Experimentalphysik 2 - TUM

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Ferienkurs
Experimentalphysik 2
Sommer 2014
Vorlesung 2
Thema: Elektrischer Strom und Magnetostatik I
Technische Universität München
1
Fakultät für Physik
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
Inhaltsverzeichnis
2
3
Elektrischer Strom
3
2.1
Strom als Ladungstransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Elektrische Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Netzwerke und Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Magnetostatik I
7
3.1
Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.2
Magnetfelder stationärer Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.3
Kräfte auf bewegte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
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2
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2
2.1
Elektrischer Strom
Strom als Ladungstransport
Elektrischer Strom ≡ Transport elektrischer Ladung durch ein elektrisch leitendes Medium oder
auch im Vakuum. Die Stromstärke ist wie folgt definiert:
I=
dQ
dt
(1)
mit der Einheit [I] = 1 A. Die Stromdichte ~j ist der Strom pro Flächeneinheit ([~j] = 1 A m−2 ) .
Der Gesamtstrom durch eine Fläche A ist dann:
Z
~j dA
I=
(2)
A
Wird der Strom durch Ladungen q, der Dichte n und der Geschwindigkeit ~v getragen ergibt sich:
~j = n · q · ~v = %el · ~v
(3)
Betrachtet wird nun der Gesamtstrom, welcher durch eine geschlossene Fläche A fließt. Dieser
muss der gleich der zeitlichen Abnahme der von der Oberfläche eingeschlossenen Ladung sein:
I
Z
~j dA
~ = − dQ = − d
I=
ρel dV
(4)
dt
dt
H
R
~ j dV folgt die Kontinuitätsgleichung:
~= ∇
Mit dem Gaußschen Satz ~j dA
~ · ~j = − d%
∇
dt
(5)
Sie besagt, dass Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden können.
2.2
Elektrischer Widerstand und Ohmsches Gesetz
Driftgeschwindigkeit:
In einem Leiter stoßen Ladungsträger auf ihrem Weg oft mit Atomen bzw. Molekülen zusammen. Sie werden also nicht nur durch das elektrischen Feld beschleunigt sondern werden auch
nach einer mittleren Streuzeit τ gestreut. Dadurch driften die Elektronen mit einer konstanten
Geschwindigkeit: Der Driftgeschwindigkeit
~vD =
τ·q~
E = µ · E~
m
(6)
hierbei ist µ die Beweglichkeit.
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Das Ohmsche Gesetz
Für die Stromdichte (3) ergibt sich mit (6):
2
~j = n · q · ~vD = n · q · τ E~
m }
| {z
(7)
=σel
Mit σel der elektrischen Leitfähigkeit, ergibt sich das Ohmsche Gesetz:
~j = σel · E~
(8)
Weiterhin definiert man den Kehrwert der elektrischen Leitfähigkeit als spezifischer Wiederstand: % s = 1/σel .
R
~
Für einenRhomogenen Leiter mit dem Querschnitt A und der Länge L erhält man mit I = ~j dA
und U = E dL = E · L das Ohmsche Gesetz in integraler Form:
I=
U
σel · A
·U =
L
R
(9)
R = σLL·A ist der elektrische Widerstand des Leiters ([R] = 1 Ω). Der Kehrwert des elektrischen
Widerstands G = 1/R ist der Leitwert mit der Einheit [G] = 1 S.
Temperaturabhängigkeit:
Der spezifische Widerstand ist temperaturabhängig und näherungsweise durch folgende Gleichung beschreiben:
% s (T ) ≈ %(T 0 ) · 1 + α(T − T 0 )
(10)
α ist der Temperaturkoeffizient.
2.3
Elektrische Arbeit und Leistung
Bringt man die Ladung q von einem Ort mit dem Potential φ1 zu einem Punkt mit dem Potential
φ2 , so wird Arbeit verrichtet:
W = q · (φ1 − φ2 ) = q · U
(11)
Für die elektrische Leistung ergibt sich damit:
P=
dW
dQ
=U
=U·I
dt
dt
(12)
Die Einheit der Leistung ist: [P] = 1 V A = 1 W.
Die während einer Zeit t verrichtete Arbeit ([W] = 1 W s = 1 J) ist:
W=
Z
t2
= U · I dt
(13)
t1
In einem Ohmschen Widerstand R wird diese Arbeit in Wärme umgewandelt: Joulesche Gesetz
.
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2.4
Netzwerke und Kirchhoffsche Regeln
1. Kirchhoffsche Regel:
Verzweigen sich mehrere Leiter in einem Punkt, so muss die Summe der
einlaufenden Ströme gleich der Summe der auslaufenden Ströme sein:
X
Ik = 0
s
k
Bemerkung: Diese Regel folgt aus der Kontinuitätsgleichung, da im Knotenpunkt weder Ladung
erzeugt noch vernichtet wird. Daher muss der gesamte Strom durch eine geschlossene Fläche
um den Knotenpunkt null sein.
2. Kirchhoffsche Regel:
s
s
s
In jedem geschlossen Stromkreis ist
sie Summe aller Verbraucherspannungen gleich der Generatorspannung:
X
Uk = 0
k
s
s
Reihenschaltung:
R1
+
−
R2
Mit der 2. Kirchhoffschen Regel:
U = U1 + U2 = I · R1 + I · R2
⇒
Rges =
U
= R1 + R2
I
(14)
Allgemein gilt:
Bei der Reihenschaltung von Widerständen addieren sich die Einzelwiderstände!
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Parallelschaltung:
s
+
−
R1
R2
s
Mit der 1. Kirchhoffschen Regel:
I = I1 + I2 =
U
U
+
R1 R2
⇒
1
I
1
1
=
=
+
Rges U R1 R2
(15)
Allgemein gilt:
Bei der Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Reziprokwerte der Widerstände!
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3
Magnetostatik I
3.1
Permanentmagnete
Abbildung 1: Feldlinienbild eines Stabmagneten.
• Magneten haben einen Nord- und einen Südpol
• Gleichnamige Pole stoßen sich ab und ungleichnamige ziehen sich an
• Es gibt keinen isolierten Pole
• Die magnetischen Feldlinien sind immer geschlossen (Sie verlaufen innerhalb des Magneten weiter vom Südpol zum Nordpol, wo sie austreten und zum Südpol zurück).
3.2
Magnetfelder stationärer Ströme
Magnetischer Kraftfluss und magnetische Spannung:
Analog zum elektrischen Kraftfluss Φel wird der magnetische Kraftfluss Φm definiert:
Φm =
Z
~ dA
~
B
(16)
~ ist die magnetische Feldstärke mit der Einheit [B] = 1 V s m−2 = 1 T .
B
Alle Magnetlinien sind geschlossen ⇒ der gesamte magnetische Fluss durch die geschlossene
Oberfläche A muss null sein 1 :
I
Z
~ ·B
~ dA
~ G.S.
~ dV = 0
B
=
∇
(17)
Hieraus folgt:
~ ·B
~=0
∇
(18)
Diese Gleichung ist die mathematische Formulierung der physikalischen Tatsachen, dass es keine magnetischen Monopole gibt: Quellen und Senken des magnetischen Feldes kommen immer
zusammen vor.
1 Es
treten genau so viele Feldlinien ein wie aus.
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H
Im elektrischen Feld ergab das Linienintegral auf einem geschlossenen Weg null ( E~ d~s = 0).
Für das magnetische Feld ergibt es jedoch nicht null. Experimentell ergibt sich das Amperesche
Gesetz:
I
~ d~s = µ0 · I
B
(19)
wenn der Integrationsweg eine vom Strom durchflossene Fläche umschließt.
Hierbei ist µ0 = 4π · 10−7 V s A−1 mR−1 die magnetische Induktionskonstante.
~ lässt sich das Amperesche Gesetz wie folgt umschreiMit dem Stokesschen Satz und I = ~j dA
ben:
Z
I
Z
~ ×B
~=
~ d~s =
~ dA
~
µ0 · ~j dA
B
∇
(20)
Hieraus ergibt sich:
~ ×B
~ = µ0 · ~j
∇
(21)
~ × E~ = 0)
(Vgl. elektrostatische Felder: ∇
Mit dem Ampereschen Gesetz und dem magnetischen Kraftfluss lassen sich die Magnetfelder
spezieller Stromverteilungen leicht berechnen (→ Übung).
Maxwellgleichungen für stationäre E-/ B-Felder:
~ · E~ = %
∇
~ ·B
~=0
∇
~ × E~ = 0
∇
~ ×B
~ = µ0 · ~j
∇
(22)
Das Vektorpotential:
~ × E~ = 0 definiert als E~ = −∇φ.
~
In der Elektrostatik ist das Potential wegen ∇
~ ×B
~ , 0 ist ⇒ Andere Definition.
Da in der Magnetostatik ∇
~
~
~ r) gewählt werden. Diese wird
Wegen ∇ · B = 0 kann als Potential eine vektorielle Größe A(~
durch folgende Relation bestimmt:
~ ×A
~=∇
~
(23)
B
~ r) ist das Vektorpotential des Magnetfeldes B(~
~ r). Dadurch wird die Bedingung
A(~
~ ·B
~· ∇
~ ×A
~=∇
~ = 0
∇
(24)
~ r) jedoch nicht völlig
erfüllt. Durch die Definitionsgleichung (23 ) ist das Vektorpotential A(~
~0 = A
~ + ∇ · f wird wegen
festgelegt, denn für A
~ ×A
~ ×A
~× ∇
~ · f = B
~0 = ∇
~+∇
~
∇
|{z}
| {z }
~
=B
(25)
=0
(23) ebenfalls erfüllt.
Deshalb wird eine Zusatzbedingung (Eichbedingung) eingeführt. Im Falle stationärer Felder
wird in der Regel die Coulombeichung verwendet:
~=0
∇·A
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(26)
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Das Biot-Savart-Gesetz:
~ r) aus einer gegeben Stromverteilung ~j(~r).
→ Bestimmung des Vektorpotentials A(~
~ ×B
~× ∇
~ ×A
~ ∇
~ ·A
~=∇
~ = ∇
~ −∆A
~ = −µ0 ~j
∇
| {z }
(27)
=0 C.E.
Durch Lösen dieser Gleichung ergibt sich:
~ r ) = µ0
A(~
4π
~j(~r0 )
dV 0
|~r − ~r0 |
(28)
~ 0
~ × j(~r ) dV 0
∇
|~r − ~r0 |
(29)
Z
~ ×A
~=∇
~ folgt für das magnetische Feld2 :
Mit B
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
Durch Ausführen der Differentiation folgt:
Z
0
~ r ) = µ0
~j(~r0 ) × ~r − ~r dV 0
B(~
0
4π
|~r − ~r |3
(30)
~ · d~s und ~j · dA
~ · d~s = I d~s das Biot-SavartFür einen dünnen Draht ergibt sich mit dV 0 = dA
Gesetz:
Z
~r − ~r0
~ r ) = − µ0 I
B(~
(31)
3 × d~s
4π
~r − ~r0 Magnetfeld einer Kreisförmigen Leiterschleife:
d~s
R
s
~r0
xy-Ebene
Die Stromschleife liegt nur in der xy-Ebene ⇒ Das Magnetfeld hat nur eine z- Komponente:
~ r) = B(z)
~ Weiterhin gilt:
B(~
p
|~r0 | = R und |~r| = z ⇒ |~r − ~r0 | = z2 + R2
(32)
Außerdem:

 −R cos φ

~r − ~r =  −R sin φ

z
0
2 Reihenfolge



 −R sin φ


und
d~
s
=

 R cos φ
0



 dφ
(33)
von Differentiation und Integration kann vertauscht werden
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
 Rz cos φ

Eingesetzt in das Biot-Savart-Gesetz mit (~r − ~r0 ) × d~s = −  Rz sin φ

R2
1
~ r ) = µ0 I ·
B(~
4π z2 + R2 3/2
3.3
 Rz cos φ
 Rz sin φ

R2
2π 
Z
0



:


µ0 I
R2

·
 dφ =
êz
2
z2 + R2 3/2
(34)
Kräfte auf bewegte Leiter
Die Kraft F~ die auf eine Ladung q wirkt, welche sich mit einer Geschwindigkeit ~v in einem
Magnetfeld bewegt, wird Lorentzkraft genannt:
~
F~ = q · ~v × B
(35)
Liegt zusätzliche noch ein elektrisches Feld E~ vor, so beträgt die Kraft:
~
F~ = q · E~ + ~v × B
(36)
Bewegung im Magnetfeld:
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
s
×
×
×
×
×
e werden beschleunigt
−
Beim Eintritt der e− senkrecht zum Magnetfeld werden die e− von der Lorentzkraft auf eine
Kreisbahn abgelenkt:
r
mv2
mv
1
2mU
Fz =
= |F~ L | = evB ⇒ r =
=
(37)
r
eB B
e
Für die Zyklotronfrequenz ergibt sich:
ω=
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2π 2πv v eB
=
= =
T
2πr r
m
10
(38)
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Der Hall-Effekt:
Abbildung 2: Illustration des Hall-Effekts.
• Lorentzkraft bewirkt eine Ablenkung der Ladungsträger eines Leiters senkrecht zum Magnetfeld und zur Stromrichtung
• Die Ablenkung führt zu einer Ladungstrennung
• Dadurch wird ein elektrisches Feld E~ H erzeugt
• Die Ladungstrennung dauert so lange, bis das sich aufbauende elektrische Feld eine der
Lorentzkraft entgegengerichtete gleich große elektrische Kraft bewirkt:
|F~ L | = n · q · v · B = n · q · E H = |F~C |
(39)
• Mit dem Strom I = j · A = d · b · n · q · v ergibt sich:
EH = v · B =
I
·B
n·q·b·d
(40)
I
·B
n·q·b
(41)
• Somit ergibt sich für die Hall-Spannung:
UH = EH · d =
• Hieraus ergibt sich der Hall-Widerstand:
RH =
B
n·q·b
(42)
• Dies macht es z.B. möglich Magnetfelder mit Hall-Sonden sehr genau zu bestimmen
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