( ) 0aa - Rhön

9
Grundwissen Mathematik
1
Zahlen
1.1 Die Quadratwurzel
Die Quadratwurzel
chung
x2 = a.
a≥0
a ist die nicht negative Lösung der Glei-
0 =0
a heißt Radikand
Ein Teil der Quadratwurzeln sind rationale Zahlen
(z.B.
9 , 0,04 oder
4
),
9
2 , 0,4 oder
5
).
9
Die Menge IR der reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen.
andere dagegen irrationale Zahlen (z. B.
1.2 Rechnen mit Quadratwurzeln
( a)
2
= a; a ≥ 0
 a, falls a ≥ 0
a2 = a = 
; a beliebig
− a, falls a < 0
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Grundwissen Mathematik
a ⋅ b = a ⋅ b ; a, b ≥ 0
a:b =
aber:
a
=
b
a
= a : b;
b
a≥0
b>0
a±b ≠ a ± b
Teilweises Radizieren
Zerlege den Radikand in ein Produkt, so dass ein Faktor eine
Quadratzahl ist. Beispiele:
192 = 64 ⋅ 3 = 8 3;
x5 = x4 ⋅ x = x2 x ; x ≥ 0
Unter die Wurzel ziehen
Ist bei einem Produkt ein Faktor eine Wurzel, so lässt sich das
Produkt als Wurzel schreiben. Beispiele:
4 5 = 4 2 ⋅ 5 = 80 ;
b b 4 + 9 = b 2 (b 4 + 9) ;b ≥ 0
− 3 a + 1 = − 3 2 (a + 1)
1.3 Die n-te Wurzel
Die n-te Wurzel aus a ist die nicht negative Lösung der Gleichung
xn = a (a ∈ IR +0 ).
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Grundwissen Mathematik
x = n a n ∈ IN; a ∈ IR +0 , da x n = a
n
0 =0
Bsp: 2 = 3 8 ; denn 2 3 = 8
Die Gleichung x 3 = −8 hat die Lösung x = −2 = − 3 8 .
1.4 Potenzen mit rationalen Exponenten
p
q
q
Für positive Basis a definiert man: a = a p ( p ∈ Z; q ∈ IN )
Rechnen mit n-ten Wurzeln durch Umformen in Potenzen:
1
2
3
1
1
−
1
1
1
Bsp: 3 = 3 2 ; 3 4 = 4 3 = ( 2 2 ) 3 = 2 3 ; 5 =
= 3 =2 5
8 5 23
25
3
3
6
3
25 4 = ( 5 2 ) 4 = 5 4 = 5 2 = 5
1+
1
2
= 5⋅ 5
1.5 Binomische Formeln
Plus-Formel
(a
Minus-Formel (a
Plus-Minus-Formel
+ b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrat, doppeltes

– b)2 = a2 – 2ab + b2 Pr odukt, Quadrat
(a + b)(a – b) = a2 – b2
1.6 Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 nennt man
quadratische Gleichung in x.
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Lösung mit Hilfe der Lösungsformel
Für die Lösungen der quadratischen Gleichung gilt:
x1,2 =
− b ± b 2 − 4ac
2a
Der Ausdruck b 2 − 4ac wird als Diskriminante D bezeichnet.
D > 0 ⇒ Gleichung besitzt genau zwei Lösungen
D = 0 ⇒ Gleichung besitzt genau eine Lösung
D < 0 ⇒ Gleichung besitzt keine Lösung
Bsp.: 2x2 – 3x – 2 = 0
x 1, 2 =
3 ± 3 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−2)
2⋅2
=
3±5
4
L = {– 0,5; 2}
1.7 Biquadratische Gleichung
Eine Gleichung der Form ax 4 + bx 2 + c = 0; a ≠ 0 nennt man
biquadratische Gleichung.
Bsp.:
x4 + 2x2 – 3 = 0
Lösung durch die Substitution: x2 = u
u2 + 2u –3 = 0 → u1 = 1; u2 = –3
Rücksubstitution: x 12/ 2 = 1 → x1 = 1; x2 = –1
x 32 / 4 = –3 → keine Lösung für x
L = {–1; 1}
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1.8 Lösung linearer Gleichungssysteme mit 3 Variablen
I:
II:
III:
2x + 3y – z = –6
–x + y + 2z = 1
3x + 3y + z = –1
1·I + 2·II = I’
3·I + (–2) III = II’
|·1
|·2
|·3
|·(-2)
5y + 3z = –4 |·3
3y – 5z = –16 |·(–5)
3·I’ + (-5)·II’
34z = 68 → z = 2
in I’
5y + 6 = –4 → y = –2
in I 2x + 3·(–2) – 2 = –6 → x = 1
L = {(1; –2; 2)}
2
Geometrie
2.1 Die Satzgruppe des Pythagoras
C
h
B
A
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Höhensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über
der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden
Hypotenusenabschnitten.
2
h = p⋅q
Kathetensatz: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist jedes
Kathetenquadrat flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse
und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.
a 2 = c ⋅ p bzw. b 2 = c ⋅ q
Satz des Pythagoras: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das
Hypotenusenquadrat flächengleich der Summe der Flächeninhalte
der Kathetenquadrate.
a 2 + b2 = c2
Merke: Der Kehrsatz ist ebenfalls gültig!
2.2 Das sollte man wissen!
Diagonale im Quadrat: a 2
Raumdiagonale im Würfel: a 3
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
a
2
3
Entfernung der Punkte A(a1|a2) und B(b1|b2):
AB =
(b 1 − a 1 )2 + (b 2 − a 2 )2
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2.3 Sinus, Kosinus und Tangens
Im rechtwinkligen Dreieck (0° < α < 90°) gilt:
Sinus:
sin α =
Gegenkathete von α
Hypotenuse
Kosinus:
cos α =
Ankathete von α
Hypotenuse
Tangens:
tan α =
Gegenkathete von α
Ankathete von α
sin(90° − α) = cos α
cos(90° − α) = sin α
tan α =
Schreibweise: sin 2 α := ( sin α )
α
0°
sinα
0
cosα
1
tanα
0
30°
1
2
1
3
2
1
3
3
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sin α
cos α
sin 2 α + cos 2 α = 1
2
45°
1
2
2
1
2
2
60°
1
3
2
1
2
1
3
09
90°
1
0
nicht
definiert
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2.4 Die Pyramide
Spitze S
Seitenkante
Seitenfläche
(Dreieck)
Bsp.: Sechsseitige Pyramide
Grundfläche
(Sechseck, allg.
Vieleck)
Das Lot von der Spitze auf die Grundebene wird als Höhe bezeichnet.
Eine Pyramide mit der Grundfläche G und der Höhe h hat den
1
Rauminhalt V = G ⋅ h .
3
Eine dreiseitige Pyramide, bei der alle Kanten gleich lang sind,
heißt Tetraeder.
2.5 Zylinder
Volumen
V = G·h = r2π·h
Mantelfläche: M = Uk·h = 2rπ·h
Oberfläche:
O = M + 2G = 2rπ·h +2r2π
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2.6 Kegel
Volumen:
2rπ
s
V= 13 Gh= 13 r 2 πh
Die Mantelfläche ist ein Kreissektor
mit dem Radius s (Mantellinie) und
der Bogenlänge 2rπ.
Mantelfläche: M = rπs
Oberfläche:
O = M + G = rπs + r2π
außerdem gilt: s2 = r2 + h2
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3
Funktionen
3.1 Die quadratische Funktion
Der Graph der quadratischen Funktion
2
x ֏ y mit y = ax + bx + c; a ≠ 0 und x ∈ IR heißt Parabel.
Verschiebung der Normalparabel
1. um e in y-Richtung
e=0
e = 1 e = –2
y = x2 + e
y
Normalparabel
4
y = x2
S(0|0)
3
NST: x = 0
Normalparabel um 1 in yRichtung verschoben
y = x2 + 1
S(0|1)
NST: keine
2
1
-2
O
1
2 x
-1
Normalparabel um -2 in yRichtung verschoben
y = x2 – 2
S(0|–2)
NST: x1 = − 2 ; x2 =
-1
-2
2
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2. um d in x - Richd=0
d = –1
tung
y
4
y = (x – d)2
Normalparabel um –1
3
in x-Richtung verschoben
y = (x – ( –1))2 =
2
(x + 1)2
S(–1|0)
1
NST: x = –1
Normalparabel um 2
-2
-1 O
1
2
in x-Richtung verschoben
y = (x – 2)2
S(2|0)
y
NST: x = 2
2
3. um d in x-Richtung und e in yRichtung
1
y = (x – d)2 + e
Normalparabel um –1 in x- d = –1
-2
-1 O
Richtung und –2 in y-Richtung e = –2
verschoben
-1
y = (x + 1)2 – 2
S(–1|–2)
-2
NST: x1 = −1 − 2; x 2 = −1 + 2
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d=2
3 x
1 x
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Streckung der Normalparabel
y = ax2
a=2
Für |a| > 1 ist der Graph
enger als die Normalparabel.
Für –1 < a < 1 ist der
Graph weiter als die Normalparabel.
a=1
y
2
a = 0,5
1
-2
-1
O
1
2 x
-1
-2
a = –2
Allgemeine Parabel
Scheitel der allgemeinen Parabel S (−
a = –1
b
b
| f (− ))
2a
2a
−b − b 2 − 4ac
−b + b 2 − 4ac
; x2 =
, falls b2 – 4ac ≥ 0,
2a
2a
sonst keine.
Bsp.: y = 2x2 + 4x – 6
NST: x1 = –3; x2 = 1
S(–1|f(–1) = –8) ⇒ y = 2[(x+1)2] –8 = 2x2 + 4x – 6
NST: x1 =
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4
Stochastik
4.1 Mehrstufige Zufallsexperimente
In einer Urne befinden sich 2 grüne und 4 blaue Kugeln. 2 werden
ohne Zurücklegen gezogen.
1
g
1 1 1
5
P(gg) = ⋅ =
3 5 15
1
3
2
3
g
4
5
2
5
b
g
b
3
5
b
P(gb) =
1 4 4
⋅ =
3 5 15
P(bg) =
2 2 4
⋅ =
3 5 15
P(bb) =
2 3 6
⋅ =
3 5 15
Pfadregel 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zu diesem
Ereignis.
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Pfadregel 2: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist gleich 1.
1 2
1 4
2 3
+ = 1;
+ = 1;
+ = 1;
3 3
5 5
5 5
Bsp.:
1 1 1 4 2 2 2 3
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =1
3 5 3 5 3 5 3 5
Pfadregel 3: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem
Ereignis führen.
P(verschiedenfarbige Kugeln) = P(gb) + P(bg) =
4 4
8
+
=
15 15 15
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