Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Serie 10 (Lineare Abbildungen) Dozent: Roger Burkhardt Klasse: Studiengang ST Büro: 4.613 Semester: 1 1. Aufgabe Zeige, dass die folgenden Abbildungen linear sind: (a) f : R2 → R2 f (x, y) = (x + y, x) (b) f : R3 → R f (x, y, z) = 2x − 3y + 4z 2. Aufgabe Zeige, dass die folgenden Abbildungen nicht linear sind: (a) f : R2 → R f (x, y) = xy (b) f : R2 → R3 f (x, y) = (x + 1, 2y, x + y) (c) f : R3 → R2 f (x, y, z) = (|x| , 0) 3. Aufgabe Es sei f : R3 → R3 eine lineare Abbildung, die durch f (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z) definiert ist. Gib eine Basis und die Dimension an: (a) für das Bild Modul: Lineare Algebra 1 Datum: HS2009/10 Lineare Algebra 1 Serie 10 (Lineare Abbildungen) HS 2009/10 (b) und für den Kern der linearen Abbildung. 4. Aufgabe Gib für die folgenden linearen Abbildungen die Matrixdarstellung in der kanonischen Basis, das Bild und den Kern an: (a) f : R3 → R3 f (x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z) (b) f : R2 → R2 f (x, y) = (x + y, x + y) (c) f : R3 → R2 f (x, y, z) = (x + y, y + z) 5. Aufgabe (a) Gib eine lineare Abbildung f : R3 → R3 an, deren Bild durch die Vektoren v1 = (1, 2, 3) und v2 = (4, 5, 6) erzeugt wird. (b) Gib eine lineare Abbildung f : R4 → R3 an, deren Kern durch die Vektoren v1 = (1, 2, 3, 4) und v2 = (0, 1, 1, 1) erzeugt wird. 6. Aufgabe Es sei f : R3 → R2 die lineare Abbildung, die durch f (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z) definiert ist. Gib die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen {(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)} {(1, 3) , (2, 5)} an. 7. Aufgabe Bestimme das Spiegelbild von (1, 4) bezüglich Seite 2 / 4 Lineare Algebra 1 Serie 10 (Lineare Abbildungen) HS 2009/10 (a) der x-Achse, (b) der y-Achse, (c) der Geraden y = x und (d) der Geraden y = 2x − 3 durch Multiplikation mit der zugehörigen Abbildungsmatrix. 8. Aufgabe Bestimme die Abbildungsmatrix der Rotation im R3 um den Winkel 30◦ im Uhrzeigersinn bezüglich (a) der x-Achse, (b) der y-Achse, (c) der z-Achse. 9. Aufgabe Bestimme die Abbildungsmatrix der folgenden Kompositionen im R2 : (a) Drehung um 90◦ gefolgt von einer Spiegelung an der Geraden y = x. (b) Orthogonalprojektion auf die y-Achse und anschliessende Kontraktion mit k = 1 . 2 (c) Spiegelung an der x-Achse und Diletation um den Faktor k = 3. (d) Rotation um 60◦ , dann Orthogonalprojektion auf die x-Achse und schliesslich Spiegelung an der Geraden y = x. 10. Aufgabe Welche der Abbildungen der letzten Aufgabe sind invertierbar? Bestimme von den inversen Abbildungen die Abbildungsmatrizen. 11. Aufgabe Gegeben sei die Zahlenfolge von Fibonacci: f1 f2 f3 f4 f5 fn+2 = = = = = : = 1 1 2 3 5 fn + fn+1 Seite 3 / 4 Lineare Algebra 1 Serie 10 (Lineare Abbildungen) HS 2009/10 Wir versuchen diese rekursive Beschreibungsform in eine explizite beschreibung umzuformen. Dazu betrachten wir die lineare Abbildung. fn+1 0 1 fn = fn+2 1 1 fn+1 (a) Bestimme mit dieser Abbildung die ersten 8 Folgeglieder. (b) Bestimme die ersten 6 Potenzen der Abbildungsmatrix. Findest du ein Zusammenhang zu den Folgegliedern? (c) Die Folgeglieder der Fibonacci-Folge können also durch Potenzieren der Abbildungsmatrix berechnet werden. Dieses Verfahren ist aber immer noch rekursiv. Die Abbildung ist jedoch ein Isomorphismus und wir können die Abbildungsmatrix diagonalisieren, indem wir die Basis wechseln. Bestimme von der Abbildungsmatrix die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. (d) Nimm die gefundenen beiden Eigenvektoren als Basis des R2 und bestimme die Abbildungsmatrix bezüglich dieser neuen Basis. (e) Bestimme die n-te Potenz der Abbildungsmatrix mit Hilfe der diagonalisierten Matrix. (f) Finde eine explizite Formel für das n-te Folgeglied der Fibonacci-Folge. Seite 4 / 4