( ) 0aa - Gymnasium Ottobrunn

Grundwissen Mathematik 9
1. Zahlen
1.1 Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel a ist die positive Lösung der Gleichung
x2 = a.
a ≥ 0!
0 = 0!
a heißt Radikand
Ein Teil der Quadratwurzeln sind rationale Zahlen
4 2
= ,
9 3
andere dagegen irrationale Zahlen
z.B.
9 =3, 0,04 = 0, 2 oder
z. B.
5
.
Zur Erinnerung:
9
Rationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die entweder endlich viele
Kommastellen haben oder periodisch sind. Jede rationale Zahl lässt sich auch durch einen ganzzahligen Bruch darstellen.
Irrationale Zahlen sind Dezimalzahlen, die unendlich viele Kommastellen haben und niemals periodisch werden.
Eine irrationale Zahl lässt sich niemals durch einen ganzzahligen Bruch darstellen.
2 , 0,4 oder
Die Menge IR der reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen.
1.2 Rechnen mit Quadratwurzeln
1.2.1 Grundregeln
( a)
2
= a; a ≥ 0
⎧⎪ a, falls a ≥ 0
a2 = a = ⎨
; a beliebig
⎪⎩− a, falls a < 0
a ⋅ b = a ⋅ b ; a, b ≥ 0
a
=
b
a:b =
aber:
a
b
= a : b;
a≥0
b>0
a±b ≠ a ± b
1.2.2 Teilweises Radizieren
Zerlege den Radikand in ein Produkt, in dem wenigstens ein Faktor eine Quadratzahl ist. Beispiele:
192 = 64 ⋅ 3 = 8 3 ;
x5 = x4 ⋅ x = x2 x ; x ≥ 0
1.2.3 Unter die Wurzel ziehen
Ist bei einem Produkt ein Faktor eine Wurzel,
so lässt sich das Produkt als Wurzel schreiben.
⎧⎪ a2 ⋅ b
Für b > 0 gilt: a ⋅ b = ⎨
2
⎪⎩− a ⋅ b
für a > 0
für a < 0
1.3 Die n-te Wurzel
Die n-te Wurzel aus a ist die positive Lösung der Gleichung
xn = a (a ∈ IR 0+ ).
x = n a n ∈ IN; a ∈ IR 0+ , da x n = a
n
0 =0
1.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
p
q
q
Für positive Basis a definiert man: a = a ( p ∈ Z; q ∈ IN )
Rechnen mit n-ten Wurzeln durch Umformen in Potenzen:
3
1
1
2
1
−
1
1
1
Bsp: 3 = 3 2 ; 3 4 = 4 3 = ( 2 2 ) 3 = 2 3 ; 5 =
= 3 =2 5
8 5 23
25
3
3
6
3
25 4 = ( 5 2 ) 4 = 5 4 = 5 2 = 5
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1+
1
2
p
Beispiele:
4 5 = 4 2 ⋅ 5 = 80 ;
b b 4 + 9 = b 2 (b 4 + 9) ;
− 3 a + 1 = − 3 2 (a + 1)
Das Minuszeichen muss draußen bleiben!
Beispiele:
2 = 3 8 ; denn 2 3 = 8
Die Gleichung x 3 = −8 hat die Lösung
x = −2 = − 3 8 .
Übungsaufgaben:
http://www.strobl-f.de/ueb9n1.pdf
Lösungen dazu:
http://www.strobl-f.de/lsg9n1.pdf
= 5⋅ 5
08
(Überarbeitung: Gymnasium Ottobrunn 08)
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Grundwissen Mathematik 9
1.5 Binomische Formeln
Plus-Formel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ⎧Quadrat, doppeltes
⎨
2
2
2
Minus-Formel (a – b) = a – 2ab + b
⎩Pr odukt, Quadrat
2
Plus-Minus-Formel
(a + b)(a – b) = a – b2
1.6 Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 nennt man quadratische Gleichung in x.
Allgemeine Lösung mit Hilfe der Lösungsformel
Für die Lösungen der quadratischen Gleichung gilt:
x 1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
Beispiel:
2x2 – 3x – 2 = 0
Der Ausdruck b 2 − 4ac wird als Diskriminante D bezeichnet.
¾
D > 0 ⇒ Gleichung besitzt genau zwei Lösungen
¾
D = 0 ⇒ Gleichung besitzt genau eine Lösung
¾
D < 0 ⇒ Gleichung besitzt keine Lösung
Sonderfälle
a) reinquadratische Gleichung (b = 0)
2
2
ax + c = 0 ⇒ x = -
2
2
9
3
⇒ x1/ 2 = ±
4
2
Beispiel:
3x − 4x = 0 ⇒ x ⋅ (3x − 4) = 0
2
ax + bx = 0;a ≠ 0
Lösung durch Ausklammern:
⇒ x1 = 0 ; x 2 =
b
=−
a
4
3
Beispiel:
c) vollständiges Quadrat
2
2
4x + 12x + 9 = 0 ⇒ (2x + 3) = 0
2
a x + 2abx + b = 0
Lösung durch binomische Formel:
(ax + b) = 0 ⇒ x1 = x 2
2
4x − 9 = 0 ⇒ x =
2
2
2
2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ x1/ 2 = ± 2
Lösung durch Wurzelziehen:
c
c
x1/ 2 = ± − für − > 0
a
a
b) ohne konstanten Summanden (c = 0)
2 2
=
Beispiele:
c
a
x ⋅ (ax + b) = 0 ⇒ x1 = 0 ; x 2
3 ± 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2)
3±5
2⋅2
4
⇒ x1 = −0,5 ; x 2 = 2 ⇒ L = { −0,5; 2 }
x 1, 2 =
⇒ x1 = x 2 = −
b
=−
a
1.7 Biquadratische Gleichung
(für Experten!)
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 + c = 0; a ≠ 0
nennt man biquadratische Gleichung.
Bsp.:
x4 + 2x2 – 3 = 0
Lösung durch die Substitution: x2 = u
u2 + 2u –3 = 0 → u1 = 1; u2 = –3
Rücksubstitution: x 12/ 2 = 1 → x1 = 1; x2 = –1
3
2
Übungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen:
http://www.strobl-f.de/ueb92.pdf
http://www.strobl-f.de/UEB93.pdf
Lösungen dazu:
http://www.strobl-f.de/lsg92.pdf
http://www.strobl-f.de/LSG93.pdf
x 32 / 4 = –3 → keine Lösung für x
L = {–1; 1}
1.8 Lösung linearer Gleichungssysteme mit 3 Variablen
I:
II:
III:
2x + 3y – z = –6
–x + y + 2z = 1
3x + 3y + z = –1
1·I + 2·II = I’
3·I + (–2) III = II’
|·1
|·2
|·3
|·(-2)
5y + 3z = –4 |·3
3y – 5z = –16 |·(–5)
3·I’ + (-5)·II’
34z = 68
in I’
5y + 6 = –4
in I 2x + 3·(–2) – 2 = –6
⇒ L = {(1; –2; 2)}
→z=2
→ y = –2
→x=1
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Zur Erinnerung:
Die grundlegenden Lösungsverfahren wurden in
der 8.Klasse behandelt (s. Grundwissen M8).
a) Additionsverfahren (allgemein, s. Beispiel)
b) Gleichsetzungsverfahren (in Spezialfällen)
c) Einsetzungsverfahren (in Spezialfällen)
(Überarbeitung: Gymnasium Ottobrunn 08)
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2. Geometrie
2.1 Die Satzgruppe des Pythagoras
C
Höhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat
über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden
Hypotenusenabschnitten.
2
h = p⋅q
h
Kathetensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der
Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden
Hypotenusenabschnitt.
B
A
a 2 = c ⋅ p bzw. b 2 = c ⋅ q
Hypotenusensatz (Satz des Pythagoras): In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe
der Flächeninhalte der Kathetenquadrate.
2
2
2
a +b =c
Merke: Der Kehrsatz ist ebenfalls gültig!
2.2 Das sollte man wissen oder besser stets neu herleiten können!
¾
Diagonale im Quadrat: a 2
¾
Raumdiagonale im Würfel: a 3
¾
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
¾
Entfernung der Punkte P(xP|yP) und Q(xQ|yQ):
PQ =
Merke:
Den Rechenweg zu kennen ist immer besser als ein
auswendig gelerntes Ergebnis!
a
2
3
( x Q − xP ) 2 + ( y Q − yP ) 2
2.3 Sinus, Kosinus und Tangens
Im rechtwinkligen Dreieck (0° < α < 90°) gilt:
Gegenkathete von α
Hypotenuse
Sinus:
sin α =
Kosinus:
cos α =
Ankathete von α
Hypotenuse
Tangens:
tan α =
Gegenkathete von α
Ankathete von α
sin(90° − α) = cos α
cos(90° − α) = sin α
Schreibweise: sin 2 α := ( sin α )
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tan α =
sin α
cos α
sin 2 α + cos 2 α = 1
2
08
α
0°
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30°
1
2
1
3
2
1
3
3
45°
1
2
2
1
2
2
1
60°
1
3
2
1
2
3
(Überarbeitung: Gymnasium Ottobrunn 08)
90°
1
0
nicht
definiert
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2.4 Die Pyramide
Bsp.: Sechsseitige Pyramide
Spitze S
Seitenkante
Seitenfläche
(Dreieck)
Grundfläche
(Sechseck,
allg. Vieleck)
Das Lot von der Spitze auf die Grundebene wird als Höhe bezeichnet.
1
G⋅h .
3
Eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Kanten gleich lang sind, heißt Tetraeder.
Eine Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h hat den Rauminhalt V =
2.5 Zylinder
Volumen
V = G·h = r2π·h
Mantelfläche: M = Uk·h = 2rπ·h
Oberfläche:
O = M + 2G = 2rπ·h +2r2π
2.6 Kegel
Volumen:
s
2rπ
V= 13 Gh= 13 r 2 πh
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor mit dem Radius s (Mantellinie)
und der Bogenlänge 2rπ. Daraus lässt sich ableiten:.
Mantelfläche:
M = rπs
Oberfläche:
O = M + G = rπs + r2π
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(Überarbeitung: Gymnasium Ottobrunn 08)
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3. Funktionen
3.1 Die quadratische Funktion
Der Graph der quadratischen Funktion
2
x 6 y mit y = ax + bx + c; a ≠ 0 und x ∈ IR heißt Parabel.
e=0
Verschiebung der Normalparabel
1. um e in y-Richtung
y = x2 + e
Normalparabel
y = x2
S(0|0)
NST(0|0)
e = 1 e = –2
y
4
3
2
Normalparabel um 1 in y-Richtung verschoben
y = x2 + 1
S(0|1)
NST keine
1
-2
-1
O
2 x
1
-1
Normalparabel um -2 in y-Richtung verschoben
y = x2 – 2
S(0|–2)
-2
NST ( − 2 |0), ( 2 |0)
d=0
2. um d in x - Richtung
y = (x – d)2
Normalparabel um –1 in x-Richtung verschoben
y = (x – ( –1))2 = (x + 1)2
S(–1|0)
NST (–1|0)
Normalparabel um 2 in x-Richtung verschoben
y = (x – 2)2
S(2|0)
NST (2|0)
3. um d in x-Richtung und e in y-Richtung
y = (x – d)2 + e
Normalparabel um –1 in x-Richtung und –2 in y-Richtung verschoben
y = (x + 1)2 – 2
d = –1
S(–1|–2)
e = –2
NST ( −1 − 2 | 0), ( −1 + 2 | 0)
d = –1
y
4
3
d=2
2
1
-2
-1
O
1
2
3 x
y
2
1
-2
-1
O
1 x
-1
-2
a=2
Streckung der Normalparabel
y = ax2
a=1
y
2
a = 0,5
Für |a| > 1 ist der Graph enger als die Normalparabel.
1
Für –1 < a < 1 ist der Graph weiter als die Normalparabel.
-2
Hinweis:
Möchtest du dir den Graphen zu einem Funktionsterm anzeigen lassen,
dann kannst du das kostenlose Programm geogebra (www.geogebra.at)
verwenden.
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-1
O
1
2 x
a = –2
a = –1
-1
-2
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Allgemeine Parabel
2
f(x) = a x + b x + c
Bestimmung der Nullstellen:
2
Die Nullstellen von f sind die Lösungen der quadratischen Gleichung: a x + b x + c = 0 (siehe Abschnitt 1.6!)
Sind x1 und x2 die Nullstellen von f, so kann man die Funktionsgleichung in der Nullstellenform angeben:
f(x) = a (x − x1 ) ⋅ (x − x 2 )
Bestimmung der Scheitelpunktsform durch quadratische Ergänzung:
2
f(x) = a x + b x + c
(
2
=a x +bx+ c
a
a
)
Beispiel:
f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6
(
)
= 2 ( x2 + 2 x + 1 − 1 − 3 )
( )
2
2
⎡ 2
⎤
= a ⎢x + b x + b
− b 2 + c⎥
a
a
2a
4a
⎣
⎦
2
2 ⎤
⎡
= a⎢ x + b
+ c − b 2⎥
a
2a
4a ⎦
⎣
(
)
(
=a x+ b
2a
(
= 2 x2 + 2 x − 3
)
2
2a
4a
= 2 ( x + 1) − 8
2
⇒ S ( −1| −8 )
Auch hier ist es besser, die Methode zu kennen als
die allgemeine Formel auswendig zu lernen!
2
+c− b
4a
2
⇒ S − b |c− b
2
= 2 ⎡⎣( x + 1) − 4 ⎤⎦
)
Bestimmung des Scheitelpunkts aus vorhandenen Nullstellen:
Sind x1 und x2 die Nullstellen von f, so erhält man die
Koordinaten des Scheitelpunkts durch
x + x2
xS = 1
und yS = f(xS )
2
Merke: Dieses Verfahren lohnt sich nur, wenn f überhaupt
Nullstellen besitzt, was sich schnell über die Diskriminantenbedingung D = b2 − 4ac ≥ 0 überprüfen lässt.
Beispiel:
f(x) = 2 x 2 + 4 x − 6 Nullstellen:
2 x2 + 4 x − 6 = 0 ⇔ x2 + 2 x − 3 = 0
−2 ± 4 + 12
x = −3
⇒ 1
x2 = 1
2
−3 + 1
⇒ xS =
= −1 ; yS = f( −1) = −8
2
⇒ S ( −1| −8 )
⇒ x1/ 2 =
Übungsaufgaben: http://www.strobl-f.de/ueb9n4.pdf
http://www.strobl-f.de/ueb9n5.pdf
Lösungen dazu: http://www.strobl-f.de/lsg9n4.pdf
http://www.strobl-f.de/lsg9n5.pdf
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4. Stochastik
4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente
In einer Urne sind 2 grüne und 4 blaue Kugeln. 2 werden gezogen.
1
3
2
3
1
5
g
P(gg) =
1 1 1
⋅ =
3 5 15
4
5
2
5
b
P(gb) =
1 4 4
⋅ =
3 5 15
g
P(bg) =
2 2 4
⋅ =
3 5 15
P(bb) =
2 3 6
⋅ =
3 5 15
g
b
3
5
b
Pfadregel 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad
zum Ereignis.
Pfadregel 2: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist gleich 1.
Beispiel.:
1 2
1 4
2 3
+ = 1;
+ = 1;
+ = 1;
3 3
5 5
5 5
1 1 1 4 2 2 2 3
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1
3 5 3 5 3 5 3 5
Pfadregel 3: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Elementarereignisse dieses Ereignisses.
P(verschiedenfarbige Kugeln) = P(gb) + P(bg) =
4 4
8
+
=
15 15 15
⎛ 2⎞ ⎛ 4⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝1 ⎠ ⎝1 ⎠ 8
=
oder P(verschiedenfarbige Kugeln)
15
⎛6⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 2⎠
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