ωt = I0 cos ωt
R
(36)
Für die mittlere Leistung folgt deshalb:
Z
Z
Z
U2 T
U2
1 T
1 T
P̄ =
P(t) dt =
U(t) · I(t) dt = 0
cos2 ωt dt = 0
T 0
T 0
RT 0
2R
(37)
Verglichen mit der Leistung in einem Gleichspannungsstromkreis ergeben sich effektive Werte
für die Spannung und den Strom:
U0
Ue f f = √
2
5.2
und
I0
Ie f f = √
2
(38)
Komplexe Widerstände
Wechselstromkreis mit Induktivität:
s
U0 cos ωt
s
UL
L
Die von außen angelegte Eingangspannung U0 muss im geschlossenen Stromkreis der entgegengesetzten induzierten Spannung Uint entsprechen:
U0 cos ωt = L ·
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8
dI
dt
(39)
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Für den Strom ergibt sich deshalb:
I=
U0
L
Z
cos ωt dt =
U0
sin ωt
ωL
|{z}
(40)
=I0
Spannung und Strom sind nicht mehr in Phase. Der Wechselstrom wird durch die Spule um 90◦
gegenüber der Wechselspannung verzögert:
U(t)
1
I(t)
-π
π
2π
-1
Der induktive Widerstand ist wie folgt definiert:
|RL | =
U0
=ω·L
I
(41)
Strom und Spannung können auch in komplexer Schreibweise geschrieben werden:
U = U0 eiωt und I = I0 ei(ωt−ϕ
(42)
Somit lässt sich ein komplexer Widerstand definieren:
Z=
U U0 iϕ
=
e = R + iX
I
I0
(43)
R ist der Ohmsche Widerstand und X der Blindwiderstand.
Für die Spule ergibt sich demnach:
π
ZS p = ωLei 2 = iωL
(44)
Wechselstromkreis mit Kapazität:
s
U0 cos ωt
s
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UC
9
C
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Die Eingangspannung ist:
U(t) = U0 cos ωt
(45)
Somit ergibt sich für den Strom:
I=
dQ
d
=
C · U(t) − ω · C · U0 sin ωt
dt
dt
(46)
Der Strom eilt also der Spannung um 90◦ voraus.
Für den komplexen Widerstand ergibt sich:
π
ZC = e−i 2
1
U0
=
I0
iωC
(47)
Zeigerdiagramm:
Die komplexen Widerstände können in einem Zeigerdiagramm veranschaulicht werden:
Im(Z)
X
ϕ
Re(Z)
R
Für die verschiedenen komplexen Widerstände gilt:
R
iωL
1
iωC
Sind nun z.B. eine Spule, ein Kondensator und ein Widerstand in Reihe geschalten, so addieren
sich die einzelnen komplexen Widerstände zu einem gesamten komplexen Widerstand:
1 Zges = R + i · ωL −
(48)
ωC
Der Gesamtwiderstand entspricht einem Vektor in der komplexen Zahlenebene mit einem Betrag
von:
s
1 2
(49)
|Zges | = R2 + ωL −
ωC
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5.3
Schwingkreise
UC
C
s
UL
s
L
R
Nach der Kirchhoffschen Regel gilt:UR
UC + U R + U L = 0
d Q
dI ⇒
+ RI + L
=0
dt C
dt
dI
d2 I
I
+R +L 2 =0
C
dt
dt
(50)
(51)
Die Differentialgleichung ist die einer gedämpften Schwingung. Der Lösungsansatz hierfür lautet:
1
R
(52)
I = Aeλt ⇒ λ2 + λ +
L
LC
Die Lösung dieser Gleichung ist:
r
q
R
1
R2
λ1,2 = −
±
−
=
−γ
±
γ2 − ω20
(53)
2L
4L2 LC
R
und ω20 .
mit γ = 2L
Es ergeben sich drei Fälle:
1. schwache Dämpfung: γ < ω0
Mit ω2 = ω20 − γ2 :
λ1,2 = −γ ± iω
(54)
Der allgemeine Lösungsansatz I(t) = I0 exp(−γt) · c1 exp(iωt) + c2 exp(−iωt) führt mit
˙ = 0 auf folgende Lösung:
den Randbedingungen I(0) = I0 und I(0)
I(t) = I0 e−γt cos(ωt + φ0 )
(55)
2. starke Dämpfung:
γ > ω0
q
2
Mit α = γ2 − ω0 ⇒ λ1,2 = −γ + α ergibt sich für den Strom:
I(t) = I0 e−γt c1 eαt + c2 e−αt
(56)
3. aperiodischer Grenzfall: γ = ω0
Nur eine Lösung für λ ⇒ λ = −γ. Für den Strom ergibt sich dem zufolge:
I(t) = (c1 + c2 t) · e−γt
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(57)
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Erzwungene Schwingungen:
Bei anlegen einer äußeren Wechselspannung schwingt der Kreis mit der stationären Schwingungsamplitude U0 . Der komplexe Widerstand ist wider die Summe der einzelnen komplexen
Widerstände. Die am Widerstand R verbrauchte Wirkleistung ist:
P=
U02 cos2 ωt · R
U2
·
R
=
Z2
Z2
⇒
P̄ =
1
·
2
1
ωC
U02 R2
+ ωL 2 + R2
(58)
Der Leistungsverlust wird also maximal, wenn ω = ω0 .
5.4
Hertzscher Dipol
Der geschlossene Schwingkreis, bei dem der Kondensator und die Spule noch räumlich getrennt
sind, kann kontinuierlich in einen offenen Schwingkreis überführt werden. Die Induktivität der
Spule geht über in die Induktivität der Leiterschleife. Die Kapazität wird beim aufbiegen immer
kleiner und geht in die des geraden Leiters mit Endplatten über. Diese kann man noch weglassen
und erhält einen geraden Draht: Dies kann als offener Schwingkreis angesehen werden.
Unterschied:
• Ladungen schwingen periodisch zwischen den Enden des Drahtes
• Das magnetische und elektrische Feld reicht weit in den Raum hinaus
• Bei zeitlicher Änderung von Strom und Ladungsdichte ändern sich die magnetischen und
elektrischen Felder
• Diese Änderung breitet sich in Lichtgeschwindigkeit aus und führt zu einer Energieabstrahlung in Form von elektromagnetischen Wellen
Fließt jetzt in einem Stab der Länge l ein Wechselstrom I(z, t, ) = I0 (z) sin ωt so erzwingt die
Randbedingung I(z = ±l/2) = 0 eine stehende Welle mit Knoten an den Enden. Die möglichen
Wellenlängen sind
2l
λ=
(59)
n
Somit erhält man für die niedrigste Resonanzfrequenz eines Stabes:
ω = 2π f =
mit v ph =
2πv ph π
= v ph
λ
l
(60)
√c
µ
Herzschen Dipol:
Der Herzsche Dipol wird als zeitlich variables Dipolmoment angesehen. Er erzeugt zeitlich
~ und E~ Felder, die in den Raum eindringen.
veränderliche BDas magnetische Feld ist:
~ r, t) =
B(~
d~p 1
r
r d2 ~p r
~
~
t
−
×
r
+
t
−
×
r
c dt2 {z c }
4π0 c2 r3 |dt {zc } |
Nahfeld
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(61)
Fernfeld
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In großer Entfernung vom Dipol steht das Magnetfeld senkrecht zur Dipolachse ~p und senkrecht
auf der Ausbreitungsrichtung r der vom Dipol ausgesandten Welle.
Hieraus kann mit Hilfe der Maxwellgleichungen das Elektrische Fernfeld hergeleitet. Dieses ist:
~ r, t) =
E(~
d2 ~p r 1
t
−
× ~r × r
c
4π0 c2 r3 dt2
(62)
Für die Beträge des elektrischen und magnetischen Fernfeldes ergibt sich:
p ω2 sin θ sin(ωt − kr)
E~ F (r, t, θ) = 0 2
r
4π0 c
5.5
und
2
~ F (r, t, θ) = p0 ω sin θ sin(ωt − kr)
B
r
4π0 c3
(63)
Abgestrahlte Leistung
Die Ausbreitung und die Energiedichte der elektromagnetischen Strahlung wird mit dem PoyntingVektor beschrieben:
~
~ = 1 E~ × B
S~ = E~ × H
(64)
µ0
~ · | B|
~ kann der Betrag des
Unter Verwendung der Energiedichte wem = wel + wmag = µ10 c |E|
Poynting-Vektors (Energieflussdichte) geschrieben werden als :
1 ~ S~ = E~ · B
= c · wem
µ0
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(65)
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