Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungs-Blatt 8 Wahrscheinlichkeitsrechnung
BMT Biostatistik
Prof. Dr. B. Grabowski
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Diskrete Zufallsgrößen und ihre Verteilungen
Aufgabe 1)
Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine
(Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie Ihre Antworten an und begründen Sie sie!
Aufgabe 2)
Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines großen und teuren medizinischen Gerätes pro
Jahr genüge folgender Verteilung:
ai
pi
0
1/10
1
2/10
2
3/10
3
1/10
4
1/10
5
1/10
6
1/10
>6
0
Ein Ausfall der Maschine verursacht Kosten. Fällt das Gerät 1 mal aus, so kostet das 1000 Euro im
Jahr, genauso müssen bei 2 maligem Ausfall 1000 Euro im Jahr bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem
Ausfall sind es bereits jeweils 2000 Euro im Jahr und bei mehr als 4 maligem Ausfall im Monat
verursachen die Reparaturen 4000 Euro Kosten im Jahr.
Sei Zufallsgröße X = Reparaturkosten pro Monat.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mehr als 2000 Euro Reparaturkosten im Monat
bezahlen zu müssen?
b) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Reparatur-Kosten EX?
Aufgabe 3)
Zwei Baugruppen a1, a2 eines Gerätesystems können voneinander unabhängig in einem
vorgegebenen Zeitintervall der Länge T mit den Wahrscheinlichkeiten 0,95 bzw. 0,8
Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl der ausgefallenen Baugruppen in einem
Zeitintervall der Länge T!
1
Aufgabe 4)
Die zufällige Übertragungszeit X von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei
diskret gleichverteilt auf der Menge M={3,4,5,6,7} Sekunden, d.h. es ist P(X=i)=1/5 für alle
iM. Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit?
Aufgabe 5)
Wir betrachten den zufälligen Versuch: Werfen von 2 gleichmäßigen Münzen. Sei X die
Anzahl der Wappen.
a) Stellen Sie die Verteilung von X auf!
b) Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 € bei zweimal Wappen, 2 € bei genau
einmal Wappen und 1 €, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das
Spiel fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz?
Aufgabe 6) (Binomial- und Geometrische Verteilung)
Ein gleichmäßiger Würfel wird mehrfach mal geworfen.
a) Der Würfel wird 12 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
mindestens eine 6 gewürfelt wird?
b) Mit wie vielen Sechsen kann man beim 12 maligen Würfeln im Durchschnitt rechnen?
c) Der Würfel wird solange geworfen, bis zum ersten Mal eine 6 auftritt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass schon beim 3. Wurf eine 6 gewürfelt wird?
d) Wie viele Würfelversuche benötigt man im Schnitt bis zum ersten Mal eine 6
gewürfelt wird?
Hinweis: Bescheiben Sie den Würfelversuch als 2-Punkt-verteilten Veruch. Überlegen Sie
sich dann, welche Zufallsgröße X in a) –d) betrachtet wird und welche Verteilung sie besitzt !
Aufgabe 7)
Eine Zufallsgröße X{0,1,2,3,…} heißt Poissonverteilt mit dem Parameter 
(Kurzbezeichnung: X~P()), falls gilt:
P( X  k ) 
k 
e
k!
fü k=0,1,2,…
Für X gilt: EX =  und Var(X) = 2.
Bearbeiten Sie nun folgende Aufgabe!
Die zufällige Anzahl X von in einem Krankenhaus aufgenommenen neuen Patienten pro Tag
sei Poissonverteilt dem Parameter =3.
a) Wie viele Patienten werden im Durchschnitt pro Tag aufgenommen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 3 Patienten am Tag
aufgenommen werden?
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