Sprechstunde zur Klausurvorbereitung

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Sprechstunde zur Klausurvorbereitung
Mittwoch, 15.02., 10 – 12 + 13.30 – 16.30 Uhr, Raum 2413
Bei Interesse in Liste eintragen:
• Max. 20 Minuten
• Einzeln oder Kleingruppen (z. B. bei gemeinsamer Klausurvorbereitung)
Zusätzlich:
• Beantwortung einzelner Fragen per E-Mail
[email protected]
Ab 01.03.:
[email protected]
WS 2016/2017
Hans-Peter Hafner
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Wiederholung: Ziegenproblem
Bi Auto hinter Tür i, i = 1, 2, 3 mit P(Bi ) = 1/3 für alle i.
Da wir keine weiteren Informationen haben, sind alle drei Türen gleich wahrscheinlich.
Der Spieler wähle Tür 1.
Der Quizmaster zeigt die Ziege hinter Tür 3 (Ereignis A).
Ist das Auto wahrscheinlicher hinter Tür 1 (nicht wechseln) oder hinter Tür 2 (wechseln)?
Wir müssen P(A | B1), P(A | B2) und P(A | B3) berechnen:
P(A | B1) = 1/2
Wenn das Auto hinter Tür 1, macht es keinen Unterschied, ob Moderator Tür 2 oder 3 öffnet.
P(A | B2) = 1
Auto hinter Tür 2: Moderator kann dann nur Tür 3 öffnen.
P(A | B3) = 0
Auto hinter Tür 3: Moderator kann diese Tür nicht öffnen.
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Hans-Peter Hafner
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Ziegenproblem Fortsetzung
Wir haben alle benötigten Wahrscheinlichkeiten und können mit dem Satz von Bayes die
Wahrscheinlichkeiten für Wechseln P(B2 | A) und Nicht-Wechseln P(B1 | A) berechnen:
P(B1 | A) =
P(A | B1) ∗ P(B1)
P(A | B1) ∗ P(B1) + P (A | B2) ∗ P(B2) + P(A | B3) ∗ P(B3)
∗
=
P(B2 | A) =
∗ ∗ ∗
= (1/6) / (3/6) = 1/3
P(A | B2) ∗ P(B2)
P(A | B1) ∗ P(B1) + P (A | B2) ∗ P(B2) + P(A | B3) ∗ P(B3)
∗
=
∗ ∗ ∗
= (1/3) / (3/6) = 2/3
Da die 2. Wahrscheinlichkeit größer ist, empfiehlt es sich zu wechseln!
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Simpson Paradoxon 1
Sind Frauen diskriminiert?
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Simpson Paradoxon 2
Oder sind doch die Männer diskriminiert?
Die Zulassungsquoten in den einzelnen Studiengängen unterscheiden sich!
Studiengang 1: 72%
Studiengang 2: 36%
Mehr weibliche Bewerber in Studiengang mit niedrigerer Zulassungsquote.
Darum Gewichtung: Frauen 0.2 * 0.8 + 0.8 * 0.4 = 0.16 + 0.32 = 0.48
Männer 0.8 * 0.7 + 0.2 * 0.2 = 0.56 + 0.04 = 0.60
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Simpson Paradoxon 3 – Bezug zu bedingten Wahrscheinlichkeiten
Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und E1, …, En seien paarweise disjunkte Ereignisse mit
⋃ Ei = Ω. Ferner seien A und B Ereignisse mit P(A ∩ Ei) > 0 und P(A ∩ Ei) > 0 für jedes i = 1, …, n.
Das Simpson-Paradox liegt vor, wenn neben den Ungleichungen
P(B | A ∩ Ei) > P(B | A ∩ Ei) für jedes i = 1, …, n (oder für eine deutliche Mehrheit der i)
auch die folgende Ungleichung gilt:
P(B | A) < P(B | A)
Es ist P(B | A) = ∑
und P(B | A) = ∑
P( Ei | A) * P(B | A ∩ Ei)
P( Ei | A) * P(B | A ∩ Ei)
In Beispiel: n = 2; Ei Bewerbung für Fach i; B Zulassung; A weiblich
S. ausführlicher bei Henze, Kapitel 15.12.
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Unabhängigkeit bei mehr als 2 Ereignissen
Erinnerung: Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Information, dass das eine
Ereignis eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit für das andere nicht verändert.
P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
Seien nun A, B und C Ereignisse, so dass
(i) A und B unabhängig
(ii) A und C unabhängig
Ist dann z. B. auch B ∩ C von A unabhängig?
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Beispiel: Der Junge auf dem Reiterhof
Zwei Mädchen, 13 und 14 Jahre alt, sind auf dem Reiterhof angekommen.
Dort gibt es auch einen Jungen, dessen Alter a schwer zu
schätzen ist. Wie könnte man herausbekommen, ob er schon
über 14 ist, wenn man – das wäre ja peinlich – eine direkte Frage
vermeiden möchte?
Irgendwann stellen sie ihm die wirklich harmlos wirkende Frage
”Wie lange reitest Du eigentlich schon?“ (Antwort: 4 Jahre),
und ein paar Tage später wollen sie wissen
”Wie alt warst Du denn, als Du angefangen hast zu reiten?“ (Antwort: 12).
Bezeichnet man mit A die Information ”Alter > 14?“, so ist es dafür völlig belanglos
zu wissen, dass er seit 4 Jahren reitet (B). Für sich genommen würde es auch
nichts nutzen zu erfahren, dass er mit 12 angefangen hat (C).
Aber mit B und C zusammen ist alles klar!
=> Die Kombination von für sich belanglosen Informationen führt zu neuen
Erkenntnissen!
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Beispiel: Münzwurf
A Das Ergebnis zweier Würfe ist (Kopf, Zahl) oder umgekehrt.
B Die erste Münze zeigt Kopf.
C Die zweite Münze zeigt Zahl.
(1) A und B sowie A und C sind unabhängig.
P(A ∩ B) = P(A ∩ C) = 1/4
P(A) = 1/2
P(B) = P(C) = 1/2
⇒ P(A ∩ B) = P(A) * P(B) und P(A ∩ C) = P(A) * P(C)
(2) A und B ∩ C sind nicht unabhängig.
P(B ∩ C) = 1/4
P(A ∩ (B ∩ C)) = 1/4, aber P(A) * P(B ∩ C) = 1/8 (oder P(A | B ∩ C) = 1 ≠ 1/2 = P(A))
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Unabhängigkeit für n Ereignisse
Sei (Ω, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Die Ereignisse A1, …, An heißen unabhängig, wenn gilt:
P(Ai1 ∩ ··· ∩ Aik) = P(Ai1) * … * P (Aik)
für alle k = 2, …, n und 1 ≤ i1 < … < ik ≤ n.
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Bemerkungen 1
1) Jede Teilmenge einer Menge von unabhängigen Ereignissen ist unabhängig.
2) In einer unabhängigen Menge von Ereignissen sind insbesondere je zwei Ereignisse unabhängig
(paarweise Unabhängigkeit).
3) P(A1 ∩ ··· ∩ An) = P(A1) * … * P (An) reicht nicht für Unabhängigkeit. Sonst wäre jede Menge von
Ereignissen unabhängig, bei der ein Ereignis die Wahrscheinlichkeit 0 hat.
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Unabhängigkeit für Zufallsvariable
Zwei Zufallsvariable X und Y auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) heißen (stochastisch)
unabhängig, wenn gilt:
P(X = xi, Y = yj) = P(X = xi) * P(Y = yj).
Für unabhängige Zufallsvariable X und Y auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) gilt die
Multiplikationsregel für Erwartungswerte E(X * Y) = EX * EY.
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Literatur
Behrens 4.2 + 4.3
Henze 15/16 + 17.7/17.9
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KAPITEL 5
STETIGE ZUFALLSVARIABLEN
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Motivation 1
Glücksrad
Wir drehen ein Rad, dessen Umfang die Länge l hat und notieren die
Position, an der es stoppt.
Diskreter Fall
Das Rad ist in m Sektoren unterteilt.
⇒ Jeder Sektor hat Wahrscheinlichkeit 1/m
Stetiger Fall
Das Rad kann an jeder Stelle des Intervalls [0, l] stoppen.
Dieses Intervall – als Teilmenge der reellen Zahlen betrachtet –
hat unendlich viele Punkte.
=> Problem: Definition der Wahrscheinlichkeit für einen Punkt?
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Motivation 2
Lösung:
Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
Sei [a, b] ⊂[0, l].
Definiere P([a, b] ) = (b – a) / l.
=> P([0, l]) = 1
Im stetigen Fall hat jedes einzelne ω ∈ Ω die Wahrscheinlichkeit 0.
Positive Wahrscheinlichkeiten können nur für Intervalle definiert werden.
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Formale Definition von Wahrscheinlichkeiten im stetigen Fall 1
Im Glücksrad-Beispiel war die Definition der Wahrscheinlichkeiten einfach, da eine Gleichverteilung
über den ganzen Kreisumfang angenommen wurde.
Meist gibt es aber unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten und man möchte die Wahrscheinlichkeiten für
beliebig kleine Intervalle berechnen.
=> Definition über Integrale
Definition Dichtefunktion:
Eine reellwertige Funktion f wird Dichtefunktion genannt, wenn
(i) f(x) ≥ 0 für alle x.
(ii)
f( ) = 1.
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Formale Definition von Wahrscheinlichkeiten im stetigen Fall 2
Definition Wahrscheinlichkeit:
Sei f eine Dichtefunktion und sei Ω ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Dann ist für jedes in Ω enthaltene Intervall [c, d] die Wahrscheinlichkeit definiert als
P([c, d]) =
Für eine stetige Zufallsvariable X auf Ω ist die Verteilungsfunktion definiert als
F(x) = P(X ≤ x) =
Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen mit zugehöriger Dichte f ist definiert als
E(X) =
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∗
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Normalverteilung 1
Satz von de Moivre – Laplace:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Erfolgsanzahl bei n unabhängigen Bernoulli-Experimenten zwischen α
und β (0 < α < β ≤ n) kann durch die Normalverteilung approximiert werden.
de Moivre
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Laplace
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Normalverteilung 2
Adolphe Quetelet
Um 1835: Untersuchungen zu Körpermaßen von belgischen Soldaten
⇒ Körpergröße, Brustumfang und andere Maße entsprechen einer
Normalverteilung
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Normalverteilung 3
Carl Friedrich Gauß
Theorie der Beobachtungsfehler bei Experimenten
=> Fehler sind normalverteilt
Gauß hat die Normalverteilung nicht entdeckt, aber wichtige
Anwendungen entwickelt.
Daher wird sie oft auch Gauß-Verteilung genannt und die Kurve
der Dichte wird Gauß-Kurve oder – wegen ihrer Form –
Glockenkurve genannt.
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Normalverteilung 4
Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt, wenn sie eine Dichte f der folgenden Form besitzt:
f(x) =
* exp(-1/2 * (
!"
# 2
))
Man schreibt: X ~ N($, %2).
Man kann zeigen: $ ist der Erwartungswert und %2 ist die Varianz.
N(0, 1) wird als Standard – Normalverteilung bezeichnet.
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Normalverteilung 5
Je größer %2, desto flacher ist die
Kurve.
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Normalverteilung 6
Eine N($, %2) verteilte Zufallsvariable X kann in eine standard-normalverteilte transformiert werden durch
Z=
X
#
2
X #
E(Z) = E( 2 ) = 2 E(X − $) = 2 (E(X) - $) = 0
X #
X
V(Z) = V( 2 ) = V( 2) = 2 V(X) = 1
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Normalverteilung 7
Die Normalverteilung hat u. a. die folgenden Eigenschaften:
• symmetrisch um den Erwartungswert $
• 68% der Werte liegen im Bereich einer Standardabweichung % um $,95% im Bereich von 2
Standardabweichungen und 99,7% im Bereich von 3 Standardabweichungen um $
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Normalverteilung 8
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeiten?
Berechnung des Integrals kompliziert!
=> Es gibt Tabellen!
Vorgehensweise:
Die Tabelle enthält für die Standard-Normalverteilung
die kumulierten Wahrscheinlichkeiten, dass ein Wert
kleiner als $ + x * % ist.
Um die Tabelle für eine beliebige Normalverteilung
anwenden zu können, müssen die Werte transformiert
werden.
Die transformierten Werte nennt man z-Werte.
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Normalverteilung 9
Intelligenzquotienten und Mitgliedschaft bei MENSA (Gemeinschaft Hochbegabter)
Als Aufnahmeprüfung wird der Intelligenztest nach
Stanford-Binet verwendet, der annähernd normalverteilt ist
mit Mittelwert 100 und einer Standardabweichung von 16.
Aufnahmekriterium ist, dass man zu den intelligentesten 2% der Bevölkerung gehört.
Der z-Wert, der zu 0.98 gehört, ist 2.05.
Somit muss man einen IQ von mindestens 100 + 2.05 * 16 = 132.8, also etwa 133 haben.
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