Lösungen zu Übungs-Blatt 6 Grundlagen der

Lösungen zu Übungs-Blatt 6
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Master M Höhere und Angewandte Mathematik
Prof. Dr. B. Grabowski
Wiederholung zur Mengenlehre
Zu Aufgabe 1)
a)A∩(B∩C) ⇔ 6 , b)A∩(B∪C) ⇔ 5, c)A∪(B∩C) ⇔ 2, d)A∪(B∪C) ⇔ 3,
e)(A∩B)∪C ⇔ 1, f)(A∪B)∩C ⇔ 4
Zu Aufgabe 2)
Machen Sie sich folgende Eigenschaften von Mengenoperationen anhand von VennDiagrammen klar. Es gilt:
1. A∪B=B∪A und A∩B=B∩A
2. (A∪B)∩C = (A∩C) ∪ (B∩C) und (A∩B)∪ C = (A∪C) ∩(B∪C)
3. (A∪B)∪ C = A ∪ (B∪ C) und (A∩B)∩ C = A ∩(B∩C)
4. A = (A∩B) ∪ (A\B)
5. Wenn A ⊆ B , so gilt A∩B=A und A∪B = B und A\B = A
6. Wenn A ⊆M und B ⊆M, so gilt:
_________
_________
( A ∪ B) M = AM ∩ BM und ( A ∩ B) M = AM ∪ BM (de Morgansche Regeln)
Zu 4:
Alle weiteren: Wird in der Vorlesung erklärt.
Zu Aufgabe 3)
In einem Reaktionszeitversuch V seien folgende Ereignisse von Interesse: A= „Die
Reaktionszeit ist größer oder gleich 3 Sekunden“, B=“Die Reaktionszeit ist nicht größer als 7
Sekunden“, C=“Die Reaktionszeit ist größer als 9 Sekunden“, D=“Die Reaktionszeit liegt
zwischen 3 und 7 Sekunden (einschließlich 3 und 7)“.
Zu a) Stellen Sie A,B,C,D als Mengen dar!
A={t∈R|t ≥ 3}, B={t∈R|0 ≤ t ≤ 7} , C={ t∈R|t > 9}, D={t∈R|3 ≤ t ≤ 7}
a) In welcher Relation stehen A und C zueinander?
C⊂A
b) Stellen Sie D aus A und B unter Verwendung von Mengenoperationen dar!
D=A∩B
c) Welches Ereignis wird durch die Menge A\C beschrieben?
Geben Sie die Menge an!
A\C={t∈R|3 ≤ t ≤ 9}
d) Geben Sie alle Paare disjunkter Ereignisse an, die sich aus A,B,C und D bilden lassen!
B,C und D,C
Zu Aufgabe 4)
Sei Si das Ereignis Bi = „Bauelement Bi ist O.K”, i=1,...,n.
G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät:
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert,
wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren.
Stellen Sie mit Hilfe der Ereignisse Bi und den Mengenoperationen ∩, ∪, \ folgende
Ereignisse dar:
Zu a) A=“Das Gerät ist Ok“
A = B1 ∪ (B2 ∩ B3) ∪ B4
Zu b) B= “Nur B1 und B4 sind O.K, die anderen Bauelemente nicht“
B = B1 ∩ B 2 ∩ B 3 ∩ B 4
Zu c) Genau 2 Reihen des Gerätes funktionieren
C= ( B1 ∩ B 2 ∩ B3 ∩ B 4) ∪ ( B1 ∩ B 4 ∩ ( B1 ∪ B 2)) ∪ ( B1 ∩ B 2 ∩ B3 ∩ B 4)
Zu Aufgabe 5)
Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F1=“nicht maßhaltig“ und F2=“nicht
funktionsfähig“ mit den Wahrscheinlichkeiten P(F1)=0,01 und P(F2)=0,02 ein. Mit
mindestens einem Fehler behaftet sind insgesamt 2,5 % aller Produkte. Ein Produkt ist nur
dann verkäuflich, wenn es keinen der beiden Fehler besitzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist ein Produkt verkäuflich?
Lösung: Sei V = „Produkt ist verkäuflich“. Dann gilt: V = F 1 ∩ F 2
P(V) = P( F 1 ∩ F 2 ) = 1 − P( F1 ∪ F 2) = 1 − 0,025 = 0,975
deMorgan
Zu Aufgabe 6) Gegeben sei Ein Los von 5 Teilen:
: defekt,
: O.K
Bei einer Qualitätskontrolle werden 3 Teile zufällig entnommen (Ziehung ohne Zurücklegen)
Berechnen Sie mittels klassischer Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit dafür,
Zu a) das mindestens 1 defektes Teil gezogen wurde,
Lösung:
Als Elementaren Versuchsausgang betrachten wir einen Menge:
ω={ Z1,Z2,Z3} , wobei Zi = 0j, falls das j.te nichtdefekte Teil gezogen wurde (j = 1,2,3) und
Zi = 1j, fall das j.te defekte Teil (j = 1,2) gezogen wurde.
 5
Grundmenge Ω : |Ω| = Anzahl aller Möglichkeiten 3 Teile aus 5 zu ziehen =   = 10.
 3
A = „Mindestens ein defektes wird gezogen“ = A1 ∪A2, wobei:
A1 = „Genau ein defektes wird gezogen“
A2 = „ Beide defekten werden gezogen“
Es ist |A| =|A1| +|A2| mit
|A1| = Anzahl aller Möglichkeiten 2 nichtdefekte aus 3 zu ziehen * 2Möglichkeiten, dazu ein
 3
defektes Teil zu ziehen =  2
 2
und
|A2| = 3 Möglichkeiten, zu den beiden defekten Teilen ein nichtdefektes Teil zu ziehen = 3
 3
|A| =  2 +3 = 9
 2
P(A) = |A| / |Ω| = 9 /10
Bemerkung: Eleganter kann man die Aufgabe mit Hilfe des Multiplikationssatzes lösen!
(siehe dazu auch Aufgabe 8)
Achtung: Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, ein elementaren Versuchsausgang, d.h., die
Grundmenge Ω zu definieren und damit an die Lösung der Aufgabe heranzugehen.
Genauso richtig ist folgender Weg:
Wir berücksichtigen beim elementaren Versuchsausgang die Reihenfolge der Ziehung:
Elementarer Versuchsausgang ist keine Menge mehr, sondern ein Tupel: ω=( Z1,Z2,Z3),
wobei Zi = 0j, falls das j.te nichtdefekte Teil gezogen wurde (j = 1,2,3) und Zi = 1j, fall das
j.te defekte Teil (j = 1,2) gezogen wurde.
Grundmenge Ω : |Ω| = Anzahl aller Möglichkeiten 3 Teile aus 5 zu ziehen und diese auf die
 5
Ziehungen zu vertauschen =   3! = 60.
 3
A = „Mindestens ein defektes wird gezogen“ = A1 ∪A2, wobei:
A1 = „Genau ein defektes wird gezogen“
A2 = „ Beide defekten werden gezogen“
Es ist |A| =|A1| +|A2| mit
|A1| = Anzahl aller Möglichkeiten 2 nichtdefekte aus 3 zu ziehen* Anzahl aller
Möglichkeiten, diese auf 3 Ziehungen anzuordnen *2 Möglichkeiten , diese beiden defekten
 3  3 
zu vertauschen* 2Möglichkeiten, dazu ein defektes Teil zu ziehen =   2 ⋅ 2
 2  2 
und
|A2| = Anzahl aller Möglichkeiten 2 defekte Teile auf 3 Ziehungen zu verteilen* 2
Möglichkeiten, diese zu vertauschen* 3 Möglichkeiten, dazu ein nichtdefektes Teil zu ziehen
 3
=   ⋅ 2 ⋅ 3
 2
 3  3 
 3
|A| =   2 ⋅2+  3 ⋅2 = 54
 2  2 
 2
P(A) = |A| / |Ω| = 54 /60 = 9/10
Zu b) das genau 2 defekte Teile gezogen wurden
A2 = „Genau zwei defekte Teile werden gezogen“
P(A2) = |A2|/|Ω| = 9 / 30 = 3 /10
Zu c) A3 = „das kein defektes Teil gezogen wurde“
Bei 3 Ziehungen müssen alle 3 nichtdefekten Teile gezogen worden sein.
Dafür gibt es nur 1 Menge {Z1,Z2,Z3) (bzw 3 ! Tupel (Z1,Z2,Z3)).
D.h., die Wahrscheinlichkeit dafür ist P(A3)= 1 / 10 bzw. P(A3) = 6 / 60
Zu Aufgabe 7)
Sei X die zufällige Lebensdauer (in Jahren) eines Bauelementes. Es sei folgende
Wahrscheinlichkeit bekannt: P(X>1)=0.9. Weiterhin sei bekannt, dass 60% aller Bauelemente
eine Lebensdauer von 2 Jahren überschreiten. Geben Sie folgende Wahrscheinlichkeiten an:
Zu a)
P(X ≤ 1) = 1 –P(X>1) = 0,1
Zu b)
Wegen P(A∩B ) = P(A)+P(B) –P(A∪B) ist mit A = ‚X>1’ und B = ‚X≤2’ und wegen
P(X > 1 ∪ X ≤ 2)= P(X∈R)=1:
P(1 < X ≤ 2) = P(X > 1) + P(X ≤ 2) – P(X > 1 ∪ X ≤ 2) = 0,9 + 0,4 –1 = 0,3
Zu c) P(X>2|X>1) = P(X>2 ∩ X>1) / P(X>1) = P(X>2) / P(X>1) = 0,6/0,9 = 2/3
Sind die Ereignisse “X>2” und “X>1” voneinander stochastisch unabhängig? (Begründung)
Es gilt: P(X>2) = 0,6 ≠ 2/3= P(X>2|X>1). Damit sind laut Definition der stochastischen
Unabhängigkeit die Ereignisse „X>2“ und „X>1“ nicht stochastisch unabhängig voneinander!
Zu Aufgabe 8) Gegeben sei Ein Los von 5 Teilen:
: defekt,
: O.K
Bei einer Qualitätskontrolle werden 3 Teile zufällig entnommen (Ziehung ohne Zurücklegen)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgenden Ziehungsverlauf:
Lösung: Wir wenden den Multiplikationssatz an:
Zu a)
,
,
P( ∩
∩
Zu b)
,
P(
∩
) = P(
) P(
/ ) P( / ∩
)=
2 3 1
⋅ ⋅ = 1 / 10 = 0,1
5 4 3
) = P(
) P(
/
∩
)=
3 2 1
⋅ ⋅ = 1 / 10 = 0,1
5 4 3
,
∩
) P(
/