Folien 250117

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KAPITEL 4
BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT
WS 2016/2017
Hans-Peter Hafner
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Gliederung
25.01.
Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition
Multiplikationssatz
Stochastische Unabhängigkeit: Motivation und Definition
Übungen
31.01.
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
Satz von Bayes
Anwendungen:
(1) Tests auf Krankheiten
(2) Ziegenproblem
(3) Simpson Paradoxon
Unabhängigkeit bei mehr als zwei Ereignissen
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Motivation 1
Ereignis A: Augensumme von zwei Würfeln mindestens 7
Unter den 36 gleichwahrscheinlichen Ausgängen des Zufallsexperimentes „Zwei Würfel werfen“
erfüllen 21 die Bedingung, dass die Augensumme größer als 7 ist.
=> P(A) = 21/36 = 7/12
Wir bekommen, bevor der zweite Würfel geworfen wird, die Information, dass der erste Würfel eine 5 zeigt.
=> P(A) = 5/6
Wir bekommen, bevor der zweite Würfel geworfen wird, die Information, dass der erste Würfel eine 1 zeigt.
=> P(A) = 1/6
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Motivation 2 und Formalisierung
1) Wir interessieren uns für die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A.
2) Wir bekommen die Information, dass Ereignis B eingetreten ist.
3) Durch das Eintreten des Ereignisses B verändern sich die Wahrscheinlichkeiten für A.
Definition: (Ω, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, A und B seien Ereignisse mit P(B) > 0.
Dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B definiert als
P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)
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Beispiel
Ziehung der Lottozahlen
Erste drei gezogene Zahlen richtig getippt. => B: Mindestens erste drei Zahlen richtig.
Wie groß ist die Chance auf 6 richtige (A)?
1) Da A eine Teilmenge von B ist, gilt: P(A ∩ B) = P(A) = 1 /
+
*
+
*
+ 1) /
2) P(B) = ( *
3) P(A ∩ B) / P(B) = 1 / (
*
+
*
+
*
.
+ 1) = 3,84 * 10-6
Die Wahrscheinlichkeit ist ca. 53mal höher als P(A), aber immer noch sehr klein!
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Multiplikationssatz
Für bedingte Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) gilt:
P(A ∩ B) = P(A | B) * P(B) = P(B | A) * P(A)
Die erste Gleichung folgt direkt aus der Definition von P(A | B).
Die zweite Gleichung folgt aus P(B | A) = P(B ∩ A) / P(A), da P(A ∩ B) = P(B ∩ A).
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Multiplikationssatz - Beispiel
Mit 1%iger Wahrscheinlichkeit rollt einem Autofahrer in einer Wohngegend
ein Ball vor sein Fahrzeug. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass hinter
einem Ball ein Kind hinterherläuft, beträgt 99%.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ball auf die Straße rollt
und ein Kind auf die Straße läuft?
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Stochastische Unabhängigkeit - Motivation
Ereignis A: Zwei Würfel – Gleiche Augenzahlen
Es gibt 6 Möglichkeiten
=> P(A) = 6/36 = 1/6
Wir wissen: Der erste Würfel zeigt eine 3 (Ereignis B).
Dann ist P(A ∩ B) = 1/36 und P(B) = 1/6.
=> P(A | B) = (1/36) / (1/6) = 6/36 = 1/6
In diesem Fall verändert die Information über das Ereignis B die Wahrscheinlichkeit P(A | B) gegenüber P(A)
nicht. Es gilt: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
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Stochastische Unabhängigkeit - Definition
Zwei Ereignisse A und B in einem Wahrscheinlichkeitsraum heißen (stochastisch) unabhängig, wenn
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Bemerkungen:
(1) Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft.
(2) Die leere Menge und Ω sind von allen anderen Ereignissen unabhängig.
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Disjunkte Ereignisse und Unabhängigkeit
Seien A und B Ereignisse auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit A ∩ B = ∅.
Frage: Können A und B unabhängig sein?
A gerade Augenzahl bei Würfel
B ungerade Augenzahl
P(A) = P(B) = ½, aber P(A ∩ B ) = 0.
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Übungen 10
1. Für einen Spam-Filter wird damit geworben, dass er in 95% der Fälle korrekt angewandt wird. Sei S
das Ereignis, das eine Mail Spam ist und sei B das Ereignis, dass eine Mail blockiert wird. Dann gibt
es die folgenden Interpretationen für die Werbeaussage:
a) 95% des Spam wird blockiert.
b) 95% der gültigen Mails (= Nicht-Spam) werden durchgelassen.
c) 95% der durchgelassenen Mails sind gültig.
d) 95% der blockierten Mails sind Spam.
Formulieren Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Ereignisse S und B und ihrer
Komplemente!
2. Aus der folgenden Bevölkerungsverteilung wird zufällig eine Person ausgewählt.
Wie groß ist bei einer Frau die Wahrscheinlichkeit, dass sie 26 – 50 Jahre ist?
0 – 25 Jahre
26 – 50 Jahre
51 Jahre und älter
Frau
14
22
40
Mann
22
27
32
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Übung 10/1 Spam
Für einen Spam-Filter wird damit geworben, dass er in 95% der Fälle korrekt angewandt wird. Sei S das
Ereignis, das eine Mail Spam ist und sei B das Ereignis, dass eine Mail blockiert wird. Dann gibt es die
folgenden Interpretationen für die Werbeaussage:
a) 95% des Spam wird blockiert.
b) 95% der gültigen Mails (= Nicht-Spam) werden durchgelassen.
c) 95% der durchgelassenen Mails sind gültig.
d) 95% der blockierten Mails sind Spam.
Formulieren Sie die bedingten Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der Ereignisse S und B und ihrer
Komplemente!
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Übung 10/2 Bevölkerungsverteilung
Aus der folgenden Bevölkerungsverteilung wird zufällig eine Person ausgewählt.
Wie groß ist bei einer Frau die Wahrscheinlichkeit, dass sie 26 – 50 Jahre ist?
0 – 25 Jahre
26 – 50 Jahre
51 Jahre und älter
Frau
14
22
40
Mann
22
27
32
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Literatur
Henze
Bedingte Wahrscheinlichkeiten / Stochastische Unabhängigkeit: Kapitel 15 / 16 (zunächst nur jeweils
erste Seiten)
Behrens
Bedingte Wahrscheinlichkeit S. 115 - 122
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