1. Aufgabe

Experimentelle Physik III
Lösungen der Übungsblätter
KIT - Karlsruher Institut für Technologie
Wintersemester 2011/12
Mitschriebe ausgearbeitet von
Philipp Basler, Nils Braun, Larissa Bauer
13. Februar 2012
1
Inhaltsverzeichnis
1. Übung
1. Aufgabe
2. Aufgabe
3. Aufgabe
4. Aufgabe
5. Aufgabe
(Wellengleichung im Material) . . . . . . . . . . .
(Rechnungen mit einer elektromagnetischen Welle)
(Kugelwelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(Fizeau und die Lichtgeschwindigkeit) . . . . . . .
(Evakuierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Übung
6. Aufgabe (Gruppen- und Phasengeschwindigkeit)
7. Aufgabe (Der Taucher) . . . . . . . . . . . . . .
8. Aufgabe (Brillengläser) . . . . . . . . . . . . . .
9. Aufgabe (Luftmoleküle) . . . . . . . . . . . . . .
10. Aufgabe (Kühlschrank auf - Bier raus) . . . . .
3. Übung
11. Aufgabe
12. Aufgabe
13. Aufgabe
14. Aufgabe
4. Übung
15. Aufgabe
16. Aufgabe
17. Aufgabe
18. Aufgabe
19. Aufgabe
20. Aufgabe
5. Übung
21. Aufgabe
22. Aufgabe
23. Aufgabe
24. Aufgabe
25. Aufgabe
(Brewster-Winkel) . . . . . .
(Geschwindigkeiten) . . . . .
(Entropie) . . . . . . . . . . .
(Wir bauen ein Thermometer)
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(Doppelbrechung mit Kaliumphosphat)
(Kalzit-Prismen) . . . . . . . . . . . .
(Polarisator und Analysator) . . . . .
(Eisenring) . . . . . . . . . . . . . . .
(Abkühlung) . . . . . . . . . . . . . .
(Verschiedenes) . . . . . . . . . . . . .
(Spiegelbilder) . . . . . .
(Aufstellen eines Schirms)
(Fermatsches Prinzip) . .
(Heiße Gase) . . . . . . .
(Wärmeleitungsgleichung)
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2
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18
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24
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26
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31
34
34
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35
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37
39
40
41
42
42
6. Übung
26. Aufgabe
27. Aufgabe
28. Aufgabe
29. Aufgabe
30. Aufgabe
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43
46
46
47
48
48
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49
52
53
54
54
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57
60
60
61
62
62
64
9. Übung
42. Aufgabe (Fouriertransformation am Beugungsbild) . . . . . . . . . . . . . .
43. Aufgabe (Optik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44. Aufgabe (Stirling-Motor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
67
68
69
10. Übung
45. Aufgabe
46. Aufgabe
47. Aufgabe
48. Aufgabe
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70
73
74
74
76
11. Übung
49. Aufgabe (Mondabbildung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50. Aufgabe (Mikroskoplinse und Auflösung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
82
83
7. Übung
31. Aufgabe
32. Aufgabe
33. Aufgabe
34. Aufgabe
35. Aufgabe
8. Übung
36. Aufgabe
37. Aufgabe
38. Aufgabe
39. Aufgabe
40. Aufgabe
41. Aufgabe
(Bikonvexlinse in Material)
(Konfokaler Resonator) . . .
(Mikroskop) . . . . . . . . .
(Kühlschrank zum Zweiten)
(Sonne als Strahler) . . . .
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(Jones-Matrix) . . . . . . . . .
(Newtonsche Ringe) . . . . . .
(Mach-Zehnder-Interferometer)
(Feuerzeug) . . . . . . . . . . .
(Quadratische Wärmemenge) .
(Fabri-Perot-Interferometer) . .
(Brillengläser) . . . . . . . . . .
(Einzel- und Doppelspalt) . . .
(Lügender Maschinenhersteller)
(Carnot-Prozess) . . . . . . . .
(Kohlekraftwerk) . . . . . . . .
(Astronomisches Fernrohr)
(Sonnenlicht in Spalt) . .
(Ericsson-Prozess) . . . .
(Entropieänderung) . . . .
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3
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51. Aufgabe (Vermischung dreier Gase) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52. Aufgabe (Thermodynamische Potentiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53. Aufgabe (Chemische Potentiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. Übung
54. Aufgabe
55. Aufgabe
56. Aufgabe
57. Aufgabe
13. Übung
58. Aufgabe
59. Aufgabe
60. Aufgabe
61. Aufgabe
62. Aufgabe
(Spektralanalyse an einem Gitter)
(Photoeffekt) . . . . . . . . . . .
(Tauchsieder) . . . . . . . . . . .
(Van-der-Waals-Gleichungen) . .
(Photonen auf Netzhaut) . . .
(Falsche Compton-Strahlung)
(Raumstation) . . . . . . . .
(Kritischer Druck) . . . . . .
(Dampfkochtopf) . . . . . . .
4
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83
84
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86
89
89
90
90
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92
95
95
96
96
97
1. Übung
5
Physik III (Optik und Thermodynamik)
1. Übungsblatt
Ausgabe: 19.10.11, Besprechung 27.10.11
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 1: (2 Punkte)
Leiten Sie für ein leitfähiges Material mit
r
r
r
j = σ ⋅ E und ρ ≠ 0 die Wellengleichung für das E - Feld her.
Aufgabe 2: (2 + 4 = 6 Punkte)
r
r
r r
a) Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Energiefluss einer Lichtwelle mit E = E0 cos( k ⋅ r − ω ⋅ t )
r
r
r r
und B = B0 cos( k ⋅ r − ω ⋅ t ) . Welcher Fehler tritt bei unkorrekter Anwendung der komplexen
Formulierung auf?
b) Geben Sie die Ausbreitungsrichtung und Polarisationstyp (Skizze!) der folgenden Wellen an:
 cos(ωt − kz ) 


E (t ) = E0  cos(ωt − kz + ϕ )  für i) ϕ = 0, ii) ϕ = π/4, iii) ϕ = π/2 und iv) ϕ = - π.


0


Aufgabe 3: (1,5 + 1 + 2,5 = 5 Punkte)
r
E ( r, t ) einer elektromagnetischen Kugelwelle im Vakuum hat die Form
r
E
r
E (r , t ) = 0 e i ( kr −ω t ) ⋅ e z (Kugelkoordinaten, r = Radius).
r
Das elektrische Feld
a) Zeigen Sie, dass eine solche Kugelwelle die dreidimensionale Wellengleichung löst! Welche
Beziehung muss dazu zwischen k und ω bestehen?
b) Erfüllt die gegebene Wellenform auch die Maxwell-Gleichungen, d.h. kann sie tatsächlich
existieren? Begründen Sie Ihre Antwort anschaulich ohne Rechnung!
x -Achse, die sehr weit vom Zentrum der Kugelwelle
r
weg sind, sodass sie näherungsweise von ebenen Wellen ausgehen können. Geben Sie E ( x, t ) ,
r
r
r
B( x, t ) sowie H ( x, t ) in vektorieller Form an. Berechnen Sie dann den Poynting-Vektor S ( x, t )
r
und dessen zeitlichen Mittelwert S . Drücken Sie dabei die Formeln so aus, dass sie nur noch
c) Betrachten Sie jetzt nur noch Punkte auf der
das elektrische Feld enthalten!
Aufgabe 4: (3 Punkte)
Beim Originalversuch von Fizeau zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit betrug die Strecke vom
Zahnrad bis zum Spiegel 8.633 km. Das Zahnrad hatte 720 Zähne und die erste Verdunkelung trat bei
einer Drehfrequenz von 12,6 Hz ein. Welchen Wert für die Lichtgeschwindigkeit erhielt Fizeau? Nehmen
Sie an, dass beim Zahnrad Lücke und Zahn jeweils gleich groß sind. Wie groß muss die Strecke
mindestens sein, um auf diese Art die Lichtgeschwindigkeit bestimmen zu können? Wovon hängt die
Genauigkeit der Methode ab?
Aufgabe 5: (2 + 1 = 3 Punkte)
3
Ein Rezipient mit dem Volumen V0 = 3 dm soll mittels einer Kolbenluftpumpe evakuiert werden. Durch
3
Zurückziehen des Kolbens strömt das Luftvolumen V1 = 2 dm in den Kolbenzylinder, welches bei der
darauffolgenden Vorwärtsbewegung über ein Ventil ausgestoßen wird (siehe Skizze). Der Pumpvorgang
wird periodisch wiederholt und verläuft so langsam, dass die Temperatur als konstant angesehen werden
kann. Vernachlässigen Sie das Volumen der Verbindungsrohre!
Ventil
V0
V1
a) Berechnen Sie Luftdruck und Luftdichte in dem Rezipienten nach dem vierten Kolbenhub!
b) Wie viele Kolbenhübe müssen ausgeführt werden, damit der Luftdruck im Rezipienten auf 1/10
seines ursprünglichen Wertes sinkt?
1. Aufgabe: Wellengleichung im Material
Wieder benutzen wir die Maxwellgleichungen als Ausgangspunkt unserer Rechnung. Wir
haben also
∂B
∂E
∇×E=−
∇ × B = µ 0 j + µ 0 ε0
∂t
∂t
und diesmal auch zusätzlich
ρ
j = σE
∇·E=
ε0
Dies setzen wir jetzt zusammen
∂B
∂
∂
∂E
∇×∇×E=− ∇×
= − (∇ × B) = −µ0
σ · E + ε0
∂t
∂t
∂t
∂t
und mit einer Regel für das doppelte Kreuzprodukt
∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇ · (∇E)
Schlussendlich erhält man also
∆E − µ0 σ
∂E
∂ 2E
ρ
− µ 0 ε0 2 = ∇
∂t
∂t
ε0
2. Aufgabe: Rechnungen mit einer elektromagnetischen Welle
(a) Mit
E = E0 cos(k · r − ωt)
B = B0 cos(k · r − ωt)
erhält man erst einmal für den Poynting-Vektor S
S=E×H=
1
cos2 (k · r − ωt)(E0 × B0 )
µ0
Für dessen zeitliches Mittel benötigen wir erst einmal folgende Integralformel:
Z
cos2 (a − bt) dt = −
1
(a − bt − sin(a − bt) cos(a − bt))
2b
Mit dieser erhält man also
ZT
S dt =
0
1
(E0 × B0 )[cos(k · r) sin(k · r) − cos(k · r − ωT ) sin(k · r − ωT ) +ωT ]
|
{z
} |
{z
}
2µ0 ω
konstant
begrenzt durch 1
8
Bildet man jetzt also das zeitliche Mittel von S, so erhält man
1
hSi = lim
T →∞ T
ZT
S dt =
1
(E0 × B0 )
2µ0
0
und dessen Betrag ist
1
hSi = ε0 cE02
2
Setzt man jetzt fehlerhaft als Welle nur den komplexen Teil (also Real- und Imaginärteil) an, so erhielte man
1
T
ZT
exp2 (i(k · r − ωt)) dt = −
i
e2ik·r − e2i(k·r−ωT )
2T ω
0
Für t → ∞ geht dies aber gegen 0!
(b) Die Ausbreitungsrichtung ist die z-Richtung.
3. Aufgabe: Kugelwelle
(a)
~ t) = E0 ei(~k~r−ωt)~ez
E(r,
r
1 ∂
2 ∂
∆= 2
r
r ∂r
∂r
~
∂E
1
ik
= − 2+
E0 ei(kr−ωt)~ez
∂r
r
r
2
2
~ − 1 = − k E0 ei(kr−ωt)~ez + ω E0 ei(kr−ωt)~ez =! 0
∆E
c2
r
c2 r
=⇒ ω
~ = c~k
(b) Kann nicht existieren, da in die Polarisationsrichtung keine Energie abgegeben werden
kann.
(c)
E0 i(kx−ωt)
~
E(x,
t) =
e
~ez
x
9
10
10
z
z
5
5
0
0
y
y
x
x
10
10
z
z
5
5
0
0
y
y
x
x
Abbildung 1: Die Skizzen zu den einzelnen Wellen mit φ = 0, π/4, π/2, −π
1
~
~ = − kE0 ei(kx−ωt)~ey
B(x,
t) = (~k × E)
ω
ωx
cε0 E0 i(kx−ωt)
~
H(x,
t) = −
e
~ey
x
ω
k=
c
1
= ε0 µ 0
c2
10
E0
~
cos(kx − ωt)~ez
E(x,
t) =
x
1 i(kx−ωt)
=
e
+ e−i(kx−ωt)
2
−cε
0 E0
~ =
ei(kx−ωt) + e−i(kx−ωt) ~ey
H
2x
2
cε
~ = 0 E0 1 (cos (2(kx − ωt)) + 1) ~ex
S
2
x
2 2
~ = 1 cε0 E0 ~ex
hSi
2
x2
4. Aufgabe: Fizeau und die Lichtgeschwindigkeit
Die Zeit zwischen zwei Zähnen des Zahnrades beträgt
1
fz
∆t0 =
und die zwischen Zahl und Zahn und Lücke damit
∆t =
1
2f z
In dieser Zeit hat das Licht eine Strecke von
∆s = 2 · s
zurückgelegt. Die Lichtgeschwindigkeit ist also
c=
∆s
= 4sf z = 313.274.304 km/s
∆t
Wir nehmen an, dass die Drehfrequenz und die Anzahl der Zähne auf dem Zahnrad konstant
ist. Das bedeutet, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht mehr messbar ist, wenn die Strecke
so klein ist, dass der Lichtstrahl durch das gleiche Zahnrad reflektiert wird, durch das er
anfangs gekommen ist.
1
1
s = c∆t =
c = 8261 m
2
4zf
Die Genauigkeit der Methode hängt ab von
• der Genauigkeit der Verteilung der Lücken und Zähne des Zahnrades
11
• der Messung der Strecke s
• der Messung der Frequenz f
• dem Unterschied von: am Anfang der Lückeöder äm Ende der Lücke"
c0 t0 = 2s0
c0 D
=⇒ s0 =
2vr
5. Aufgabe: Evakuierung
Man betrachtet schrittweise einen Hubvorgang. Vor dem i + 1-ten Hubvorgang gilt
V = V0
T = T0
N = Ni
p = pi
Nun wird der Kolben herausgezogen. Dabei bleiben T und N konstant und V wird zu
V0 + V1 . Somit gilt für den Druck
Ni kB T0
p̃i =
V0 + V1
Wird jetzt der Kolben hineingeschoben, bleibt p und T konstant und V wird wieder zu
V = V0 . Die Teilchenanzahl ist also dann
Ñi = Ni −
p̃i V1
V0
= Ni
kB T
V +V
| 0 {z 1}
α
Ist der Kolben ganz hineingeschoben, dann ist
Ni+1 = Ñi = αNi
Vi+1 = V0 ,
Ti+1 = T0
pi+1 =
Ni+1 kB T
= αpi
Vi+1
Man erhält also die Formeln (mit den Anfangswerten)
Vi = V0
Ti = T0
pi = α i p0
Man muss den Vorgang also
− ln(10)/ ln(α) ≈ 4, 5
12
Ni = αi N0
bzw. 5 Mal wiederholen, um den Druck auf 1/10 zu senken.
13
2. Übung
14
Physik III (Optik und Thermodynamik)
2. Übungsblatt
Ausgabe: 26.10.11, Besprechung 02.11.11
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 6: (1,5 + 1 + 1,5 = 4 Punkte)
a) Zeigen Sie, dass zwischen der Phasengeschwindigkeit
Gruppengeschwindigkeit
vPh = ω / k und der
v g = dω / dk einer elektromagnetischen Welle folgender
Zusammenhang besteht:
v g ( λ ) = v Ph ( λ ) − λ
dv Ph ( λ )
dλ
b) Folgern Sie aus a), ob bei normaler Dispersion die Gruppengeschwindigkeit kleiner oder größer als
die Phasengeschwindigkeit ist!
c) Im Röntgenbereich ist die Brechzahl für elektromagnetische Wellen etwas kleiner als 1:
n ≈ 1−
a2
ω2
mit
a2
ω2
<< 1.
Zeigen Sie, dass - obwohl die Phasengeschwindigkeit vph größer als die Lichtgeschwindigkeit c ist die Gruppengeschwindigkeit vg kleiner als c bleibt!
Aufgabe 7: (3 Punkte)
Ein Taucher, der aus der Tiefe von h =10 m unter der Wasseroberfläche nach oben schaut, sieht über sich
einen kreisförmigen Bereich, durch den er nach „außen“ blicken kann. Der Brechungsindex von Wasser ist
nW = 1,33 .
a) Unter welchem Winkel ϕS gegen das Lot auf die Wasseroberfläche sieht der Taucher die Sonne,
wenn ein Beobachter außerhalb des Wassers sie unter 45° beobachtet (Skizze)?
b) Unter welchem Winkel ϕmax sieht der Taucher die Sonne am Abend unter gehen?
c) Wie groß ist der Radius, r, seines Blickfeldes (des Kreises) nach außen? Was sieht der Taucher
außerhalb des Kreises?
Aufgabe 8: (3 Punkte)
Zur Reflexionsverminderung bringt man z.B. auf Brillenglas eine dünne Schicht eines Materials mit
geringerem Brechungsindex auf. Die Schichtdicke wird dabei so bemessen, dass die an Vorder- und
Rückseite der Vergütungsschicht reflektierten Strahlen destruktiv interferieren –am besten bei gleicher
Amplitude. Rechnen Sie für senkrechten Einfall!
a) Welcher Anteil der auftretenden Amplitude (r) bzw. der Intensität des Lichts (R) wird von Glas
reflektiert (n1 = 1,6) bzw. transmittiert (t, T)?
b) Welchen Brechungsindex nv muss eine dünne Vergütungsschicht haben, damit die Bedingung
gleicher Amplituden erfüllt ist? Vernachlässigen Sie die Schwächung der eindringenden (und
austretenden) Welle um den an der Vorderseite reflektierten Anteil sowie Vielstrahlinterferenz.
Aufgabe 9: (3 Punkte)
Bestimmen Sie den Erwartungswert, d.h. den Mittelwert, der Höhe h eines Luftmoleküls der Masse m im
Schwerefeld der Erde. Verwenden Sie hierbei den Boltzmann-Faktor.
Aufgabe 10: (3 Punkte)
Luft von Atmosphärendruck wird in einem Kühlschrank, der hermetisch schließt, von 27°C auf 0°C
abgekühlt. Die Tür des Kühlschranks ist 1 m hoch und 0,5 m breit. Der Türgriff befindet sich 5 cm vom
Rand entfernt. Mit welcher Kraft muss man ziehen, um die Tür zu öffnen?
Hinweis: Nehmen Sie Luft als ideales Gas an.
6. Aufgabe: Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
(a) Wir benötigen die Zusammenhänge
(1) vg =
dw
dk
(2)vph =
w
k
(3)λ =
2π
k
Wir starten mit (1) und nutzen sofort (2):
vg =
dw
dvph · k
=
dk
dk
Nun benutzen wir die Produktregel und die Kettenregel
=
dvph dλ
dvph
k + vph =
·
· k + vph
dk
dλ dk
Nun noch zweimal die Beziehung (3)
=−
dvph 2π
dvph
+ vph = vph −
λ
dλ k
dλ
(b) Normale Dispersion bedeutet, dass der Brechungsindex mit der Frequenz ansteigt,
also:
dn
<0
dλ
dvph
dvph dn
vg = −
· λ + vph = −
· λ + vph
dλ
dn dλ
Da vph = nc gilt, ist
Somit ergibt sich
dvph
dn
< 0.
vg < vph
(c) Die Phasengeschwindigkeit berechnet sich als
vph =
Für n ≈ 1 −
a2
ω2
und
a2
ω2
c
n
<< 1 gilt also
vph > c
17
Für die Gruppengeschwindigkeit gilt
c
=
dn
n + ω dω
1−
a2
ω2
c
c
=
2
a2
+ 2ω ω2
1 + ωa 2
=⇒ vgr < c
7. Aufgabe: Der Taucher
(a) Wir benutzen das Snellius-Brechungsgesetz
n1 sin θ1 = n2 sin θ2
mit
n1 = 1
n2 = 1, 33
θ1 = 45◦
und erhalten
θ2 ≈ 32, 11763126◦
(b) Mit der gleichen Rechnung und θ1 = 90◦ ergibt sich
θ20 = 48, 75346662◦
(c) Die Tangensbeziehung ist
tan θ20 =
r
h
also ist
r ≈ 11, 40420641 m
Außerhalb dieses Kreises sieht der Taucher nur eine Spiegelung.
8. Aufgabe: Brillengläser
(a) Berechnet man die einzelnen Größen, so erhält man
r=
nL − nG
≈ −0.23
nG + nL
R = r2 ≈ 0.05
t=
2nL
≈ 0.77
nL + nG
T =
nG 2
t ≈ 0.940
nL
(b) Damit die Amplituden des an der Vergütungsschicht reflektierten und am Glas reflek-
18
tierten Welle gleich sind, muss gelten
√
nV = ± nL nG ≈ ±1.264911064
nL − nV
nV − nG
=
nL + nV
nV + nG
Sinnvoll ist nur die positive Lösung.
9. Aufgabe: Luftmoleküle
Wir benutzen die Barometrische Höhenformel für die Teilchendichte
n = n0 · e
− kmgh
T
B
Zuerst berechnen wir den Normierungsfaktor über
Z∞
n dh = 1 =⇒
mg
= n0
kB T
0
Also muss kB T /mg der Normierungsfaktor sein. Wollen wir jetzt den Erwartungswert
berechnen, so müssen wir das Integral
Z∞
nh dh
0
lösen. Man erhält durch partielle Integration gerade den Vorfaktor hoch 3, nämlich
kB T
mg
−1
10. Aufgabe: Kühlschrank auf - Bier raus
Es gilt
p2
p1
=
T1
T2
19
Die Werte vom Übungsblatt ergeben
T1 = 273.2 + 27◦ K
p1 = 1.013 · 105 P a
T2 = 273.2 + 0◦ K
Somit ergibt sich für den neuen Druck
p2 = p1
T2
= 92189 P a
T1
Der Druckunterschied beträgt damit
∆p = |p2 − p1 | = 9.11 · 103 P a
D.h. die Saugkraft beträgt
F = ∆pA = 4.55 · 103 N
Für die zu öffnende Kraft Fo gilt dann
F0 · (0.5 − 0.05) m > F ·
1
· 0.5 m
2
=⇒ F0 > 2.53 · 103 N
20
3. Übung
21
Physik III (Optik und Thermodynamik)
3. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 3.11.11, Besprechung 10.11.11
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 11: (1,5 + 2,5 = 4 Punkte)
Bei einem Gaslaser ist eine Küvette mit dem Lasermedium zwischen zwei Spiegeln angeordnet. Die
Küvette ist durch zwei Glasfenster begrenzt. Der Laserstrahl wird zwischen den Spiegeln hin- und her
reflektiert und durchläuft dabei sehr oft die Küvette und ihre Fenster.
a) Zeigen Sie, dass beim Durchgang durch ein Fenster für die Reflexion an der zweiten (hinteren)
Grenzfläche (Fensterglas/Luft) die Brewster-Bedingung automatisch erfüllt ist, wenn sie für die
Reflexion an der ersten (vorderen) Grenzfläche (Luft/Fensterglas) erfüllt ist!
b) Wie groß wäre der Reflexionsverlust an den Fenstern bei 100-maliger Reflexion zwischen den
Spiegeln bei senkrechtem Einfall des Lichtstrahls? Wozu dienen dann wohl die abgeschrägten
„Brewster-Fenster“ in der Küvette mit dem Lasermedium bei einem Gaslaser? Erläutern Sie kurz
die Funktionsweise der Brewster-Fenster.
Aufgabe 12: (5 Punkte)
Leiten Sie die in der Vorlesung diskutierten Ausdrücke für die wahrscheinlichste Geschwindigkeit vW , die
mittlere Geschwindigkeit v und die „root mean square“ Geschwindigkeit vRMS aus der Maxwell-BoltzmannVerteilung tatsächlich her:
3/ 2
f MB (v) dv =
2 m 


π  k BT 
v 2 ⋅ e −mv
2
/ 2 k BT
dv
Berechnen Sie vW für Helium bei Raumtemperatur (300 K) und der Temperatur auf der Sonne (5000 K).
-27
Hinweis: mHe = 4⋅u mit u = 1,66⋅10
kg (atomare Masseneinheit).
Aufgabe 13: (3 Punkte)
Jeweils ein Mol dreier unterschiedlicher Gase befindet sich zunächst in drei unterschiedlichen Gefäßen des
gleichen Volumens V. Nun werden die drei Gefäße miteinander verbunden. Wie groß ist der Anstieg der
Entropie? Geben Sie das Ergebnis in J/K und in bit an. Wie ändert sich die Entropie, wenn es sich um drei
gleiche Gase handelt?
Aufgabe 14: (5 Punkte)
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich der einfache
Zusammenhang zwischen Druck p, Volumen V und
Temperatur T beim idealen Gas zum Bau eines
Gasthermometers ausnutzen lässt. Dazu wird ein als ideal
3
angenommenes Gas (V0 = 100 cm ) bei T0 = 20°C in ein
Gefäß gefüllt und durch eine Flüssigkeit (Hg) in einem Uförmigen Glasrohr (Innendurchmesser 5 mm)
eingeschlossen (siehe Abbildung). Das U-Rohr ist aufgrund
der Schlauchverbindung beweglich, der Außendruck sei p0 =
1013 hPa. Die Temperatur ∆T soll entweder durch die Volumenänderung (mittels h0) bei konstantem
Gasdruck p0 oder durch die Druckänderung (mittels ∆h) bei konstantem Volumen V0 gemessen werden.
Wie können diese Fälle für die gezeigte Anordnung jeweils experimentell realisiert werden? Leiten Sie h0
bzw. ∆h als Funktion der Temperatur her und berechnen Sie deren Zahlenwerte für ∆T = 1 K.
3
Hinweis: die Dichte von Quecksilber ist ρ = 13,55 g/cm .
11. Aufgabe: Brewster-Winkel
(a) Sei nL der Brechungsindex von Luft und nG der Brechungsindex von Glas. Im ersten
Übergang sei der Brewster-Winkel mit θB bezeichnet. Der Einfallswinkel in die rechte
Wand ist dann
θB,2 = 90◦ − θB
Annahme: Die Brewster-Bedingung für die erste Wand sei erfüllt.
sin(θB )
nG
= tan(θB ) =
nL
cos(θB )
Durch invertieren ergibt sich
nL
1
=
nG
tan θB
cos θB
=
sin θB
cos(90◦ − θB,2 )
=
sin(90◦ − θB,2 )
sin(θB,2 )
=
cos(θB,2 )
= tan(θB,2 )
Somit ist die Brewster-Bedingung für die zweite Wand erfüllt, wenn die BrewsterBedingung für die erste Wand erfüllt ist.
(b) Der Reflexionsverlust bei einer Passage Luft-Glas beträgt 4 % der Intensität. Also
kommen bei zwei Passagen nur noch 0.962 = 0, 9216 der Intensität durch. Bei 100 Reflexionen wäre also der Anteil der Intinsität, der ducrh kommt nur noch 0, 9216100 =
0, 000284608 = 0.02% was so gut wie nichts ist. Die ”Brewster-Fenster” sind genau
im Brewsterwinkel angeordnet. An ihnen wird das parallel-polarisierte Licht fast vollständig durchgelassen und das senkrecht-polarisierte Licht zu einem großen Teil wegreflektiert. Durch mehrmaliges Anwenden dieser Technik besteht der Laserstrahl am
Ende fast nur noch aus Licht einer Mode.
23
12. Aufgabe: Geschwindigkeiten
Für die Verteilung gilt
r 3
m 2 2
mv 2
2
fM B (v) =
v exp −
π kB T
2kB T
• Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
Für die Wahrscheinlichste Geschwindigkeit vw gilt
dfM B (vw )
=0
dv
dfM B (v √
= 2
dv
m
kB T
3/2
ve
−1/2
mv 2
kB T
1
2 kB T − mv 2 √ kB −1 T −1
π
Aufgelöst folgt daraus
r
r
2kB T
2kB T
vW ∈ {0,
,−
}
m
m
Da die negative Lösung sowie 0 keinen Sinn ergeben, folgt daraus
r
vw =
• Mittlere Geschwindigkeit
Für die mittlere gilt
2kB T
m
Z∞
vfM B dv
v=
0
Definiere weiterhin
r 3
2
m 2
k1 =
π kB T
24
k2 =
m
2kB T
Z∞
v = k1
v 3 exp(−k2 v 2 )dv
0
k1
2
u=v 2 ,du=2vdv
=
Z∞
u exp(−k2 u)du
0

k1 
[u exp(−k2 u)]∞
0 −
2k2
k1
1
=−
−
2k2
k2
k1
= 2
2k
r2
8kB T
=
πm
2
= √ vw
π
Z∞
=−

exp(−k2 u)du
0
• RMS Geschwindigkeit
vRM S =
p
v2
Oder laut Gleichverteilungssatz
1
f
Ekin = mv 2 = kB T
2
2
Wobei f = 3 die Anzahl der Freiheitsgrade gibt. Somit
r
vRM S =
25
3kB T
m
Nun soll die wahrscheinlichste Geschwindigkeit auf der Sonne von Helium berechnet werden
mit
TR = 300 K
TS = 5000 K
mHe = 4 · 1.66 · 10−27 kgkB
vw,R =
√
= 1.38 · 10−23
J
K
r
2
vw,S
kB TR
m
= 1116.69
m
s
m
= 4558.85
s
13. Aufgabe: Entropie
Für unterschiedliche Gase gilt:
Wir betrachten erst einmal ein Gas. Werden die Ventile geöffnet, so verteilt sich das Gas
auf drei verschiedene Behälter, hat also einen Informationsverlust von ∆V = kB NA ln(3).
Jetzt haben wir das dreimal (für alle drei Gase). Also
∆S = kB NA n ln(
≈ 27.4
V2
)
V1
J
K
Für die Umrechung in Bit erfolgt
∆SB =
V2
NA · n
ln( )
ln(2)
V1
Hier somit
∆B = 2.86 · 1024 bit
Bei gleichen Gasen ist die Entropie ∆S = 0.
14. Aufgabe: Wir bauen ein Thermometer
1. Möglichkeit Wir heben oder senken die Röhre mit Quecksilber so lange, bis die beiden
Flüssigkeitssäulen auf gleicher Höhe sind. Damit herrscht für das eingeschlossene Gas
26
genau Außendruck. Für das Volumen des Gases gilt:
T
V = V0 =⇒ ∆V = V − V0 = V0
T0
∆T
−1
T
− 1 =⇒ ∆h0 = V0 T0 2 ≈ 17, 4 mm
T0
πr
2. Möglichkeit Wir heben oder senken die Röhre so lange, bis sich das Volumen des
inneren Gases nicht geändert hat (also h0 so bleibt wie vorher). Dann drückt auf das
Gas der zusätzliche Druck
mg
∆p =
= ρg∆h
O
Da wir das Volumen als konstant annehmen, gilt also jetzt
∆h =
p0
(∆T ) ≈ 2, 6 mm
T0 ρg
27
4. Übung
28
Physik III (Optik und Thermodynamik)
4. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 10.11.11, Besprechung 17.11.11
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 15: (2 Punkte)
r
Licht einer Natrium-Dampflampe (λNa = 589 nm) fällt parallel zur a ' -Achse auf einen doppelbrechenden
r
Kaliumphosphat-Kristall. Das einfallende Licht ist linear polarisiert, der Winkel zur c -Achse des Kristalls
r r
r r
beträgt 45° (siehe Skizze). Der Brechungsindex für E || a beträgt n1 = 1,5095, für E || c ist n3 = 1,4684.
Wie dick muss das Kaliumphosphat-Plättchen sein, damit das austretende Licht zirkular polarisiert ist?
r
a'
r
c
r
a
r
|| c
r
E
r
|| a
Dicke: d
Aufgabe 16: (1 + 2 + 2 = 5 Punkte)
Das skizzierte Prisma ist aus zwei Kalzit-Prismen (KaltspatPrismen) zusammengesetzt. Die optischen Achsen der Kalzitprismen sind wie skizziert senkrecht bzw. parallel zur Papierebene angeordnet. Die Brechungsindizes betragen für den
ordentlichen Strahl no = 1,6584 und nao = 1,4864 für den
außerordentlichen Strahl.
a) Licht, das in der Papierebene polarisiert ist, fällt von
links senkrecht (β = 0°) auf das Prisma. In welchen
Richtungen bezüglich der Einfallsrichtung verlässt das
Licht das Prisma?
b) In welchen Richtungen verlässt Licht das Prisma, wenn
das einfallende Licht senkrecht zur Papierebene polarisiert ist und senkrecht auf das Prisma trifft?
c) Unter welchem Winkel β muss unpolarisiertes Licht mindestens auf die linke Seite des Prismas
treffen, damit vollständig polarisiertes Licht die rechte Seite des Prismas verlässt?
Aufgabe 17: (1 + 2 + 2 = 5 Punkte)
Unpolarisiertes Licht fällt auf einen idealen Polarisator P1 und anschließend auf einen idealen Analysator A,
der im Winkel φ gegenüber P1 gedreht ist.
a) Wie groß ist die durchgelassene Intensität ID hinter dem Analysator?
b) Nun stehen P1 und A senkrecht zueinander. Wie groß ist die durchgelassene Intensität Iϕ hinter
dem Analysator, wenn zwischen dem Polarisator P1 und dem Analysator ein weiterer Polarisator P2
gebracht wird, der um den Winkel ϕ gegenüber P1 gedreht ist?
c) Wie kann mit einem λ/4-Plättchen und einem Polarisator unpolarisiertes Licht von zirkular
polarisiertem Licht unterschieden werden?
Aufgabe 18: (2 Punkte)
Ein Eisenring soll über einen zylindrischen Eisenstab passen. Bei 20°C beträgt der Stabdurchmesser
6,445 cm, während der Innendurchmesser des Rings 6,420 cm ist. Um über den Stab gezogen werden zu
können, muss der innere Ringdurchmesser um etwa 0.12% größer sein als der Stabdurchmesser. Auf
welche Temperatur muss der Ring erwärmt werden, damit er auf den Stab passt? Kann man den Stab auch
abkühlen, damit der Ring darauf passt?
-6
Der lineare Ausdehnungskoeffizient von Eisen ist α = 12⋅10 1/K
Aufgabe 19: (2 Punkte)
Ein heißer, 1 kg schwerer Eisenklotz der Temperatur TK = 200°C wird in einen Eimer mit Wasser (10 Liter,
TW = 300K) gelegt.
a) Suchen Sie sich die in b) benötigten spezifischen Wärmen der Materialien aus der Literatur heraus.
(Quelle angeben)
b) Welche absolute Endtemperatur TE stellt sich im System Wasser/Klotz ein? Betrachten Sie die
Wärmekapazitäten als temperaturunabhängig und vernachlässigen Sie die Wechselwirkung mit der
Umgebung.
Aufgabe 20: (2 Punkte)
a) Geben Sie die Anzahl der Freiheitsgrade für ein Wassermolekül an. Nehmen Sie dabei an, dass die
Bindung zwischen Wasserstoff und Sauerstoff starr ist.
b) Sie haben zwei wärmeisolierte Gefäße. In einem befindet sich 1 Mol Argon im anderen 1 Mol
Stickstoff. Beiden Gasen wird die gleiche Wärmemenge zugeführt. Welches Gas erwärmt sich
stärker? Begründen Sie Ihre Antwort.
15. Aufgabe: Doppelbrechung mit Kaliumphosphat
Für die Zeit in Richtung parallel zur Kristallachse gilt
t|| =
dn||
d
=
c||
c
und analog
dn⊥
c
Die Zeitdifferenz muss jetzt gerade λ/4c betragen, also
t⊥ =
4d(n|| − n⊥ ) = λ
Eingesetzt liefert das
d ≈ 3, 637 µm
16. Aufgabe: Kalzit-Prismen
(a) In beiden Fällen steht die Polarisation des Lichts senkrecht auf der Kristallachse.
Also besitzen die beiden Kristallprismen den gleichen Brechungsindex. Der Strahl geht
senkrecht durch.
(b) Wir berechnen mit Snellius und dem Winkel θ1 = π/4
sin θ2 =
n1
sin θ1
n2
Im ersten Fall gilt n1 = no und n2 = nao , also
θ2 = 52.09◦
. Also ist der Winkel zum Lot der rechten Außenkante
θ3 = θ2 − 45◦
Wieder benutzen wir Snellius mit der Außenbrechzahl 1, also
θ4 = 10.6◦
31
(c) Wir betrachten nur den Lichtstrahlanteil, der senkrecht zur Papierebene polarisiert
ist. Diesen müssen wir wieder aufteilen in einen Anteil senkrecht zur Kristallachse
und orthogonal. Im Extremfall wird ein Anteil (WELCHER???) an der Schnittebene
totalreflektiert mit
nao
sin(α) =
=⇒ α = 63.7◦
no
Nun muss noch die (eigentlich davorliegende Brechung) an der ersten Brechachse betrachtet werden. Deshalb muss der Winkel β nach Snellius gerade
β = 32.1◦
Umgangssprachliche Erklärung: Erst mal was allgemeines. So ein doppelbrechender
Kristall hat immer eine optische Achse (oder Kristallachse). Man sagt dann, es gibt zwei
unterschiedliche Brechungsindizes n. Einen senkrecht zu dieser Achse und einen parallel.
D.h. Licht, dessen elektrisches Feld senkrecht zu dieser Achse steht (also das senkrecht
dazu polarisiert ist) wird anders gebrochen (und hat auch eine andere Geschwindigkeit)
als Licht, dass parallel steht (also genauer: parallel dazu polarisiert ist).
Dabei immer wichtig (wie unser Tutor auch gesagt hat): Man muss zwischen k, E, D und SVektor unterschieden. D und S müssen aufgrund der Stetigkeitsbedigungen ihre Richtung
normal beibehalten. Nur E und k ändern ihre Richtung Aber das ist für diese Aufgabe
irrelevant.
Also los gehts: a) Hier kommt Licht, das in der Papierebene polarisiert ist, auf den Kristall.
Also Polarisation von oben nach unten, wenn wir so wie das Bild aussieht draufschauen.
1. Grenzfläche Vakuum (oder Luft) und Kristall. Wir haben (für den Kristall gesehen)
nur Licht in einer Polarisation: nämlich senkrecht zur optischen Achse. Also nur EINEN
Brechungsindex. Also wie ein homogenes Medium. Senkrechter Einfall auf homogenes Medium? Genau. Passiert gar nix (nach Snellius ist n1 sin alpha1 = n2 sin alpha2 . Da aber
alpha1 = 0 muss auch alpha2 = 0). 2. Grenzfläche zwischen den beiden Medien: im linken
Medium waren wir mit unserer Polarisation senkrecht zur optischen Achse. Und im zweiten
Medium auch! Also ändert sich am Brechungsindex gar nix. Für die Welle gibt es keinen
Unterschied zwischen den beiden Medien. Sie geht einfach weiter gerade durch. 3. Grenzfläche Kristall-Luft: wie in 1. schon. Es passiert gar nix. Zusammenfassung: Die Welle
geht eins zu eins durch.
b) Jetzt senkrecht zur Papierebene. 1. Jetzt sind wir wieder senkrecht zur optischen Achse.
Wie a)1. passiert nix. 2. Aha! Im ersten Medium sind wir senkrecht zur optischen Achse
32
und im zweiten Medium parallel. Ein Grenzübergang zwischen zwei Medien! Wir können
den ganzen Quatsch zur Doppelbrechung vergessen und einfach sagen: links ein Medium
mit Brechungsindex n1 (nämlich dem Brechungsindex, den eine Welle spürt, die senkrecht
zur optischen Achse polarisiert ist, also ordentlich: no ) und rechts ein Medium mit n2 (dementsprechend außerordentlich nao ). Warum können wir das so einfach? Nun, wir haben
keine gemischten Anteile. Entweder alles senkrecht (links -> nur EIN Brechungsindex) oder
alles parallel (rechts -> nur EIN Brechungsindex) Und Medien mit nur einem Brechungsindex, das können wir (das ist der stink-normale Fall). Also machen wir mit Snellius: im ersten
Medium ein Winkel θ1 = π/4 zum Los (die Grenzfläche steht im 45 Grad Winkel). Wir
haben gesagt: n1 = no und n2 = nao . Dann erhalten wir den Winkel θ2 3. Hier wirds wieder
einfach. Wir haben eine Grenzfläche zwischen dem Medium mit Brechungsindex n2 = nao
und der Luft mit n = 1. Können wir den Winkel ausrechnen. Fertig!
Wir merken: Solange wir unsere Polarisation entweder NUR senkrecht oder NUR parallel
zur optischen Achse haben, sieht das Medium aus, als wäre es ein ganz normales Medium
mit homogenem Brechungsindex (ist es dann sozusagen auch!). Wir können mit Snellius
rechnen wir normal.
Schwierig wirds, wenn wir Anteile senkrecht und parallel besitzen. Wie in der... c) Jetzt
haben wir unpolarisiertes Licht. Das lässt sich natürlich zerlegen in einen Anteil senkrecht
und einen Anteil parallel zur Papierebene. Zuerst zum parallelen Anteil: wir haben vorhin
schon gesehen, dass dieser Anteil die Grenzfläche zwischen den beiden Kristallen "nicht
sieht". Also kann er vor allem da auch keine Totalreflektion machen. Langweilig! Also
lieber zum senkrecht zur Papierebene polarisierten Teil. Der kommt jetzt im Winkel beta
rein und wird an der ersten Grenzfläche laut Snellius gebrochen. Warum hier Snellius? Wir
haben wieder NUR senkrecht zur optischen Achse. Deshalb haben wir zerlegt! Also außen
n = 1. Innen n = n1 = no . Außen Winkel β. Innen dann irgendein Winkel θ1 (können
wir noch nicht berechnen). Mit dem Winkel θ1 gehts jetzt weiter und auf die Grenzfläche
zwischen den beiden Kristallen. Wie oben gesehen: Hier passiert was! Wir haben sozusagen
zwei unterschiedliche Medien mit Brechungsindex no links und na o rechts. Wir können
ausrechnen, wann es da gerade Totalreflektion gibt: Bei sin α = nao /no , also α = 63Grad.
Damit jetzt der Strahl hier α = 63Grad hat, müssen wir θ1 = α − π/4 haben (weil θ1 zum
anderen Lot gemessen wurde) Jetzt können wir auf beta zurückrechnen (siehe oben) und
erhalten β = 32Grad.
Also wird unpolarisiertes Licht, was unter den Winkel beta rein kommt, folgendermaßen
behandelt: Der Polarisationsteil parallel zur Papierebene wird stinkt normal an der ersten
33
Grenzfläche gebrochen, geht ganz durch den Kristall durch (er sieht keine weitere Grenzfläche) und wird hinten wieder gebrochen. Insgesamt geht er aber durch! Der andere Teil
senkrecht zur Ebene wird an der ersten Grenzfläche stink normal gebrochen. In der Mitte
wird er totalreflektiert und kommt nicht durch! Also haben wir hinten schon polarisiertes
Licht parallel zur Papierebene!
17. Aufgabe: Polarisator und Analysator
(a)
ID = I0 cos2 φ
(b)
Iφ = I0 cos2 φ sin2 φ
(c) Bei zirkular-polarisiertem Licht: Durch λ/4-Plättchen wird das Licht linear polarisiert.
Also existiert eine Stellung des Polarisators, bei der nichts mehr ankommt. Bei unpolarisiertem Licht kommt immer gleich viel an.
18. Aufgabe: Eisenring
Für die Temperaturänderung gilt:
TC =
dRing, neu − dRing, alt
dStab · 1.0012 − dRing, alt
∆L
=
=
= 425 K
Lα
dRing, alt α
dRing, alt α
Man müssten den Stab also auf 445◦ C erhitzen.
Will man jetzt den Stab abkühlen, statt den Ring zu erhitzen, geht man ähnlich vor:
∆L
TC =
=
Lα
dRing
1.0012
− dStab, alt
= −423 K
dStab, alt α
Der Stab kann also nicht abgekühlt werden, weil die errechnete Temperatur kleiner als 0 K
wäre und somit den Temperaturnullpunkt unterschreiten würde.
34
19. Aufgabe: Abkühlung
(a) Quelle: Wolfram Alpha
cW = 4187
cE = 449
J
kgK
J
kgK
(b) Die Wärmemenge teilt sich zwischen den Körpern auf, bleibt aber insgesamt konstant:
Qges = QW + QE
= cW mW TW + cE mE TE
= (cW mW + cE mE ) · Tend
Tend =
cW mW TW + cE mE TE
= 301.8 K
cW mW + cE mE
20. Aufgabe: Verschiedenes
(a) Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Gases setzen sich aus folgenden Freiheitsgraden
zusammen
f = ftrans + frot + fvib
Die Anzahl der Translationsfreiheitsgrade beträgt 3. Die Anzahl der Rotationsfreiheitsgrade beträgt 3, da ein Wassermolekül nicht linear ist und somit 3 Hauptachsen der
Rotation besitzt. Die Anzahl der Schwingungsfreiheitsgrade ist 0, da die Bindungen
starr sind. Also
f =3+3+0=6
(b) Es gilt für die Wärmezufuhr mit der spezifischen Molwärme Cm
∆Q = Cm · ∆T
Also
∆T =
Quelle: Wolfram Alpha
35
∆Q
Cm
Die spezifischen Molwärmen sind
Cm,Argon = 12.48
J
mol · K
J
mol · K
Folglich erhöht sich das Argon stärker, da es die kleinere spezifische Molwärme hat.
Cm,Stickstof f = 20.82
Alternativ :
fN2 = 6, fArgon = 3
Mit
1
1
U = f NkB T =⇒ T ∝
2
f
36
5. Übung
37
Physik III (Optik und Thermodynamik)
5. Übungsblatt
Ausgabe: 17.11.11, Besprechung 24.11.11
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 21: (3 + 1,5 = 4,5 Punkte)
Ein Gegenstand befindet sich vor einem sphärischen Spiegel. Konstruieren Sie graphisch das Spiegelbild,
a) Wenn es sich um eine Konkavspiegel (Hohlspiegel) handelt und sich der Gegenstand innerhalb
bzw. außerhalb der Brennweite befindet.
b) Wenn ein Konvexspiegel (Wölbspiegel) vorliegt.
Diskutieren Sie anhand Ihrer Skizzen in a) und b) jeweils, ob das Spiegelbild reell oder virtuell, vergrößert
oder verkleinert bzw. aufrecht oder auf dem Kopf stehend ist.
Aufgabe 22: (2 + 1,5 + 1 = 4,5 Punkte)
Ein Gegenstand befindet sich im Abstand d von einem Schirm. Mittels Konvex-Linse (Brennweite f)
zwischen den beiden soll der Gegenstand auf dem Schirm abgebildet werden.
a) Berechnen Sie die Position(en) der Linse, bei denen dies möglich ist. Welcher Abbildungsmaßstab
ergibt sich jeweils, und ist er größer oder kleiner als 1?
b) Wie groß darf die Brennweite der Linse maximal sein, damit noch ein reelles Bild auf dem Schirm
entsteht? Wo befindet sich dann die Linse, und wie ist der Abbildungsmaßstab?
c) Wie muss f gewählt werden, damit für beliebige Positionen der Bikonvex-Linse 0 < x < d stets ein
virtuelles Bild auftritt? Wo befindet sich dann das virtuelle Bild qualitativ?
Aufgabe 23: (1 + 1 = 2 Punkte)
a) Erläutern Sie mit Hilfe des Fermatschen Prinzips, dass alle achsenparallelen Strahlen, die auf
einen Parabolspiegel treffen, im Brennpunkt vereinigt werden.
2
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Überlegungen aus a) den Brennpunkt eines Parabolspiegels (y = x ).
Gehen Sie von parallelen Lichtstrahlen aus, die auf den Spiegel treffen.
Aufgabe 24: (3 Punkte)
Je 10 g He, N2 und CH4 sind in 3 Kammern eines Gefäßes getrennt. Die Temperaturen der Gases sind im
Anfangszustand 300 K (He), 400 K (N2) und 500 K (CH4). Das Gefäß ist gegen die Umgebung völlig isoliert.
Dann werden die Ventile zwischen den Kammern geöffnet. Wie groß ist die Endtemperatur?
Nehmen Sie die Gase als ideal an und beachten Sie, dass die Schwingungsfreiheitsgrade der Moleküle
nicht zur spezifischen Wärme beitragen.
Aufgabe 25: (1 + 3 + 1 = 5 Punkte)
Zwei Eisenblöcke (jeweils 1 kg schwer) sind verbunden durch einen Eisenstab. Anfänglich haben die
beiden Eisenblöcke unterschiedliche Temperaturen. Durch Wärmeleitung findet ein Temperaturausgleich
statt. Wärmestrahlung soll vernachlässigt werden. Nehmen Sie an, dass Wärmekapazität und
Wärmeleitfähigkeit temperaturunabhängig sind und die Wärmekapazität des verbindenden Stabs
vernachlässigt werden kann.
a) Welche Endtemperatur stellt sich ein und warum?
b) Berechnen Sie den zeitlichen Temperaturverlauf.
c) Wie lange dauert es, bis die Temperaturdifferenz auf 1% des ursprünglichen Wertes abgesunken
ist?
2
Der Eisenstab hat eine Länge von 10 cm und einen Querschnitt von 1 cm . Die spezifische Wärmekapazität
von Eisen ist c = 0,45 J/(g⋅K), seine Wärmeleitfähigkeit: λ = 79 J/(K⋅s⋅m)
21. Aufgabe: Spiegelbilder
G0
B
G
S
M
B0
Abbildung 2: Konkaver Spiegel mit Gegenstand außerhalb der Brennweite
(a) Aus der Skizze ist ersichtlich, dass bei einem konkaven Spiegel mit einem Gegenstand außerhalb der Brennweite ein reelles Bild entsteht. Dies ist an den reflektierten
Strahlen zu erkennen, die sich in einem Punkt vor dem Spiegel schneiden. Das Bild
des Gegenstands wird verkleinert und steht auf dem Kopf.
B0
G0
M
B
G
Abbildung 3: Konkaver Spiegel mit Gegenstand innerhalb der Brennweite
Anhand dieser Skizze ist erkennbar, dass bei einem konkaven Spiegel mit einem Gegenstand innerhalb der Brennweite ein virtuelles Bild entsteht. Dies kann man an den
reflektierten Strahlen erkennen, die sich vor dem Spiegel auffächern. Die Verlängerun39
gen dieser aufgefächerten Strahlen schneiden sich hinter dem Spiegel. Das Bild des
Gegenstandes ist vergrößert und aufrecht.
(b) Aus der Skizze ist ersichtlich, dass bei einem konvexen Spiegel ein virtuelles Bild
entsteht. Das Bild des Gegenstandes ist verkleinert und aufrecht.
G0
B0
B
G
M
Abbildung 4: Konvexer Spiegel
22. Aufgabe: Aufstellen eines Schirms
(a) Es gilt
d=g+b
Mit
1 1
1
+ =
g b
f
folgt
d=
b2
b−f
Somit ergibt sich für die Bildweite
b1 =
d 1p 2
+
d − 4f d
2 2
b2 =
d 1p 2
−
d − 4f d
2 2
Für die Gegenstandsweite ergibt sich
g1 = d − b1 = b2
40
g2 = d − b2 = b1
Für den Vergrößerungsfaktor gilt
p
d + d2 − 4f d
b1
b1
p
β1 = − = − = −
< −1
g1
b2
d − d2 − 4f d
Somit folgt
β2 =
1
> −1
β1
(b) Die Maximale Brennweite unterliegt der Bedingung
d2 − 4f d ≥ 0 =⇒ f ≤
d
4
Der Grenzwert ist also f = d/4. Die Linse steht dann genau in der Mitte und der
Vergrößerungsfaktor beträgt gerade 1 (also keine Vergrößerung).
(c) Für f > d tritt selbst ganz weit von dem Gegenstand entfernt ein virtuelles Bild auf.
Das virtuelle Bild ”steht” außerhalb der Schirmgrenzen.
23. Aufgabe: Fermatsches Prinzip
(a) Definiere eine Leitgerade, die Parabel sind dann alle Punkte, bei denen der Abstand
vom Brennpunkt und zur Leitgeraden gleich groß ist. Die Leitgerade hat den selben
Abstand zum Scheitel wie der Brennpunkt. Mit der Bedingung dass alle im selben
Punkt mit der gleichen Phase ankommen müssen, ergibt sich eine Parabel als Form
für den kürzesten Weg.
(b) y = x2 P (0, c) aus Symmetriegründen. Wähle beliebigen Punkt auf der Parabel mit
Q(x, x2 ). Für den Abstand ergibt sich
d(P, Q) =
p
x2 + (x2 − c)2
Die Leitgerade hat zum Punkt Q den Abstand
d(Q, g) = x2 + c
Da beide gleich sein müssen ergibt sich
x2 + c =
p
x2 + (x2 − c)2
41
Es ergibt sich
c=
1
4
24. Aufgabe: Heiße Gase
fHe = 3, fN2 = 5, fCH4 = 6
g
Molare Massen in mol
: MHe = 4, MN2 = 28, MCH4 = 16
Es gilt
Qstart =
X
Qi
mi
Ti
Mi
Qi = Ci
1
Ci = fi R
2
QEnd = TEnd
X
Ci
i
mi
Mi
Somit
TEnd = 371 K
25. Aufgabe: Wärmeleitungsgleichung
(a)
TEnd =
(b)
dQ
dt
= −λA dT
= −λA ∆T
und cm dT
=
dx
L
dt
cm
dQ
dt
dT1
λA
=
∆T
dt
L
T1 + T2
2
Das ergibt zusammengesetzt
cm
dT2
λA
=
∆T
dt
L
und mit T2 − T1 = ∆T erhält man
d∆T
λA
= −2
∆T
dt
Lc
Der Rest ergibt sich.
42
6. Übung
43
Physik III (Optik und Thermodynamik)
6. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 24.11.11, Besprechung 01.12.11
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 26: (2 Punkte)
Eine Bikonvexlinse mit zwei identischen Krümmungsradien, r, besteht aus einem Material mit dem
Brechungsindex n = 1,5. Ein Gegenstand in 20 cm Entfernung vor der Linse wird 10 cm hinter der Linse
scharf abgebildet. Nun wird der Raum hinter der Linse mit einer Flüssigkeit gefüllt, die den gleichen
Brechungsindex wie das Linsenmaterial hat. In welchem Abstand hinter der Linse findet man nun das
(reelle) Bild?
Aufgabe 27: (3 Punkte)
Die Skizze zeigt einen sogenannten konfokalen Resonator wie er oft in Lasersystemen eingesetzt wird. Er
besteht aus zwei identischen, konkaven, sphärischen Spiegeln, zwischen denen das Licht hin und her
reflektiert wird. Der Abstand, d, der Spiegel ist identisch mit dem Krümmungsradius beider Spiegel, R.
Zeigen Sie mit Hilfe der Matrix-Methode aus der Vorlesung, dass ein Lichtstrahl, der unter einem beliebigen
Winkel vom linken Spiegel aus nach rechts läuft, nach vier Reflexionen wieder seinen Ausgangszustand
einnimmt, so dass der gleiche Weg erneut durchlaufen wird und das Licht den Resonator nicht verlässt.
Hinweis: Abbildungsmatrix eines sphärischen Konkavspiegels mit Krümmungsradius R:
M1, R1 = R
1 − 2 / R 


0
1


M2, R2 = R
d =R
f(d)
Aufgabe 28: (5 Punkte)
Sie möchten Zellen mikroskopieren, die aufgrund ihrer
Luftempfindlichkeit in einem Glasgefäß unter Schutzgas
aufbewahrt werden. Als Objektiv dient Ihnen eine Kombination aus zwei Linsen mit gleicher Brennweite, f, deren
Abstand, d, Sie variieren können. Bestimmen Sie die
Brennweite, f(d), des Gesamtsystems inklusive des Glasdeckels in Abhängigkeit des Abstands, d, der beiden Linsen zueinander. Der Glasdeckel hat die Dicke b (x4 – x3).
Hinweis zur Vorgehensweise: Verwenden Sie die MatrixMethode. Beginnen Sie mit dem Durchgang durch die
erste Linse (x1 = 0) und einem einfallenden Lichtstrahl
r h
k =   ( h = Abstand zur optischen Achse, ϕ = Winkel
ϕ 
d
k
h
b
X
X1
X2
X3 X4
Xf
zur optischen Achse, hier ϕ = 0). Der Brennpunkt soll dann auf der optischen Achse liegen (h = 0).
Aufgabe 29: (3 Punkte)
Das Kühlaggregat eines Kühlschranks mit 150 Liter Inhalt nimmt eine elektrische Leistung von 150 W auf.
Der Kühlschrank wird zur Hälfte seines Volumens mit Lebensmitteln von 25°C gefüllt, die im Wesentlichen
aus Wasser bestehen. Der Kühlschrank ist auf 5°C eingestellt. Welche Wärmemenge muss den
Lebensmitteln entzogen werden, damit die Solltemperatur erreicht wird? Wie lange würde eine Heizung von
150 W brauchen, um die Lebensmittel von 5°C auf 25°C zu erwärmen?
Aufgabe 30: (2 Punkte)
Obwohl die Sonne als kugelförmig anzunehmen ist (Radius RS), erscheint sie uns bei Betrachtung als eine
Scheibe mit homogener Helligkeit. Argumentieren Sie wie demzufolge die Winkelabhängigkeit der
Abstrahlung eines Oberflächenelements auf der Sonnenkugel in einen Raumwinkel aussehen muss.
Welche Formel ergibt sich daraus für die totale Leistung, die die Erde trifft?
Nehmen Sie die Entfernung Sonne–Erde als groß an.
26. Aufgabe: Bikonvexlinse in Material
Wir betrachten zuerst den Fall ohne Material. Dann wird ein Gegenstand im Abstand
g = 20 cm vor der Linse auf b = 10 cm scharf abgebildet. Da die beiden Krümmungsradien
gleich sind, sind auch die Brennweiten gleich und für sie gilt
1 1
1
20
+ =
=⇒ f = −f1 = f2 =
cm
g b
f
3
Betrachten wir jetzt den Fall mit dem eingefüllten Medium, so gibt es an der hinteren
Kante der Linse keine Grenzfläche zwischen zwei Brechungsindizes mehr und damit auch
keine Ablenkung des Strahls. Stattdessen wird er nur an der ersten Grenzfläche gebrochen.
Für sie ist die Brennweite f1 immer noch gleichgeblieben und deshalb gilt:
n
1
3
3
1 n
+ =− =
+
=
g
b
f1
20 cm 2b
20 cm
Also ein b von 15 cm.
27. Aufgabe: Konfokaler Resonator
Wir benutzen die folgenden Matrizen:
Translation um d: T =
1 d
0 1
!
Spiegelung sphärisch: S =
!
1 0
− d2 1
wobei wir schon benutzt haben, dass n = 1 in der Luft und der Radius R = d ist. Ein
Lichtstrahl wird jetzt immer mit T transliert und mit S gespiegelt. Betrachten wir also
S·T =
!
1 0
·
− d2 1
!
1 d
=
0 1
!
1
d
− d2 −1
Dies entspricht einer Spiegelung. Damit wir vier Spiegelungen ausführen, berechnen wir
einfach (S · T )4 , also
(S·T )2 =
!
!
1
d
1
d
·
=
− d2 −1
− d2 −1
!
−1 0
0 −1
2
(S·T )4 = (S · T )2 =
1 0
0 1
!
= E4
Zu erkennen ist also, dass ein Strahl egal welcher Richtung wieder auf sich selbst abgebildet
wird.
46
28. Aufgabe: Mikroskop
Diesmal verwenden wir die folgenden Matrizen:
Translation um d: T (d) =
1 d
0 1
!
Linsendurchgang bei dünnen Linsen: M =
!
1 0
− f1 1
Außerdem noch zwei Hilfsmatrizen:
1 0
0 n
ins Glas hinein: iG =
!
aus dem Glas heraus: aG =
1 0
0 n1
!
Den ganzen Effekt des Linsensystems kann man in Teilschritte zerlegen. A soll immer die
gesamte Abbildungsmatrix beschreiben.
(a) Durchgang durch Linse 1: A = M
(b) Wegstrecke d zwischen den Linsen A = T (d) · M
(c) Durchgang durch Linse 2: A = M · T (d) · M
(d) Wegstrecke x2 − x3 (nennen wir es x): A = T (x) · M · T (d) · M
(e) Ins Glas, dann Wegstrecke im Glas (b) und wieder heraus: A = aG · T (b) · iG · T (x) ·
M · T (d) · M
(f) und schließlich noch bis zum Objekt (Strecke nennen wir mal s):
A = T (s) · aG · T (b) · iG · T (x) · M · T (d) · M
Nach längerer Rechnung erhält man für A:

s
b+ n
 1 − n(
A=

f
)+x
−
n b+ s +x
s
n(b+ n
)+x+d 1− ( fn )
f
− f1 −
1− fd
f

s
n(b+ n )+x

n b + ns + x + d 1 −
f


d
1− f
Startet man jetzt in der Höhe h und ohne Winkel, so endet man also in
A·
! 
h
=
0
h
f2

(d(bn + s + x − f ) + f (f − 2(bn + s + x)))

1− fd
1
−f − f
h
47
Damit wir den Brennpunkt berechnen können, betrachten wir jetzt die Stelle s, bei der der
Strahl auf die optische Achse trifft, also
d(bn + s + x − f ) + f (f − 2(bn + s + x)) = 0
Dies wird gelöst durch
s=
d(f − bn − x) + f (2(bn + x) − f )
d − 2f
Die Gesamtbrennweite ist dann also
fg (d) = d + x + b + s =
df + f 2 − d2 + b(d − 2f )(n − 1)
2f − d
29. Aufgabe: Kühlschrank zum Zweiten
Die Wärmemenge ergibt sich als
∆Q = cm∆T = 6.27 · 106 J
Daraus kann mit der Leistung P =
Q
t
die Zeit berechnet werden
t=
Q
= 41870 s
P
30. Aufgabe: Sonne als Strahler
dAs = dA · cos θ
As ist die sichtbare Fläche.
Bei einer Ringfläche ergibt sich
dA = 2πrRs dθ = 2πRs2 sin θdθ
dW
= S∗
dt
Z
π
2
2πRs2 sin θ cos θdθdΩE = S ∗ dΩE πRs2 = S ∗ dΩE πRs2
0
48
7. Übung
49
Physik III (Optik und Thermodynamik)
7. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 01.12.11, Besprechung 08.12.11
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 31: (2 + 1,5 + 1,5 = 5 Punkte)
Mit einem Polarisator und einem λ/4-Plättchen wird aus unpolarisiertem Licht rechts-zirkular polarisiertes
Licht (d.h. σ−) hergestellt, das dann an einem Spiegel senkrecht in sich selbst zurück reflektiert wird. Das
reflektierte Licht trifft im Anschluss wieder auf das λ/4-Plättchen und den Polarisator.
a) Welche Polarisation weist das Licht nach der Reflexion am Spiegel auf (anschauliche Begründung
ohne Rechnung)? Durch welche Jones-Matrix lässt sich die Reflexion am Spiegel demnach
beschreiben? Zeigen Sie, dass Ihre Matrix tatsächlich zur richtigen Polarisation führt.
b) Welche Stellung muss der Polarisator gegenüber dem λ/4-Plättchen haben, damit nach dem λ/4Plättchen das Licht wirklich rechts-zirkular polarisiert (σ−) ist. Geben Sie den Jones-Vektor des
Lichts vor dem λ/4-Plättchen an und zeigen Sie durch Anwendung der entsprechenden JonesMatrix, dass nach dem λ/4-Plättchen σ−−Licht entsteht.
c) Berechnen Sie die Polarisation des Lichts, nachdem es vom Spiegel reflektiert und erneut durch
das λ/4-Plättchen getreten ist. Was folgt daraus für die Intensität des ausfallenden Lichts hinter
dem Polarisator (Rechnung nicht erforderlich)?
Aufgabe 32: (2 + 1,5 + 1,5 = 5 Punkte)
Eine Anordnung zum Ausmessen von Newtonschen Ringen
besteht aus einer Glaslinse (Krümmungsradius R = 10 m, Durchmesser D = 4 cm, n = 1,5), die auf einer ebenen Glasplatte liegt. Es
entsteht eine dünne Luftschicht, deren Dicke t (t << R) sich mit dem
Radius r ändert. Das Interferenzmuster wird im reflektierten Licht
beobachtet.
a) Wie viele helle Ringe würde man bei Beleuchtung der
Anordnung mit gelben Licht (λ = 590 nm) sehen?
R
D
r
t
n
n
b) Wie groß ist der Durchmesser des 6. hellen Rings? Was
ändert sich, wenn man den Luftspalt mit Wasser (nw < n) füllt? Wie groß ist dann der Durchmesser
des 6. hellen Rings?
c) Beobachtet man in der Mitte (am Auflagepunkt der Linse) ein Intensitätsmaximum oder ein
Intensitätsminimum? Wie unterscheiden sich das transmittierte und das reflektierte Muster?
Aufgabe 33: (2 + 1 = 3 Punkte)
Mit einem Mach-Zehnder-Interferometer kann die
Brechzahl von Gasen sehr genau bestimmt
werden.
a) Die Kammern der Länge l = 23 cm sind
mit Luft gefüllt. Die Brechzahl von Luft
hängt vom Druck ab, und zwar ist dn/dp =
-4
-1
2,8⋅10 bar . Wie groß ist die Druckdifferenz zwischen den beiden Kammern,
wenn sich das Interferenzbild, das man zu
Beginn des Versuchs sieht, zum ersten Mal wiederholt? Wie viele Hell-Dunkel-Durchgänge werden
insgesamt beobachtet, wenn eine der beiden Kammern komplett evakuiert wird? Das verwendete
Cd-Licht hat die Vakuumwellenlänge von λ0 = 644nm. Der Luftdruck in den beiden Kammern
beträgt zu Beginn des Versuchs p0 = 1 bar.
b) Wie viele Hell-Dunkel-Durchgänge können tatsächlich beobachtet werden, wenn die spektrale
-2
Breite der Cd-Lampe ∆ν/ν = 2⋅10 beträgt? Nehmen Sie an, dass zu Beginn des Experiments der
Gangunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen Null ist.
Aufgabe 34: (2 Punkte)
In einem pneumatischen Feuerzeug wird ein Gasvolumen (T1 = 20°C) adiabatisch auf 1/10 seines seiner
ursprünglichen Größe komprimiert, so dass der Flammpunkt des Feuerzeug-Benzins überschritten wird.
Berechnen Sie die Temperatur T2 nach der Kompression. Nehmen Sie dazu an, dass das FeuerzeugBenzin 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade hat.
Aufgabe 35: (2,5 + 1,5 = 4 Punkte)
In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass dU = δQ – p dV kein totales Differential ist, weil die Wärmemenge Q keine geeignete Zustandsgröße ist. Vielmehr hängt die aufgenommene oder abgegebene
Wärmemenge bei einer Zustandsänderung vom Weg im Zustandsdiagramm ab. Verifizieren Sie diesen
Aspekt anhand des hier gezeigten Beispiels:
Zustandsänderung eines idealen Gases von A nach C auf dem Weg I oder II
p
p2
D
C
I
p1
II
A
V1
B
V2
V
a) Berechnen Sie unter Verwendung der Wärmekapazität die Wärmemenge ∆QI bzw. ∆QII, die 1 mol
eines idealen Gases aufnimmt, wenn sein Zustand auf dem Weg A-D-C (I) bzw. A-B-C (II) von A
nach C verändert wird. Betrachten Sie dazu zunächst die einzelnen isochoren bzw. isobaren
Prozesse und bilden anschließend die Summe der beiden beteiligten Beiträge für den betrachteten
Weg. Zeigen Sie dann, dass die Differenz der aufgenommenen Wärmemengen zwischen beiden
Wegen ∆QI−II = ∆QI – ∆QII für p2 > p1 und V2 > V1 stets größer als null ist. (Wäre Q eine
Zustandsgröße, müsste die Differenz null sein!)
b) In a) haben Sie gezeigt, dass je nach Weg dem Gas eine unterschiedliche Wärmemenge
zugeführt werden muss, um es vom Zustand A nach C zu überführen. Die Differenz der inneren
Energie U zwischen A und B ist aber wegunabhängig, weil U eine Zustandsgröße ist. Demnach
muss die Wärmeenergie ∆QI−II, die auf dem Weg I mehr benötigt wird als auf dem Weg II, bei der
Zustandsänderung als zusätzliche mechanische Arbeit wieder abgegeben worden sein. Berechnen
Sie nun ∆QI−II, indem Sie die Differenz der vom Gas geleisteten mechanischen Arbeit auf den
Wegen I und II betrachten. Zeigen Sie, dass sich tatsächlich das gleiche Ergebnis wie in a) ergibt.
31. Aufgabe: Jones-Matrix
(a) Anschaulich sieht man, dass rechtszirkuläres Licht σ − durch den Spiegel in linkszirkuläres Licht überführt wird σ + (oder???). Also aus
1
Jσ − = √
2
wird
Jσ+
1
=√
2
!
1
−i
!
1
i
Die Matrix des Spiegels lautet also
MS =
!
1 0
0 −1
(b) Nach der Polarisation ist das Licht linear polarisiert. OBdA können wir also schreiben
J=
!
cos φ
sin φ
und dann das λ/4-Plättchen in x-Richtung ansetzen. Also ist der resultierende JonesVektor:
!
!
1 0
cos θ
Jr = e−iπ/4
·
0 i
sin θ
Dies muss jetzt gerade Jσ− entsprechen, also
θ = −π/4
Es muss also um 45◦ verdreht werden (im Urzeigersinn).
(c) Nach dem Spiegeln ist aus Jσ− ein linkszirkuläres Jσ+ geworden und der Jones-Vektor
nach dem λ/4-Plättchen lautet dann
1
√
2
!
1
−1
Die Intensität ist also 0 hinter dem Polarisator (da er gerade senkrecht steht!)
52
32. Aufgabe: Newtonsche Ringe
(a) Da der Krümmungsradius so groß ist, betrachten wir den reflektierten Strahl als nahezu
senkrecht auf die Platte. Er habe die Länge ∆d. Mit dem Phasensprung am Spiegel
ist also die optische Weglänge
λ
∆s = 2∆d +
2
Der Satz des Pythagoras liefert den Radius r, bei dem ∆d auftritt:
r2 = 2R∆d
da ∆d2 genügend klein ist. Um jetzt Maxima zu erreichen, muss gelten
∆shell = kλ =⇒ ∆dhell
λ
=
2
1
k−
2
k = 0, 1, . . .
Also sind die Radien für Maxima gegeben durch
2
rhell
1
= Rλ k −
2
Damit der Ring noch sichtbar ist, muss dieser Radius kleiner gleich dem halben
Gesamtdurchmesser sein, also
D2
2
rhell
≤
4
und somit
D2
1
k≤
+ ≈ 68.2
4Rλ 2
Somit sind also 68 Ringe zu sehen.
(b) Mit Luft ist der Durchmesser des 6. Rings
d6 = 2r =
p
4Rλ(k − 1/2) ≈ 1.13 cm
Im Wasser wäre der Durchmesser um den Quotienten
√
nW kleiner.
(c) In der Mitte befindet sich ein Minimum der Intensität. Im transmittiertem Bild ist die
Maximum-Minimum-Verteilung gerade umgedreht!
53
33. Aufgabe: Mach-Zehnder-Interferometer
(a) Der optische Wegunterschied zwischen den beiden Strahlen ist gerade
∆s = l∆n
Damit sich das Muster gerade einmal wiederholt, muss
∆s = λ
gelten, also
∆n =
λ
=⇒ ∆p = 0.01 bar
l
Ein Wechsel zwischen dunkel un hell ist gerade bei
k=
λ
2
zu sehen, also
2l∆pα
λ
wen α der Umrechnungsfaktor ist. Man erhält k = 200.
(b) Das Licht hat eine begrenzte Koheränzlänge. Man kann sich also das Licht als einzelne
Phasenzüge mit jeweils konstanter Phase vorstellen. Ein Stückchen hat gerade die
Länge einer Koheränzlänge. Mit der spektralen Breite und der Koheränzzeit ∆tc ergibt
sich
c
lc = c∆tc =
= 50λ
∆ν
Schiebt man jetzt die zwei Wellen zu weit auseinander (über die Koheränzlänge), so
kann ein Phasenzug nicht mehr mit sich selbst interferieren. Schlecht! Also geht ab 50
nix mehr.
34. Aufgabe: Feuerzeug
Wir benutzen einfach
T · V κ−1 = const.
Also mit T1 = 20◦ = 273.3 K
T2 = T1 10κ−1 ≈ 736.736 K
54
35. Aufgabe: Quadratische Wärmemenge
In der Vorlesung wurden für beide Prozesse schon die Wärmemengendifferenzen berechnet.
Für einen isobaren Prozess ergibt sich
dQ = Cp dT
und für einen isochoren Prozess
dQ = CV dT
Außerdem haben wir natürlich moch die Beziehungen
Cp = CV + R
pV = RT
Wir bezeichnen die einzelnen Eckpunkt gegen den Urzeigersinn unten links startend. Dann
gilt für die Temperaturen
Ta =
p1 V1
R
Tb =
p2 V 1
R
Tc =
p1 V 2
R
Td =
p2 V2
R
Auf dem ersten Weg ergibt sich also eine Wärmemengendifferenz von
∆QI = ∆Qp=const +∆QV =const = (CV +R)(Tc −Ta )+CV (Td −Tc ) =
Cv
(p2 V2 −p1 V1 )+p1 (V2 −V1 )
R
Auf dem zweiten Weg analog (aber vertauscht!)
∆QII = ∆QV =const +∆Qp=const = CV (Tb −Ta )+(CV +R)(Td −Tb ) =
Cv
(p2 V2 −p1 V1 )+p2 (V2 −V1 )
R
Die Differenz zwischen den beiden Wärmemengendifferenzen ist also
∆∆Q = QI − ∆QII = p1 ∆V − P2 ∆V = ∆p∆V > 0
Betrachten wir jetzt die mechanischen Energiebeiträge, so wird nur bei den isobaren
Prozessen überhaupt Energie geleistet. Diese beträgt
Z
W =−
55
p dV
Für den unteren Weg ist sie also gegeben durch
WII = −p1 ∆V
und auf dem oberen analog
WI = −p2 ∆V
Die Differenz ist also
∆W = WI − WII = −(p2 − p1 )∆V = ∆p∆V = ∆∆Q
56
8. Übung
57
Physik III (Optik und Thermodynamik)
8. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 08.12.11, Besprechung 15.12.11
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 36: (3,5 Punkte)
Entwerfen Sie ein Fabry-Perot-Interferometer (Brechungsindex zwischen den Spiegeln nF = 1), das bei
λ0 = 500 nm für senkrechten Einfall eine Transmission von T = 1 aufweist und bei λ1 = 510 nm eine Transmission von T ≤ 0,01. In welcher Ordnung k muss man das Interferometer betreiben, damit ein technisch
leicht realisierbarer Spiegelabstand von d = 10 mm verwendet werden Kann? Wie groß müssen dann das
(Intensitäts-) Reflexionsvermögen R der Spiegel und die Finesse F* des Pabry-Perot-Interferometers sein?
Aufgabe 37: (1,5 Punkte)
Erinnern Sie sich an Aufgabe 8 (2. Übungsblatt): Zur Reflexverminderung bringt man z.B. auf Brillenglas
eine dünne Schicht eines Materials mit geringerem Brechungsindex (nV) auf. Die Schichtdicke wird dabei so
bemessen, dass die an Vorder- und Rückseite der Vergütungsschicht reflektierten Strahlen destruktiv
interferieren – am effektivsten bei gleicher Amplitude.
Welche Dicke d muss die Schicht für Licht einer festen Vakuumwellenlänge λ0 bei senkrechtem Einfall
haben?
Aufgabe 38: (3,5 + 2 + 1,5 = 7 Punkte)
a) Ein langer Einfachspalt mit einer Breite von d = 0,05 mm wird senkrecht mit einem Argon-Ionenlaser (λ = 514 nm) beleuchtet. In großer Entfernung (D = 1 m) hinter dem Spalt befindet sich ein
Schirm auf dem das Beugungsbild beobachtet wird. In welchem Abstand vom zentralen Maximum
befindet sich das erste Beugungsminimum? Welche zu λ = 514 nm benachbarte Wellenlänge
ergibt an diesem Ort ein Maximum (welches)?
b) Ein Doppelspalt werde mit einem Laser der Wellenlänge λ senkrecht beleuchtet. Der Doppelspalt
bestehe aus zwei langen Einfachspalten identischer Breite b. Die Mitten der beiden Spalte sollen
den Abstand g = 90 µm voneinander haben. Sie beobachten das von der Anordnung erzeugte
Beugungsbild auf einem Schirm mit sehr großem Abstand d vom Doppelspalt.
Schirm
∆x
d
g
Doppelspalt
b
b
Laser
i)
Leiten Sie eine Formel für den Abstand ∆x des dritten Beugungsmaximums des
Doppelspalts vom zentralen Maximum auf dem Schirm her! Die Formel soll keine
trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan, o.ä.) mehr enthalten, aber trotzdem auch bei
großen Beugungswinkeln exakt gültig sein!
(Hinweis: Zählen Sie bei der Nummerierung der Maxima das zentrale Maximum NICHT
mit!)
ii)
Berechnen Sie die Breite b der Einfachspalte (Zahlenwert), die gewählt werden muss, damit
das dritte Beugungsmaximum aus Aufgabenteil i) mit dem ersten Minimum der
Einfachspalte zusammenfällt, also ausgelöscht ist!
Aufgabe 39: (2 Punkte)
Ein Maschinen-Hersteller bietet eine Maschine an, die eine Wärmeaufnahme von 9,0 kJ/s bei einer
Temperatur von 475 K aufweist. Die Wärmeabgabe soll 4,0 kJ/s bei 325 K betragen. Kann man diesen
Angaben glauben? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch.
Aufgabe 40: (2 Punkte)
Zwei ideale Gase mit der gleichen Anzahl von Molekülen durchlaufen jeweils einen Carnot-Prozess einer
Wärmekraftmaschine zwischen den Temperaturen T1 und T2 und den gleichen minimalen und maximalen
Volumina (V1 und V2). Das eine Gas besteht aus einatomigen, das andere aus zweiatomigen Molekülen.
Sind die Graphen beider Prozesse im p–V–Diagramm identisch? Wenn nicht, worin unterscheiden sie sich?
Aufgabe 41: (0,5 + 1,5 = 2 Punkte)
Ein Kohlekraftwerk hat eine elektrische Leistung von 1000 MW. Die Turbinen werden mit Wasserdampf
von 600°C betrieben. Die Temperatur des Kühlwassers aus einem Fluss beträgt 15°C.
a) Wie groß ist der Carnot-Wirkungsgrad der gesamten Anlage?
b) Der tatsächliche Wirkungsgrad beträgt etwa 40%. Wie groß ist der Kühlwasserbedarf unter der
Annahme, dass beim Durchfluss die Temperatur des Kühlwassers um 2°C steigen darf?
Wärmekapazität von Wasser: c = 4,18 kJ/(kg⋅K)
36. Aufgabe: Fabri-Perot-Interferometer
Die Phasensprünge können getrost weggelassen werden, da sie immer einen Sprung um
insgesamt 2π hervorrufen. Für die konstruktive Interferenz muss gerade
∆φ =
d
4πnd
2π · n · 2 =
λ
λ0
gelten. Für die Intensität gilt laut Vorlesung
1
I
=
I0
1 + F sin2 (∆φ/2)
Damit diese maximal wird, muss
sin(∆φ/2) ==
d=
λ0
k
2n
Mit dem gegebenen d also die Ordnung
k = 40000
Für die zweite Wellenlänge soll gerade
I
= 0.01
I0
gelten. Dies führt zu
F sin(∆φ/2) ≥ 99
F =
4R
(1 − R)2
r ≥ 0.92 =⇒ R ≥ 0.85
Die Finesse muss dann
F ∗ ≥ 18.8
sein
37. Aufgabe: Brillengläser
Die optische Strecke ∆s, die der Lichtstrahl in der Schicht zurücklegt, beträgt
∆s = 2nf d
60
Er wird zwar an der hinteren Grenzschicht mit Phasenverschiebung reflektiert, aber auch
der Strahl, der sofort an der vorderen Schicht reflektiert wird, bekommt eine Phasenverschiebung. Damit ist also nur die optische Weglänge ∆s wichtig. Weitere Strahlen brauchen
wegen der geringen Reflektivität (siehe Aufgabe 8) nicht beachtet werden. Die zwei Strahlen
werden genau dann ausgelöscht, wenn
∆s = (2n + 1)
λ0
λ0
=⇒ d =
(2n + 1)
2
4nf
Für die kürzeste Schicht also
d=
λ
4nf
38. Aufgabe: Einzel- und Doppelspalt
(a) Es gibt genau dann ein Minimum, wenn
b
x = mπ = π sin θ
λ
Außerdem ist
tan(θ) =
d
D
Man erhält (für m = 1) gerade
d ≈ 1 cm
Damit eine andere Wellenlänge dort ihr Maximum hat, muss gelten
x=
π
b
(2n + 1) = π sin θ
2
λn
aber da wir uns immer noch beim gleichen θ befinden, gilt
x=π
b λ
λ
1
=⇒
= (2n + 1)
λn b
λn
2
Es gäbe also eine bei 2λ, aber die nächste ist bei 32 λ.
(b) (i) Der Phasenunterschied zwischen den beiden Teilstrahlen ist
∆s = g sin(φ) = 3λ
61
Außerdem ist
tan φ =
∆x
sin φ
sin φ
d
d
=⇒ ∆x = tan φd = d
= dp
=p
=q
2
2
d
cos φ
g2
1/ sin φ − 1
1 − sin φ
−1
9λ2
(ii) Für den Doppelspalt ist
g sin φ = 3λ
Für den Einzelspalt ist
b sin φ = λ
und damit
b = 30 µm
39. Aufgabe: Lügender Maschinenhersteller
In Wirklichkeit ist der Wirkung kleiner als die der Carnotmaschine. Dieser ist gegeben
durch
T1
η =1−
= 0.31
T2
Für die Maschine ist aber der Wirkungsgrad
η=
∆Q1 − ∆Q2
= 0.56
∆Q1
40. Aufgabe: Carnot-Prozess
Durch die Festlegung der Randbedingungen sind die beiden Punkte A und C des carnotProzesses festgelegt. Auserdem ändert sich bei den Isothermen (pV = RT mit R und T
gleich) damit nichts. Nur die adiabatischen Verläufe (pV κ = const.) werden steiler:
62
30
25
20
15
10
5
0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
Abbildung 5: Weniger Freiheitsgrade - nur 1atomig
30
25
20
15
10
5
0
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Abbildung 6: Mehr Freiheitsgrade - 2atomig
63
2.0
41. Aufgabe: Kohlekraftwerk
(a) Der theoretische Wirkungsgrad beträgt
ηtheo =
T1 − T2
≈ 67%
T1
(b) Pro Sekunde erzeugt das Kohlekraftwerk eine elektrische Leistung von
∆W = 1000 MJ
Wenn der wahre Wirkungsgarde bei η = 0.4 liegt, so beträgt die aufgenommene
Wärmemenge
∆Q1 = ∆W/0.4 = 2500 MJ
Das bedeutet die abgegebene Wärmemenge ist
∆Q2 = ∆Q1 − ∆W = 1500 MJ
Es müssen also pro Sekunde
m=
∆Q2
≈ 178 t
cT
Wasser fließen.
64
9. Übung
65
Physik III (Optik und Thermodynamik)
9. Übungsblatt
Ausgabe: 15.12.11, Besprechung 22.12.11
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 42: (1 + 3 = 4 Punkte)
Das Fraunhofer-Beugungsbild einer Beugungsanordnung ergibt sich im Wesentlichen aus der FourierTransformierten der entsprechenden Transmissionsfunktion. Betrachten Sie dazu folgendes Beispiel: Eine
ebene Welle fällt senkrecht auf einen Doppelspalt, bei dem die Breite b der einzelnen Spalte
vernachlässigbar ist gegen ihren Abstand d. λ ist die Wellenlänge des einfallenden Lichts. Vor einem der
Spalte befindet sich ein dünnes Glasplättchen, das zu einer Phasenverschiebung der Welle von 90° (bzw.
π/2) relativ zum anderen Spalt führt.
a) Wie lautet die Transmissionsfunktion τ(x) der Anordnung? Hinweis: Verwenden Sie zur Darstellung der
Funktion die Delta-Distribution δ(x). Die Phasenverschiebung soll ebenfalls als Teil der
Transmissionsfunktion aufgefasst werden.
b) Berechnen Sie durch Fourier-Transformation der Transmissionsfunktion und Betrags-Quadrat-Bildung
die Form der Intensitätsverteilung (I/I0) des Beugungsbildes in x-Richtung! Leiten Sie dann daraus eine
Formel für die Lage der Beugungsminima her!
Was verändert sich qualitativ am Beugungsbild durch Anbringen des Glasplättchens vor einem der
Spalte?
Aufgabe 43: (2 + 2 + 2 = 6 Punkte)
a) Ein Diaprojektor wirft von einem Dia (Kleinbildformat 24 mm x 36 mm) ein 72 cm breites Bild auf
einen Schirm. Rückt man den Projektor um 1 m weiter vom Schirm weg, wird das Bild um 1 m
breiter. Welche Brennweite hat das Objektiv und in welchem Abstand vom Schirm stand das Gerät
ursprünglich?
b) Der Nahpunkt eines weitsichtigen Auges liegt bei s = 50 cm. Welche Brechkraft muss eine
Kontaktlinse haben, damit der Nahpunkt wieder in die deutliche Sehweite s0 = 25 cm rückt?
c) Das Auge ist chromatisch offenbar gut angepasst. Da aber rotes Licht schwächer gebrochen wird
als blaues, muss der Akkommodationsmuskel die Linse stärker wölben, wenn eine rote statt einer
blauen Fläche im gleichen Abstand betrachtet wird. Wie kommt es, dass Rot „aggressiv auf uns
zukommt“ und Blau „uns in seine Tiefe zieht“, wie die Maler sagen? Betrachtet man bunte
Kirchenfenster, so scheinen die Farben oft in verschiedenen Ebenen zu stehen. In der
französischen Trikolore ist der rote Streifen (37%) merklich breiter als der weiße (33%) und dieser
breiter als der blaue (30%). Warum?
Aufgabe 44: (1,5 + 4+ 0,5 = 6 Punkte)
Eine Stirling-Maschine ist ein Heißluftmotor, in dem Luft abwechselnd in Kontakt mit einer Wärmequelle
(z.B. einer Glühkerze oder sonnengeheizten Metallfläche) und mit einer Kühlung gebracht wird. Dies führt
in erster Näherung zu folgenden Prozess-Schritten:
Im Wärmekontakt mit dem heißen Reservoir: Isochore (V = V1) Drucksteigerung von p1 auf p2 und
anschließend isotherme Expansion bei T2. Im Wärmekontakt mit dem kalten Reservoir: Isochore (V = V2)
Drucksenkung von p3 auf p4 und anschließend isotherme Kompression bei T1.
a) Stellen Sie den Stirling-Prozess qualitativ im p-V-Diagramm dar!
b) Berechnen Sie die während eines Umlaufs geleistete mechanische Arbeit ∆W und die dem
heißen Reservoir insgesamt entnommene Wärmemenge ∆Q! Berechnen Sie dann den Wirkungsgrad
η = ∆W /∆Q und zeigen Sie, dass er immer kleiner als der Carnot-Wirkungsgrad ist! Was kann man
tun, damit der Wirkungsgrad dem des Carnot-Prozesses möglichst nahe kommt?
c) Welche Funktion hat eine Maschine, bei der der Prozess in umgekehrter Richtung abläuft?
Hinweis: Nehmen Sie die Luft als n mol eines idealen Gases mit der molaren Wärmekapazität cV an!
42. Aufgabe: Fouriertransformation am Beugungsbild
Wir betrachten in der ganzen Aufgabe nur die x-Komponente des Feldes, da die y-Komponente
unverändert bleibt.
(a) Das einfallende Feld sei E = E0 . Der erste Spalt befinde sich an der Position z =
0, d = −d/2. Da die Breite vernachlässigbar ist, lässt sich seine Transmissionsfunktion
angeben als
τ1 = δ(x − d/2)
Der zweite Spalt befinde sich an der Position x = −d/2, z = 0. Auch er kann durch
eine Deltadistribution beschrieben werden, nur hier noch zusätzlich mit einer Phasenverschiebung um π/2:
π
τ2 = δ(x + d/2)ei 2
Die gesamte Transmissionsfunktion lautet also
π
τ (x) = τ1 + τ2 = δ(x − d/2) + ei 2 δ(x + d/2)
(b) Wir betrachten also die Fouriertransformierte von τ , also
Z∞
τ (x)e
−2πix0 x/z0 λ
Z∞
δ(x − d/2)e
dx =
−∞
−2πix0 x/z0 λ
Z∞
dx +
−∞
π
0
δ(x + d/2)ei 2 e−2πix x/z0 λ dx
−∞
und aufgrund der Definition der Deltadistribution:
0
0
= e−πidx /z0 λ + ieπix d/z0 λ
Setzen wir jetzt noch
Idenditäten):
πx0 d
z0 λ
= a, so erhalten wir (nach irgendwelchen trigonometrischen
E 0 = e−ia + ieia =
√
2(1 − i) sin(a + π/4)
Und damit
I 0 = 4 sin2 (a + π/4) = 4 cos2 (a − π/4)
Dies gleicht einem normalen Doppelspalt, außer der Phasenverscheibung um π/4. Alle
Maxima- und Minima sind also gerade um z0 λ/4d verschoben.
67
43. Aufgabe: Optik
(a) Wir haben durch die Aufgabenstellung folgende Gleichungen vorgegeben:
G
g
=
B
b
G
g0
= 0
B+1
b
1 1
1
1
+ = 0+ 0
g b
g
b
g + b + 1 = g 0 + b0
Setzen wir das zusammen,so erhalten wir für b:
b=
G+B
(G+B+1)2
B+1
−
(G+B)2
B
und für g
g=
G
b
B
Somit erhalten wir
b ≈ 75.6 cm
und
f ≈ 36 mm
(b) Weitsichtigkeit bedeutet, dass das Bild hinter der Netzhaut abgebildet wird. Somit ist
das Bild virtuell und es folgt b = −50 cm. Der Gegenstand soll allerdings in g = 25 cm
sich befinden. Somit findet sich für die Brechkraft
D=
1
1 1
= + = 2 dpt
f
g b
(c) Bei einer roten Fläche, muss der Muskel sich mehr anspannen. Dies ist die gewohnte
Einstellung für die Nahsicht und somit erscheint die rote Fläche näher als sie ist. Bei
der blauen Fläche ist der Muskel entspannt, was der Einstellung für die Fernsicht
entspricht. Also erscheint uns der Abstand größer.
68
44. Aufgabe: Stirling-Motor
Der Stirling-Prozess sieht qualitativ so aus (gedreht!!! p-V verwechselt sorry):
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
Für die Gesamtenergie gilt: Auf den isochoren Teilschritten wird keine Energie frei oder
benötigt. Für einen isothermen Teilschritt gilt:
∆W = −RT ln
V1
V2
und damit für die Gesamtenergie:
W = R ln
V2
V1
(T2 − T1 )
Die dem heißen Wärmebad entzogene Wärmemenge gilt:
Q = ∆Q1 + ∆Q2 = cv (T2 − T1 ) + RT2 ln
69
V2
V1
10. Übung
70
Physik III (Optik und Thermodynamik)
10. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 22.12.11, Besprechung 12.01.12
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 45: (2 + 3*1,5 = 6,5 Punkte)
In einem astronomischen Fernrohr mit der Vergrößerung V = 10 und der Einstellung auf ∞ beträgt der
Abstand zwischen Objektiv und Okular 25 cm.
a) Skizzieren Sie den Strahlengang bei der Einstellung auf ∞ (es fällt ein paralleles Lichtbündel unter
einem Winkel ε0 ein).
b) Wie groß sind die Brennweiten der Objektiv- und Okularlinse?
c) Bis zu welchem Abstand kann mit dem Fernrohr scharf gesehen werden, wenn sich das Okular um
1 cm verschieben lässt?
d) Wie kann das Bild gegenüber Teil a) mit einer zusätzlichen Linse umgekehrt werden (Abbildungsmaßstab soll beibehalten werden)? Um wie viel ändert sich dadurch mindestens die Länge des
Fernrohrs?
Aufgabe 46: (1,5 Punkte)
Sie wollen Beugung am Spalt mit Sonnenlicht beobachten. Dazu verwenden Sie ein Filter, das nur für Licht
der Wellenlänge λ = 545 nm durchlässig ist. Wie breit darf der Spalt maximal sein, damit das erste
Beugungsminimum noch beobachtet werden kann? Hinweis: Die scheinbare Größe der Sonne, genauer
der Winkelbereich, den sie von der Erde aus gesehen abdeckt, beträgt ca. 0,5°.
Aufgabe 47: (2 + 3 = 5 Punkte)
Eine Gasturbine verwendet als Arbeitssubstanz 1 Mol eines ein-atomaren idealen Gases und wird
näherungsweise durch folgende Prozess-Schritte beschrieben (Ericsson-Prozess):
Zunächst ist das Gas am Punkt 1 des p-V-Diagramms (siehe Skizze) mit Temperatur T1 und Druck p1. Bei
konstanter Temperatur T1 wird das Gas zunächst auf den Druck p2 = µ⋅p1 komprimiert. Dann wird es bei
konstantem Druck expandiert, wobei es sich auf die Temperatur T2 aufheizt. Eine Expansion bei konstanter
Temperatur bringt es dann wieder auf den Druck p1. Schließlich wird das Gas bei konstantem Druck
komprimiert und gelangt wieder zum Ausgangspunkt.
a) Leiten Sie, ausgehend von der Definition dS = dQrev/T, Formeln für die Entropieänderung ∆S der
Arbeitssubstanz bei isobaren Zustandsänderungen her, die nur noch von T1 und T2 bzw. nur noch von
V1 und V2 abhängen (d.h. dem jeweiligen Anfangs- bzw. Endwert der entsprechenden Größe)!
b) Berechnen Sie die Entropieänderungen im Gas bei den einzelnen Prozess-Schritten als ausschließliche
Funktionen von T1, T2 und µ
! Verifizieren Sie dann, dass sich die Entropie des Gases nach einem
Zyklus unabhängig von der Wahl der drei Parameter nicht geändert hat.
p
p2
2
3
T1
p1
T2
1
4
V
Aufgabe 48: (1 + 1 + 1,5 +1,5 = 5 Punkte)
Jeweils 1 Mol dreier unterschiedlicher Gase A, B und C befinden sich bei Raumtemperatur zunächst in drei
unterschiedlichen wärmeisolierten Gefäßen GA, GB und GC mit gleichem Volumen V. Nun werden die
Gefäße miteinander verbunden. Betrachten Sie die Gase als ideal und unabhängig voneinander
(wechselwirkungsfrei).
a) Wie ändert sich die Temperatur, wenn sich die Gase durchmischen? Begründen Sie Ihre Antwort ohne
Rechnung.
b) Berechnen Sie mittels klassischer Thermodynamik (d.h. ohne Verwendung der statistischen EntropieDefinition) die Zunahme der Entropie durch die Durchmischung der Gase. (Die Gesamtentropie ergibt
sich als Summe der Entropien der Einzelgase.) Woher kommt die zusätzliche Entropie?
c) Berechnen Sie nun mit Hilfe der Formel S = kB ⋅ ln W (W: Zahl der Realisierungsmöglichkeiten des
makroskopischen thermodynamischen Zustands) die Zunahme der Entropie S, und zeigen Sie, dass
sich das gleiche Ergebnis wie in b) ergibt.
Hinweis: Betrachten Sie die Zahl der Möglichkeiten vor und nach dem Verbinden, die Gasatome auf die
Gefäße zu verteilen. Zählen Sie jede mögliche Verteilung als eine Realisierungsmöglichkeit,
unabhängig von der Verteilung der Gasatome innerhalb eines Gefäßes.
d) In c) haben Sie bei der Berechnung der Entropie nicht berücksichtigt, dass die Gasatome auch
innerhalb eines Gefäßes unterschiedlich verteilt sein können. Unterteilen Sie nun jedes Gefäß in
Gedanken in l identische Teilgefäße, und berechnen Sie dann die Entropie vor und nach dem
Verbinden der Gefäße. Zeigen Sie, dass sich unabhängig von l immer die gleiche Entropie-Zunahme
ergibt. Wie unterscheiden sich die Ergebnisse für die Entropie bei verschiedenem l (anschauliche
Begründung), und wieso ergibt sich für die Entropie-Änderung trotzdem immer der gleiche Wert?
Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist ab sofort bis zum 2.02.2012 möglich. Die Vorleistung ist
Voraussetzung, um sich danach zur Klausur anmelden zu können. Das gilt für Bachelor-Studiengänge, alle
anderen werden am Ende des Semesters von den Tutoren gemeldet.
Frohe Weihnachten
und einen
guten Rutsch ins neue Jahr!
45. Aufgabe: Astronomisches Fernrohr
(a) Der Strahlengang sieht in etwa so aus:
L1
L2
ε0
F
ε
AUGE
f2
f1
(b) Die Länge des Tubus ist gegeben durch:
d = f1 + f2
und die Vergrößerung durch:
γ=
f1
f2
Somit ist:
f1 = γf2 = d − f2 =⇒ f2 =
d
25
250
=
cm =⇒ f1 =
cm
γ+1
11
11
(c) Wenn sich das Okular um 1 cm verschieben lässt, darf auch das Zwischenbild in diesem
Bereich schwanken. Die Linsengleichung für den Fall, dass das Okular in der Ausgangsposition ist, ist
1
1 1
= +
f1
b g
und dann mit g = f1 folgt b = ∞. In der Ausgangsposition lässt sich also bis ins
Unendliche scharf stellen. Schiebt man jetzt das Okular im 1 cm nach hinten, so muss
das Zwischenbild auch um einen Centimeter nach hinten wandern und es wird:
1
1
1
=
+
f1
f1 + 1 b
73
Daraus folgt:
b = 5.8 m
ist der minimale Bildabstand. (Zusatz: schiebt man die Linse stattdessen weiter nach
vorne, ist die Linsengleichung nie erfüllt!).
(d) Wir fügen zwischen die beiden Linsen eine Umkehrlinse mit Brennweite f ein. Da wir
eine Vergrößerung von 1 haben müssen, ist die Vergrößerung des Abstandes 4f .
46. Aufgabe: Sonnenlicht in Spalt
Die Sonne ist eine Lichtquelle mit Ausdehnung. Vom Spalt aus haben die am weitesten
entfernten Strahlen den Winkel α = 0.5◦ . Wir betrachten jetzt die beiden Randstrahlen
als zwei Punktquellen (dazwischen gibt es jeden möglichen Strahl). Beide dieser Strahlen
(Strahl a unten und Strahl b oben) erzeugen ein Beugungsbild, dass der Beugung am Spalt
einer Punktquelle entspricht. Es ist gerade noch ein Minima zu unterscheiden, wenn das
Maxima des einen Strahles auf das Minimum des anderen Strahles fällt. Sei θ der Winkel
vom Strahl a zum 0. Minimum des Strahles a und β der Winkel vom Strahl b zum 1.
Maximum. Es muss dann gelten:
sin(β) =
2λ
d
sin(θ) =
λ
d
Damit das Minimum noch sichtbar ist, muss
θ ≤β−α
gelten und damit
d≤
λ
≈ 62 µm
α
47. Aufgabe: Ericsson-Prozess
(a) Es ist nach Definition
dQ
dU + pdV
=
T
T
Bei einem mol eines idealen Gases ist aber auch:
dS =
dU = CV dT
74
pV = RT
und damit:
dT
dV
+R
T
V
Dies können wir jetzt integrieren und erhalten:
dS = CV
∆S = CV ln
V2
T2
+ R ln
T1
V1
Nach der Beziehung oben ist aber bei konstantem Druck auch
V2
T1
=
T2
V1
und deshalb:
∆S = ln
T2
V2
(CV + R) = ln
(CV + R)
T1
V1
und die Beziehung CV = f R/2 macht daraus sogar noch:
5
T2
∆S = R ln
2
T1
(b) Wir betrachten die einzelnen Teilschritt:
1 auf 2: Hier ist T konstant und p2 = µp1 , weshalb auch V2 = µ−1 V1 sein muss.
Daraus folgt
T2
V2
∆S = CV ln
+ R ln
= −R ln µ
T1
V1
2 auf 3: Nach der Formel von oben ist dies
∆S = ln
T2
(CV + R)
T1
3 auf 4: Hier ist die Situation gleich zu 1 auf 2. Wieder ist
ln
T2
=0
T2
und damit
∆S = R ln
75
V3
V4
Diesmal vergrößert sich aber das Volumen, also
∆S = R ln µ
4 auf 1: Hier können wir wieder anwenden:
∆S = ln
T1
T2
(CV + R) = − ln (CV + R)
T2
T1
Insgesamt sieht man sofort, dass die Entropieänderung im ganzen Kreisprozess null ist
(sonst wäre es ja auch kein Kreisprozess!)
48. Aufgabe: Entropieänderung
(a) Die Temperatur ändert sich gar nicht (isobar). Wenn die Moleküle sich durschmischen
hat jedes Molekül noch genausoviele Möglichkeiten, sich mit einem anderen Molekül
zu stoßen, da zwar jetzt mehr Platz da ist (3 mal) aber auch mehr Moleküle da sind
(3 mal)
(b) Bei isothermer Prozessführung ist
dU = 0 =⇒ ∂Q = −∂W = pdV
Also
ZV2
∆Q =
RT
dV
= RT ln 3
V
V1
Damit ist die Entropiedifferenz eines Gases gegeben durch
∆S =
∆Q
= R ln 3
T
und die für alle drei Gase analog
∆Sges = 3R ln 3
(c) Jedes Gasmolekül hat vor der Verbindung genau eine Möglichkeit in einem der drei
Gefäße zu sein. Deshalb ist
S1 = 0
76
Nach der Verbindung hat jedes Molekül genau 3 Möglichkeiten. Bezeichne Ni die
Anzahl der Moleküle von Typ i, dann ist
Ni = NA
mit der Avogadrokonstante NA und es gibt dann
W = 3NA
3
Möglichkeiten insgesamt. Für die Entropie gilt dann
S2 = kB ln W = 3NA kB ln 3 = 3R ln 3
und damit für die Entropiedifferenz:
∆S = S2 − S1 = S2 = 3R ln 3
(d) Wir unterteilen jedes Gefäß in l Teilgefäße. Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten zu
Beginn für jedes Molekül genau l und damit die Gesamtzahl der Realisierungsmöglichkeiten
3
W = l NA
Die Entropie ist also
S1 = KN ln W = 3R ln l
Nach dem Verbinden hat jedes Molekül 3-mal so viele Möglichkeiten, also
3
W = (3l)NA
und damit
S2 = 3R ln(3l)
Als Entropiedifferenz erhält man also jetzt wieder
∆S = S2 − S1 = 3R(ln(3l) − ln(l)) = 3R ln
3l
l
= 3R ln 3
und damit wieder das selbe Ergebnis. Je mehr Teilgefäße wir schaffen, desto mehr
77
Entropie ergibt sich natürlich (weil es einfach mehr Realisierungsmöglichkeiten gibt).
Aber auch desto mehr Entrophie gibt es nach dem Zusammenschließen. Deshalb bleibt
die Entrophiedifferenz gleich.
78
11. Übung
79
Physik III (Optik und Thermodynamik)
11. Übungsblatt
WS 2011/2012
Ausgabe: 12.01.12, Besprechung 19.01.12
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 49: (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)
a) Mit einer Linse soll der Mond auf einen Schirm abgebildet werden (Bilddurchmesser 3 cm). Bestimmen
Sie die erforderliche Brennweite der Linse, sowie den Abstand zwischen Linse und Schirm.
b) Was ist ein Airy-Scheibchen und was ist das Rayleigh-Kriterium?
c) Welchen Durchmesser muss die Linse mindestens haben, damit auf dem Bild bei einer Lichtwellenlänge von λ = 550 nm noch Mondkrater mit einem Durchmesser von 4 km aufgelöst werden können?
6
8
Zahlenwerte: Monddurchmesser: 3,5⋅10 m, Abstand Erde-Mond: 3,8⋅10 m
Aufgabe 50: (2 Punkte)
Die plankonvexe Objektivlinse eines Mikroskops hat einen Krümmungsradius von r = 1cm, eine Brechzahl
von n = 1,5 und einen Durchmesser von d = 1 cm. Berechnen Sie für eine Wellenlänge von λ = 500 nm
den kleinstmöglichen Objektabstand, der gerade noch aufgelöst werden kann.
Aufgabe 51: (4 Punkte)
Erinnern Sie sich an Aufgabe 24 (5. Aufgabenblatt):
Je 10 g He, N2 und CH4 sind in 3 Kammern eines Gefäßes getrennt. In jeder Kammer herrscht ein Druck
von 1 bar. Die Temperatur der als ideal angenommenen Gase ist im Anfangszustand 300 K (He), 400 K
(N2) und 500 K (CH4). Das Gefäß ist gegen die Umgebung völlig isoliert. Dann werden die Ventile zwischen
den Kammern geöffnet. Es stellte sich eine Endtemperatur von 371 K ein.
a) Wie groß sind die Partialdrücke und welcher Enddruck ergibt sich?
b) Wie groß ist die Entropieänderung zwischen Anfangs- und Endzustand (Zahlenwert)?
Aufgabe 52: (4 Punkte)
Thermodynamische Potentiale:
a) Zeigen Sie unter Verwendung des 1. Hauptsatzes, dass für die Enthalpie
Vorlesung erwähnten Beziehungen
 ∂H
V = 
 ∂p
H := U + pV die in der

 ∂H 
und T = 
gelten!


 ∂S  p=const .
 S =const .
b) Formulieren Sie den 1. Hauptsatz der Thermodynamik unter Verwendung der Entropie für irreversible
Prozesse als Ungleichung! Verwenden Sie dann diese Ungleichung und die Definition der freien
Enthalpie, G = U + pV − TS , um zu zeigen, dass bei irreversiblen Prozessen mit konstantem Druck
und konstanter Temperatur G stets abnimmt. Im Gleichgewicht wird demnach die freie Enthalpie
minimal.
Aufgabe 53: (3 Punkte)
a) Prüfen Sie rechnerisch, ob die folgende chemische Reaktion - allein vom Standpunkt der chemischen
Potentiale aus gesehen - unter Normalbedingungen spontan ablaufen kann:
CaC2 + 2 H2O → Ca(OH)2 + C2H2
b) Die „Knallgas“-Reaktion 2 H2 + O2 → 2 H2O kann unter Normalbedingungen - vom Standpunkt der
chemischen Potentiale aus betrachtet - spontan ablaufen. Wie Sie vermutlich wissen, ist dies jedoch
nicht der Fall. Woran könnte das liegen?
Hinweise:
Chemische Potentiale µ unter Normalbedingungen: CaC2: -68 kJ/mol; H2O: -237 kJ/mol; Ca(OH)2: -897
kJ/mol; C2H2: +209 kJ/mol.
Vernachlässigen Sie den Einfluss der Mischungsentropie!
Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist ab sofort bis zum 2.02.2012 möglich. Die Vorleistung ist
Voraussetzung, um sich danach zur Klausur anmelden zu können. Das gilt für Bachelor-Studiengänge, alle
anderen werden am Ende des Semesters von den Tutoren gemeldet.
49. Aufgabe: Mondabbildung
(a) Nach der Linsengleichung muss
1
1 1
= +
f
b g
Da aber
1
g
so klein ist, ist dies näherungsweise
f =b
Die Gleichung für die Vergrößerung ist dann
b
B
=
g
G
und führt auf
f = b = 3.257 m
(b) Ein Airy-Scheibchen entsteht, wenn eine Punktlichtquelle an einer Kreisblende gebeugt
wird. Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass zwei Punkte genau dann noch zu unterscheiden sind, wenn Maxima und Minima der zwei Airy-Scheibchen gerade aufeinander
fallen. Dies ist der Fall wenn
λ
δ > 1.22
D
(c) Wie im letzten Übungsblatt überprüfen wir wieder das Rayleigh-Kriterium. Diesmal
jedoch für Airy-Scheibchen. Es muss also gelten
αmin = 1.22
λ
D
Außerdem folgt aus der Geometrie der Aufgabenstellung:
tan
α
2
=
2 km
=⇒ α = 0.0000105263
ME
Und damit
Dmin = 0.063745 m
82
50. Aufgabe: Mikroskoplinse und Auflösung
Nach der Formel
1
= (n − 1)
f
1
1
+
r ∞
ist
f = 2 cm
Für das Mikroskop lautet das Rayleigh-Kriterium:
∆xmin = 1.22
λf
= 1.22 · 10−6 m = 1.22 µm
D
51. Aufgabe: Vermischung dreier Gase
(a) Es ist
n=
m
M
und damit
nHe = 2.5 mol
nN2 = 0.36 mol
nCH4 = 0.63 mol
An Anfang ist für jedes Gas i
p0 Vi = ni RTi
und am Schluss:
pI Vges = nI RTend
Man erhält aus der ersten Gleichung:
Vges = V1 + V2 + V3 = 1205.3 ·
R
p0
und aus der zweiten Gleichung dann:
pHe = 0.77p0
pN2 = 0.11p0
pCH4 = 0.19p0
und damit der Gesamtdruck
pges = 1.07p0
(b) Es ist
dS = dQ/T =
f
dT
dV
dU + pdV
= nR
+ nR
T
2
T
V
83
Insgesamt ist also die Gesamtentropieänderung eines Gases i gegeben durch
∆Si =
f
Tend
Vg
nR ln
+ nR ln
2
Ti
Vi
und der Gesamtwert:
∆S = 24.67 J/K
52. Aufgabe: Thermodynamische Potentiale
(a) Es ist
dU = T dS − pdV
Betrachten wir jetzt also
H(S, p) = U (S, V ) + pV
So ist offensichtlich
dH = dU(S, V) + dpV + pdV = T dS − pdV + pdV + V dp = T dS + V dp
Andererseits folgt aber auch aus der Definition des totalen Differenzials:
dH =
∂H
∂S
dS +
p=const.
∂H
∂p
dp
S=const.
Vergleih der beiden Formeln bringt das gewünschte Ergebnis.
(b) Es ist nach dem 1. Hauptsatz:
dU = dQ + dW = T dS − pdV
da Druck und Temperatur konstant sind. Bei irreversiblen Prozessen ist die innere
Energie aber kleiner als sie nach dem reversiblen Prozess sein sollte, also auch
dU < T dS − pdV
Also ist
dG = dU + pdV + V dp − T dS − SdT < V dp − SdT = 0
Damit fällt G monoton, bis im Gleichgewicht die minimale freie Enthalpie erreicht ist.
84
53. Aufgabe: Chemische Potentiale
(a) Es ist für die Produkte
X
ni µi = −542
und für die Edukte
−688
Damit läuft die Reaktion freiwillig ab, da
∆G = ∆H < 0
ist.
(b) Die Reaktion könnte zwar ablaufen (∆G < 0), aber es ist Anfangsenergie nötig, um
die Reaktion zum Laufen zu bekommen.
85
12. Übung
86
Physik III (Optik und Thermodynamik)
12. Übungsblatt
Ausgabe: 19.01.12, Besprechung 26.01.12
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 54: (1 + 2 + 1 = 4 Punkte)
a) Warum ist ein Gitter viel besser für die spektrale Zerlegung und Analyse von Licht geeignet als ein
Einfach- oder Doppelspalt?
b) Leiten Sie die allgemeine Bedingung für das Auftreten von Beugungs-Hauptmaxima bei einem
Reflexionsgitter (geblaztes Gitter) in Abhängigkeit vom Einfallswinkel θ1, Ausfallswinkel θ2 und der
Wellenlänge λ her. Die Winkel werden zur Gitternormalen gemessen. Betrachten Sie erst θ1 = 0 und
dann einen beliebigen Einfallswinkel.
c) Ein typisches Reflexionsgitter hat 1200 Spalte/mm. Bis zu welcher Maximalwellenlänge λmax kann man
dieses Gitter für die Spektralanalyse bei geeigneter Anordnung verwenden? Welcher Ein- bzw. Ausfallwinkel liegt dann vor?
Aufgabe 55: (4 Punkte)
2
Nach Öffnen eines schnellen Verschlusses zum Zeitpunkt t = 0 wird eine Kathode (A = 1 cm ) mit gefil2
tertem Sonnenlicht (λ = 500 nm, I = 18 W/m ) bestrahlt und emittiert daraufhin Elektronen (Photoeffekt).
Betrachtet man das Licht als kontinuierliche Welle und seine Absorption durch ein „Atom“ als einen rein
klassischen Vorgang, dann benötigt ein Atom der Kathode eine gewisse Zeit ∆t bis es genug Energie EA
zur Ablösung eines Elektrons absorbiert hat (EA = 2,48 eV). Berechnen Sie ∆t unter der Annahme, dass
2
der Absorptionsquerschnitt eines Atoms σ = 0,1 nm ist. Der Absorptionsquerschnitt entspricht der mittleren Fläche, die das auftreffende Licht vollständig absorbiert.
Im Teilchenbild entspricht das Licht dagegen einem unregelmäßigen Fluss von Photonen etwa gleicher
Energie EP = hν = hc/λ. Von wie vielen Photonen wird ein Atom im Mittel pro Sekunde getroffen, d.h. wie
oft wird ein Photon von dem Atom absorbiert?
Wie unterscheiden Sich die Ergebnisse der beiden Bilder bzgl. der Elektronenemission nach dem Öffnen
des Verschlusses, wenn die Absorption aller Oberflächenatome der Kathode berücksichtigt wird (es sind
14
2
10 Atome/cm )?
Aufgabe 56: (2 + 1 + 1 + 1 = 5 Punkte)
Wasser wird mit einem Tauchsieder (700 W) von 27°C auf 77°C erwärmt. Der Vorgang dauert 10 Minuten.
Man beobachtet, dass die Temperatur dabei linear mit der Zeit wächst.
a) Um welchen Betrag hat sich die Entropie des Wassers erhöht?
b) Zur Berechnung von a) sollten Sie eine Integration verwendet haben. Lohnt sich das? Berechnen
Sie alternativ die Entropie, indem Sie für die Temperatur den konstanten Mittelwert annehmen.
Vergleichen Sie mit a). Welche Fehler könnte die Messung noch enthalten?
c) Was bedeutet die angenommene zeitlich lineare Temperaturzunahme des Wassers für die
Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität?
d) Die Formel, die Sie in a) hergeleitet haben, gilt analog auch für Eis. Sie versagt aber dennoch für
sehr tiefe Temperaturen. Woran könnte das liegen?
Aufgabe 57: (1 + 3 + 1 = 5 Punkte)
Das Verhalten eines realen Gases lässt sich in vielen Fällen durch die Zustandsgleichung von van der
Waals beschreiben. Sie lautet für 1 Mol eines Gases:
a 

 p + 2  ⋅ (V − b ) = RT
V 

Das zugehörige p-V-Diagramm weist für die Temperatur T = Tc einen sogenannten kritischen Punkt auf, der
durch
 ∂p 
=0


 ∂V T =Tc
und
 ∂2 p 
 2 
= 0 definiert ist.
 ∂V T =Tc
a) Welche physikalische Bedeutung hat die kritische Temperatur Tc?
b) Leiten Sie Ausdrücke für Vc, Tc und pc her, die nur noch von a und b abhängen! Wie Sie sehen
sollten, steigt Tc mit zunehmendem a und sinkt mit zunehmendem b. Versuchen Sie dies aufgrund der
anschaulichen Bedeutung von a und b plausibel zu machen.
c) Zeigen Sie, dass man die van-der-Waals-Gleichung durch Einführen der neuen Variablen
pˆ = p / pc ,
Vˆ = V / Vc und Tˆ = T / Tc in eine von a und b unabhängige universelle Form für alle Gase bringen
kann!
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
54. Aufgabe: Spektralanalyse an einem Gitter
(a) Weil ein Gitter viel schärfere Maxima aufweist.
(b) TODO: Bild Der Gangunterschied ist dann
∆ = |CA0 − BA0 | = g| sin θ1 − sin θ2 |
(c) Die Gitterkonstante wäre dann
g = 8.33 · 10−7 m
Man setzt k = 1 aufgrund des ersten Hauptmaxima. Außerdem ist
λ = g(sin θ1 − sin θ2 )
Dies wird dann Maximal, wenn der Einfallswinkel 90◦ ist (also der Ausfallswinkel
gerade -90).
55. Aufgabe: Photoeffekt
(a) Die Energie, die pro Zeiteinheit ∆t auf das Atom trifft, ist also
E = Iσ∆t
Die Zeit, bis ein Elektron abgelöst werden kann wäre dann:
∆t =
EA
= 0.22 s
Iσ
(b) Es ist
hc
= 2479283 meV ≈ 2.48 eV
λ
Da pro Zeiteinheit die Energie Iσ auf das Atom trifft, ist die Anzahl der Photonen
also:
Iσ
n=
= 4.5
Ep
Ep =
89
56. Aufgabe: Tauchsieder
(a) Es ist:
∆Q = cm∆T = tP
Also
Z
∆S =
Z
dS =
dQ
=
T
Z
=⇒
dT
tP
cm
=
ln
T
∆T
cm =
TE
Ta
tP
∆T
= 1294.26
J
K
(b) Hier ist also:
tP
tP
J
=
= 1291.72
325.15 K
K
T
und damit sehr nah am vorigen Ergebnis. Das Problem ist, dass aus einer konstanten
Temperaturzunahme nicht eine konstante Entropiezunahme folgt.
∆S ≈
(c) Die Wärmekapazität ist temperaturunabhängig.
(d) Die Wärmekapazität ist temperaturabhängig.
57. Aufgabe: Van-der-Waals-Gleichungen
(a) Dort hat das p − V -Diagramm einen Wendepunkt, also ist der Phasenunterschied
zwischen Gas und Flüssigkeit nichtmehr auszumachen - es kommt zu einer Koexistenz
beider Phasen.
(b) Es ist:
a
RT
+ 2
V −b V
aus der Van-der-Waals-Zustandsgleichung und dann:
p=
∂p
RT
2a
=−
+ 3 =0
2
∂V
(V − b)
V
∂ 2p
2RT
6a
=
− 4 =0
2
3
∂V
(V − b)
V
Teilt man jetzt die beiden Gleichungen nach dem Umstellen durcheinander, so erhält
man:
2
3
=
=⇒ VC = 3b
V −b
V
Setzen wir dies in die erste Gleichung ein, so erhalten wir:
TC =
90
8a
27Rb
und schließlich in die Gleichung für p:
pC =
a
27b2
Wird jetzt a größer, so steigt der Binnendruck und damit die Wechselwirkungskräfte
zwischen den Molekülen. Somit wird die zu überwindende potentielle Energie größer
=⇒ es ist eine höhere Temperatur erforderlich, um diese Schwelle zu erreichen. Steigt
hingegen b an, so haben die Moleküle weniger ”Platz” und einen höheren Wechselwirkungsquerschnitt. Somit führt eine Erhöhung der Temperatur schneller zu einer
Überwindung der potentiellen Energie. TC sinkt.
(c) Wir setzen einfach ein:
p=
und erhalten:
und schließlich:
a
p̂
27b2
V = 3bV̂
a
1 a
+
p̂
2
2
27 b
V̂ 9b2
T =
8a
T̂
27Rb
· 3bV̂ − b = 0
3
· 3V̂ − 1 = 0
p̂ +
V̂ 2
91
13. Übung
92
Physik III (Optik und Thermodynamik)
13. Übungsblatt
Ausgabe: 26.01.12, Besprechung 2.02.12
WS 2011/2012
U. Nienhaus / G. Fischer
Aufgabe 58: (2 Punkte)
Wenn Licht der Wellenlänge λ = 550 nm auf die Netzhaut eines menschlichen Auges fällt, wird es noch
-18
wahrgenommen, wenn die Leistung P = 1,8⋅10 W beträgt. Wie vielen Photonen pro Sekunde entspricht
diese Leistung?
Aufgabe 59: (3 + 1 = 4 Punkte)
Ein Photon der Wellenlänge λ1 = 0,2 nm stößt mit einem ruhenden, freien Elektron. Das Photon wird um
180° gestreut und besitzt nach der Streuung die Wellenlänge λ2. (Rechnen Sie nicht relativistisch.)
a) Berechnen Sie den Impuls p2 des Elektrons und seine kinetische Energie W2 nach dem Stoß.
b) Wie groß ist die Wellenlänge λ2 des Photons nach dem Stoß?
-31
Zahlenwerte: me = 9,1⋅10
-34
kg, h = 6,6262⋅10
Js
Aufgabe 60: (2,5 + 2,5 = 5 Punkte)
Eine sehr große, kugelförmige Raumstation mit dem Radius R soll auf einer festen Position zwischen Erde
und Mond installiert werden. Die Oberfläche der Station soll ähnlich wie die der Erde 30% der einfallenden
Sonnenstrahlung reflektieren und sei aufgrund der Rotation gleichmäßig temperiert. Zeigen Sie, dass sich
im Gleichgewicht mit der Sonnenstrahlung die Oberflächentemperatur der Station zu etwa T0 = -17°C
einstellt.
In einem zweiten Schritt soll die Station mit einer künstlichen Atmosphäre versehen werden, welche durch
eine sphärische Glashülle geschützt wird. Die Atmosphäre sei mit der Station im Temperaturgleichgewicht
(bis zum inneren Rand der Glashülle), ihre Höhe im Vergleich zu R vernachlässigbar klein. Das Glas der
Hülle ist für das Sonnenlicht transparent, für die Temperaturstrahlung der Station dagegen völlig undurchlässig. Welche Dicke d muss für die Glashülle gewählt werden, damit die Temperatur der Station angenehme T1 = 20°C annimmt?
Hinweis: Betrachten Sie die Bilanz der Strahlungs- und Wärmeflüsse.
6
Zahlenwerte: Temperatur der Sonne Ts = 5800 K, Sonnenradius Rs = 695,3⋅10 m, Abstand Sonne-Erde
9
(≈ Abstand Sonne-Station) D = 149,6⋅10 m, Wärmeleitfähigkeit des Glases κ = 0,5 W/(K⋅m), Stefan-8
2 4
Boltzmann-Konstante σ = 5,67⋅10 W/(m ⋅K )
Aufgabe 61: (2 + 1 = 3 Punkte)
a) Berechnen Sie den Druck, die Temperatur und die Dichte von Wasser am kritischen Punkt.
Verwenden Sie dazu die Formeln, die sie aus der van der Waals-Gleichung in Aufgabe 57
4
2
-5
3
hergeleitet haben, und die Zahlenwerte a = 0,559 Nm /mol und b = 3,08⋅10 m /mol.
3
b) Bei einer Temperatur von 374°C und einer Dichte von ρ = 0,195 g/cm erreicht Wasser den
kritischen Druck von pkrit = 218 bar. Wie groß wäre der Druck, wenn sich Wasser wie ein ideales
Gas verhalten würde?
Zahlenwerte: R = 8,3 J/(mol⋅K), mH = 1 g/mol, mO = 16 g/mol
Aufgabe 62: (1 + 1 + 2 = 4 Punkte)
Der Dampfdruck p von Wasser wird durch p(T) = p0 ⋅ exp(-QV/RT) beschrieben, wobei die
6
Verdampfungswärme von Wasser QV = 2,25⋅10 Ws/kg beträgt.
a) Bestimmen Sie den Zahlenwert von p0.
b) In einem Dampfkochtopf wird gemäß der Gebrauchsanweisung die ganze Luft durch Wasserdampf
verdrängt und dann erst der Topf verschlossen. Welche Temperatur Tx herrscht im Topf bei einem
Überdruck von 1 bar?
c) Wie groß ist der Überdruck bei der Temperatur Tx, wenn der Dampfkochtopf bereits bei Zimmertemperatur T0 = 293 K fest verschlossen und dann erwärmt wurde? Der Partialdruck von Luft kann
dafür aus der idealen Gasgleichung entnommen werden.
Die Anmeldung zur Vorleistung in QISPOS ist nur noch bis zum 2.02.2012 möglich!
Die Anmeldung zur Klausur wird ab dem 7.02.2012 möglich sein. Bitte beachten Sie dazu das
Merkblatt zur Klausur im ILIAS und als Aushang im Foyer des Physikhochhauses.
58. Aufgabe: Photonen auf Netzhaut
N=
E
P · 1s
=
≈ 4.984
Ep
h λc
59. Aufgabe: Falsche Compton-Strahlung
Vor dem Stoß Hat das Photon
Ep =
hc
λ1
pp =
h
λ1
und das Elektron
Ee = 0
pe = 0
Nach dem Stoß Hat das Photon
Ep0 =
und das Elektron
hc
λ2
p0p = −
1
Ee0 = me v 2
2
h
λ2
p0e = me v
Nun gilt Impuls- und Energieerhaltung und damit folgt:
hc
hc 1 2
=
+ mv
λ1
λ2 2
h
h
= − + me v
λ1
λ2
Umgestellt und eingesetzt erhalten wir
r
v1/2 = −c ±
c2 +
4hc
mλ1
Man erhält dann
pe = 6.55 · 10−24 kg m/s
We = 2.36 · 10−12 J = 147.3 eV
und für die neue Wellenlänge
λ2 = 0.2049 nm
95
60. Aufgabe: Raumstation
Wir betrachten einerseits die reflektierte Strahlung (30 %) und die Wärmestrahlung der
Station. Die Leistung der Sonne ist
PS = σAT 4
Die Raumstation bekommt davon jedoch nur einen Bruchteil ab, der gegeben ist aus dem
Verhältnis dem Raumwinkel (oder der Fläche der ganzen Sonnenstrahlung gegenüber der
Raumstation), also
πR2
PRS = σ4πRS2 TS4
4πD2
mit RS dem Sonnenradius, D dem Abstand Sonne-Raumstation und und R dem Radius
der Raumstation. Die Raumstation strahlt die Leistung
PR = σ4πR2 T 4
ab. Deshalb muss im Strahlungsgleichgewicht gelten:
0.7PRS = PR =⇒ T ≈ −17◦
Betrachten wir jetzt eine Glaskuppel um die Raumstation, so hat diese Außen wieder -17
Grad un innen soll sie 20 Grad haben. Die Schicht ist d dick und hat den Wärmeleitungskoeffizienten κ. Also muss
κ
4πR2
(T1 − T0 ) = σ4πR2 T04 =⇒ d = 7.6 cm
d
mit
T0 = −17◦
T1 = 20◦
Im Strahlungsgleichgewicht gilt also
61. Aufgabe: Kritischer Druck
(a) Wir hatten in der letzten Aufgabe schon die Formeln berechnet. Wir setzen ein und
erhalten:
pk = 218 bar
Tk = 374◦
Vk = 9.24 · 10−5 m3 /mol
96
Die Dichte ist dann
ρk = 194 kg/m3
(b) Beim idealen Gas wäre der Druck
pk = 582 bar
also vollkommen falsch :-)
62. Aufgabe: Dampfkochtopf
(a) Achtung: Verwende hier mit mH2 0 = 18
Qv = 2.25
g
mol
kJ
kJ
= 40.5
g
mol
Es ergibt sich dann
p0 = 4.75 · 1010 Pa
(b)
p(Tx ) = 2 · 105 Pa =⇒ Tx = 393.5 K = 120.5 C
(c) Es ist der Gesamtdruck gegeben durch
pg = pL + pW
Der Partialdruck der Luft folgt aus der idealen Gasgleichung zu
pL = pL (T0 )
TX
= 1.345 bar
T0
Der Partialdruck des Wasserdampfes ergibt sich (wie in der Aufgabe vorher) wieder
mit 2 bar. Also insgesamt
pg = 3.345 bar
97
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