Aufgabe zum exponentiellen Wachstum - lehrer.uni

LGÖ Ks
M 12
Schuljahr 2016/2017
Aufgaben zu: Exponentielles Wachsen bzw. Fallen
1) Von dem radioaktiven Element Cäsium 137 zerfallen innerhalb eines Jahres 2,3 % seiner
Masse.
a) Bestimme eine Funktion, die die Masse des Cäsiums in Abhängigkeit von der Zeit
beschreibt.
b) Gib eine Differenzialgleichung für die Funktion an.
c) Bestimme die Halbwertszeit.
d) Nach welcher Zeit hat die anfänglich vorhandene Menge um 90 % abgenommen?
Hausaufgaben zu: Exponentielles Wachsen bzw. Fallen
1) In einer Bakterienkultur befinden sich 4 Stunden nach Beobachtungsbeginn 3 Millionen
Bakterien und 7 Stunden nach Beobachtungsbeginn 4,8 Millionen Bakterien. Man nimmt an,
dass sich die Bakterien exponentiell vermehren. Die Funktion f beschreibe die Anzahl der
Bakterien ( f ( t ) : Anzahl der Bakterien in Millionen; t: Zeit in Stunden).
a) Bestimme eine Funktionsgleichung von f.
Gib eine Differenzialgleichung für f an.
b) Tatsächlich sind 10 Stunden nach Beobachtungsbeginn 8 Millionen Bakterien vorhanden.
Berechne die prozentuale Abweichung des berechneten Werts vom tatsächlichen Wert.
c) Um wie viel Prozent nimmt die Anzahl der Bakterien innerhalb einer Stunde zu?
d) Wie lange dauert es ab Beobachtungsbeginn, bis die ursprünglich vorhandene Anzahl an
Bakterien um 30 % zugenommen hat?
Gib einen weiteren Zeitraum an, in dem die Bakterienanzahl um 30 % zunimmt.
e) Berechne die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl 6 Stunden nach
Beobachtungsbeginn.
f) Nach welcher Zeit beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl 1 Million
Bakterien pro Stunde?
Wie viele Bakterien sind zu diesem Zeitpunkt vorhanden?
2) Ein exponentielles Wachstum wird beschrieben durch eine Funktion f: f ( t )= a ⋅ e k t mit k > 0 .
a) Zeige: Die relative Bestandsänderung im Zeitraum [ 0; 1] ist e k − 1 .
Warum ist die relative Bestandsänderung pro Zeiteinheit immer e k − 1 , unabhängig vom
Beginn des Zeitraums?
p
b) Zeige: Ist die prozentuale Bestandsänderung pro Zeiteinheit p % bzw.
, dann ist
100
p 

=
k ln 1 +
.
 100 
Hinweis: Verwende das Ergebnis von Teilaufgabe a).
c) Übertrage die Tabelle und fülle sie aus; runde dabei k auf drei Dezimalen.
Prozentsatz p
p%=
2
3
5
p
100
p 

=
k ln 1 +

 100 
3a_auf_exponentielleswachsenbzwfallen
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Schuljahr 2016/2017
3) Eine Musikagentur veröffentlicht eine neue CD. Die Tabelle zeigt die Verkaufszahlen der ersten
vier Verkaufswochen:
Verkaufswoche Nummer
wöchentliche Verkaufszahl
0
135
1
223
2
371
3
600
Zeige, dass die Verkaufszahlen in diesem Zeitraum exponentiell wachsen.
Übungsaufgaben
Übungsbuch Wahlteil 2016
Aufgabe 5 (Malaria) a)
3a_auf_exponentielleswachsenbzwfallen
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