Kapitel 3b - Uni Kassel

3.3
3.3.1
Energieerhaltung für die reibungsfreie Strömung (BERNOULLI - Gleichung )
Voraussetzungen und Herleitung
Für eine allgemeine Strömung gilt grundsätzlich, wenn von außen keine Energie zugeführt wird:
Gesamtenergie ET im Fluid ist konstant
Dabei gilt für eine reale Strömung
ET = Emech + Etherm
mit
Emech
Etherm
= mechanische Energie
= thermische Energie, die durch Reibungswärme beim Umsetzen von
mechanischer in Wärmeenergie entsteht.
= Ereib
Die mechanische Energie Emech ist die Summe aus
1)
2)
3)
Potentielle (Lage) Energie
Druckenergie
Kinematische Energie
Epot
EDrucks
Ekin
===>
ET = Epot + Ekin + EDruck + Ereib
(reale Strömung)
Unter einer idealen Strömung versteht man einer reibungsfreien Strömung, bei der die Viskosität
keine Rolle spielt. Für viele praktische Anwendungen in der Hydraulik ist dies der Fall, insbesondere
bei geringen Strömungsquerschnitten und langsamem, laminaren Strömunge. Bei solchen Strömungen
entstehen keine Energieverluste durch Umsetzung von mechanischer in Wärmeenergie durch Reibung
und der Term Ereib kann vernachlässigt werden. Später bei der Betrachtung von realen Strömungen wird
er wieder eingeführt.
===>
(ideale Strömung)
ET = Epot + Ekin + EDruck
Betrachtet man eine Strromröhre wie auf der nächsten Seite dargestellt so gilt an 2 beliebigen Stellen in
der Strömung:
Epot(1) = m * g * z1
und
Epot(2) = m * g * z2
Ekin(1) = 1 / 2 m * v1²
und
Ekin(2) = 1 / 2 m * v2²
EDruck(1) = p1 * V1
und
EDruck(1) = p2 * V2
===>
2
E(1) ' m(g(z1 % 1/2 m(v1 % p1(V1
2
E(2) ' m(g(z2 % 1/2 m(v2 % p2(V2
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3.13
Abb. 3.7: Zwei Darstellungen der Bernoulli-Gleichung ( im oberen Bild ist v =w)
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3.14
===>
2
E(1)
p (V
1 v1
' z1 %
% 1 1
m(g
m(g
2 g
mit : m(g ' G ' Gewicht
===> wegen ET = konstant
BERNOULLI
E
1 v
H '
' z %
%
G
2 g
p
1 v
' z %
%
(g
2 g
p
(g
mit
H
z
1/2 * v² / g
p/( *g)
Energiehöhe
Geodätische Höhe
Geschwindigkeitshöhe (Dynamische Druckhöhe)
statische Druckhöhe
Bei einer stationären, reibungsfreien Strömung bleibt die Gesamtenergie als Summe aus
Lagenenergie, Druckenergie und kinetischer Energie längs der Stromröhre konstant.
In der Ausdrucksform nach der obigen Gleichung
wird die Energiegleichung auch als Bernoulli-Gleichung
(nach dem schweizer Mathematiker DANIEL BERNOULLI,
1700 bis 1782) bezeichnet.
Die Bernoulli-Gleichung ist die für den Hydrauliker
wichtigste Gleichung. Es gibt praktisch kein Strömungsproblem,
wo sie sich nicht in irgendeiner Form manifestiert.
Beispiel 3.3.1.1 Beispiel zur Bernoulli - Gleichung
Gegeben :
QA = 0,37 m³/s ; dA = 31 cm ; zA = 25,6 cm ; pA / g = 6,6 m
dB = 61 cm ; zB = 63,5 cm
Gesucht :
Energielinie und pB bzw. pB / g
Lösung :
QA = vA * AA = QB = vB * AB
mit:
AA =
vA = QA / AA = 0,37 * 4 / ( * 0,31² ) = 4,90 m / s
* dA² / 4
vB = vA * AA / AB = vA * ( dA / dB ) ²
vA * AA = vB * AB
==>
vB = 4,90 * ( 0,31 / 0,61 ) ² = 1,264 m / s
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3.15
H = zA + pA / ( g ) + vA² / 2g = const.
H = 0,256 + 6,6 + 4,90 ² / ( 2 * 9,81 ) = 8,08 m
vB² / 2g = 1,264 ² / ( 2 * 9,81 ) = 0,08 m
pB / ( g ) = H - zB - vB² / 2g = 8,08 - 0,635 - 0,08
pB / ( g ) = 7,365 m
pA / ( g ) = 6,6 m
==>
pA = 64,75 kN / m² [kPa]
pA = 6,6 m * g = 6,6 m * 9,81 kN / m³
pB / ( g ) = 7,365 m
pA = 72,25 kPa
pB = 7,365 m * 9,81 kN / m³
==>
Abb. 3.8: Anwendung der Bernoulli Gleichung auf eine Röhre
3.3.2
Anwendungen der BERNOULLI - Gleichung
3.3.2.1 Strömungen über Tragflächen und durch Querschnittsverengungen
Wendet man die Bernoulli-Gl. auf den häufig auftretenden Fall an, daß z1 = z2, so folgt
p1 / g + v12 /2g = p2 / g + v2 2 /2g
Erzwingt man nun durch eine konstruktive Maßnahme zB. eine
a) Verengung eines Strömungsquerschnittes am Punkte 2, so ist
b) Erweiterung eines Strömungsquerschnittes am Punkte 2, so ist v1 > v2
===>
v1 < v2
> p2
===>
p
===>
1
p1 < p2
Erhöht (verringert) sich die Geschwindigkeit entlang einer Stromlinie, verringert (erhöht)
sich der statische Druck
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3.16
Abb. 3.9: Verringerung der Geschwindigkeit (H) bewirkt eine Erhöhung des statischen Druckes (E)
(Man beachte: Hier sind hydraulische Verluste (werden später behandelt) schon berücksichtigt,
daher nimmt der Druck von D nach F ab!!!)
Anwendungen dieser wichtigen Konsequenz der Bernoulli-Gl. sind z.B.
a) Strömung über Auto bzw. Tragflügel
Betrachtet man die Stömung um einen unsymmetrisch gewölbten Körper (z.B. ein normales Auto oder
einen Flugzeugtragflügel), so muß die Strömung über die obere gewölbte Fläche einen längeren Weg
als unten zurücklegen. Aus Kontinuitätsgründen gilt dann für die Geschwindigkeit vo > vu . Wendet man
die Bernoulli-Gleichung auf die sich aufteilende Stromlinie an der unteren und oberen Fläche an (wobei
i.a. die Differenz der Höhen z gegenüber dem Druck und Geschwindigkeitstermen vernachlässigt
werden kann, d.h. zu = zo ), so ist wegen vo > vu
===>
pu > po
(Der Druck unten ist größer als oben) ===> Auftrieb
Was beim PKW hier zu unangenehmen Folgen führen kann, ist beim Flugzeugtragflügel erwünscht.
Abb. 3.10: Zur Entstehung des Auftriebes
(Thrust: Vorschub; Drag: Zugwiderstand)
b) Parfümzerstäuber bzw. Strahlpumpe
Sowohl beim Parfümzerstäuber, als auch bei der Strahlpumpe (die normalerweise an einen Wasserhahn
angeschloßen wird) wird durch eine extreme Einschnürung im Hals die Geschwindigkeit v so stark
erhöht, daß der Druck p dort unterhalb des Außenluftdruckes fällt, d.h. es kommt zu einem Unterdruck.
Über eine dort angeflanschte Röhre kannn somit eine anderer Flüssigkeit angesaugt werden. Dann ist für
den/die
Parfümzerstäuber:
Strahlpumpe:
Treiberfluid = Luft;
Nutzfluid = Parfüm
Treiberfluid = Wasser; Nutzfluid = Luft
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3.17
3.3.2.2 Piezometerrohr, Pitotrohr und Prandlrohr
(In der rechten Abbildung ist die
Geschwindigkeit v mit w bezeichnet)
a) Piezometerrohr: mißt statischen Druck
pst =
gh
b) Pitotrohr: mißt Gesamtdruck
pges = pstat + pdyn
mit
pstat = statischen Druck
pdyn = dynamischer Druck = /2 *v2
c) Prandtl-Rohr (benannt nach dem berühmten
Fluidmechaniker Ludwig Prandtl) ist eine
Kombination von Piezometer und Pitotrohr und
mißt
pdyn = pges - pstat
==> Strömungsgeschwindigkeit v
Abb. 3.11 (Bohl, 1986)
v = [2*pdyn / ]1/2
= [2* (pges - pstat ) / ]1/2
d.h. durch Differenzmessung der Standrohrhöhen in den beiden
Manometern kann v bestimmt werden. Konstruktiv besteht das
Prandtl-Rohr aus zwei Röhren, von denen die zur Strömung
frontal geöffneten Röhre (unten, d.h. das Pitotrohr) den
Gesamtdruck und die zur Strömung streichend geöffneten Röhre
(oben, d.h. das Piezometerrohr) den statischen Druck mißt. Dies
ist das Prinzip der Geschwindigkeitsmessung eines Flugzeugs,
das sich relativ zur Luft bewegt.
Abb. 3.12: Prandtl-Rohr
Anwendung der Bernoulli Gl. auf eine Stromlinie, die in das untere (Pitot) Rohr einströmt, wobei (1)
einen Punkt im Außenraum der Strömung, und (2) im Pitotrohr darstellt, so ist wegen z1 = z2
p1
g
2
%
v1
2g
'
p2
g
2
%
v2
2g
2
6 p2 ' p1 %
v1
===>
2
mit :
v2
' 0
2g
p
' p
% p
2
d.h. im Pitotrohr wird tatsächlich der Gesamtdruck bestimmt.
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3.18
3.3.2.3 Venturimeter
Eine Querschnittseinschnürung kann zur
Messung der Geschwindigkeiten und damit des
Durchflusses verwendet werden. Dies ist das
Prinzip der Venturimeters und ist praktisch die
Umkehrung des Zerstäubers
Unter Vernachlässigung von Reibungs- und
Einschnürungsverlusten zwischen Zulaufrohr
und Halsstück ergibt die Bernoulligleichung bei
Lage des Bezugshorizontes in der horizontalen
Rohrachse ( z = 0 ) :
2
p
v1
p
v2
%
' 1 %
g
g
2g
2g
Abb. 3.13: Prinzip des Venturimeters (Bollrich, 1996)
unter Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung - genaue Herleitung siehe G. Bollrich “ Technische
Hydromechanik 1 ” - (bzw. folgendes Beispiel) erhält man den theoretischen Durchfluß
Qtheor. ' v1 ( A1 ' A1(
2g (
hp
1 & m2
mit
hp = (p - p1) /
= hs * ( s /
mit
g
= statische Druckhöhendifferenz in den beiden Manometerschenkeln
- 1)
(Beweis!!)
hs = gemessene Druckhöhendifferenz der Sperrflüssigkeit (Dichte
Differenzmanometer
) im
s
und
m = A1 / A = ( d1 / d ) ² = Verhältnis der Flächenverengung ist,
= zwischen 0,1 und 0,6 bei Normventuridüsen .
Tatsächlich treten geringfügige Verluste zwischen den betrachteten Querschnitten auf. Der wirkliche
Durchfluß Q wird berechnet durch Abminderung von Qtheor. mit dem experimentell ermittelten
Beiwert C = 0,9858 - 0,196 m 2,25
der selbst vom m abhängt, bzw. durch Einführung der
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3.19
= C / (1-m2 )
Durchflußzahl
als
2g (
Q ' C ( A (
Beispiel 3.3.2.3.1
h
1 & m
'
( A (
2g (
h
Anwendung der Bernoulligleichung auf das Venturimeter
Ein horizontal eingebautes Venturirohr, welches zur Durchflußmessung in einer Wasserleitung mit
einem Durchmesser von d1 = 150 mm dient, verengt sich im Meßquerschnitt auf d2 = 140 mm.
a)
b)
Zeichnen Sie die Druck- und Energielinie !
Die groß ist der Durchfluß Q, wenn am angeschlossenen, mit Tetrachlorkohlenstoff ( T = 1594
kg / m³) gefüllten Differenzdruckmanometer ein Meßausschlag von h = 80 cm angezeigt wird?
Lösung:
a)
Abb. 3.14: Venturimeter
b)
Da die Fließstrecke zwischen den betrachteten Schnitten 1 und 2 relativ kurz ist, werden die
Reibungsverluste in diesem Bereich vernachlässigt ( ==> ideale Flüssigkeit ). Die Energielinie
ist also mit dem Energiehorizont identisch. Unter der Annahme einer reibungsfreien Flüssigkeit
lautet die Bernoulli-Gleichung für die Schnitte 1 und 2 :
2
p1
z1 %
W
( g
A
%
v1
2g
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' z2 %
W
p1 & p2
W
p2
( g
( g
2
%
v2
2g
2
'
W
mit: z1 ' z2
2
v2 & v1
p
'
( g
2g
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3.20
Die Druckdifferenz wird mit dem U-Rohr- (Differenzdruck-) Manometer bestimmt zu :
p= h*g*(
T
-
W
)
Aus der Kontinuitätsbeziehung für die Schnitte 1 und 2 erhält man :
Q1 = Q2 ===>
v1 * A1 = v2 * A2
===>
v1 * / 4 * D1² = v2 *
/ 4 * D2²
v1 = v2 * D22 / D12
===>
Nach Einsetzen in die Bernoulli-Gleichung kann nun die Fließgeschwindigkeit in einem der
beiden Schnitte und damit der Durchfluß berechnet werden
2
W
2
'
2 (
W
2
h ( g ( (
T
W)
&
( ( 1 & (D2 / D1)4 )
Q ' v2 (
2
v2 & v2 ( (D2 / D1)4
v2 ( ( 1 & (D2 / D1)4 )
p
'
'
( g
2g
2g
2
'
/ 4 ( D2 ' 6,218 (
2 ( 0,81 ( 9,81 ( (1594 & 1000)
1000 ( ( 1 & (0,14 / 0,15)4 )
' 6,218 m/
/ 4 ( 0,142 ' 0,0957 m³/s ' 95,7 l/s
3.3.2.4 Ausfluß aus einem offenen Gefäß (Formel von Toricelli)
Abb. 3.15: Zur Herleitung der Ausflußformel von Torricelli (w=v im Text) (Bohl, 1986)
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3.21
Anwendung der Bernoulli-Gleichung auf die beiden Punkte (1) und (2) liefert :
2
p1
z1 %
( g
v1
%
p2
' z2 %
2g
( g
2
%
v2
2g
mit : z1 ' h und z2 ' 0
p1 ' p2 ' Außendruck
2
A
h %
v1
2g
2
'
v2
2g
Annahme : v1 « v2 wegen d1 » d2
A
v1 ' 0
2
A
v '
h '
v2
2g
2 ( g ( h
Ausflußformel von TORRICELLI
Die Ausflußformel von TORRICELLI besagt, daß die Ausflußgeschwindigkeit einer Flüssigkeit
beim reibungslosen Ausfluß aus einem offenen Behälter genauso groß ist wie die Geschwindigkeit eines
festen Körpers, der die Höhe h im freien Fall reibungslos durchfallen würde.
Für die Ausflußrate erhält man dann wegen Q2 = v2 * A2
Q ' A (
Beispiel 3.3.2.4.1
2 ( g ( h
Ausflußrate
Eimer mit Ausflußöffnung
Gegeben :
V = 20 Liter; Wasserpegel h = 0,4 m;
Gesucht :
Ausflußrate Q;
Ausflußöffnung r = 0,01 m
theoretische Auslaufzeit ttheor.
Lösung:
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3.22
V
[ m3 ]
'
' [ s ]
Q
[ m3 / s ]
tAusfluß '
Q ' A (
Q '
( 0,012 (
2gh
2 ( 9,81 ( 0,4 ' 8,8 ( 10
ttheor. '
20 ( 10
3
8,8 ( 10
4
4
m/s
' 22,7 s
Für die tatsächliche Entleerungszeit treel gilt jedoch
treell > ttheor.
wegen :
a)
b)
h wird ständig kleiner, dies ist hier nicht berücksichtigt, kann jedoch nach Aufstellen einer
Differentialgleichung auch bewerkstelligt werden
Austrittsverlusten wegen Kontraktion des Ausflußquerschnittes:
===>
A eff. = CC * A Öffn.
0,5 < CC < 1,0
mit :
CC
A eff. < A Öffn.
= Kontraktionsbeiwert
je nach Öffnungsgrad
3.3.2.5 Ausfluß unter einem Schütz
Annahme: Das gestaute Wasser- volumen ist
groß genug, daß die Wasserspiegelhöhe h
konstant bleibt.
Außerdem ist das Verhältnis der Höhe a des
Schlitzes wesentlich kleiner als h.
.
Abb. 3.16: Ausfluß unter Schütz
Anwendung der TORRICELLI Formel : va '
A
Qtheor. ' A (
Qreell ' (a F ( b) (
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2 g h ' (a ( b) (
2 g h
2 g h
2 g h
mit : aF...effektive Flußhöhe
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3.23
Zahlenbeispiel :
h ' 5,0 m ; b ' 6,0 m ; a ' 0,8 m
Kontraktionszahl cc ' aF / a A aF ' cc ( a
Annahme : cc . 0,6
Qreell ' (0,6 ( 0,8 ( 6) (
2 ( 9,81 ( 5 ' 28,5 m 3 / s
3.3.2.6 Ausfluß aus einem Druckgefäß
Abb. 3.17: Ausfluß aus
Druckgefäß
Gegeben :
D2 = 0,03m
D3 = 0,01 m
Gesucht :
a.)
b.)
Lösung :
Nach Bernoulli gilt:
Ausflußrate Q
Druck auf Schlauch
H1 = H2 = H3
mit:
H1 = p1 / g + v1 ² / 2g + z1
(z1 = 0; v1 . 0, da großes Gefäß )
H2 = p2 / g + v2 ² / 2g + z2
(z2=0)
H3 = p3 / g + v3 ² / 2g + z3
(z3= 0; p3 = 0 , da Außendruck )
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A H1 = p1 / g
A
H3 = v3 ² / 2g
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3.24
2
v3
H1 ' H3 A
2g
v2
%
g
Zwischenrechnung :
Luft
'
p1
Rind ( T
'
g
A
p2
g
'
Q2
A2
1,247 kg/m 3
( r 2 ( v3 '
'
Q3
2g
2
A p2 ' p1 &
(v2
2
A3
( v
2
2
wegen :
m
s
( (0,01 / 2)2 ( 69,4
3
m3 / s
5,45 ( 10
'
3
( (0,03 / 2)2
3
' 7,71 m / s
m3 / s
A
Kontrolle o.k.
und wegen :
1,247 ( 7,71
' 3 ( 103 &
' 2963 Pa
2
p2 & p1 ' & 37 Pa
A
v2
' 69,4
0,03 2
) ( 7,71 ' 5,45 ( 10
2
p2 ' p1 &
A
&
g
6 ( 103 Pa
Q3 ' 5,45 ( 10
( (
2
p1
3 ( 103 Pa % 105 Pa
kg
' 1,247
286,9 [Nm / kg(°K] ( (15 % 273 [°K]
m3
Q3 ' A3 ( v3 '
Q2 ' A2 ( v2 '
6 ( 103 Pa
bei Umgebungszustand (Normalbedingungen)
Luft
A v3 '
v2 '
'
Luft
p1
'
2g
2 ( p1
A v3 '
g
2
p2
H2 ' H1 A
p1
'
p2 & p1
p1
( Druckabnahme um 37 Pa )
'
p
'
p1
& 37
10
5
' 0,5 ( 10
3
Vernachlässigung der Dichteänderung möglich
Annahme der Inkompressibilität ist korrekt
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3.25
3.3.2.7 Prinzip des Hebers
Abb. 3.18: Der Heber
Gegeben und gesucht:
z1 = 6,0 m
z2 = hs
z3 = 0
Lösung:
;
;
;
p1 = 0 ;
p2 = ? ;
p3 = 0 ;
v1 = 0
v2 = ?
v3 = ?
Wegen Q1 = Q2 = Q3 ===> v2 = v3 , da d2 = d3 = const.
H1 ' H2 ' H3
z1 %
2
p1
%
g
v1
2g
' z2 %
2
p2
%
g
v2
' z3 %
2g
p3
g
2
%
v3
2g
2
H1 ' H3 A z1 '
v3
2g
A v3 ' v2 '
2g ( z1 ' 10,85 m / s
Berechnung von p2 (H1 ' H2) :
p2
g
' (z1 & z2) %
p1
g
2
%
v1
2g
2
&
v2
2g
mit: v2 ' v3; v1 ' 0
===>
2
p2 ' g ( (z1 & z2) &
( v2
2
' & g ( z2
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3.26
Für den Fall, daß der Scheitel des Hebers gerade bei z2 = z1 = 6m sitzt
===>
p2
= - 1000*9,81* 6 = - 58860 Pa
Der Druck p2 ist negativ, d.h. es herrscht ein Unterdruck im Scheitel des Hebers schon bei
dieser Höhe wenn der Heber praktisch noch gar nicht hebt.
Wie üblich ist der hier berechnete Druck der hydrostatische Druck, d.h. der Druck gegenüber
dem Atmosphärendruck patm . Dann gilt für den absoluten Druck im Scheitel
pabs = patm + p2 = patm - gz2
Aus Kap 1.8 ist bekannt, daß eine Flüssigkeit siedet, wenn der äußere Druck pabs unterhalb ihres
Dampfdruckes pdampf bei einer gegebenen Temperatur fällt. Somit ergibt sich eine kritische
Druckverminderung bei weiterem Erhöhen des Scheitels des Hebers (über den angegebenen
Wert von z2 = 6m), ab der die Flüssigkeit im Scheitel siedet.
===> kritische Siedebedingung:
===>
pabs < pdampf
pabs = patm - gz2 < pdampf
Für Wasser bei 15° C: pDampf . 2500 Pa (s. Kap 1.8) und patm = 105 Pa = 1000 mbar
===>
pabs = 10000Pa - gz2
===>
10000Pa - 2500Pa <
< 2500Pa
gz2
===>
97500 Pa / g < z2
===>
97500 Pa / 9810 [N/m3] < z2
===>
hsKrit = 9,94 m
(Wird der Heberscheitel größer als dieser Wert, siedet das Fluid (hier Wasser))
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3.27
3.4
3.4.1
Der Impulssatz
Allgemeine Herleitung
Nach dem Newtonschen 2. Axiom gilt:
F=ma
(3.4.1)
mit
a = dv/dt = d2s/dt2
(a = Beschleunigung; v =Geschwindigeit, s = Weg)
Führt man den Impuls
J = mv
(3.4.2)
ein, folgt für m =konstant, wie i.a. in der Festkörpermechanik der Fall, eine andere Formulierung des
2. Newtonschen Axioms:
F = dJ/dt
=d (mv) /dt = m@ dv/dt
(3.4.3)
Für eine beliebige reibungsfreie Strömung in einer Stromröhre gilt (3.4.3) allgemein, wobei nun die
Masse m zeitlich nicht mehr konstant sein muß
F = dJ/dt
=d (mv) /dt = dm/dt @ v + m@ dv/dt
(3.4.4)
Für eine stationäre Strömung gilt dv/dt = 0
===>
F = dm/dt @ v
(3.4.5)
Für den Massenfluß dm/dt gilt
dm/dt = d ( V) /dt =
dV/dt =
Q
(3.4.6)
mit Q= v @ A dem Volumenfluß durch eine Flächenstück A
===>
F= Qv=
vvA
(3.4.7)
Abb. 3.19: Zur Herleitung des
Impulsatzes
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3.28
Bei der Anwendung von (3.4.7) muß man ein zweckmässiges Kontrolvolumen bzw. eine das
Kontrolvolumen einschließende Kontrolfläche A, ähnlich wie bei der Herleitung der
Kontinuitätsgleichung, wählen. Dann gilt die
allgemeine Impulsgleichung:
3F=
êê
A
A
v v @ dA
(3.4.8)
mit
3F
= 3 FD + 3FR
= Summe der externen Druckkräfte FD und der meistens unbekannten
Reaktionskräfte FR
êê v v @ dA = Summe der Impulskräfte an der Kontrolfläche
(3.4.8) ist eine vektorielle Gleichung und läßt sich komponentenweise schreiben als
3 Fx = êê vx v @ dA
A
3 Fy = êê vy v @ dA
A
(3.4.9b)
A
3 Fz = êê vz v @ dA
A
(3.4.9a)
A
(3.4.9c)
A
Die Schwierigkeit der Anwendung der Impulsgleichung (3.4.8, 3.4.9) besteht in der geeigneten Wahl
der Kontrolflächen, sowie der richtigen Wahl der Vorzeichen der externen Kräfte und der
Impulskräfte. Folgende Regeln sind hilfreich:
1) Man lege die Kontrolfläche so, daß die interessierenden externen Kräfte wirklich außen liegen
2) Die Druckkäfte FD sind immer in den Kontrolraum hineingerichtet
3) Wegen der Vorzeichenregelung für die Flächennormalen n =dA /*dA*, welche immer nach außen
gerichtet ist, sind Impulskräfte
am Einlauf negativ (v und dA haben gegensätzliches Vorzeichen)
am Auslauf positiv (v und dA haben gleiches Vorzeichen)
4) Die Richtung der häufig interessierenden Reaktionskräfte FR wird zweckmäßigerweise a priori in
positive Koordinatenrichtung vorgegeben und ihr eigentliches Vorzeichen dann a posteriori
berechnet.
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Technische Hydraulik
3.29
3.4.2 Anwendungen der Impulsgleichung
3.4.2.1 Haltekraft einerDüse
Gesucht ist die externe Kraft FR, die auf die Düse wirkt, bzw. die Reaktions- (Halte) Kraft der
Anflanschung der Düse
Gegeben: d1= 10cm; d2=3cm, p1=7*105
Pa
=1000 kg/m3
Lösung:
Legt man das Kontrolvolumen wie
gezeigt, so ist nur die x-Komponente der
Kraft von Bedeutung.
Anwendung von (3.4.9a):
Abb. 3.20: Impulskräfte auf Düse
3 FDx + 3 FRx = êê vx v @dA
A
A
A
===>
FRx + p1* A1 - p2* A2 =
vx1 (- vx1 A1) +
vx2 (+vx2 A2)
(Man beachte die Anwendung der Regeln!!)
===>
FRx
= - vx12 A1 +
vx22 A2 - p1 A1 + p2 A2
Für die freie Ausströmung ist p2=0:
===>
FRx
= - vx12 A1 +
vx22 A2 - p1 A1
(3.4.10)
Nach der Bernoulli-Gl. gilt
p1 / g + v1x2 /2g = p2 / g + v2x 2 /2g
(=0)
===>
p1 / g + v1x2 /2g = v2x 2 /2g
und zufolge der Kontinuitätsgleichung gilt
Q1 = vx1 * A1 = Q2 = vx2 * A2 ===> vx1 = vx2 * A2 / A1
===>
p1 / g + vx22 * (A2 / A1)2 /2g = vx2 2 /2g
===>
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3.30
===>
vx22 /2g * [1 - (A2 / A1)2] = p1 / g
_____________________
vx2
= % 2p1 / ( * [1 - (A2 / A1)2] )
(3.4.11)
Mit Werten:
vx2
__________________________________________
= % 2*7*105 / (1000* [1 - ( ( /4* 0,032) / ( /4* 0,12))2] )
= % 2*7*105 / 991,9
=% 1411,4
=37,57 m/s
und
vx1
= vx2 * A2 / A1 = 37,57*9/100
= 3,38m/s
===> (mit 3.4.10)
FRx
= - 1000*3,382 * * 0,12/4 + 1000* 37,572 * * 0,032/4 - 7*105* * 0,12/4
= - 89,73 + 997,73 - 5497,79
= - 4590,22 N
Die Kraft ist negativ, also umgekehrt wie eingezeichnet. Dies ist dann die Kraft mit der die Düse
nach links gedrückt werden muß, was durch die Anflanschung aufgebracht werden muß. Hätte man
ursprünglich die Kraft FRx in negative Richtung angesetzt, wäre sie beim Aufstellen der
Impulsgleichung auch negativ eingesetzt worden, um dann im Ergebnis wieder als positiv zu
erscheinen. Dies macht die Bedeutung der konsequenten Anwendung der Regeln hoffentlich klar!!!
3.4.2.2 Kraft auf Krümmer
Gesucht ist die externe Stoßkraft FR, die auf den horizontalen Umlenk-Krümmer mit
Krümmungswinkel wirkt!
Gegeben: d1= d2 =3cm, v1=3m/s
=1000 kg/m3; =45o.
Lösung: In diesem Fall sind x- und y
Komponenten der gesuchten externen
Stoßkraft zu berechnen.
Anwendung von (3.4.9a), (am Einlauf
und Auslauf soll der Druck p = 0 sein):
3 FRx = êê vx v @dA
A
A
und
Abb. 3.21: Kräfte auf Krümmer
3 FRy = êê vy v @dA
A
A
Für die x-Komponente ergibt sich dann
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3.31
FRx =
vx1 (- v1 A1) +
vx2 (+v2 A2)
und mit vx1 = v1; vx2 = v2 * cos
FRx =
v1 (- v1 A1) + v2 * cos (+v2 A2)
(Man beachte die Anwendung der Regeln!!)
Wegen Kontinuität und wegen A1 = A2 ===> v1 = v2
===>
FRx = - v12 A1 +
v22 * cos
A1
===>
FRx = - v12 A1 (1 - cos )
(3.4.12)
Mit Werten: FRx = -1000* 32 * * 0,032/4 * (1 - cos 45o) = - 1,86 N
Die Kraft in x-Richtung ist negativ; man muß also den Krümmer nach links gegen den Druck
stemmen!!
Für die y-Komponente ergibt sich:
FRy =
vy1 (- v1 A1) +
vy2 (+v2 A2)
und mit vy1 = 0; vy2 = v2 * sin ; A1 =A2
===>
FRy =
v22 A1 *sin
(3.4.13)
Mit Werten: FRy = 1000* 32 * * 0,032/4 * sin 45o = 4,45 N
(Vergleiche mir Wert von FRx !!!)
Die Kraft in y-Richtung ist positiv; man muß also den Krümmer nach oben stemmen!!
Je nach Krümmerwinkel
ergeben sich einige interessante Sonderfälle:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------FRy
Frx
Bemerkung
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0
0
0
900
- v12 A1
v12 A1
1800
-2 v12 A1
0
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gerades Rohr
x- und y-Komponenten gleich groß
Vollständige Umlenkung des Strahles
Verdopplung der Reaktionskraft!
Vergleiche mit Stoßreflexion an starrer Wand
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3.32
3.4.2.3 Schub eines Raketentriebwerkes
Der Schub FS eines Raketen (Flugzeug) triebwerkes wird bewirkt durch die Impulskraft der aus der
Düse austretenden Gasmasse. Nach (3.4.5) gilt
FS = dm/dt @ v
d.h. die Schubkraft FS ist proportional der
Austrittsgeschwindigkeit v des Gase und
der Massenänderung des Treibstoffes.
Analog zu (3.4.7) erhält man dann
FS =
Q v = v2 A
Abb. 3.22: Schub einer Rakete
mit
A
= Dichte der Gase
= Düsenfläche
Beispiel 3.4.2.3:
Schubkraft eines Triebwerkes
Gegeben: Temperatur der Austrittsgase: T= 2000 oC;
Durchmesser der Düse:
d= 1m
Austrittsgeschwindigkeit
v = 1500m/s
Äußerer Luftdruck
p = 1000 mbar
Individuelle Gaskonstante
Ri = 260 J/ (kg oK)
Gesucht: Schubkraft FS
Lösung:
Nach dem allgemeinen Gasgesetz (Kap. 1.8) gilt für die Dichte :
= p /Ri T = 105 / (260 * 2273) = 0,17 kg /m3
Die Schubkraft FS ist dann
FS =
v2 A = 0,17 * 15002 * * 12 /4
= 3* 105 N
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3.33