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Wiederholung: Laplace‘scher W.-Raum
Sei Ω = {ω1,ω2, . . . ,ωs} eine s-elementige Menge von
Elementarereignissen und gelte p(ω) = 1/s für alle ω ∈Ω.
Dann nennen wir (Ω,P ) einen Laplace‘schen W-Raum.
Problem: s ist normalerweise nicht bekannt und muss daher
berechnet werden.
=> Kombinatorik
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KAPITEL 2
KOMBINATORIK
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Gliederung
11.01.
Einleitung
Elementare Zählprobleme
17.01.
Geburtstagsproblem (Paradoxon der ersten Kollision)
Formel des Ein- und Ausschließens
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Einleitung
Die Kombinatorik wird auch als die „Kunst des geschickten Zählens“ bezeichnet. Im
Folgenden geht es im Prinzip auch um nichts anderes, als irgendetwas mit möglichst
geringem Aufwand abzuzählen.
Die beiden typischen Fragestellungen in der Kombinatorik lauten:
(1)Wie viele Möglichkeiten gibt es, k Objekte aus einer Menge von n Objekten
auszuwählen?
=> Kombinationen
(2)Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Objekte in verschiedenen Reihenfolgen
anzuordnen?
=> Permutationen
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Permutation oder Kombination?
Führt die Vertauschung von zwei Elementen eines Ergebnisses zu einer anderen
inhaltlichen Interpretation oder liegt eine Nummerierung der Auswahlprozesse vor?
Ja
Nein
=> Permutation
=> Kombination
Händeschütteln
Jemanden besuchen
Lottozahlen
Totozahlen
Gerichte an Personen verteilen
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Nein
Ja
Nein
Ja
Ja
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Beispiel 1
In einem Restaurant gibt es 4 Vorspeisen, 4
Suppen und 5 Hauptgänge. Wie viele
Möglichkeiten der Menüwahl gibt es, wenn
man aus jeder Kategorie eine Speise wählt?
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Beispiel 2
Wie viele verschiedene Autokennzeichen
für Saarbrücken sind möglich, wenn nach
dem Städtekürzel SB zwei Buchstaben
und drei Ziffern folgen?
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Fundamentalprinzip des Zählens
1) Sind A und B endliche Mengen mit |A| = n und |B| = m.
Dann hat das kartesische Produkt n · m Elemente. Kurz: |A x B| = n · m.
2) Sind A1, A2, … ,Ak endliche Mengen mit |Ai| = ni für i = 1, … , k.
Dann: | A1 x A2 x · · · x Ak| = n1 · n2 · · · nk.
Dieses Fundamentalprinzip lässt sich in Situationen anwenden, in denen aus
mehreren Auswahlmengen je genau ein Element gewählt wird.
Menü: Auswahlmengen Vorspeisen, Suppen, Hauptgänge
Autokennzeichen: Auswahlmengen 1. Buchstabe, 2. Buchstabe, 1. Ziffer, 2. Ziffer, 3. Ziffer
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Elementare Zählprobleme
Es gibt vier elementare Zählprobleme:
(1) Reihenfolge wichtig, Wiederholung möglich.
Beispiele: Buchstaben in Wort, Ziffern in Telefonnummer
(2) Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung möglich.
Beispiele: Ziehung der Auftrittsfolge bei Konzert
(3) Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung.
Beispiele: Lottozahlen, Verteilung der Karten bei einem Kartenspiel
(4) Reihenfolge unwichtig, Wiederholung möglich.
Beispiele: Nicht unterscheidbare Äpfel an Kinder verteilen.
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Urnenmodelle
Die vier elementaren Zählprobleme werden in der Literatur oft als „Urnenmodelle“
bezeichnet. Diesem Begriff liegt die Vorstellung zugrunde, dass Kugeln aus einer
Wahlurne gezogen werden.
Probleme (1) und (2) werden dann als geordnetes Ziehen mit bzw. ohne
Zurücklegen bezeichnet; Probleme (3) und (4) entsprechend als ungeordnetes
Ziehen mit bzw. ohne Zurücklegen.
Wir verwenden im Anschluss an Behrens den Begriff der elementaren Zählprobleme,
da dieser die zugrundeliegende Prozesse besser beschreibt als der historische
Begriff „Urnenmodelle“.
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Zählproblem 1: Reihenfolge wichtig, Wiederholung möglich
Beispiel: Wörter mit 4 Buchstaben
n = 26 Buchstaben (Wahlmöglichkeiten)
k = 4 Auswahlprozesse
Hier lässt sich direkt das Fundamentalprinzip anwenden:
Jede Auswahlmenge enthält 26 Buchstaben.
Somit gibt es 264 = 456.976 Wörter mit 4 Buchstaben (wobei aber nicht alle sinnvolle
Wörter sind).
Allgemein: Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es
nk
Möglichkeiten, wenn Elemente wiederholt ausgewählt werden dürfen und die Reihenfolge
wichtig ist.
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Zählproblem 2: Reihenfolge wichtig, keine Wiederholung
Beispiel: Wörter mit drei verschiedenen Buchstaben
n = 26 Buchstaben
k = 3 Auswahlprozesse
1. Buchstabe: 26 Wahlmöglichkeiten
2. Buchstabe: 25 Wahlmöglichkeiten (1. Buchstabe darf nicht mehr vorkommen)
3. Buchstabe: 24 Wahlmöglichkeiten (erste beide Buchstaben dürfen nicht mehr
vorkommen.
Somit gibt es 26 * 25 * 24 = 15.600 Möglichkeiten.
Allgemein: Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es
n * (n-1) * (n-2) * ∙ ∙ ∙ * (n-k+1)
Möglichkeiten, wenn Elemente nicht mehrfach ausgewählt werden dürfen und die
Reihenfolge wichtig ist.
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Spezialfall zu Problem 2
k = n:
Es gibt n * (n-1) * (n-2) * ∙ ∙ ∙ * 1 = n! Möglichkeiten.
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Zählproblem 3: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung
Beispiel: Lotto 6 aus 49
n = 49 Kugeln (Wahlmöglichkeiten)
k = 6 Ziehungen (Auswahlprozesse)
Würde die Reihenfolge eine Rolle spielen, so gäbe es
49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44
Möglichkeiten.
Seien die gezogenen Zahlen a1, a2, a3, a4, a5, a6.
Für die Reihenfolge dieser Zahlen gibt es 6! Möglichkeiten (Zählproblem 2 mit k = n).
D. h.: Diese 6! Möglichkeiten sind identisch, wenn die Reihenfolge egal ist.
Somit gibt es 49 * 48 * 47 * 46 * 45 * 44 / 6! = 13.983.816 Möglichkeiten.
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Zählproblem 3: Reihenfolge unwichtig, keine Wiederholung
Allgemein:
n Wahlmöglichkeiten
k Auswahlprozesse
Für die Auswahl von k Elementen aus einer n-elementigen Menge gibt es
n * (n-1) * (n-2) * ∙ ∙ ∙ * (n-k+1) / k!
Möglichkeiten, wenn Elemente nicht mehrfach ausgewählt werden dürfen und die
Reihenfolge unwichtig ist.
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Bemerkung zu Zählproblem 3
.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist gleich dem Binomialkoeffizienten
n über k.
Wenn man n * (n-1) * (n-2) * ∙ ∙ ∙ * (n-k+1) / k! mit (n-k)! erweitert, erhält man die
klassische Formel
n
=
n
k
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n!
k ! ·k!
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Zählproblem 4: Reihenfolge unwichtig, Wiederholung möglich
Typische Situation:
n unterscheidbare Kästen
k identisch aussehende Kugeln
Auf wie viele Weisen können die Kugeln in den Kästen platziert werden?
Wir veranschaulichen die Problemstellung wie folgt:
(i) Wir fügen n-1 Trennstriche zwischen den Kästen hinzu => k+n-1 Elemente
(ii) Die Verteilung der Kugeln auf die Kästen ist durch die Anordnung der n-1
Trennstriche festgelegt.
(iii)Umgekehrt führt jede unterschiedliche Anordnung der Trennstriche zu einer
unterschiedlichen Anordnung der Kugeln in den Kästen.
Somit ist das Problem analog zur Auswahl von n-1 Elementen aus einer (n-1+k)elementigen Menge ohne Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
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Anwendung: Gummibärchen-Orakel
Aus einer vollen Tüte mit Gummibärchen in 5 Farben werden
5 Stück gezogen.
Dann ist n = 5 und k = 5.
Somit gibt es
=
126 = verschiedene Kombinationen.
Das Orakel online:
http://www.gummibaerchen-orakel.ch
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Verallgemeinerung von Problem 2 – Permutationen ohne Whd. - für den Fall k = n
Bei Problem 2 sind wir davon ausgegangen, dass die einzelnen Auswahlelemente
voneinander unterscheidbar sind. Nun nehmen wir an, dass wir nur bestimmte
Gruppen unterscheiden können; innerhalb der Gruppe gibt es keine Unterschiede
zwischen den Elementen.
Beispiele:
(1)Schwarze, weiße und rote Kugeln
(2)Äpfel, Bananen, Orangen und Birnen
(3)Fußball: Torwart, Verteidiger, Mittelfeldspieler, Stürmer
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Verallgemeinerung Problem 2 - Fortsetzung
Sei r die Anzahl der Gruppen mit ni Elementen in
Gruppe i. Dann ist n1 + n2 + ··· + nr = n.
(1)Für die Anordnung der n Elemente gibt es n! Möglichkeiten.
(2)Für die Anordnung der ni Elemente aus Gruppe i gibt es ni ! Möglichkeiten, die nicht
unterscheidbar sind.
(3)Jede Anordnung für eine Gruppe kann mit jeder Anordnung einer anderen Gruppe frei
kombiniert werden.
=> Fundamentalregel: Es gibt insgesamt n1 ! * n2 ! * ··· * nr ! Anordnungen, die nicht
voneinander unterscheidbar sind. Somit gibt es
n!
n1 ! ∗ n2 ! ∗ ··· ∗ nr !
unterscheidbare Anordnungen.
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Bemerkung
n!
__
n1 ! ∗ n2 ! ∗ ··· ∗ nr !
heißt Multinomialkoeffizient.
Im Fall r = 2 entspricht der Multinomialkoeffizient dem Binomialkoeffizienten.
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Beispiel
45 Bälle in verschiedenen Farben
10 rot
15 blau
12 grün
8 gelb
.
Fragestellung 1: Wie viele unterscheidbare Anordnungen der Bälle gibt es ?
Lösung: Multinomialkoeffizient mit n = 45, n1 = 10, n2 = 15, n3 = 12, n4 = 8
Fragestellung 2: 10 Bälle werden gezogen
Lösung: (1) Für jede Farbe richten wir ein eigenes Fach ein und ziehen 3 Trennstriche
zwischen den Fächern => Auswahl von 3 Elementen aus 13 Elementen =
(2) Aber: Es gibt nur 8 gelbe Bälle => Kombinationen mit 9 oder 10 gelben Bällen müssen
ausgeschlossen werden. 10 gelbe: Eindeutig. 9 gelbe: Zehnter Ball dann rot oder blau oder
grün. Also müssen insgesamt 4 Kombinationen abgezogen werden.
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Schritte bei der Lösung von Zählproblemen
1) Identifikation des Problemtyps: Permutation oder Kombination?
Bei Permutationen spielt die Reihenfolge eine Rolle.
Dies setzt voraus, dass
- unterscheidbare Auswahlelemente vorhanden sind
- die Reihenfolge für die Fragestellung einen Unterschied macht (Ziehungsreihenfolge bei
Lotto unwichtig / wenn nacheinander verschiedene Gewinne gezogen werden, ist die
Reihenfolge hingegen sehr wohl entscheidend)
2) Was ist k und n?
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Übung 3
1) 10 Leute verabschieden sich per Händedruck voneinander.
a) Wie viele Händedrücke gibt es, wenn alle sich die Hand geben?
b) Zwei Leute sind erkältet und geben deshalb den anderen nicht die Hand. Wie viele Händedrücke bleiben?
2) Die HTW veranstaltet einen Jahresabschlussfeier, zu der 6 Professoren und 3 wissenschaftliche Mitarbeiter erscheinen.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich alle Teilnehmer zur gleichen Zeit in einer Reihe hintereinander an das Buffet
anstellen?
b) Die Professoren stehen in einer Reihe in der Schlange vor einer Reihe der wissenschaftlichen Mitarbeiter. Wie viele
Möglichkeiten gibt es unter dieser Nebenbedingung?
c) Am Buffet gibt es 8 verschiedene Gerichte, die jeweils in unbegrenzter Menge zur Verfügung stehen. Wie viele
Möglichkeiten gibt es, die Gerichte auf die Gäste zu verteilen, wenn jeder Gast ein Gericht erhält?
d) Nun steht Gericht A zweimal, B viermal und C dreimal zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Auswahl
unter den Mitarbeitern zu verteilen? Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Gäste ihr Gericht erhalten.
3) Sie spielen TOTO und tippen für jedes Spiel eines Spieltages der Fußball-Bundesliga (9 Spiele), ob die Heimmannschaft
(1) bzw. die Gastmannschaft (2) siegt, oder ob es ein Remis (0) gibt.
Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen Tippreihen und die der komplett falschen Tippreihen (in diesem Fall wird nicht ein
einziges Spielergebnis korrekt vorhergesagt).
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Übung 3/1
10 Leute verabschieden sich per Händedruck voneinander.
a)Wie viele Händedrücke gibt es, wenn alle sich die Hand geben?
b)Zwei Leute sind erkältet und geben deshalb den anderen nicht die
Hand. Wie viele Händedrücke bleiben?
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Übung 3/2
Die HTW veranstaltet einen Jahresabschlussfeier, zu der 6 Professoren und 3 wissenschaftliche
Mitarbeiter erscheinen.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass sich alle Teilnehmer zur gleichen Zeit in einer Reihe
hintereinander an das Buffet anstellen?
b) Die Professoren stehen in einer Reihe in der Schlange vor einer Reihe der wissenschaftlichen
Mitarbeiter. Wie viele Möglichkeiten gibt es unter dieser Nebenbedingung?
c) Am Buffet gibt es 8 verschiedene Gerichte, die jeweils in unbegrenzter Menge zur Verfügung
stehen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Gerichte auf die Gäste zu verteilen, wenn jeder Gast
ein Gericht erhält?
d) Nun steht Gericht A zweimal, B viermal und C dreimal zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt
es, diese Auswahl unter den Mitarbeitern zu verteilen? Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge
die Gäste ihr Gericht erhalten.
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Übung 3/3
Sie spielen TOTO und tippen für jedes Spiel eines
Spieltages der Fußball-Bundesliga (9 Spiele), ob
die Heimmannschaft (1) bzw. die Gastmannschaft
(2) siegt, oder ob es ein Remis (0) gibt.
Bestimmen Sie die Anzahl der möglichen
Tippreihen und die der komplett falschen Tippreihen
(in diesem Fall wird nicht ein einziges Spielergebnis
korrekt vorhergesagt).
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Geburtstagsproblem
Auf einer Feier befinden sich n Personen. Wie ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei von ihnen am
gleichen Tag Geburtstag haben?
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Geburtstagsproblem - Lösungsansatz
Oft ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses einfacher!
Komplementärereignis: Es gibt keine zwei Personen, die am gleichen Tag Geburtstag haben.
Modellannahmen:
(1)Das Jahr hat 365 Tage.
(2)Jeder Tag ist gleichwahrscheinlich.
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Geburtstagsproblem – Lösung 1
2 Personen: Für 2. Person bleiben 364 Tage
=>
Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = 364 / 365 = 0.997
3 Personen: Für 3. Person bleiben 363 Tage
=>
Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = (364 / 365) * (363 / 365) = 0.992
4 Personen: Für 4. Person bleiben 362 Tage
⇒ Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Geburtstage = (364 / 365) * (363 / 365) * (362 / 365)
= 0.984
=> Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Geburtstage = 1 – 0.984 = 0.016
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Geburtstagsproblem – Lösung 2
Allgemeine Formel: Herleitung an Tafel!
Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Personenanzahlen:
n = 10: Wahrscheinlichkeit 11.61%
n = 20: Wahrscheinlichkeit 40.62%
n = 23: Wahrscheinlichkeit 50.05%
n = 30: Wahrscheinlichkeit 69.68%
n = 50: Wahrscheinlichkeit 96.53%
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Übung 4
Ein Memoryspiel besteht aus 2N Karten.
Leiten Sie die Formel her für die Wahrscheinlichkeit,
dass nach dem n-ten Zug zufällig ein Paar aufgedeckt
wird!
N = 32:
Bei 10 aufgedeckten Karten beträgt Wahrscheinlichkeit,
ein Paar zu finden, 56,4%.
N = 50: Bei 12 Karten Wahrscheinlichkeit > 50%,
N = 365: Ab 32 Karten Wahrscheinlichkeit > 50%.
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Paradoxon der ersten Kollision
Bei den beiden letzten Beispielen (Geburtstagen, Memorykarten) ging es darum, die
Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass bei einem Zufallsexperiment nach n
Durchführungen sich zum ersten Mal ein Ergebnis wiederholt.
Die Wahrscheinlichkeiten sind höher als man intuitiv annehmen würde. Dies hängt
damit zusammen, dass wir auf irgendeine und nicht auf eine bestimmte
Wiederholung warten.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass etwa zwei Personen am 12. Januar Geburtstag
haben, ist deutlich geringer (Übung!).
Solche Anwendungen fasst man unter dem Begriff des Paradoxon der ersten
Kollision zusammen. Siehe dazu Henze, Kapitel 10.
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Formel des Ein- und Ausschließens – Siebformel –
Inklusion-Exklusion-Satz
Die Siebformel ist die allgemeine Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit
der Vereinigung von n nicht disjunkten Ereignissen.
Für n = 2 und n = 3 haben wir die Formel bereits bewiesen (Vorlesung bzw. Übung).
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Formel des Ein- und Ausschließens - Siebformel
Die Bezeichnung Siebformel kommt von der Vorstellung, dass man zuerst die
Wahrscheinlichkeiten jeweils einer Menge betrachtet, dann von jeweils zwei
Durchschnitten, dann jeweils drei Durchschnitte usw.
Der Beweis erfolgt mit Vollständiger Induktion, indem man im Induktionsschritt
A:= A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A n–1 und B:= An setzt und für A die Formel aus der Induktionsannahme
einsetzt.
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Übung 5
Von 1000 repräsentativ befragten Haushalten besitzen
603 einen CD–Spieler,
634 einen DVD-Recorder,
478 einen PC,
392 einen CD–Spieler und einen DVD-Recorder,
322 einen CD–Spieler und einen PC und
297 einen DVD-Recorder und einen PC.
214 Haushalte gaben an, alle drei Geräte zu
besitzen.
Wie viele der befragten Haushalte besitzen keines der drei Geräte?
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Anwendung: Das Koinzidenz-Paradoxon (Rencontre-Problem) 1
Eine verwirrte Sekretärin steckt n persönliche Briefe in
n beschriftete Umschläge.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass mindestens ein Brief im richtigen Umschlag landet?
Mathematisches Modell: Permutation der Zahlen 1 bis n, die mindestens eine Zahl fest lässt.
Sei i = 1, ··· , n und sei Ai das Ereignis, dass das ite Element an Position i bleibt.
Formal:
Ai := {(a1,a2, . . . ,an) ∈Ω : ai = i} mit Ω = Menge der Permutationen der Zahlen 1 bis n,
also | Ω | = n!.
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Das Koinzidenz-Paradoxon 2
Für die Summe der Reihe (s. Tafel) ergibt sich:
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
0.5
0.6667
0.6250
0.6333
0.6319
Für n ≥ 7 ist das Ergebnis bis auf 3 Nachkommastellen gleich 0.632 und
hängt damit nicht mehr von n ab.
Euler zeigte als erster, dass die Summe für n -> ∞ den Grenzwert 1 – 1/e =
0.63212… hat.
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Literatur
Henze Kapitel 8 – 11
Behrens 3.4 + 3.5
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