Seminarvortrag Teilchen- und Kerntheorie Wechselwirkungen

Seminarvortrag
Teilchen- und Kerntheorie
Wechselwirkungen, Propagatoren und FeynmanDiagramme
Bei Herrn Prof. Münster und Dr. Heitger
Stefanie Rau
1.Wechselwirkungen
In der Natur lassen sich 4 Arten von Wechselwirkungen finden.
Gravitation
Stärke
Wirkungsbereiche
elektromagnetische
WW
sehr schwach schwach
stark
wirkt zwischen Leptonen, Hadronen Ladungen
Massen
⇒ Chemie
⇒ β -Zerfall
⇒ Planetenbewegung
Reichweite Unendlich
WW durch: ?Graviton?
schwache WW
< 10 −17 m
Vektorboson
Unendlich
Photon
starke WW
sehr stark
Hadronen
⇒ Bindung der
Kerne
Quarks
⇒ Bindung der
Quarks im
Nukleon
≤ 10 −15 m
Mesonen
Gluonen
Wie man auch in der letzten Zeile der Tabelle sieht kann man Wechselwirkung auch durch
Teilchenaustausch beschreiben. Allerdings ist das Graviton bisher noch nicht nachgewiesen.
Die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen lässt sich mathematisch durch eine
Störungstheoretische Entwicklung beschreiben. Allerdings macht diese erst dann Sinn, wenn
ein Beitrag höherer Ordnung kleiner ist als der vorherige Beitrag. Dazu können wir zwei
Beispiele betrachten:
Thomson-Streuung:
γe → γe
Abb.1 Thomson-Streuung
Die Wechselwirkung wird in diesem Fall charakterisiert durch die Größe α ≈
hier eine störungstheoretische Entwicklung sinnvoll.
Pion-Proton-Streuung:
Abb.2 Pion-Proton-Streuung
1
. Damit ist
137
Hier ist die charakteristische Größe nun α H ≈ 1...10 . Eine störungstheoretische Entwicklung
ist nun nicht mehr sinnvoll.
Wir wollen nun im folgenden eine mathematische Beschreibung der elektromagnetischen
Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen, also eine störungstheoretische Entwicklung
herleiten. Dazu müssen wir beachten, dass die zu betrachtenden Teilchen eine hohe Energie
und eine Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit haben, so dass man relativistisch
rechnen muss.
2.Lagrange-Formalismus
Wir betrachten als erstes für die Herleitung der mathematischen Beschreibung unseres
Problems den Lagrange-Formalismus.
Hierbei versucht man für das jeweilige Problem die Lagrange-Funktion L(q, q& ) = T − V zu
finden. Daraus erhält man die Bewegungsgleichung: Euler-Lagrange-Gleichung:
∂L d ∂L
−
=0
∂q dt ∂q&
∂L
Wobei q die generalisierte Koordinate ist, mit der sich über
= p der generalisierte Impuls
∂q&
berechnen lässt. Man kann dann eine Hamilton Funktion definieren zu: H = pq& − L . Daraus
lassen sich nun die wichtigen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen berechnen:
∂H
∂H
q& =
p& = −
∂p
∂q
Wenn wir nun von klassischen zum quantenmechanischen System übergehen wollen, müssen
wir Quantisierungsbedingungen einführen:
q& (t ) = (ih) −1 [q(t ), H (t )]
p& (t ) = (ih) −1 [ p(t ), H (t )]
Will man zum Vielteilchensystem übergehen, so ersetzt man q durch q n und summiert ggf.
über n. Bei der Quantisierungsbedingung erhalten wir so ein δ n,m .
[q(t ), p(t )] = ih
Wir machen nun den Übergang zur Feldtheorie. Das Feld zur Zeit t wird beschrieben durch
r
φ (t , x ) und durch seine Variablen q n (t ) repräsentiert. Wir können deswegen nun auch für
r
φ (t , x ) den Lagrange-Formalismus anwenden und erhalten:
r
L(t ) = ∫ d 3 xLˆ (t , x )
r
r
r
∂L
⇒ H (t ) = ∫ d 3 xΠ (t , x )φ&(t , x ) − L(t )
∂φ&( x)
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:
r
δH (t )
& (t , xr ) = − δH (tr)
φ&(t , x ) =
Π
r
δΠ (t , x )
δφ (t , x )
Auch hier macht man den Übergang zum quantenmechanischen System über die
Quantisierungsbedingungen:
Π ( x) =
[φ (t , xr ), Π (t , yr )] = ihδ 3 ( xr − yr)
r
r
φ&(t , x ) = (ih) −1 [φ (t , x ), H (t )]
[φ (t , xr ), φ (t , yr )] = [Π (t , xr ), Π (t , yr )] = 0
& (t , xr ) = (ih) −1 [Π (t , xr ), H (t )]
Π
2.1 Beispiel für ein relativistisches System
Im einfachsten Fall ist L = − 12 (∂ µ φ )(∂ µ φ ) − 12 m 2φ 2 . (Die Einsteinsche Summenkonvention
wurde verwendet.) Wir erhalten aus der Euler-Lagrange-Gleichung die Bewegungsgleichung:
(∂ µ ∂ µ − m 2 )φ = 0
Klein-Gordon-Gleichung
r
In relativistischen Systemen ist x ein 4er-Vektor, der sich schreiben lässt als x = (t , x ) , wobei
r
x der dreidimensionale Ortsvektor ist. Damit lässt sich L umformen und erhält eine
Ableitung nach der Zeit und eine Ableitung nach dem Ort. Auch hier lassen sich die
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen berechnen:
r
δH
& = − δH = ∇ 2φ − m 2φ
φ& =
=Π
Π
δΠ
δφ
Die Lösungen dieser Gleichungen sind ebene Wellen: φ = e ± ikx und Π = m ik 0 e ± ikx mit
k 0 = + m 2 + k 2 . Wir fouriertransformieren diese Lösungen nun und machen den Übergang
zum quantenmechanischen System. Das bedeutet aber, dass φ und π nun hermitesche
Operatoren sind. Auch hier müssen dann die Quantisierungsbedingungen gelten. Wir erhalten
dann:
r
r
1
a(k )e ikx + a + (k )e −ikx
φ ( x) = ∫ d 3 k
3
(2π ) 2k 0
r ikx
r −ikx
1
+
Π ( x) = ∫ d 3 k
a
(
k
)
e
−
a
(
k
)e (− ik 0 )
(2π )3 2k 0
Wobei gilt:
r
r
a (k ) = ∫ d 3 x (2k 0φ + iΠ )e − ikx
[a(kr), a(kr ′)] = [a
+
(
)
(
)
r
r
a + (k ) = ∫ d 3 x (2k 0φ − iΠ )e ikx
]
r
r
(k ), a + (k ′) = 0
[a(kr), a
+
]
r
r r
(k ′) = 2k 0 (2π ) 3 δ 3 (k − k ′)
2.2 Teilchen-Interpretation
Wir wollen uns als nächsten Punkt die Eigenschaften von a und a + verdeutlichen. Mit Hilfe
r
r
der Schrödinger Gleichung HΨ = EΨ und den Kommutatoren H , a + (k ) = a + (k )k 0 und
r
r
H , a (k ) = − a (k )k 0 kann man zeigen, dass a und a + die Eigenschaften von
Vernichtungsoperatoren bzw. Erzeugungsopertoren haben.
[
]
[
]
Der Vakuumzustand Ψ0 oder 0 charakterisiert ein System ohne Teilchen. Hierbei gilt:
r
HΨ0 = E 0 Ψ0 mit E 0 = 0 und a (k )Ψ0 = 0 . (Also E 0 ist minimale Energie.)
Mit der Interpretation der Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren sehen wir jetzt, dass sich
jeder beliebige Zustand Ψn durch Anwendung der Erzeugungsoperatoren aus dem
Vakuumzustand entwickeln lässt:
r
r
r
r
r
r
Ψn = a + (k1 ) ⋅ a + (k 2 ) ⋅ ... ⋅ a + (k n )Ψ0
bzw. k1 ,..., k n = a + (k1 ) ⋅ a + (k 2 ) ⋅ ... ⋅ a + (k n ) 0
2.3 Weitere Bewegungsgleichungen und ihre Lösungen
Wir können natürlich neben dem behandelten Beispiel auch für andere Probleme
Bewegungsgleichungen aufstellen und diese mit der eben beschriebenen Methode lösen. Zum
Beispiel:
Dirac-Gleichung:
r
Ψ ( x) = ∫ d 3 k
(i∂/ − m)Ψ ( x) = 0
1
 −ikx

 e ∑ b(k , s )u (k , s ) + e ikx ∑ d (k , s )v(k , s ) 
3
(2π ) 2k 0 
s
s

r
Ι 0  r  0 σ 
r
 γ =  r
 . Wobei σ die PauliHierbei ist ∂/ = γ ∂ µ mit γ = (γ , γ ) und γ = 
0 − Ι
−σ 0 
Spin-Matrizen sind. b(k,s) und d(k,s) haben dieselbe Interpretation wie a und a + . u und v
geben den Spin des Teilchens an.
µ
0
r
0
3. Propagatoren
Wir betrachten nun die Dirac-Gleichung für ein Elektron im elektromagnetischen Feld:
/ Ψ ( x)
(i∂/ − m)Ψ ( x) = −eA
Diese Gleichung lässt sich, ähnlich wie die Poisson-Gleichung, mit Hilfe der Greenschen
Funktion lösen. Allerdings müssen wir hier beachten, dass die Gleichung gekoppelt ist. Wir
machen also den Ansatz:
(i∂/ − m)G ( x, x ′) = δ 4 ( x − x ′)
und erhalten dann als Lösung:
/ ( x ′))Ψ ( x ′)d 4 x ′
Ψ ( x) = ∫ G ( x, x ′)(−eA
Dies ist zwar Lösung der DGL, allerdings ist die Lösung noch gekoppelt. Deswegen wird
diese Lösung entwickelt, wir erhalten dann eine iterative Lösung. Dies entspricht genau der
Störungsrechnung. Aber zuerst werden wir zu der schon bekannten Lösung die Lösung der
homogenen DGL hinzuaddieren, die ebene Welle:
/ ( x ′)Ψ ( x ′)d 4 x ′
Ψ ( x) = φ ( x) − e ∫ G ( x, x ′) A
Näherungen:
0te-Ordnung: Vernachlässigung des äußeren Feldes
Ψ ( 0 ) ( x) = φ ( x)
1te-Ordnung: Einsetzten von Ψ ( 0 ) ( x)
/ ( x ′)φ ( x ′)d 4 x ′
Ψ (1) ( x) = φ ( x) − e ∫ G ( x, x ′) A
2te-Ordnung: Einsetzten von Ψ (1) ( x)
/ ( x ′)φ ( x ′)d 4 x ′ + e 2 ∫ G ( x, x ′) A
/ ( x ′)G ( x ′, x ′′) A
/ ( x ′′)φ ( x ′′)d 4 x ′d 4 x ′′
Ψ ( 2 ) ( x) = φ ( x) − e ∫ G ( x, x ′) A
Wir müssen nun G ( x, x ′) berechnen. Dazu fouriertransformieren wir G ( x, x ′) und wenden
~
(i∂/ − m) an. Wir erhalten dann den Elektron-Propagator G ( p ) . Dieser ist allerdings für reelle
Elektronen nicht gültig, da der Zähler Null wird (p=4erImpuls). Mit Hilfe der
Residuenmethode (siehe Anhang) lässt er sich umschreiben zu:
p+m
~
G ( p) = 2 / 2
ε >0
p − m + iε
Aus der Herleitung erhalten wir noch, dass Teilchen bei positiven Energien vorwärts in der
Zeit laufen und bei negativer Energie rückwärts in der Zeit, bzw. ihre Antiteilchen laufen
vorwärts in der Zeit. Der Propagator beschreibt anschaulich die Ausbreitung eines Teilchens
vom Ort x zum Ort x ′ .
4.Elektronenstreuung
Abb.3 Streuung eines Wellenpakets am Potential
Dargestellt ist die Streuung eines einlaufenden Wellenpakets am Potential. Wir betrachten die
r
Welle allerdings nur näherungsweise als ebene Welle. Der Detektor misst nur den auf p f
projizierten Teil der Streuwelle.
Die Streuwelle wird definiert durch:
ΨSTREU = Sφi
Die Elemente der Streumatrix S sind als Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen gegebenen
Eingangs- und wohldefinierten Ausgangszuständen zu interpretieren. Diese Elemente sind
gegeben durch das Überlappungsintegral zwischen der Streuwelle ΨSTREU und der ebenen
Welle:
S f ,i = ∫ d 3 x 2φ f+ ( x 2 ) Sφi ( x 2 ) = ∫ d 3 x 2φ f+ ( x 2 )ΨSTREU ( x 2 )
Für ΨSTREU setzt man die jeweilige Näherung (siehe 3.) ein.
4.1 Matrixelement 1ter Ordnung
/ ( x ′)φi ( x ′)
S (f1,)i = ie ∫ d 4 x ′φ f ( x ′) A
Dieses Matrixelement kann durch ein Raum-Zeit-Diagramm veranschaulicht werden.
Abb.4 Raum-Zeit-Diagramm
Damit keine Divergenzen auftreten, darf das elektromagnetische Potential nur in einem
begrenzten Gebiet ungleich Null sein, wenn wir ebene Wellen anstatt Wellenpakete
benutzten.
4.2 Matrixelement 2ter Ordnung
/ ( x ′′)G ( x ′′ − x ′) A
/ ( x ′)φi ( x ′)
S (f 2,i) = −ie 2 ∫ d 4 x ′∫ d 4 x ′′φ f ( x ′′) A
Auch dieses Matrixelement kann durch ein Raum-Zeit-Diagramm veranschaulicht werden.
Abb.5 Raum-Zeit-Diagramm
4.3 Anwendungsbeispiel
Berechnung des Matrixelements 1ter Ordnung für Elektronenstreuung an einem schweren
Atomkern.
r
Ze
Ze
/ ( x) = γ µ Aµ = γ 0
A=0
A0 =
A
r
4πr
4π x
Der Kern bleibt in Ruhe ⇒ kein Magnetfeld.
φi / f ( x) =
Wellen: ebene, normierte Wellen:
Mit u ( p) =
1
V
u ( pi / f ) exp(−ipi / f x)
 r ϕr 
Mit u ( p) = E + m  σ ⋅ p  (gibt Spin ½ an).

ϕ
e+m 
r r
r
r
r
θ
Mit q = p f − pi und q = 2 pi sin
2
Dieses alles wird nun in das Matrixelement 1ter Ordnung eingesetzt. Außerdem wird mit
d 4 x = d 3 x ⋅ dt und dem 4er Impuls p = ( p X , pY , p Z , E ) :
1 −iqrxr
S (f1,)i = ie( Ze) V1 u f γ 0 u i ∫ d 3 x
r e ∫ dt exp(i ( E f − Ei )t
4π x
Bei Integration des zweiten Integrals erhält man eine Deltafunktion und somit
Energieerhaltung bei elastischer Streuung am unendlich schweren Streuzentrum.
5. Photon-Propagatoren
Wir haben bisher die Streuung eines Teilchens (Elektron) an einem statischen Potential
betrachtet. Nun wird der erarbeitete Lösungsweg auf das Problem Streuung zweier geladener
Teilchen übertragen. Wir behandeln als Beispiel die Elektron-Proton-Streuung e + p → e + p .
Das Proton erzeugt ein Potential A µ :
 ∂2 r 2  µ
 2 − ∇  A ( x) = J µ ( x)

 ∂t
Hierbei ist J µ (x) der vom Proton erzeugte Viererstrom. Auch diese DGL lösen wir mit der
 ∂ 2 r 2  µν
 2 − ∇  D ( x − x ′) = g µν δ 4 ( x − x ′)
Greenschen Funktion und machen den Ansatz:

 ∂t
4
µ
µν
Damit erhalten wir als Lösung:
A ( x) = ∫ d x ′D ( x − x ′) Jν ( x ′) .
Für den Photon-Propagatoren erhalten wir
− g µν
~
D µν (q) = 2
q + iε
Als nächstes muss J µ (x ) errechnet werden:
J µ ( x) = eΨ f ( x)γ µ Ψi ( x)
Für die Wellenfunktionen gilt:
Ψi / f =
1
V
u ( p 2 / 4 ) exp(−ip 2 / 4 x)
Wenn dies alles nun einsetzten erhalten wir für die Lösung der DGL:
e
− g µν −iqx
A µ ( x) = ∫ d 4 p 2
e u ( p 4 )γ ν u ( p 2 )δ 4 ( p 4 + q − p 2 )
V
q + iε
Um nun die Wechselwirkung des Protons auf das Elektron zu erhalten setzten wir die Lösung
für A µ (x) in die Streumatrix 1ter Ordnung ein und erhalten:
S (f1,)i = ie 2 ∫ d 4 q
1
(2π )
δ 4 ( p3 − p1 − q)δ 4 ( p 4 + q − p 2 )(2π ) 8
4
− g µν
1
u
(
p
)
γ
u
(
p
)
u ( p 4 )γ ν u ( p 2 )
3
µ
1
V2
q 2 + iε
Diese lange Gleichung lässt sich in einem Feynman-Diagramm darstellen.
6. Feynman-Diagramme
Um die obige Gleichung graphisch darzustellen stellen wir zuerst ein paar Regeln auf.
1. Fermionen werden durch eine gerade Linie dargestellt.
2. Photonen werden durch eine geschlängelte Linie dargestellt.
1
3. einlaufende Fermionen sind das Matrixelement
u ( p) , auslaufende das
V
1
Matrixelement
u ( p)
V
− g µν
4. Das Photon wird durch den Propagator 2
⋅ i beschrieben.
q + iε
5. In einem Vertex (Schnittpunkt) enden immer zwei Fermionenlinien und eine
Photonenlinie
Damit lässt sich nun die Gleichung darstellen :
Abb.6 Feynman-Diagramm
Aber auch andere Prozesse lassen sich graphisch darstellen, hier ein paar Beispiele:
Streuung geladener Teilchen
Abb.7 Streuung geladener Teilchen
Compton-Streuung
Abb.8 Compton-Streuung
Bremsstrahlung
Abb.9 Bremsstrahlung
Paar-Vernichtung und –Erzeugung
Abb.10 Paar-Vernichtung und -Erzeugung
Anhang
Zur Herleitung des Elektronenpropagators.