Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 5 Höhere Mathematik Master KI

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 5
Höhere Mathematik Master KI
Diskrete Zufallsgrößen (spezielle diskrete Verteilungen)
Prof. Dr.B.Grabowski
Zu Aufgabe 1)
Eine Firma, die CD-RW’s herstellt, gibt ihre Ausschussrate (Anteil der defekten CD-RW’s an
allen) mit 1% an.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Paket von 10 CD-RW’s mehr als 1
defekt ist?
b) Wieviele defekte CD’s würden Sie in einem Paket von 1000 Stück erwarten?
Lösung:
Zu a) X = Anzahl der defekten CD’s in einem Paket von 10 Stück.
Es ist X~B(n=10, p=0,01).
10 
10 
P( X  1)  1  P( X  1)  1  P( X  0)  P( X  1)  1   (0,01) 0 (0,99)10   (0,01)1 (0,99) 9
0
1
9
 1  (0,99) (0,99  0,1)  1  0,9957  0,0043
Zu b) X~B(n=1000, p= 0,01)  EX = np = 10
Zu Aufgabe 2)
Eine Mathe-Klausur besteht aus 10 Aufgaben a 6 Antwortalternativen von denen nur jeweils 1
richtig ist.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Student nur durch rein zufälliges Raten der
Lösungen mindestens 8 der 10 Aufgaben richtig errät!
b) Mit wie viel richtig geratenen Aufgaben würden Sie durchschnittlich rechnen?
Lösung:
Zu a) X = Anzahl der richtig geratenen Aufgaben von 10 Stück.
Es ist X~B(n=10, p=1/6).
P( X  8)  P( X  8)  P( X  9)  P( X  10)
10 
10 
10 
  (1 / 6) 8 (5 / 6) 2   (1 / 6) 9 (5 / 6)1   (1 / 6)10 (5 / 6) 0
8
9
10 
1176
 (1 / 6)10 (45  25  10  5  1)  10  0,000019
6
Zu b) Es ist X~B(n=10, p=1/6).  EX = np = 10/6 ≈1,67
1
Zu Aufgabe 3)
50 Studenten werden per Münzwurf in 2 Gruppen eingeteilt: Kopf --> Gruppe A und
Zahl --> Gruppe B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 50 Münzwürfen
in beiden Gruppen gleich viele Studenten sind?
Lösung:
X = Anzahl der in Gruppe A eingeordneten Studenten von 50.
Es ist X~B(n=50, p=1/2).
 50  1   1 
P( X  25)      
 25  2   2 
25
50  25
1
 
2
50
 50 
 
 25 
(Wer möchte, kann das ausrechnen!).
Zu Aufgabe 4)
Ein Dienstleister schließt mit 5 Firmen einen Wartungsvertrag für das jeweilige
Firmen-Rechnernetz ab. Aus früheren Beobachtungen sei bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit
für jedes der 5 Firmennetze, die nächsten 3 Jahre wartungsfrei zu überstehen, 0.60 beträgt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach 3 Jahren
a) genau 2 Firmennetze
b) alle 5 Netze
c) wenigstens 2 Netze
wartungsfrei sind.
Lösung:
X = Anzahl der Firmennetze aus den 5 betrachteten, die die nächsten 3 Jahre wartungsfrei
überstehen. Es ist X~B(n=5, p=0,6).
Zu a)
5
2
5 2
P( X  2)   0,6  0,4   10  0,36  0,064  0,2304
 2
Zu b)
 5
5
55
P( X  5)   0,6  0,4   (0,6) 5  0,07776
 5
Zu c)
P( X  2)  1  P( X  2)  1  P( X  0)  P( X  1)
 5
 5
 1   (0,6) 0 (0,4) 5   (0,6)1 (0,4) 4
 0
1
 1  (0,4) 4 (0,4  5  0,6)  0,91296
2
Zu Aufgabe 5)
Die zufällige Übertragungszeit von Nachrichten in einer Übertragungseinrichtung sei
diskret gleichverteilt auf der Menge {3,4,5,6,7} Sekunden.
a) In Wieviel % aller Fälle ist die Übertragungszeit > 5 Sekunden?
b) Wie groß ist die erwartete Übertragungszeit?
Lösung:
Zu a) X = zufällige Übertragungszeit, es ist X~DR({3,4,5,6,7}).
Demzufolge ist P(X>5)=P(X=6)+P(X=7) = 1/5 + 1/5 = 2/5 = 0,4.
Damit ist in 40% aller Fälle die Übertragungszeit > 5 Sekunden!
Zu b) Es gilt P(X=i) = 1/5 für i=3,4,5,6,7.
Daraus folgt:
7
EX   i 
i 3
1 25

5
5 5
Zu Aufgabe 6)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Server in einen Zeitintervall von 1 Monat ausfällt, sei
0,2. Die monatlichen Ausfälle seien stochastisch unabhängig voneinander.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Server zum ersten mal nach 5 Monaten
ausfällt?
b) Wieviel Monate vergehen im Schnitt, bis der Server zum ersten mal ausfällt?
Lösung:
Zu a) X = Nr. des Monats, indem der Server zum ersten mal ausfällt.
Es ist X geometrisch verteilt mit dem Parameter p=0,2.
Demzufolge ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
P(X>5)=P(X=6) = (1  p ) 5 p  0,8 5  0,2  0,065536
Zu b) Es ist X geometrisch verteilt mit dem Parameter p=0,2  EX = 1/p = 5  Im 5. Monat fällt
er im Schnitt zum ersten Mal aus, d.h. 4 Monate vergehen, bis er zum ersten Mal ausfällt.
3
Zu Aufgabe 7)
Sei X eine zweipunkt-verteilte Zufallsgröße:
1
X 
0
p 
.
(1  p )
Berechnen Sie EX und Var(X) !
Lösung:
Es gilt
EX  1  p  0  (1  p )  p .
Var ( x)  (1  p )  p  (0  p )  (1  p )  p (1  p )
Zu Aufgabe 8)
Ein Spieler wirft zwei Münzen und gewinnt 5 € bei zweimal Wappen, 2 € bei genau einmal
Wappen und 1 €, falls kein Wappen erscheint. Bei welchem Einsatz ist das Spiel
fair, d.h. bei welchem Einsatz ist der erwartete Gewinn gleich dem Einsatz?
Lösung:
Sei X der zufällige Gewinn pro Spiel.
X ist wie folgt verteilt:
k
pk=P(X=k)
5Euro
1/4
2Euro
1/2
1Euro
1/4
Daraus folgt für den erwarteten Gewinn:
EX = 5/4 + 2(1/2) + 1/4 =2,5Euro.
D.h. wenn der Einsatz 2,5 Euro beträgt, ist das Spiel fair.
Zu Aufgabe 9)
Sei X~B(n,p), d.h. sei X binomialverteilt mit den Parametern n und p.
Zeigen Sie: EX = np
n
 n  1
 .
Hinweis: Es gilt: k    n
k 
 k  1
Lösung:
n
Es ist für eine B(n,p)-Verteilung p k  P( X  k )    p k (1  p ) n  k und wir erhalten:
k 
n
n
n
n
n
n
 n  1 k
 p (1  p ) n  k
EX   kp k   k   p k (1  p ) n  k   k   p k (1  p ) n  k

n

siehe Hinweis
k
k
k

1
k 0
k 0  
k 1  
k 1 

n 1 n  1

 k 1
 p (1  p ) n  k  np
 np  
*
k  0  k  1
Das letzte Gleichheitszeichen * gilt, weil die letzte Summe die Summe aller
Wahrscheinlichkeiten einer B(n-1,p)-Verteilung ist und diese Summe immer 1 ist.
q.e.d.
4