F - Universität Paderborn

AUFGABE 12 :
Man erweitert Funktionen f : A → B oft zu Funktionen
F : P(A) → P(B) auf Teilmengen durch die Definition
F (X) = {y|y = f (x), x ∈ X} für X ⊆ A
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen für X, Y ⊆ A gelten.
a) X ⊆ Y ⇒ F (X) ⊆ F (Y )
b) F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y )
c) F (X ∩ Y ) ⊆ F (X) ∩ F (Y )
Zeigen Sie außerdem, dass in c) die Gleichheit im Allgemeinen nicht
gilt.
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1(12)
Lösung:
a) z.z.: Für alle X, Y ⊆ A gilt X ⊆ Y ⇒ F (X) ⊆ F (Y ).
Sei X, Y ⊆ A fest, aber beliebig gewählt mit Eigenschaft X ⊆ Y .
Dann ist zu zeigen: F (X) ⊆ F (Y ).
Wähle z ∈ F (X) beliebig.
Dann gibt es nach Definition von F ein a ∈ X mit z = f (a).
Wegen X ⊆ Y gilt aber auch a ∈ Y .
⇒ z = f (a) ∈ F (Y )
Es ist also jedes z ∈ F (X) auch in F (Y ) enthalten.
Es gilt somit F (X) ⊆ F (Y ).
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2(12)
b) z.z.: Für alle X, Y ⊆ A gilt F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y ).
Sei X, Y ⊆ A fest, aber beliebig gewählt.
Dann ist zu zeigen: F (X ∪ Y ) ⊆ F (X) ∪ F (Y ) und
F (X) ∪ F (Y ) ⊆ F (X ∪ Y ).
Sei z ∈ F (X ∪ Y ) fest, aber beliebig gewählt.
Dann gibt es ein a ∈ X ∪ Y mit z = f (a).
Für a gilt dann a ∈ X oder a ∈ Y .
1. Fall: Ist a ∈ X, so folgt daraus z = f (a) ∈ F (X).
2. Fall: Ist a ∈ Y , so folgt daraus z = f (a) ∈ F (Y ).
Somit ist z in F (X) oder F (Y ) enthalten, also z ∈ F (X) ∪ F (Y ).
⇒ F (X ∪ Y ) ⊆ F (X) ∪ F (Y ).
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3(12)
Umgekehrte Inklusion:
Sei z ∈ F (X) ∪ F (Y ) fest, aber beliebig gewählt.
Dann gibt es ein a ∈ X mit z = f (a) oder ein a ∈ Y mit z = f (a).
Damit gilt aber auch a ∈ X ∪ Y und somit z = f (a) ∈ F (X ∪ Y ).
Deshalb ist F (X) ∪ F (Y ) ⊆ F (X ∪ Y ).
Insgesamt gilt also F (X ∪ Y ) = F (X) ∪ F (Y ).
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4(12)
c) z.z.: Für alle X, Y ⊆ A gilt F (X ∩ Y ) ⊆ F (X) ∩ F (Y ).
Sei X, Y ⊆ A fest, aber beliebig gewählt.
Dann ist zu zeigen: F (X ∩ Y ) ⊆ F (X) ∩ F (Y ).
Sei z ∈ F (X ∩ Y ) fest, aber beliebig gewählt.
Dann gibt es ein a ∈ X ∩ Y mit z = f (a).
Dann ist auch a ∈ X und a ∈ Y und somit z ∈ F (X) und z ∈ F (Y ).
Es folgt z ∈ F (X) ∩ F (Y ).
Daraus folgt F (X ∩ Y ) ⊆ F (X) ∩ F (Y ).
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5(12)
z.z.: nicht(Für alle X, Y ⊆ A gilt F (X) ∩ F (Y ) ⊆ F (X ∩ Y ).)
Damit die Inklusion nicht gilt, muss man zwei verschiedene
Elemente haben, die das gleiche Bild unter f haben, ein Element
a1 ∈ X \ Y , das in X jedoch nicht in Y enthalten ist und ein
Element a2 ∈ Y \ X, das in Y jedoch nicht in X enthalten ist.
Wir wählen also einen Grundbereich A mit mindestens zwei
Elementen a1, a2 ∈ A mit a1 = a2.
Wählen wir X = {a1} und Y = {a2}, so gilt a1 ∈ X ∩ Y und
a2 ∈ X ∩ Y und X ∩ Y = ∅.
Wir wählen weiter einen Grundbereich B mit mindestens einem
Element b ∈ B.
Wählen wir f : A → B mit f (x) = b für alle x ∈ A, so gilt
f (a1) = b = f (a2).
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6(12)
Dann folgt b ∈ F (X) und b ∈ F (Y ) und somit b ∈ F (X) ∩ F (Y ).
Wegen X ∩ Y = ∅ gilt jedoch F (X ∩ Y ) = ∅.
F (X) ∩ F (Y ) ⊆ F (X ∩ Y ) gilt in diesem Fall also nicht.
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AUFGABE 13 :
Die Fibonacci-Zahlen fn, n ∈ N+, seien definiert durch f1 = 1, f2 = 1
und fn+1 = fn + fn−1 (n ≥ 2).
Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N+ gilt: ggT (fn, fn+1) = 1.
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8(12)
Lösung:
Diese Aufgabe lässt sich leichter lösen, wenn man vorher den
ggT etwas genauer betrachtet.
Seien a, b ∈ N. Es wird zuerst bewiesen, dass gilt


ggT (a, b − a), falls a < b
ggT (a, b) = ggT (a − b, b), falls a > b


a,
falls a = b
1.Fall: a = b
Ist a = b, so gilt ggT (a, a) = a, da a|a gilt, und es keine größere Zahl
gibt, die a teilt.
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9(12)
2.Fall: a < b
Sei d = ggT (a, b) und e = ggT (a, b − a).
Um ggT (a, b) = ggT (a, b − a) zu beweisen, muss man zeigen,
(Teil I) dass d ein Teiler von e ist und
(Teil II) dass e ein Teiler von d ist.
Aus Teil I folgt dann d ≤ e und aus Teil II folgt e ≤ d.
⇒d=e
Also ggT (a, b) = ggT (a, b − a), wenn b > a
Teil I:
Aus d = ggT (a, b) folgt, dass a und b durch d teilbar sind.
Damit gibt es x, y ∈ N mit a = dx und b = dy.
Daraus folgt b − a = dy − dx = d(y − x)
Wegen b > a gilt auch y > x und somit y − x ∈ N.
Daher ist b − a in den natürlichen Zahlen durch d teilbar.
Also muss d auch e teilen.
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Teil II:
Aus e = ggT (a, b − a) folgt, dass a und b − a durch e teilbar sind.
Damit gibt es x, y ∈ N mit a = ex und b − a = ey .
Daraus folgt b = b − a + a = ey + ex = e(y + x)
Wegen x + y ∈ N ist b in den natürlichen Zahlen durch e teilbar.
Also muss e auch d teilen.
3.Fall: a > b
Der Beweis dieses Falles verläuft analog zum Fall 2.
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11(12)
Für die Fibonacci-Zahlen kann man dann per Induktion die geforderte
Aussage beweisen, dass für alle n ∈ N+ gilt:
ggT (fn, fn+1) = 1
Induktionsanfang:
ggT (f1, f2) = ggT (1, 1) = 1
Induktionsvoraussetzung:
Die Aussage gelte für fn, es sei also ggT (fn−1, fn) = 1.
Induktionsschritt:
z.z.: ggT (fn, fn+1) = 1.
Nach Definition von fn+1 gilt fn+1 = fn + fn−1 und daher fn+1 > fn.
⇒ ggT (fn, fn+1) = ggT (fn, fn+1 − fn) = ggT (fn, fn + fn−1 − fn)
= ggT (fn, fn−1) = ggT (fn−1, fn) =I.V. 1
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion ist damit die Auusage
bewiesen.
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12(12)