Kapitel 4 - Universität Kassel

4.
Hydromechanik realer Strömungen
4.1
Reale versus ideale Strömungen: Allgemeine Betrachtungen
Wie in Kap. 3.3.1 erwähnt, ist der wesentliche Unterschied zwischen einer idealen und einer realen
Strömung, daß bei letzerer die durch die Viskosität bedingte innere Reibung, die zu thermischen
Verlusten führt, eine bedeutende Rolle spielt. Solche Reibungsverluste sind jedoch von Bedeutung in
a) der Rohrhydraulik, inbesondere bei kleinen Rohrquerschnitten mit rauer Innenwandung
b) der Hydraulik in natürlichen und konstruktiven Gerinnen
c) der Analyse von Widerstandskräften, die umströmte Körper in einem Fluid erfahren.
Zudem können viele der in den Abbildung von Kap. 3.1 dargestellten Fluidphenomene nur unter
Berücksichtigung der Physik realer Fluide quantitativ beschrieben werden.
4.2
Hydromechanische Kennzahlen
Grundlage der Beschreibung realer Fluide sind sogenannte hydromechanische Kennzahlen, die i.a.
Kombination von geometrischen Größen +
physikalischen Eigenschaften eines Fluids sind. Das
besondere an den Kennzahlen ist, daß sie keine Dimension besitzen.
Für den Hydrauliker sind von Bedeutung:
a) REYNOLDS - Zahl Re
Re '
L ( v
L ( v
'
' [ / ]
µ /
(4.2.1a)
mit
L
v
= Geometrische Länge (für Rohre der Rohrdurchmesser d)
= Fluid-Geschwindigkeit
= µ / = kinematische Viskosität
b) FROUDE - Zahl Fr (Bei Strömungen mit freier Oberfläche)
Fr '
v
(4.2.2a)
g ( h
mit
v
g
h
= Fluid-Geschwindigkeit
= Erdbeschleunigung =9,81m/sec2
= Wassertiefe
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4.1
Beispiel 4.2.1: Physikalische Bedeutung von Re und Fr
Man zeige daß gilt:
Re '
Trägheitskraft
Reibungskraft
(4.2.1b)
Fr 2 '
Trägheitskraft
Schwerkraft
(4.2.2b)
und
Lösung:
a) Re-Zahl:
Für die Trägheitskraft FT gilt nach Newton: FT = m a = V a
Für die Reibungskraft FR gilt nach dem Newtonschen Schubspannungansatz: FR = A µ dv /dy
Betrachtet man nun lediglich die charakteristischen Dimensionen der einzelnen Größen, so ist
FT ~ L3 * L / T2
:
FR ~ L2 * µ / T
===>
FT / FR = ( L3 * L / T2 ) / (L2 * µ / T ) =
L2 / (Tµ) =
(L/T)* L/ µ = v L / (µ/ )
===>
FT / FR = Re
Q.e.d
b) Fr2-Zahl:
Für die Schwerkraft FS gilt FS = m g =
Vg
===>
FS ~
L3 * g
Hier ist es zweckmäßig FT so zu dimensionieren:
FT ~ L3 * v2 /L
===>
FT / FS = ( L3 * v2 /L ) / ( L3 *g) = v2 / (L*g)
===>
FT / FS = Fr2
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Q.e.d.
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4.2
4.3
Ähnlichkeitsgesetze und das Prinzip der hydraulischen Modellbildung
Die hydromechanische Kennzahlen sind die Grundlage von Ähnlichkeitsgesetzen und der
hydraulischen Modelbildung von realen Strömungsvorgängen in einem anderen geometrischen
Maßstab, z.B.
a) Nachbildung der realen Strömung in einem Stausee-Überlaufwehr in einem Labor
b) Modellierung des Geschiebetransports in schiffbaren Flüssen und Kanälen im Labor
c) Messung von Widerstandskräften an Bauwerken und Fahrzeugen im Windkanal
Kann man modelmäßig dafür sorgen, daß die reale und labormodellierte Strömung ähnlich sind,
können die Ergebnisse des Labormodels direkt auf das Naturmodel übertragen werden.
Zwei Strömungen sind ähnlich wenn sie
a) geometrisch ähnlich sind, d.h. gewisse geometrische Aspektverhältnisse (Breite, Länge,
Höhe) für beide Strömungen gleich sind.
b) Die wichtigen hydromechanischen Kennzahlen gleich sind. Dies ist für die meisten
hydraulischen Problemen die Re-Zahl, bzw. bei Gerinneströmung die Fr-Zahl. Es ist jedoch
meistens nicht möglich, alle Kennzahlen identisch zu wählen.
Beispiel 4.3.1: Ähnlichkeit eines Automodells im Windkanal
Es soll das Strömungsverhalten um ein Automobil bei einer realen Geschwindigkeit von vr =150 km/h
untersucht werden. Dazu wird ein 1:5 Model im Windkanal verwendet. Wie groß muß die
Windgeschwindigkeit vm im Windkanal sein, um ähnliche Verhältnisse zu bekommen?.
Lösung:
Die Bedingungen für die Ähnlichkeit sind:
a) Das Automobilmodel muß geometrisch ähnlich dem Original sein. Dies ist durch die 1:5
maßstäbliche Modelskalierung bereits der Fall.
b) Die Re-Zahlen für die reale und die Modelströmung müssen gleich sein:
Rer = Rem
===>
vr * Lr /
===>
vr * Lr
===>
vm
L
= vm * Lm /
L
(
L
= kinematische Viskosität von Luft)
= vm * Lm
= vr * Lr / Lm
Es ist Lr :Lm = 5 : 1
===>
vm
= vr * 5 / 1 = 150 * 5
= 750 km/h
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4.3
Beispiel 4.3.2: Ähnlichkeit eines Schiffsmodells im offenen Schleppkanal
Ein im Maßstab 1:20 reduziertes Schiffsmodel soll im Schleppkanal untersucht werden. Wie groß muß
die Schleppgeschwindigkeit sein, um eine reale Fahrgeschwindigkeit von 30 km/h ähnlich abzubilden?
Lösung:
Hier sollen zweckmäßigerweise die Fr-Zahlen übereinstimmen, d.h.
Frr = Frm
===>
vr / %Lr g = vm / %Lm g
===>
vr /%Lr = vm / %Lm
===>
vm
= vr * %Lm / %Lr
Es ist Lr :Lm = 20 : 1
===>
vm = 30 * 1 / % 20
= 6,7km/h
4.4 Laminare und turbulente Strömungen
Wie in Kap. 3.1erwähnt, unterscheidet man
Laminare Strömungen, bei denen einzelne Stromfäden in geordneten Schichten zueinander laufen.
Turbulente Strömung, bei denen die Strömung sich mit weitgehend zufällig schwankender
Geschwindigkeit um einen Mittelwert G
v nach Größe und Richtung ändert
(s. Abb. in Kap. 3.1)
Experimente zeigen, daß bei geringer Strömungsgeschwindigkeit v die Strömung i.a. laminar und beim
Überschreiten einer kritischen Geschwindigkeit turbulent wird, d.h.
C
laminar :
v < v krit.
C
übergangsmäßig :
v . v krit.
C
turbulent :
v > v krit.
Genauer gesagt zeigt sich, daß für die Strömung gilt :
C
laminar :
Re < 2300
C
übergangsmäßig :
2300 < Re < 4000
C
turbulent :
Re > 4000
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4.4
Beispiel 4.4.1: Bestimmung der Strömungskonfiguration in einer Öl-Rohrleitung
Gegeben: Durchmesser der Ölleitung d= 5 cm; Durchflußrate Q= 2 L/s;
Gesucht: Art der Strömung
Öl
= 20*10-6 m2/s
Lösung:
Für die Re-Zahl gilt
Re = v * L /
mit
v = Q/A = Fließgeschwindigkeit
= 2*10-3 m3/s / ( /4 * 0,052 m)
= 1,02 m/s
L
=d
= Rohrdurchmesser
= 0,05 m
= 20*10-6 m2/s
===>
Re = 2550
Die Strömung ist turbulent
4.5
4.5.1
Reale Strömungen in Rohren
Das Gesetz von HAGEN-POISEUILLE
Gegeben: Ein Rohr der Länge L; Radius R; Druck am Einlauf p1 und am Auslauf p2
Gesucht: (a) Geschwindigkeitsverteilung v(r) und (b) Durchfluß Q
Annahme: Die Strömung ist laminar
L
F1
R
F2
r
FR
x
Bild 4.5.1 Geschwindigkeitsverteilung bei der laminaren Rohrströmung
(a) Berechnung des Geschwindigkeitsprofiles
Kräftebilanz:
F1 & F2 ' FR
F1 ' p1 ( A
F2 ' [ p1 %
p ] ( A
F2 ' [ p1 %
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mit:
p '
Mp
( L
Mx
Mp
( L ] ( A
Mx
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4.5
FR ' & [ µ (
Mv
' Newtonsche Schubspannung
Mr
mit: & µ (
Mp
Mv
( L ] ( A ' & [ µ (
] ( L ( 2 r
Mx
Mr
A p1 ( A & [ p1 %
&
Mv
] ( L ( 2 r
Mr
Mp
Mv
( L ( A ' & [ µ (
] ( L ( 2 r
Mx
Mr
Mp
Mv
( r2 ' µ (
( 2 r
Mx
Mr
Mv
2 r
(
'
Mr
r2
µ (
Mp
Mx
Mv
Mp
1
'
(
( r
Mr
Mx
2µ
m
Integration liefert :
Mv '
Mp
1
(
( r dr
m
Mx
2µ
===>
v(r) '
für r ' R
A
Mp
1
r2
(
(
% C
Mx
2µ
2
v(R) ' 0
0 '
C ' &
(Haftbedingung)
Mp
1
R2
(
(
% C
Mx
2µ
2
Mp
1
R2
(
(
Mx
2µ
2
===>
v(r) '
1
Mp
(
( [ r2 & R2 ]
4µ
Mx
(4.5.1)
Die Geschwindigkeit v(r) nimmt quadratisch von der Mitte des Rohres zum Rande hin ab.
Anmerkung: Das quadratische
Geschwindigkeitsprofil gilt nur für eine laminare
Rohr s t r ö m u n g . B e i ei ner t ur bul ent en
Rohrströmung ist v(r) mehr konstant in der Mitte
des Rohres und fällt erst am Rande innerhalb der
sogenannten Grenzschicht auf Null ab. (s. Abb.)
Abb. 4.5.2: Experimentelles Geschwindigkeitsprofil in einer turbulenten Rohrströmung
(die gestrichelte Parabeln repräsentieren das
laminare Profil)
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4.6
Für r=0, in der Mitte des Rohres:
vmax ' &
1
Mp
(
( R2
4µ
Mx
(4.5.2)
(b) Berechnung des Durchflußes Q
Da v nicht mehr über dem Querschnitt
des Rohres konstant ist, gilt nicht mehr
Q û v * A !!
sondern
Q = I v * dA
A
'
Abb. 4.5.3: Zur Berechnung von Q und vm
Q '
m0
R
v(r) ( 2 r dr '
Mp
1(
(
Mx
2µ
' C
m0
m0
R
R
m0
R
Mp
1
(
(r 2 & R 2) 2 r dr
Mx
4µ
(r 2 & R 2) r dr
(r 2 & R 2) r dr ' C
' C [
mit :
m0
R
Mp
1(
(
' C
Mx
2µ
(r 3 & R 2r) dr
1 4
1 2 R
1 4
r & R2
r ]0 ' &C (
R
4
2
4
===>
Q ' &
dp
( R4
dx 8µ
(4.5.3)
Für den Druckgradienten -dp/dx gilt über die Länge des Rohres L:
-dp/dx = - p / L = (p1 -p2) /L
Damit erhält man das sogenannte
HAGEN - POISEUILLE - GESETZ für laminare Strömungen
Q '
p
( R4
L 8µ
(4.5.4)
Bei Verdoppelung von R A 16-fache!!!! Erhöhung des Durchflußes ( Q . R4 )
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4.7
Für die mittlere Geschwindigkeit vm
gilt:
p
(
( R 4 / ( ( R 2)
L
8µ
vm ' Q / A '
===>
vm '
p
R2
(
L
8µ
(4.5.5)
bzw. infolge (4.5.2)
(4.5.6)
1
v
2 max
vm '
(s. Abb. 4.5.3)
Beispiel 4.5.1.1: Druckverlust im Rohr
= 900 kg / m³
Gegeben : Öl,
µ = 0,4 Pasec;
Länge des Rohres L =10m; Rohrdurchmesser d = 0,02 m
Gesucht:
Wie groß ist p, um einen Durchfluß Q = 2 * 10-3 m³ / sec zu erzeugen ?
Lösung :
Ist die Strömung laminar ? ( Nur dann gilt Hagen-Poiseuille ! )
vm ( d
Re '
Re '
Re ' 6,37 ( 10
2
2 ( 10
'
µ /
3
Q
d
(
A
µ /
m 2/sec ( 0,02 m
2
2
( 0,01 m ( 0,4 Pasec
m/sec (
0,02
( 900
0,4
Re ' 2,86 < 2300
A
mit :
( 900 kg/m 3
vm ' 6,37 ( 10
2
m/sec
Strömung ist laminar
Anwendung von HAGEN&POISEUILLE :
p
(
( R4 '
L
8µ
Q '
p '
Q ( 128 ( µ ( L
d4 (
'
p
(
( d4
L
128µ
2 ( 10
3
( 128 ( 0,4 ( 10
0,024 (
p ' 2037 kPa ' 2,037 ( 106 Pa
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4.8
4.5.2
Energiegleichung für verlustbehaftete Strömungen
Im 3. Kapitel wurde bereits die Energiegleichung (Bernoulli-Gleichung) für reibungslose, stationäre
und inkompressible Strömungen eingeführt. Bei der Energieumsetzung in wirklichen Fluiden muß die
zur Überwindung der Reibung (s. Gesetz von Hagen-Poiseuille) und von Strömungsstörungen (z.B.
Wirbel ) erforderliche Energie berücksichtigt werden. Reibungsverluste und Verwirbelungsenergie
werden in Wärmeenergie und Schallenergie umgesetzt.
Es wird wiederum die Energieumsetzung zwischen zwei verschiedenen Stellen einer Stromröhre
betrachtet.Dann erhält man die
C
Erweiterte BERNOULLI-Gl. mit Reibungsverlusten :
H ' z1 %
p1
g
%
v12
2g
' z2 %
p2
%
g
v22
2g
(4.5.7)
% hR
mit
hR = Reibungs-Verlusthöhe zwischen
Punkt (1) und (2); entsteht durch
a) Reibungsverlust an Wand und zwischen
Fluidstromfäden
b) Lokale Geschwindigkeitsfluktuationen
(bei Turbulenz und / oder rauhen Rohren)
Daneben entstehen an Einläufen, Ausläufen,
Rohrübergängen, Ventilen, Muffen, usw. noch weitere
zunächst noch unspezifizierte Verluste, die man als
örtliche Verluste hÖ bezeichnet
===>
Abb 4.5.4 : Zur Bernoulli-Gl. mit Verlusten
C
Allgemeine BERNOULLI-Gl. mit Reibungs- und örtlichen Verlusten :
H ' z1 %
p1
g
%
v12
2g
' z2 %
p2
g
%
v22
2g
% hR % h Ö
(4.5.8)
Die Summe
hv = h R + h Ö
bezeichnet man als die allgemeine Verlusthöhe hv
Beachte: Obwohl die Verluste eigentlich eine Energie E darstellen, sind sie durch die Normierung
E/mg in eine äquivalente Höhe umgerechnet worden.
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4.9
4.5.3
DARCY-WEISBACH Gesetz für die Reibungsverlusthöhe hR
Nach dem Gestz von Hagen-Poiseuille gilt für die mittlere Geschwindigkeit vm in einem Rohr der Länge
L und Radius R (=d/2) (Gl. 4.5.5). Aufgelöst nach p ergibt sich umgekehrt der Druckverlust
p
= 8 µL vm/ R2
Durch einfache Erweiterungen ergibt sich suksessive:
p = 32 µL vm / d2 = 32* 2*
* L vm / 2d2 = 64/ (vm*d/ ) * L/d * vm2 / 2
===>
p '
64
L
2
(
(
vm
Re
d
2
(4.5.9)
bzw. für den äquivalente Reibungs-Druckverlusthöhe hR = p/ g für
laminare Rohrströmungen
v2
64
L
(
( m
Re
d
2g
hR '
Setzt man
(4.5.10)
= 64/Re, so folgt das
DARCY - WEISBACH - Gesetz für laminare und turbulente Rohrströmungen
hR '
(
v2
L
( m
d
2g
(4.5.11)
mit
= Rohrreibungszahl bzw. Widerstandsbeiwert
Das Darcy-Weisbach Gesetz gilt in dieser Form auch für turbulente Strömungen, wobei jedoch dann
nicht mehr durch
= 64/Re gegeben ist, sondern eine komplexere Abängigkeit von Re, und der
sogenannten relativen Rohrrauigkeit k/d besitzt. Damit gilt zusammenfassend
4.5.4
= 64/ Re
für laminare Strömungen
Re < 2300
(4.5.12a)
= f (Re,k/d)
für turbulente Strömungen Re >2300
(4.5.12b)
Der Widerstandsbeiwert für turbulente Rohrströmungen
Für die allgemeine Form der Funktion
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= f (Re,k/d) für turbulente Strömungen hat sich empirisch die
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4.10
Prandlt-Colebrook Formel
1
' &2 log
2,51
%
Re
k/d
3,7
(4.5.13)
mit
k = Rohrrauigkeit [mm] (s. Tab. 4.1)
d = Durchmesser des Rohres [mm]
Re = Reynolds-Zahl
als am geeignesten herausgestellt. Dies ist eine implizite Formel für , d.h. sie kann nur iterativ
ausgewertet werden. Eine explizite Näherung ist für Re>5000:
1,325
'
ln
5,74
Re 0,9
k/d
%
3,7
2
(4.5.14)
Aus (4.5.13) ergeben sich die Sonderfälle für :
hydraulisch glattes Rohr: k/d ==> 0
hydraulisch rauhes Rohr: k/d ==> %
Tab. 4.1: Wandrauhigkeiten k von Rohrmaterialen
-------------------------------------------------------------Rohrmaterial
Rauhigkeit k [mm]
-------------------------------------------------------------Die Wandrauhigkeit k ist in der
Glas
glatt
Tat ein Längenmaß für die Höhen
Kunststoff (neu)
glatt
und Tiefen der Wandunebenheiten.
gezogenes Stahlrohr
0,03 - 0,1
k kann empirisch durch Einbringen
einer Sandschicht mit Korngröße k
geschweißtes Stahlrohr
in einem Rohr ermittelt werden
neu
0,05 - 0,2
angerostet
0,8 - 1,5
leicht verkrustet
0,3 - 0,5
Gußeisen
mit Anstrich
0,12
angerostet
1,0 - 1,5
Betonrohr
mit Anstrich
0,3 - 0,8
roh
1,0 - 3,0
-------------------------------------------------------------Der Widerstandsbeiwert
kann neben der analytischen Berechnung auch graphisch aus dem
sogenannten Nikuradse-Moody Diagram ermittelt werden:
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4.11
Abb 4.5.5: Nikuradse-Moody Diagramm für als Funktion von Re und relativer Rauhigkeit k/d
Beispiel 4.5.4.1: Berechnung der hydraulischen Verluste in einem Rohr (Eisengußrohr)
Gegeben : Rohr:
L = 45 m
d = 0,15 m
= 900 kg/m³
Öl:
v = 1 m/sec
Gesucht : Reibungs-Druckverlust ( äquivalenter Höhenverlust )
Lösung :
µ = 0,08 Pasec
Es gilt:
=?
A
hR '
(
v2
L
( m
d
2g
ist abhängig von der Strömungsart
Re '
v ( d
'
v ( d
1 ( 0,15
'
' 1687 < 2300
µ /
0,08 / 900
Strömung ist laminar !
A
laminar
laminar
h R ' 3,79 ( 10
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2
'
(
'
64
Re
64
' 3,79 ( 10
1687
2
45
( 1 m/sec )2
(
' 0,58 m
0,15
2 ( 9,81 m/sec2
Technische Hydraulik
4.12
Beispiel 4.5.4.2: Rohrverluste nach Moody
Gegeben : Rohr d = 2,5 m; Wasser von 15° C
I = hR / L = 1,5 m / 1000 m Rohrlänge
Gesucht :
Abflußkapazität des Rohres ?
Lösung :
hR '
L
v2
(
'
d
2g
(
Av 2 (
' hR (
1000
v2
(
2,5
2(9,81 m/sec2
(
2,5 ( 2 ( 9,81
' 49 ( 10
1000
v2 (
' 74 ( 10
3
( hR
3
Iterative Berechnung der Lösung !
A
1.) Annahme :
' 0,015
Grenzen allgemein :
0,015 ( v 2 ' 74 ( 10
A
v '
A
Überprüfung :
< 0,08
0,01 <
74 ( 10
0,015
Re '
3
3 1/2
' 2,2 m/sec
v ( d
'
2,2 ( 2,5
1,12 ( 10
6
' 5 ( 106
Annahme : k ' 0,0008 (angerostetes geschweißtes Stahlrohr)
k / d ' 0,0008 / 2,5 ' 3 ( 10
A
aus dem MOODY&Diagramm :
v ' 2,26 m/sec
A
' 0,0145 > 0,0150
0,0145 ( v 2 ' 74 ( 10
1. Iterationsschritt :
A
4
Re ' 5,13 ( 106A
3
. 0,0145
Weiterer Iterationsschritt nicht erforderlich !
Berechnung der Abflußrate Q :
Q ' v ( A ' 2,26 (
( 1,252 ' 6,86 m 3/sec
Beispiel 4.5.4.3: Ausfluß aus einem Behälter
Frage :
Wie groß ist der Durchfluß Q
a) ohne Reibungsverlust;
b) mit Reibungsverlust, für eine (1) angerostetes; (2) neues Stahlrohr?
c) Zeichen Sie Energie- und Piezometerlinien für beide Fälle
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4.13
Abb 4.5.6: Ausfluß aus einem Behälter
Lösung :
a)
BERNOULLI ohne Verluste :
z1 %
p1
g
2
%
v1
' z2 %
2g
2g ( z1 & z2) '
v2 '
2
p2
g
%
v2
2g
2 ( 9,81 ( 60 & 40)
v2 ' 19,8 m/sec
A
( d 2 / 4 ' 19,8 (
Q ' v ( A ' v (
( 0,52 / 4
Q ' 3,89 m 3/sec
b)
z1 %
BERNOULLI mit Reibungsverlusten :
p1
g
2
%
v1
' z2 %
2g
p2
g
2
%
v2
2g
2
%
(
(
L
)
d
2
z1 ' z2 %
2
v2
2g
'
v2 '
v2
2g
( ( 1 %
z1 & z2
( 1 %
(
L
)
d
2g ( (z1 & z2)
( 1 %
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v2
L
(
2g
d
(
L
)
d
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4.14
Annahme :
1. Iterationsschritt :
A
' 0,02
1
v2 ' 19,8 (
Re '
v ( d
100
1 % 0,02 (
0,5
8,86 ( 0,5
'
10
Annahme : kStahl ' 3 ( 10
k
3 ( 10
'
0,5
d
A
Aus MOODY&Diagramm
0
&
1
4
' 4,43 ( 106
(leicht verkrustet)
4
' 6 ( 10
' 0,019 .
A
' 0,02 & 0,019 ' 0,001
6
v2 (oben) ist korrekt !
A
Q ' v ( A ' 8,86 (
Q (ohne Verluste) ' 3,89 m 3/sec
Q (mit Verlusten) ' 1,74 m 3/sec
1. Iterationsschritt :
'
6
A
Re '
Q ' v ( A ' 10,62 (
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k
5 ( 10
'
d
0,5
Annahme
5
' 1 ( 10
4
' 0,02
2 ( 9,81 ( (60 & 40)
' 10,62 m/sec
100
1 % 0,0124 (
0,5
v2 '
v ( d
A
' 0,0124 û
A
10,62 ( 0,5
'
10
Aus MOODY&Diagramm
A
' 0,02
' 4,43 ( 106
Aus MOODY&Diagramm
2. Iterationsschritt :
5
2 ( 9,81 ( (60 & 40)
' 8,86 m/sec
100
1 % 0,02 (
0,5
v2 '
8,86 ( 0,5
10
' 0,02
0,52 / 4 ' 1,74 m 3/sec
Annahme :
v ( d
Annahme
v2 ' 8,86 m/sec
A
Neues Stahlrohr mit k ' 5 ( 10
Re '
4
(Differrenz sehr klein A Iteration beendet !)
A
Vergleiche :
A
' 8,86 m/sec
A
6
' 5,31 ( 106
' 0,0123 . 0,0124
0,52 / 4 ' 2,09 m 3/sec > 1,74 m 3/sec
Technische Hydraulik
4.15
c) Energie (EL) und Piezometer (Druck) linien
Abb 4.5.6: Energie (EL) - und Piezometer (DL) linien für Rohrausfluß aus Behälter ohne Verluste
Abb 4.5.7: Energie (EL) - und Piezometer (DL) linien für Rohrausfluß aus Behälter mit Verlusten
Anmerkungen zum Einzeichnen der Linien:
1) Die Reibungsverlusthöhe hR nimmt zufolge Darcy-Weisbach linear mit der Rohrlänge zu
und wird von der Gesamtenergielinie H nach unten abgetragen.
2) Die Energielinie EL stellt dann das untere Ende von hR dar.
3) Die Drucklinie DL liegt stets um v2/2g unter der Energielinie EL
4) Wegen p=0 am Ausgang des Rohres geht in beiden Fällen die Piezometerlinie DL auf die
geodätische Höhe z2 des Rohrausganges zurück.
5) Die örtlichen Verluste hÖ (Ein- und Auslauf des Rohres) sind hier zunächst vernachlässigt
4.5.5
Strömungen in nicht - kreisförmigen Querschnitten
Verallgemeinerung der Darcy-Weisbach Gl.
hR = * L/d * v2 /2g
durch Einführen des hydraulischen Radius rHyd:
rHyd '
A
LU
FG Geohydraulik und Ingenieurhydrologie
Universität Gesamthochschule Kassel
Prof. Dr. rer. nat. M. Koch
(4.5.15)
Technische Hydraulik
4.16
mit
A = Fläche, die Wasser führt
LU = benetzter Umfang (nur bei vollgefüllten Rohren gleich dem Umfang!!!!)
durch
Allgemeine DARCY-WEISBACH-Gleichung
hR '
L
v2
(
4 ( rHyd
2g
(
(4.5.16)
Anwendungen:
a) ƒ (gefülltes Kreisrohr)
hR '
(
A
A
rHyd '
L
v2
L
v2
(
'
(
(
4 ( rHyd
2g
4
rHyd
2g
hR '
(
L
4 (
A
r2
r
'
2 r
2
hR '
(
r
2
L
v2
(
d
2g
(
v2
2g
q.e.d.
(wie gehabt für das Kreisrohr)
b): … (Rechteck)
A
hR '
(
rHyd '
b ( h
b ( h
'
2h % 2b
2 (h%b)
L
v2
(
2g
b ( h
4 (
2 (h % b)
(4.5.17)
DARCY-WEISBACH-Gleichung für das RECHTECK-Rohr
Anmerkung: Durch Ersetzen von
d ----> 4* rHyd
lassen sich alle für die Berechnung von hydraulischen Verlusten notwendigen Größen aus dem
Moody-Diagramm für kreisförmigen Querschnitte auf beliebige andere Querschnitte anwenden.
Insbesondere gilt dann für Re:
FG Geohydraulik und Ingenieurhydrologie
Universität Gesamthochschule Kassel
Prof. Dr. rer. nat. M. Koch
Re '
v ( 4 rHyd
Technische Hydraulik
4.17
Beispiel 4.5.5.1: Druckverlust für Luft im rechteckigen Stahlrohr.
Gegeben: Luft mit Q = 2,5 m³/sec; = 1,5*10-5 m2/s; rechteckiges Stahlrohr mit
b = 30 cm und h = 60 cm
Frage :
a) Wie groß ist der Druckverlust p für 50 m Rohrlänge ?
b) Wie groß wäre p für ein kreisförmiges Rohr gleichen Querschnittes?
Lösung :
v ( 4 rHyd
Re '
v '
rHyd '
A
Re '
A
b ( h
0,3 ( 0,6
'
'
' 0,1
LU
2 (h % b)
2 (0,6 % 0,3)
1,5 ( 10
5
(Q / A) ( 4 rHyd
Q
2,5 m 3/sec
m
'
' 13,9
2
A
sec
0,3 ( 0,6 m
13,9 ( 4 ( 0,1
kStahl ' 3 ( 10
'
5
m
' 3,68 ( 105 > 2300
A
k
3 ( 10 5 m
'
' 7,5 ( 10
4 ( 0,1 m
4 ( rHyd
und
Aus dem MOODY&Diagramm A
hR '
A
(
p '
TURBULENZ !
5
' 0,014
L
v2
50 m
(1,38 m/s 2
(
' 0,014 (
(
' 17,0 m
4 rHyd
2g
4 ( 0,1 m
2 ( 9,81 m/s 2
( g ( hR ' 1,1
kg
m
( 9,81
3
m
sec2
( 17 m ' 183,4 Pa
b): Druckverlust für ein kreisförmiges Rohr mit gleichem Querschnitt
A ' b ( h ' 0,3 ( 0,6 ' 0,18 m 2
A '
( r 2 ' 0,18 m 2
Re '
v ( d
A
'
r '
A /
(25 / 0,18) ( 0,48
1,5 ( 10
k
3 ( 10
'
d
0,48
5
' 6,25 ( 10
A
' 0,24 m
' 4,4 ( 105
5
Aus dem MOODY&Diagramm
0,18 /
'
5
' 0,014
===>
hR ' 0,014 (
p ' hR (
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50
(2,5 / 0,18)2
(
' 14,34 m
0,48
2 ( 9,81
( g ' 14,34 ( 1,1 ( 9,81
Technische Hydraulik
4.18
p ' 154,7 Pa <
p
p
'
p ' 183,4 Pa
154,7
' 0,84 ' 84 %
183,4
Die Reibungsverluste sind im kreisförmigen Rohr bei gleicher Fläche geringer!!!
Allgemein gilt:
Rohre mit kreisförmigen Querschnitt haben bei gleicher Fläche gegenüber
allen anderen Querschnitten die geringsten Verluste
4.5.6
Örtliche Verluste
Die in der allgemeinen Bernoulli-Gl (4.5.8) eingeführten örtliche Verluste hÖ entstehen an vorwiegend
an
Einläufen,
Ausläufen,
Rohrübergängen,
Krümmungen,
Ventilen,
Muffen,
Armaturen
Diese Verluste sind Energieverluste von meistens Ablösewirbeln (Totwasser) die an den Kanten von
unsteten Erweiterungen/Verengungen entstehen. Ihre genaue Berechnung verlangt die numerische
Lösung der Strömungsgleichungen (s. Abb.)
Abb. 4.5.9: Numerisch berechnete Strömung durch ein sich erweiternden/verengenden Kanalquerschnitt
bei kleiner und großer Reynolds-Zahl (http://gaia.iwr.uni-heidelberg.de/~featflow/)
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Technische Hydraulik
4.19
Empirisch werden die örtlichen Verluste hÖ beschrieben durch
hÖ ' j
(
v2
2g
(4.5.18)
mit
3
= Summe aller örtlicher Verluste
=
E
+ 3
ÜK
+3
ÜE
+3
K
+3
D
+
A
(4.5.19)
mit
E
3
3
3
3
A
ÜK
ÜE
K
D
= Eintrittsverluste
= Kontraktionsverluste
= Erweiterungsverluste
= Krümmungsverluste
= Drosselklappen/Schieber/Ventilverluste
= Austrittsverluste
Die Größe der einzelnen Terme hängt ab von der jeweiligen geometrischen Konfiguration der
Übergänge ab und wird empirisch ermittelt. Tab. 4.2 zeigt einige Werte
Tab. 4.5: Werte für örtliche Verlustkoeffizienten
Art der Verluste
Parameter
r/d
Eintrittsverluste
0
0,5 (scharf)
E
0,1
0,12
>0,2
0,03
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= 60o
= 180o
d2/d1
Kontraktionsverluste
0
0,08
0,50
ÜK
(Konfusor)
0,2
0,08
0,49
0,4
0,07
0,42
hÖ = 3 ÜK * v22 /2g
0,6
0,06
0,32
0,8
0,05
0,18
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------= 60o
= 180o
d1/d2
Erweiterungsverluste
0
1,00 (frei)
ÜE
(Diffusor)
0,2
0,13
0,92
0,4
0,07
0,72
hÖ = 3 ÜE * v12 /2g
0,6
0,06
0,42
0,8
0,04
0,16
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------r/d
1
0,35
Krümmungsverluste
K
o
(90 Krümmer)
2
0,19
4
0,16
6
0,21
8
0,28
FG Geohydraulik und Ingenieurhydrologie
Universität Gesamthochschule Kassel
Prof. Dr. rer. nat. M. Koch
Technische Hydraulik
4.20
Anm.: a) Es wird angenommen,daß die Strömung von (1) nach (2) fließt
b) r ist der Krümmungsradius
c) ist der Öffnungs (Schließungswinkel) des Übergangs
d) Der freie Austritt ist als Sonderfall in der Erweiterung berücksichtigt
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Es mag erstaunlich klingen, daß beim freien Ausfließen aus einer Rohröffnung ebenfalls ein Verlust
auftritt und dessen Koeffizient nach der Tabelle (scharfe Erweiterung, =180o ) sogar den größten Wert
A
=1
(freier Austritt)
annimmt. Demgegenüber ist der ungüstigste Wert für den scharfen Eintritt nur
E
= 0,5
(scharfer Eintritt)
Der Erweiterungsverlust läßt sich beim scharfen Übergang ( =180o ) von zwei Querschnitten (sog.
Borda-Erweiterung) allgemein mit dem Impulssatz berechnen. Man erhält dann
ÜE
= ( 1 - A1 / A2 ) ²
= ( 1 - d12 / d22 )2
(4.5.20)
und für d1/d2 ==> 0 den Sonderfall des freien Austrittes, d.h.
ÜE
Beispiel 4.5.6.1
=1
Berechnung von allgemeinen Verluste einer Rohrleitung
Gegeben : Öl, = 4 * 10-5 m²/s,
Frage:
= 900 kg/m³, Rohrdurchmesser d = 0,15m
Wie groß muß z1 sein, um einen erwünschten Durchfluß Q = 0,028 m³/sec zu bekommen?
Annahme: Die beiden Reservoire sollen groß genug sein, daß sie nicht aus/überlaufen.
Abb. 4.5.10: Zur Berechnung von allgemeinen Verluste einer Rohrleitung
Lösung :
Ansetzen der allgemeinen Bernoulli-Gl. mit Verlusten
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Technische Hydraulik
4.21
2
v1
z1 %
mit :
p1
%
2g
g
2
' z2 %
hR '
z1 & z2 '
z1 & z2 '
L
v2
(
d
2g
(
hA '
A
Q / A ( d
'
(
L
%
d
,
E
4 ( 10
5
' 1,0
hV '
hV '
hV '
A
K
K
!!!
' 5942 > 2300 (turbulent)
5
4
' 0,036
A
( scharfer Einlauf )
( r/d ' 2 )' 0,19
v2
(
2g
( Q / A )2
(
2g
( 0,028 / ( 0,0752 )2
(
2 ( 9,81
hV '
und
% 2
( scharfer, abrubter Auslauf )
K
A
A
/ 0,15 ' 3,33 10
MOODY&Diagramm
A
A
v2
2g
(
( 0,0752 ) ( 0,15
0,028 / (
' 0,5
%
E
,
K
v2
2g
(
E
Bestimmung von Re
A
k / d ' 5 ( 10
E
hV
hK '
v2
(
2g
' ?
'
hV
%
g
hE '
v2
2g
(
Bestimmung von
v ( d
2g
p2
%
h V ' hR % h Ö ' hR % ( h E % hA % h K ( 2 )
mit :
Re '
v2
(
L
%
d
(
E
L
%
d
0,036 (
% 2
E
K
%
A
% 2
K
%
A
197
% 0,5 % 2 ( 0,19 % 1
0,15
( 0,028 / ( 0,0752 )2
( ( 47,28 % 1,88 ) ' 6,29m
2 ( 9,81
z1 & z2 ' 6,29 m
z1 ' 130 % 6,29 m
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A
A
z1 ' z2 % 6,29 m
z1 ' 136,29 m
Technische Hydraulik
4.22
4.5.7
BERNOULLI-Gleichung mit Einwirkung von Pumpen und Turbinen
Bisher wurde die Bernoulli-Gl. auf eine Stromröhre angewendet, ohne daß
(1) von außen Energie in das Fluid zugeführt wird (z.B. durch eine Pumpe)
(2) nach außen vom Fluid Energie abgegeben wird (z.B. durch eine Turbine)
Abb. 4.5.11: Bernoulli-Gl. mit Pumpen nd Turbinen
.
Führt man diese beiden Energieterme in die Bernoulli-Gl. ein, erhält man zwischen Pumpe (1) und
Turbine (2) die
BERNOULLI-Gleichung mit Energiezufuhr/abfuhr
H ' z1 %
p1
g
%
v12
2g
% h P ' z2 %
p2
g
%
v22
2g
%
hV % h T
(4.5.21)
mit :
hP = Pumpenhöhe
hT = Turbinenhöhe
Zum Verständnis der beiden Terme hp und hT berücksichtige man, daß H= E/mg, d.h. Energie pro
Gewicht ist, d.h. es ist auch
hP = dEP / dmg
mit
dEp
=Pumpenergie die während einer Zeit dt eine Masse dm durchgepumpt hat.
===>(nach Division durch dt)
hP = (dEP /dt) / (dm/dt * g)
= Pp / (dm/dt *g) = Pp / ( dV/dt *g)
===>
hP '
PP
(4.5.22)
gQ
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Technische Hydraulik
4.23
mit
Pp = dEP /dt
= effektiv an Fluid erzeugter Pumpleistung
Q = Volumenfluß
Gleiches gilt für Turbinenhöhe
hT '
(4.5.23)
PT
gQ
mit
PT = dET /dt = effektiv an Turbinenschaufel vom Fluid erzeugte Leistung
Für die tatsächliche erforderliche elektrischen Pumpleistung Ppeff bzw. die von der Turbine gelieferte
mechanisch übertragte, bzw. eventuell die elektrische Leistung PTeff gilt jedoch wegen des sogenannten
Wirkungsgrades
PP / PPeff =
P
< 1
für die Pumpe
PTeff / PT =
T
< 1
für die Turbine
Bei der Bemessung von Pumpen und Turbine
ist noch zu beachten daß die Wirkungsgrade
selbst nicht konstant sind, sondern vom
Förderbetrieb abhängen, insbesondere vom
Durchfluß Q, dh. es gilt
= f(Q)
bei einem bestimmten Q ein
wobei
Maximum annimmt
Abb. 4.5.11: Wirkungsgrad einer Pumpe als Funktion von Q
Beispiel 4.5.7.1: Berechnung der Pumpleistung zum Hochpumpen von Wasser
Es soll Wasser mit einer Durchflußrate
Q = 0,5 m3/s vom unteren zum oberen
Reservoir gepumpt werden. Wie groß ist
die erforderliche Pumpleistung?
Gegeben: z1 = 30 m, z2 = 40m;
Länge des Rohres L=40m;
Dicke des Rohres d=0,5m;
Totaler Rohrverlust hv = 3m
Pump-Wirkungsgrade =0,8
Abb. 4.5.12: Pumpen in einen Hochbehälter
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Technische Hydraulik
4.24
Lösung:
Ansetzen der Bernoulli Gl. zwischen Pumpe (1) und Reservoir (2)
H ' z1 %
p1
g
2
%
v1
2g
% h P ' z2 %
p2
g
2
%
v2
2g
%
hV
mit
p1 =
p2 = 0 (freier Auslauf zum Atmosphärendruck)
v1 = v2 = 0 (große Reservoire)
===>
z1 + hp
= z2 + hv
===>
hp = (z2 -z1 ) + hv
= (40-30) + 3
= 13m
Und wegen
hP
= Pp / ( g Q)
===>
Pp = hP * g Q
= 13*1000*9,81*0,5
= 63765 Nm/s = 63765 J/s = 63765 W
= 63,765 kW (=mechanisch zugeführte Leistung)
Tatsächlich erforderliche elektrische Pumpleistung
Ppeff = Pp /
= 63,765 kW / 0,8
= 79,706 kW
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4.25