Serie 10 (Lineare Abbildungen)
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Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 1
1. Aufgabe
Zeige, dass die folgenden Abbildungen linear sind:
(a)
f : R2 → R2
f (x, y) = (x + y, x)
(b)
f : R3 → R
f (x, y, z) = 2x − 3y + 4z
2. Aufgabe
Zeige, dass die folgenden Abbildungen nicht linear sind:
(a)
f : R2 → R
f (x, y) = xy
(b)
f : R2 → R3
f (x, y) = (x + 1, 2y, x + y)
(c)
f : R3 → R2
f (x, y, z) = (|x| , 0)
3. Aufgabe
Es sei f : R3 → R3 eine lineare Abbildung, die durch
f (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z)
definiert ist. Gib eine Basis und die Dimension an:
(a) für das Bild
Modul: Lineare Algebra 1
Datum: HS2009/10
Lineare Algebra 1
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
HS 2009/10
(b) und für den Kern der linearen Abbildung.
4. Aufgabe
Gib für die folgenden linearen Abbildungen die Matrixdarstellung in der kanonischen Basis, das Bild und den Kern an:
(a)
f : R3 → R3
f (x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z)
(b)
f : R2 → R2
f (x, y) = (x + y, x + y)
(c)
f : R3 → R2
f (x, y, z) = (x + y, y + z)
5. Aufgabe
(a) Gib eine lineare Abbildung f : R3 → R3 an, deren Bild durch die Vektoren
v1 = (1, 2, 3) und v2 = (4, 5, 6) erzeugt wird.
(b) Gib eine lineare Abbildung f : R4 → R3 an, deren Kern durch die Vektoren
v1 = (1, 2, 3, 4) und v2 = (0, 1, 1, 1) erzeugt wird.
6. Aufgabe
Es sei f : R3 → R2 die lineare Abbildung, die durch
f (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z)
definiert ist. Gib die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen
{(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)}
{(1, 3) , (2, 5)}
an.
7. Aufgabe
Bestimme das Spiegelbild von (1, 4) bezüglich
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Lineare Algebra 1
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(a) der x-Achse,
(b) der y-Achse,
(c) der Geraden y = x und
(d) der Geraden y = 2x − 3
durch Multiplikation mit der zugehörigen Abbildungsmatrix.
8. Aufgabe
Bestimme die Abbildungsmatrix der Rotation im R3 um den Winkel 30◦ im Uhrzeigersinn bezüglich
(a) der x-Achse,
(b) der y-Achse,
(c) der z-Achse.
9. Aufgabe
Bestimme die Abbildungsmatrix der folgenden Kompositionen im R2 :
(a) Drehung um 90◦ gefolgt von einer Spiegelung an der Geraden y = x.
(b) Orthogonalprojektion auf die y-Achse und anschliessende Kontraktion mit k =
1
.
2
(c) Spiegelung an der x-Achse und Diletation um den Faktor k = 3.
(d) Rotation um 60◦ , dann Orthogonalprojektion auf die x-Achse und schliesslich
Spiegelung an der Geraden y = x.
10. Aufgabe
Welche der Abbildungen der letzten Aufgabe sind invertierbar? Bestimme von den
inversen Abbildungen die Abbildungsmatrizen.
11. Aufgabe
Gegeben sei die Zahlenfolge von Fibonacci:
f1
f2
f3
f4
f5
fn+2
=
=
=
=
=
:
=
1
1
2
3
5
fn + fn+1
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Wir versuchen diese rekursive Beschreibungsform in eine explizite beschreibung
umzuformen. Dazu betrachten wir die lineare Abbildung.
fn+1
0 1
fn
=
fn+2
1 1
fn+1
(a) Bestimme mit dieser Abbildung die ersten 8 Folgeglieder.
(b) Bestimme die ersten 6 Potenzen der Abbildungsmatrix. Findest du ein Zusammenhang zu den Folgegliedern?
(c) Die Folgeglieder der Fibonacci-Folge können also durch Potenzieren der Abbildungsmatrix berechnet werden. Dieses Verfahren ist aber immer noch rekursiv.
Die Abbildung ist jedoch ein Isomorphismus und wir können die Abbildungsmatrix diagonalisieren, indem wir die Basis wechseln. Bestimme von der Abbildungsmatrix die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren.
(d) Nimm die gefundenen beiden Eigenvektoren als Basis des R2 und bestimme
die Abbildungsmatrix bezüglich dieser neuen Basis.
(e) Bestimme die n-te Potenz der Abbildungsmatrix mit Hilfe der diagonalisierten
Matrix.
(f) Finde eine explizite Formel für das n-te Folgeglied der Fibonacci-Folge.
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