Training Ableiten und Extremstellenbestimmung bei e

Training Ableiten und
Extremstellenbestimmung bei e-Funktionen
Leite ab und untersuche auf lokale Extremstellen
Benötigt werden Kettenregel und Produktregel.
Häufige Schwierigkeiten:

Anfangs vergisst man häufig, die Kettenregel zu berücksichtigen.

Vielen fällt das Ausklammern schwer - ohne das Ausklammern kann aber keine
Nullstelle der Ableitung (mögliche Extremstelle) berechnet werden.
Lösung: hier
1) 𝑓(𝑥) = 𝑒 3𝑥−5
1
2) ℎ(𝑥) = 2 𝑒 𝑥
2 −0,5
Hier reicht die
Kettenregel:
f´( x ) = 3 𝑒 3𝑥−5
Extrema:
notwendige Bedingung:
f´ ( x ) = 0
da jede e-Funktion nur
positive Werte annimmt,
kann es keine lokale
Extremstelle geben.
f steigt streng montoton.
Hier reicht die Kettenregel:
h ´( x ) =
1
𝑒𝑥
2 −0,5
2
𝑥 2 −0,5
·2x
=𝑥𝑒
Extrema:
notwendige Bedingung: h´ ( x ) = 0
 𝑥 𝑒𝑥
2 −0,5
=0
Da eine e-Funktion nicht den Wert
Null annehmen kann, ergibt sich mit
dem Satz vom Nullprodukt:
 x=0
f´ hat bei x = 0 einen Vorzeichenwechsel von – nach +, also fällt
f bis zur Stelle x = 0 und steigt dann. Somit liegt bei x=0 eine
lokale Minimalstelle vor.
lok. TP ( 0 ; h(0) ),
wobei h(0) =
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1 -0,5
1
e =
2
2 e
3) 𝑎(𝑡) = 𝑡 2 𝑒 𝑡
t
2
a ´( t ) = 2 t e + t e
2
t
=(t +2t)·e
t
Ausklammern ergibt:
lok. Extrema:
notwendige
Bedingung:
a´ ( x ) = 0
(t2+2t)et=0
Da eine e-Funktion
nicht den Wert Null
annehmen kann,
ergibt sich mit dem
Satz vom
Nullprodukt:
 (t2+2t)=0
Ausklammern ergibt:
 t·(t+2)=0
 t=0˅t+2=0
 t = 0 ˅ t = -2
Für das Vorzeichen von a´ ist wiederum der Term
2
t + 2 t entscheidend. Der Graph zu diesem Term ist eine nach
oben geöffnete Parabel (was man am positiven Leitkoeffizienten
ablesen kann)
a´ ist zwischen -2 und 0 negativ, d.h. dort fällt die Funktion a.
Bei t = -2 ist eine lokale Maximalstelle, bei t = 0 eine lokale
Minimalstelle.
lok. T.P. ( 0 ; 0 ), lok. H.P. ( -2 ; a(-2)), wobei a(-2) = 4 e
4) f ( x ) = e 0,5 x
2
3
+6x
-2
≈ 0,54
Hier reicht die Kettenregel:
0,5x 2 3
f´( x ) = -x · e
6
Die Anwendung der notwendigen Bedingung führt zur der
0,5x 2
Gleichung -x e
 6 = 0, die sich nur numerisch oder mit Hilfe
eines CAS lösen lässt (mit einem solve oder numsolve-Befehl)
5) ℎ(𝑥)
2
= 6 𝑥 · e 0,5 x + 2,5
ℎ´(𝑥) = 6
2
2
e 0,5 x + 6 x  (-x ) e 0,5 x (Produkt- und Kettenregel)
= (−6𝑥 2 + 6)
e 0,5 x
2
Extrema:
notwendige Bedingung: ℎ´ ( 𝑥 ) = 0
2
0,5 x 2
⇔ (-6x + 6) e
=0
Da eine e-Funktion nicht den Wert Null annehmen kann, ergibt
sich mit dem Satz vom Nullprodukt:
2
⇔ -6x + 6 = 0 | -6 |:(-6)
⇔x =1
| ±√
⇔ x = 1 ˅ x = -1 (Das sind die möglichen lokalen
Extremstellen.)
2
Für das Vorzeichen von ℎ´ ist wiederum der Term -6x + 6
entscheidend.
Der Graph zu diesem Term ist eine nach unten geöffnete
Parabel (was man am negativen Leitkoeffizienten -6 ablesen
kann)
ℎ´ ist zwischen -1 und 1 positiv, d.h. dort steigt die Funktion ℎ.
Bei x = -1 ist eine lokale Minimalstelle, bei x = 1 eine lokale
Maximalstelle.
2
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1
f ´( x ) = e + e
(Tipp: Es geht mit
negativem Exponenten
leichter:
1
=
𝑒𝑥
–x
x
6) 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥
e x )
= 𝑒𝑥
1
x
·(-1) = e – e
–x
− 𝑒𝑥
Extrema:
notwendige Bedingung: 𝑓´(𝑥) = 0
 ex –
1
e
|∙ e
=0
x
x
 (e ) 2 - 1 = 0
| ±√
 ( ex ) 2 = 1
x
x
 e = 1 (˅ e = 1, aber
x
dafür gibt es keine Lösung) | ln
 x = 0. Einzige mögliche
Extremstelle ist bei x=0
Mit zweiter Ableitung oder
Vorzeichenwechselkriterium ergibt sich: TP ( 0 | 2 )
7) 𝑔 ( 𝑥 ) = – 2𝑥 3 𝑒 𝑥
e x – 2 x 3 e x Ausklammern ergibt:
x
3
2
= ( -2 x - 6 x ) e
g´( x ) = -6 x
2
Extrema:
notwendige Bedingung: g´ ( x ) = 0
 ( -2 x 3 - 6 x 2 ) e x = 0
Da eine e-Funktion nicht den Wert Null annehmen kann, ergibt
sich mit dem Satz vom Nullprodukt:
 -2 x 3 - 6 x 2 = 0 | Ausklammern von x 2 ergibt:
 ( -2 x – 6 ) x 2 = 0
 -2 x – 6 = 0 ˅ x 2 = 0
1
8) 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 𝑥 + 2 ) 𝑒 𝑥
(Tipp: Es geht mit
negativem Exponenten
leichter)
f´( x ) = 1 ·
1
𝑒𝑥
+(x+2)
= ( 1+ ( -x - 2 ))
= ( -x - 1 )
1
𝑒𝑥
1
1
𝑒𝑥
· (-1 )
𝑒𝑥
Extrema:
notwendige Bedingung:
f´ ( x ) = 0
1
 ( -x - 1 ) 𝑒 𝑥 = 0
Da eine e-Funktion nicht den
Wert Null annehmen kann,
ergibt sich mit dem Satz vom
Nullprodukt:
 -x–1=0
 -x = 1
 x = -1
f´ hat bei x = -1 einen Vorzeichenwechsel von + nach -, also
steigt f bis zur Stelle x = -1 und fällt dann. Somit liegt bei x=-1
eine lokale Maximalstelle vor (lok. HP ( -1 ; f(-1) )
mit f(-1) = (-1+2)·
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1
= e.
e 1
weitere Übungen zur Kettenregel (mit Lösungen): ab_kettenregel_differentialrechnung.pdf
ökonomische Anwendungen (Absatzentwicklung mit e-Funktion): Aufgabe e-Funktion
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