Übungsaufgaben Blatt 10 Höhere Mathematik Master KI

Übungsaufgaben Blatt 10
Höhere Mathematik Master KI
Diskrete Zufallsgrößen/Markovketten
Hinweise:
•
Die Aufgaben 1-5 beziehen sich auf das Thema Diskrete Zufallsgrößen, Ihre Verteilungen
und Erwartungswerte. Siehe dazu auch das auf der Homepage zur Verfügung gestellte
Skript: Stochastik für Informatiker, Kap. 21.,2.2, 2.4.
•
Die Aufgaben 6 und 7 beziehen sich auf das Thema Markovketten. Siehe dazu auch das
auf der Homepage zur Verfügung gestellte Skript: Stochastik für Informatiker, Kap. 5.1.3.
Aufgabe 1)
Kreuzen Sie alle Zufallsgrößen an, die diskret sind!
Überlegen Sie sich jeweils zuerst, wie der Wertebereich X der betreffenden Zufallsgröße
aussieht!
a) X = Hersteller einer zufällig aus einer Grundgesamtheit von Platinen ausgewählten Platine.
b) X = Gewicht eines zufällig aus einer Grundgesamtheit von Bildschirmen ausgewählten
Bildschirms.
c) X = zufällige Anzahl der eintreffenden Signale pro Minute in einer Vermittlungsstelle.
d) X = zufällige Zeit zwischen dem Eintreffen zweier aufeinanderfolgender Signale in einer
Vermittlungsstelle
Aufgabe 2)
Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine
(Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie Ihre Antworten an!
p
f X ( x) =  i
0
a)
c)
für
x = ai 

sonst

b)
d)
Aufgabe 3)
Sei X die zufällige Augenzahl bei Durchführung des zufälligen Versuchs V :'Würfeln mit zwei
Würfeln'.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
c)' X ∈{ 2, 12} ' d)' 4 < X ≤ 7 '
a)' X ≥ 9 ' b)'X = 6'
Aufgabe 4)
Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Monat genüge folgender Verteilung:
ai
pi
0
4/10
1
3/10
2
1/10
3
1/10
4
1/10
>4
0
Ein Ausfall des Servers verursacht Kosten. Fällt der Server 1 mal aus, so kostet das 1000 Euro, bei 2
maligem Ausfall müssen 1500 Euro bezahlt werden. Bei 3 und 4 maligem Ausfall sind es bereits
jeweils 2000 Euro.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als 1000 Euro Kosten im Monat wegen
Serverausfalls anfallen?
b) Wie groß sind die im Monat zu erwartenden Kosten?
Aufgabe 5) (Achtung: Gegenüber der alten Version von Blatt 10 geändert!)
Die zufällige Anzahl der Fahrgäste in einem Bus zwischen je zwei Haltestellen sei eine
Zufallsgröße X mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsverteilung:
ai
0 ≤ X ≤ 10 10 < X ≤ 20 20 < X ≤ 30 30 < X ≤ 40 40 < X ≤ 50
pi 0 . 1
0.3
0.4
0 . 15
0 . 05
Es sollen so viele Sitzplätze zur Verfügung stehen, dass in mindestens 80% aller Fahrten alle
Fahrgäste sitzen können. Wie viel Sitzplätze muss man mindestens in den Bus einbauen?
Geben Sie die kleinst mögliche Anzahl von Sitzplätzen an!
Aufgabe 6)
Eine Nachricht der Form „ja“ wird durch mündliche Zwischenträger weitergegeben. Bei jeder
Weitergabe wird „ja“ mit der Wahrscheinlichkeit α1=0,2 in „nein“ und mit der
Wahrscheinlichkeit α2=0,3 in „jein“ abgefälscht; „nein“ wird mit der Wahrscheinlichkeit
β1=0,2 in „ja“ und β2=0,3 in „jein“ verfälscht und ein „jein“ wird mit Wahrscheinlichkeit
γ1=0,3 in „nein“ und mit γ2=0,2 in „ja“ verfälscht. Dieses System wird durch eine homogene
Markov-Kette (X(n))n∈N 1. Ordnung beschrieben, wobei X(n) die Nachricht („ja“=1 oder
„jein“= 2, „nein“=3) im Takt n (vor der n+1.ten Weitergabe) darstellt.
a) Stellen Sie den Markov-Grafen und die Übergangsmatrix auf.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 3 Zwischenträgern der
Empfänger die Nachricht „ja“ erhält?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgenden Zustandsverlauf
P(X(0)=1∩X(2)=1∩X(4)=1)?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nach einer sehr langen Reihe von
Zwischenträgern damit zu rechnen, dass die Nachricht „ja“ beim Empfänger
ankommt?
Hinweis zu d)
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P(X(n)=1) für n→∞.
Die Zustandswahrscheinlichkeiten P(X(n)=j), j=1,2,3, erfüllen nach Formel der totalen
Wahrscheinlichkeit folgendes Gleichungssystem:
P ( X ( n) = j )
= P( X (n) = j | X (n − 1) = 1) P( X (n − 1) = 1)
+ P( X (n) = j | X (n − 1) = 2) P( X (n − 1) = 2)
+ P( X (n) = j | X (n − 1) = 3) P( X (n − 1) = 3)
1
j = 1,2,3
= P( X (n) = 1) + P( X (n) = 2) + P( X (n) = 3)
Sei Pj* := lim P ( X (n) = j ) , j=1,2,3. Lassen Sie im obigen GS n gegen ∞ gehen und stellen Sie das
n →∞
entsprechende GS unter Verwendung der Bezeichnung Pj* auf!
Lösen Sie dann dieses GS nach P1* auf!
Aufgabe 7)
Sei (X(n))n∈N eine Markov-Kette 1. Ordnung.
Was heißt:
a) die Markov-Kette ist homogen?
b) die homogene Markov-Kette ist stationär?
c) die homogene Markov-Kette ist ergodisch?