Serie 10 (Lineare Abbildungen)

Name:
Seite: 1
Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
Dozent: R. Burkhardt
Klasse: 1. Studienjahr
Büro: 4.613
Semester: 1
Datum: HS 2008/09
1. Aufgabe
Zeige, dass die folgenden Abbildungen linear sind:
(a)
f : R2 → R 2
f (x, y) = (x + y, x)
(b)
f : R3 → R
f (x, y, z) = 2x − 3y + 4z
2. Aufgabe
Zeige, dass die folgenden Abbildungen nicht linear sind:
(a)
f : R2 → R
f (x, y) = xy
(b)
f : R2 → R 3
f (x, y) = (x + 1, 2y, x + y)
(c)
f : R3 → R2
f (x, y, z) = (|x| , 0)
3. Aufgabe
Es sei f : R3 → R3 eine lineare Abbildung, die durch
f (x, y, z) = (x + 2y − z, y + z, x + y − 2z)
definiert ist. Gib eine Basis und die Dimension an:
(a) für das Bild
(b) und für den Kern der linearen Abbildung.
4. Aufgabe
Gib für die folgenden linearen Abbildungen die Matrixdarstellung in der kanonischen Basis, das Bild und den
Kern an:
(a)
f : R3 → R3
f (x, y, z) = (x + 2y, y − z, x + 2z)
(b)
f : R2 → R2
f (x, y) = (x + y, x + y)
(c)
f
1. Studienjahr
:
R3 → R2
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
HS 2008/09
Name:
Seite: 2
f (x, y, z) = (x + y, y + z)
5. Aufgabe
(a) Gib eine lineare Abbildung f : R3 → R3 an, deren Bild durch die Vektoren v1 = (1, 2, 3) und
v2 = (4, 5, 6) erzeugt wird.
(b) Gib eine lineare Abbildung f : R4 → R3 an, deren Kern durch die Vektoren v1 = (1, 2, 3, 4) und
v2 = (0, 1, 1, 1) erzeugt wird.
6. Aufgabe
Es sei f : R3 → R2 die lineare Abbildung, die durch
f (x, y, z) = (3x + 2y − 4z, x − 5y + 3z)
definiert ist. Gib die Matrixdarstellung von f bezüglich der Basen
{(1, 1, 1) , (1, 1, 0) , (1, 0, 0)}
{(1, 3) , (2, 5)}
an.
7. Aufgabe
Bestimme das Spiegelbild von (1, 4) bezüglich
(a) der x-Achse,
(b) der y-Achse,
(c) der Geraden y = x und
(d) der Geraden y = 2x − 3
durch Multiplikation mit der zugehörigen Abbildungsmatrix.
8. Aufgabe
Bestimme die Abbildungsmatrix der Rotation im R3 um den Winkel 30◦ im Uhrzeigersinn bezüglich
(a) der x-Achse,
(b) der y-Achse,
(c) der z-Achse.
9. Aufgabe
Bestimme die Abbildungsmatrix der folgenden Kompositionen im R2 :
(a) Drehung um 90◦ gefolgt von einer Spiegelung an der Geraden y = x.
(b) Orthogonalprojektion auf die y-Achse und anschliessende Kontraktion mit k = 12 .
(c) Spiegelung an der x-Achse und Diletation um den Faktor k = 3.
(d) Rotation um 60◦ , dann Orthogonalprojektion auf die x-Achse und schliesslich Spiegelung an der
Geraden y = x.
10. Aufgabe
Welche der Abbildungen der letzten Aufgabe sind invertierbar? Bestimme von den inversen Abbildungen die
Abbildungsmatrizen.
11. Aufgabe
Gegeben sei die Zahlenfolge von Fibonacci:
f1
f2
f3
f4
1. Studienjahr
=
=
=
=
1
1
2
3
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
HS 2008/09
Name:
Seite: 3
f5
= 5
:
fn+2 = fn + fn+1
Wir versuchen diese rekursive Beschreibungsform in eine explizite beschreibung umzuformen. Dazu betrachten
wir die lineare Abbildung.
0 1
fn
fn+1
=
1 1
fn+2
fn+1
(a) Bestimme mit dieser Abbildung die ersten 8 Folgeglieder.
(b) Bestimme die ersten 6 Potenzen der Abbildungsmatrix. Findest du ein Zusammenhang zu den Folgegliedern?
(c) Die Folgeglieder der Fibonacci-Folge können also durch Potenzieren der Abbildungsmatrix berechnet werden. Dieses Verfahren ist aber immer noch rekursiv. Die Abbildung ist jedoch ein Isomorphismus und wir können die Abbildungsmatrix diagonalisieren, indem wir die Basis wechseln. Bestimme
von der Abbildungsmatrix die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren.
(d) Nimm die gefundenen beiden Eigenvektoren als Basis des R2 und bestimme die Abbildungsmatrix
bezüglich dieser neuen Basis.
(e) Bestimme die n-te Potenz der Abbildungsmatrix mit Hilfe der diagonalisierten Matrix.
(f) Finde eine explizite Formel für das n-te Folgeglied der Fibonacci-Folge.
1. Studienjahr
Serie 10 (Lineare Abbildungen)
HS 2008/09