Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Statistik Prof. Dr. B. Grabowski
----------------------------------------------------------------------------------------------Diskrete Zufallsgrößen
Aufgabe 1)
Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine
(Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie Ihre Antworten an und begründen Sie sie!
Aufgabe 2)
Die zufällige Anzahl X von Ausfällen einer Druckmaschine pro Monat genüge folgender
Verteilung:
ai
pi
0
1/10
1
2/10
2
3/10
3
1/10
4
1/10
5
1/10
6
1/10
>6
0
Ein Ausfall der Maschine verursacht Kosten. Fällt die Maschine 1 mal aus, so kostet das 1000 Euro,
genauso müssen bei 2 maligem Ausfall 1000 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind
es bereits jeweils 2000 Euro und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat verursachen die
Reparaturen 4000 Euro Kosten. Sei Zufallsgröße X = Reparaturkosten pro Monat.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als 2000 Euro Reparaturkosten im Monat
bezahlen zu müssen?
b) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Reparatur-Kosten EX?
Aufgabe 3)
Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei
diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,7} Sekunden, d.h. jede Zahl aus dieser Menge
hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit?
Aufgabe 4)
Ein Würfel wird geworfen. Sei X die Zufallsgröße, welche die doppelte Augenzahl angibt,
und Y die Zufallsgröße, welche die Werte 1 oder 3 annimmt, je nachdem, ob eine ungerade
oder gerade Zahl erscheint. Bestimmen Sie die Verteilung, den Erwartungswert und
die Varianz von
a) X
b) Y
1
Aufgabe 5)
Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 € bei zweimal Wappen, 2 € bei genau einmal
Wappen und 1 €, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das Spiel
fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz?
Aufgabe 6)
Zwei Baugruppen a1, a2 eines Gerätesystems können voneinander unabhängig in einem
vorgegebenen Zeitintervall der Länge T mit den Wahrscheinlichkeiten 0,95 bzw. 0,8
Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl der ausgefallenen Baugruppen zum betrachteten
Zeitintervall !
Aufgabe 7)
Ein Student habe auf seinen Weg zur HTW fünf voneinander unabhängig geregelte
Ampelkreuzungen zu passieren. Es bezeichne X die Anzahl der überquerten Kreuzungen bis
zu einem Halt wegen "Rot" oder dem Erreichen der HTW. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
eine Ampel auf „Rot“ steht, ist gleich ½.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die HTW erreicht, ohne vor einer Ampel halten zu müssen?
Aufgabe 8) (Multiplikationssatz)
Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe!
In einem Paket von 10 gleichartigen Bauteilen befinden sich 2 defekte.
Bei der Qualitätskontrolle werden zufällig aus diesem Paket 3 Teile entnommen und getestet.
X sei die zufällige Anzahl der fehlerhaften Teile unter diesen 3 entnommenen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese grafisch dar!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen mindestens 1 defektes
Teil befindet?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen höchstens ein defektes
befindet?
d) Berechnen Sie EX !
Aufgabe 9) (Multiplikationssatz für Unabhängigkeit)
Lösen Sie unter Verwendung des Multiplikationssatzes folgende Aufgabe!
In einem Paket von 10 gleichartigen Bauteilen befinden sich 2 defekte.
Bei der Qualitätskontrolle werden 3 mal nacheinander jeweils 1 Bauteil entnommen, getestet
und vor der nächsten Ziehung wieder in das Paket zurückgelegt.
X sei die zufällige Anzahl der fehlerhaften Teile unter diesen 3 entnommenen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und stellen Sie diese grafisch dar!
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen mindestens 1 defektes
Teil befindet?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den 3 gezogenen höchstens ein defektes
befindet?
d) Berechnen Sie EX !
e) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen in Aufgabe 8). Würden Sie bei der
Qualitätskontrolle eher ein Ziehungs-Verfahren „mit Zurücklegen“ (Aufgabe 9) oder „ohne
Zurücklegen“ (Aufgabe8) bevorzugen oder ist es egal?
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