II Newtonsche Mechanik - Spektrum der Wissenschaft

II
Newtonsche Mechanik
16
Die Newtonschen Axiome
In der Newtonschen oder klassischen Mechanik stehen drei Axiome an der Spitze,
die nicht unabhängig voneinander sind:
1. das Trägheitsgesetz,
2. die dynamische Grundgleichung,
3. das Wechselwirkungsgesetz,
und als Zusatz die Unabhängigkeitssätze zur Überlagerung von Kräften und Bewegungen.
Voraussetzungen der Newtonschen Mechanik sind:
1. Die absolute Zeit; das bedeutet, daß die Zeit in allen Koordinatensystemen
gleich ist, d. h. invariant ist: t = t . Man kann in allen Koordinatensystemen
feststellen, ob ein Ergebnis gleichzeitig ist, weil man sich in der klassischen
Physik vorstellen kann, daß Signale mit unendlich großer Geschwindigkeit
ausgetauscht werden.
2. Der absolute Raum; das bedeutet, daß es ein absolut ruhendes Koordinatensystem gibt, das den ganzen Raum aufspannt. Dieser absolute Raum kann durch
den Weltäther repräsentiert gedacht werden, welcher absolut ruhen soll und
gewissermaßen den absoluten Raum verkörpert. Newton selbst hat an den Äther
nicht geglaubt; er konnte sich den absoluten Raum auch leer vorstellen. In
jüngster Zeit wurde die 2.7 Kelvin-Strahlung beobachtet. Sie stammt aus dem
Urknall, in dem unser Universum wahrscheinlich entstanden ist. Ein Koordinatensystem, in dem diese Strahlung isotrop, d. h. in allen Richtungen gleich stark
ist, könnte ebenfalls als ein solch absolutes Koordinatensystem dienen.
3. Die von der Geschwindigkeit unabhängige Masse.
4. Die Masse eines abgeschlossenen Systems von Körpern (oder Massenpunkten)
ist von den sich in diesem System abspielenden Prozessen, gleich welcher Art
diese sein mögen, unabhängig.
Die absolute Zeit und der absolute Raum, sowie auch die von der Geschwindigkeit unabhängige Masse gehen in der speziellen Relativitätstheorie verloren. Die
4. Voraussetzung schließlich ist in hochenergetischen Prozessen wie p + p →
p + p + π + + π − nicht mehr erfüllt. Hier werden neue Massen erzeugt.
Newton hat seine Axiome im wesentlichen wie folgt formuliert:
Lex prima: Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen
geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird,
seinen Zustand zu ändern.
Newton, I.
(1643–1727)
→ S. 122
122
II Newtonsche Mechanik
Lex secunda: Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden
Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach
welcher jene Kraft wirkt.
Lex tertia: Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen
zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Lex quarta: Zusatz zu den Bewegungsgesetzen: Regel vom Parallelogramm der
Kräfte, d. h. Kräfte addieren sich wie Vektoren. Damit wird das Superpositionsprinzip der Kraftwirkungen festgelegt (das Prinzip der ungestörten Überlagerung).
Da im folgenden nur Punktmechanik betrieben werden soll, muß die Modellvorstellung des Massenpunktes eingeführt werden. Man sieht hierbei von Form, Größe
und Drehbewegungen eines Körpers ab und betrachtet nur seine fortschreitende
Bewegung. Dann lauten die Newtonschen Axiome in moderner Form:
Axiom 1: Jeder Massenpunkt verharrt im Zustand der Ruhe oder der geradlinig
gleichförmigen Bewegung, bis dieser Zustand durch das Einwirken anderer Kräfte
I SAAK N EWTON
Isaak Newton, geb. 4.1.1643 Woolsthorpe (Lincolnshire), gest. 31.3.1727 London. – Newton studierte
seit 1660 am Trinity-College in Cambridge, bes. bei dem bedeutenden Mathematiker und Theologen
L. Barrow. Nach Erwerb verschiedener akadem. Grade und einer Reihe wesentl. Entdeckungen wurde
Newton 1669 Nachfolger seines Lehrers in Cambridge, war seit 1672 Mitglied der Royal Society und
seit 1703 ihr Präsident. 1688/1705 war er auch Parlamentsmitglied, seit 1696 Aufseher und seit 1701
Münzmeister der köngliche Münze. – Newtons Lebenswerk umfaßt neben theologischen, alchemistischen
und chronologisch-historischen Schriften vor allem Arbeiten zur Optik und zur reinen und angewandten
Mathematik. In seinen optischen Untersuchungen stellt er das Licht als Strom von Korpuskeln dar und
deutet damit das Spektrum und die Zusammensetzung des Lichtes sowie die N.schen Farbenringe, Beugungserscheinungen und die Doppelbrechung. Sein Hauptwerk „Philosophiae naturalis principia mathematica“ (Druck 1687) ist grundlegend für die Entwicklung der exakten Wissenschaften. Es enthält z. B. die
Definition der wichtigsten Grundbegriffe der Physik, die drei Axiome der Mechanik markoskop. Körper,
z. B. das Prinzip der „actio et reactio“, das Gravitationsgesetz, die Ableitung der Keplerschen Gesetze und
die erste Veröffentlichung über Fluxionsrechnung. Auch Überlegungen zur Potentialtheorie und über die
Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten stellte Newton an. Die Ideen für das große Werk stammten
vorwiegend aus den Jahren 1665/66, als Newton vor der Pest aus Cambridge geflohen war:
In der Mathematik befaßte sich Newton mit der Reihenlehre, z. B. 1669 mit der binomischen Reihe, mit
der Interpolationstheorie, mit Näherungsverfahren und mit der Klassifizierung kubischer Kurven und der
Kegelschnitte. Logische Schwierigkeiten konnte Newton allerdings auch mit seiner 1704 ausführlich dargestellten Fluxionsrechnung nicht überwinden. – Sein Einfluß auf die Weiterentwicklung der mathematischen
Wissenschaften ist schwer zu beurteilen, da Newton außerordentlich ungern publizierte. Als Newton z. B.
seine Fluxionsrechnung allgemein bekannt machte, war seine Art der Behandlung von Problemen der
Analysis gegenüber dem Kalkül von Leibniz bereits veraltet. Bis ins 20. Jh. zog sich der Streit hin, ob ihm
oder Leibniz die Priorität für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung gebührte. Detailuntersuchungen
haben gezeigt, daß jeder auf diesem Gebiet unabhängig vom anderen zu seinen Ergebnissen kam.
16 Die Newtonschen Axiome
(d. h. durch Übertragung von Kräften) beendet wird. Es handelt sich also um einen
Spezialfall des zweiten Axioms. Wenn nämlich
−−−→
F = 0,
so ist also
m · v = const.
Wegen der vorausgesetzten Geschwindigkeitsunabhängigkeit der Masse gilt also:
−−−→
v = const.
Bezeichnet man die „Bewegungsgröße“ p = m·v als den linearen Impuls des Massenpunktes, so ist das Trägheitsgesetz identisch mit dem Satz von der Erhaltung
des linearen Impulses.
Axiom 2: Die erste zeitliche Ableitung des linearen Impulses p eines MassenpunkF:
tes ist gleich der auf ihn einwirkenden Kraft v)
p
d
d(m
·
F =
=
,
dt
dt
wobei
p = mv
der lineare Impuls ist.
Da die Masse im allgemeinen eine geschwindigkeitsabhängige Größe ist, also auch
zeitabhängig ist, darf sie nicht ohne weiteres vor die Klammer gezogen werden. In
der nichtrelativistischen, Newtonschen Mechanik (v c; c = 3 · 108 m · s−1 ) wird
m jedoch als unabhängig von der Zeit behandelt und man erhält so die dynamische
Grundgleichung:
2
F = m dv = m d r = ma.
dt
dt 2
Das heißt, die Beschleunigung a eines Massenpunktes ist der auf ihn wirkenden
Kraft direkt proportional und fällt mit der Richtung der Kraft zusammen.
Wirken gleichzeitig mehrere Kräfte auf einen Massenpunkt, so lautet die obige
Beziehung gemäß dem Superpositionsprinzip der Kräfte
n
dp
Fi .
= ∑
dt
i=1
Axiom 3: Die von zwei Massenpunkten aufeinander ausgeübten Kräfte haben
gleiche Beträge und entgegengesetzte Richtung; Kraft = – Gegenkraft:
Fi j = −Fji ,
wobei i = j.
Fi j ist hier die Kraft, die vom j-ten Punkt auf den i-ten Punkt ausgeübt wird. Fji
die, die vom i-ten auf den j-ten Punkt ausgeübt wird.
F = d(mv)/ dt ist zum einen Definition der Kraft,
Bemerkung: Die Beziehung zum anderen Gesetz. Das Gesetzliche daran ist, daß z. B. die erste zeitliche
Ableitung des linearen Impulses vorkommt und nicht die dritte oder vierte oder
dgl. Da die Kraft die Ableitung eines Vektors nach einem Skalar (der Zeit) ist,
ist sie selbst ein Vektor. Es gilt also für die Addition von Kräften z. B. das
Parallelogrammgesetz.
123
124
II Newtonsche Mechanik
Einfache Seilrolle
Aufgabe 16.1
e
T
T
W1
Ein Gewicht W1 = M1 g hängt an einem Seilende. Hier ist
g = 980 cm/s2 die Erdbeschleunigung. Am anderen Ende des
Seils, welches über eine Rolle hängt, zieht sich ein Junge mit
dem Gewicht W2 = M2 g hoch. Seine Beschleunigung relativ
zur festverankerten Rolle sei a. Mit welcher Beschleunigung
bewegt sich das Gewicht W1 ?
W2
Ein Junge und ein Gewicht
hängen am Ende des Seils.
Lösung:
Sei b die Beschleunigung von W1 und T die Seilspannung, dann lauten die Newtonschen
Bewegungsgleichungen
a) für die Masse M2 (Mensch):
−M2 · ae = M2 ge − T e ,
b) für die Masse M1 (Gewicht W1 ):
M1 be = M1 ge − T e .
(1)
(2)
Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (T, b). Ihre Lösung kann sofort angegeben werden:
T = M2 (a + g),
T
M
b =g−
= g − 2 (a + g)
M1
M1
M
= g − 2 (a + g)
M1
(M1 − M2 )g − M2 a
.
=
M1
Aufgabe 16.1
(3)
(4)
Wenn M1 = M2 ist, folgt b = −a, wie es sein sollte. Andererseits, wenn a = 0, folgt
b = (M1 − M2 )/M1 · g, und verschwindet erwartungsgemäß für den Fall M1 = M2 .
Doppelte Seilrolle
Aufgabe 16.2
An einem Seil über einer Rolle A hängt an einem Ende die Masse M1 (vgl. Figur). Am
anderen Ende hängt eine zweite Rolle mit der Masse M2 , über der wiederum ein Seil mit den
Massen m1 bzw. m2 an dessen beiden Enden hängt. Auf alle Massen wirkt die Schwerkraft.
Berechnen Sie die Beschleunigung der Massen m1 und m2 , sowie die Spannungen T1 und
T in den Seilen.
16 Die Newtonschen Axiome
125
Aufgabe 16.2 Lösung:
Wie führen den Einheitsvektor e⊥ nach oben ein (siehe Figur)
T1 = T1e (siehe
und nennen die Fadenspannungen T = Te bzw. Figur). An den einzelnen Massen greifen also sowohl die Fadenspannung (das ist die Kraft im Seil) als auch die Schwerkraft
an. Wir schreiben nun nach dem Newtonschen Grundgesetz
die Bewegungsgleichungen für die einzelnen Massen der Reihe
nach auf.
M1 a1e
= −M1 ge + Te,
−M2 a1e
= −M2 ge + Te − 2T1e,
m1 (a2 − a1 )e
= −m1 ge + T1e,
m2 (−a2 − a1 )e = −m2 ge + T1e.
A
T
T
M1
M2
(1)
Dabei haben wir die Beschleunigung der Masse M1 mit a1e bezeichnet, die der Masse M2 ist dann (wegen konstanter Seillänge) −a1e; die Beschleunigung der Masse m1 relativ zur Masse
M2 ist a2e, die der Masse m2 ist −a2e. (1) stellt ein System
von 4 Gleichungen mit den vier Unbekannten a1 , a2 , T, T1 dar.
Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten ergibt
T1
m2
T1
m1
e
Massen und Kräfte an der doppelten
Seilrolle.
(M1 + M2 )a1 = −(M1 − M2 )g + 2T1 .
(2)
Die Addition der beiden letzten Gleichungen von (1) führt auf
−(m1 + m2 )a1 + (m1 − m2 )a2 = −(m1 + m2 )g + 2T1 .
(3)
Die Subtraktion von (3) von (2) liefert dann eine Beziehung zwischen a1 und a2 :
(M1 + M2 + m1 + m2 )a1 − (m1 − m2 )a2 = (−M1 + M2 + m1 + m2 )g.
(4)
Eine zweite Beziehung dieser Art wird durch Subtraktion der beiden letzten Gleichungen
(1) voneinander erhalten, nämlich
−(m1 − m2 )a1 + (m1 + m2 )a2 = −(m1 − m2 )g.
Aus Gleichungen (4) und (5) findet man nun die Beschleunigung a1 und a2 :
−M1 (m1 + m2 ) + M2 (m1 + m2 ) + 4m1 m2
g,
a1 =
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
−2M1 (m1 − m2 )
a2 =
g,
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
so daß die Gesamtbeschleunigung der Masse m1 sich zu
−M1 m1 + 3M1 m2 − M2 (m1 + m2 ) − 4m1 m2
a2 − a1 =
g
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
ergibt und die der Masse m2 :
−3M2 m2 + M2 m1 + M1 (m1 + m2 ) − 4m1 m2
(−a2 − a1 ) =
g.
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
Wären alle Massen gleich (M1 = M2 = m1 = m2 ), so wären
1
a2 = 0
a2 − a1 = − g,
2
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
126
II Newtonsche Mechanik
und
1
−a2 − a1 = − g,
2
a1 =
1
g,
2
(10)
wie man es erwarten würde. Die Fadenspannung T1 erhalten wir mit (6) aus Gleichung (2)
nach leichter Rechnung zu
1
1
(M + M2 )a1 + (M1 − M2 )g
2 1
2
4m1 m2 M1
=
g.
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
T1 =
(11)
Die Seilspannung T ergibt sich aus den ersten beiden Gleichungen (1) unter Benutzung von
(6) und (11) zu
(M1 + M2 )g
(M1 − M2 )a1
+
+ T1
2
2
= M1 a1 + M1 g = M1 (a1 + g)
2(m1 + m2 )M1 M2 + 8m1 m2 M1
=
g.
(m1 + m2 )(M1 + M2 ) + 4m1 m2
T=
(12)
Gemäß (11) verschwindet T1 , wenn eine der Massen m1 , m2 , M1 verschwindet. Das Seil
rollt in diesem Fall ohne Spannung ab, wie wir es anschaulich erwarten. Die Seilspannung
T verschwindet, wenn entweder M1 = 0 ist oder M2 und eine der Massen m1 oder m2 (oder
beide) verschwinden. Verschwinden m1 = m2 = m = 0 und ist M1 = 0, M2 = 0, so resultiert
ein Limes m → 0.
2M1 M2
g.
T =
M1 + M2
Das ist die Seilspannung im Fall der einfachen Rolle mit den beiden Massen M1 und M2 an
beiden Seilenden.
Aufgabe 16.2
17
Grundbegriffe der Mechanik
P
z
Inertialsysteme:
z’
r’
r
x’
0’
y’
’
r-r
R=
0
y
x
Der Punkt P in Bezug auf die beiden
Koordinatensysteme x , y, z und
x , y , z .
Wir suchen die Kräfte, die auf einen Massenpunkt P
wirken, in zwei relativ zueinander bewegten Koordinatensystemen x, y, z, und x , y , z für jeweils mitbewegte
Beobachter 0 bzw. 0 . r und r seien die Ortsvektoren
von P in x, y, z bzw. in x , y , z . Man erhält dann den
Ortsvektor von 0 nach 0 als Differenz r −r = R.
Es gilt nach der Newtonschen Grundgleichung:
2 2
F = m d r
2
dt
und
F = m d r .
2
dt
(17.1)
17 Grundbegriffe der Mechanik
127
Die Differenz der beobachteten Kräfte ist:
2
2
F − F = m d (r −r ) = m d R .
2
2
dt
(17.2)
dt
Wegen m = 0 ist diese Differenz dann und nur dann Null, wenn gilt:
d2R
= 0 bzw.
dt 2
dR −−−→
= const. = vR .
dt
(17.3)
Das bedeutet, die Kräfte sind dann gleich, wenn die beiden Koordinatensysteme
sich mit konstanter Geschwindigkeit vR relativ zueinander bewegen. Solche Systeme nennt man Inertialsysteme, wenn eines von ihnen – und damit alle – die
Newtonschen Axiome erfüllt. Die Tatsache, daß in solchen Inertialsystemen die
Newtonschen Gleichungen (17.1) der Form nach gleich und auch die Kräfte gleich
F =
F ) heißt klassisches Relativitätsprinzip.
sind (
Messung von Massen: Massen werden durch Vergleich
mit einer willkürlich festgesetzten Einheitsmasse gemessen. Hat man drei verschiedene Massen m1 , m2 und m3 ,
wobei m1 die Einheitsmasse ist, so läßt sich z. B. m3 ausgehend vom 2. und 3. Newtonschen Gesetz als der Quotient der Beschleunigungen experimentell bestimmen:
dv1
dv3
= −m3
,
m1 a1 = −m3 a3
dt
dt
Kraft = −Gegenkraft.
m1
a1
a3
m1
m3
Zentraler Stoß.
m1
m3
Wirkung der Kraft im
nichtzentralen Stoß.
Daraus folgt:
m3 = m1
|a1 |
,
|a3 |
wobei m1 die Einheitsmasse ist und a1 bzw. a3 bestimmt werden können. Man
kann also m3 in Einheiten von m1 messen. Beim Meßprozeß (Stoß) werden die
Grundgesetze (2. und 3. Newtonsche Gesetz) benutzt.
Entsprechend gilt dann auch
m2 = m1
|a1 |
.
|a2 |
(17.4)
F ruft eine Verschiebung eines Massenpunktes M um ein
Arbeit: Eine Kraft infinitesimal kleines Wegelement dr hervor und leistet die Arbeit dW , die wie
folgt definiert ist:
F · dr = |
F | | dr | cos(
F , dr).
dW = 128
II Newtonsche Mechanik
Die Einheit dieses Skalars ist also:
g · cm2
= 1 erg oder
s2
kg · m2
= 1 N · m ⇒ 1 erg =
10−7 N · m.
s2
kg · m
die Einheit der Kraft.
Hierbei ist 1 Newton (N) =
s2
Die gesamte Arbeit W , die zur Bewegung von M längs einer Kurve C zwischen den Punkten P1 und P2 notwendig
ist, ist durch folgendes Linienintegral gegeben:
P2
F
ϕ
M
C
dr
P1
Zur Erläuterung des
Arbeitsintegrals.
W=
F · dr =
P2
F · dr.
(17.5)
P1
C
Leistung ist verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit:
dW
dr =
= F · v.
F·
dt
dt
(17.6)
Die Einheit der Leistung ist g cm2 /s3 = erg/s oder kg · m2 /s3 = N · m/s .
Kinetische Energie: Um einen Massenpunkt zu beschleunigen und ihn auf eine
bestimmte Geschwindigkeit zu bringen, muß Arbeit verrichtet werden. Diese steckt
dann in Form von kinetischer Energie im Massenpunkt. Wir gehen also von dem
Integral der Arbeit aus:
r2
W=
F · dr =
r1
v2
m
t1
F · v dt
t1
t2
=
t2
dv
1 · v dt = m d(v · v)
dt
2
v1
1
= m(v22 − v12 ) = T2 − T1 ,
2
1
T = m v 2 = kinetische Energie.
2
(17.7)
Konservative Kräfte: Von einer konservativen Kraft spricht man dann, wenn das
F darstellbar ist als:
Kraftfeld F = − grad V (x, y, z)
(Definition).
(17.8)
17 Grundbegriffe der Mechanik
129
Ist das der Fall, so sind die Arbeitsintegrale wegunabhängig:
P2
P2
F · dr = −
P1
grad V · dr
P1
P2
=−
dV
(siehe totales Differential, Abschnitt 11)
P1
= V (P1 ) − V (P2 ) ≡ V1 − V2
= −(V2 − V1 ).
(17.9)
Es gilt also:
W = V1 − V2 wobei V ein Skalarfeld ist, das jedem Punkt des Raumes einen
Zahlenwert zuordnet. W ist somit wegunabhängig. Das bedeutet aber weiterhin,
daß bei Integration um eine geschlossene Kurve die Gesamtarbeit Null sein muß:
F · dr = 0
(17.10)
C
bei konservativen Kräften. Eine äquivalente Forderung für konservative Kräfte ist:
F = ∇ × F =0
rot (17.11)
bei konservativen Kräften. In der Tat folgt auch direkt aus (17.8)
rot grad V (r) = 0.
(17.12)
F = −∇V , dann wird die skalare Größe V (x, y, z) potentielle
Potential: Gilt Energie, skalares Potential oder kurz Potential genannt:
V (x, y, z) = −
(x,y, z)
F · dr .
(17.13)
(x0 , y0 , z0 )
Potentielle Energie
Beispiel 17.1
Berechnung der potentiellen Energie zwischen zwei Punkten:
P2
W=
P2
F · dr
P1
(x0 ,y0 , z0 )
P2
F · dr +
=
P1
F · dr.
(x0 , y0 , z0 )
Voraussetzung ist ein konservatives Kraftfeld und somit Wegunabhängigkeit des Arbeitsintegrals.
W =−
P1
(x0 , y0 , z0 )
F · dr +
P2
(x0 , y0 , z0 )
P1
x0y0z0
Zur Veranschaulichung der potentiellen Energie in den Punkten P1
und P2 .
F · dr = V (x1 y1 z1 ) − V (x2 y2 z2 ).
130
Beispiel 17.1
II Newtonsche Mechanik
Demnach handelt es sich bei der Arbeit um eine Potentialdifferenz, die von der Wahl des
Bezugspunktes unabhängig ist. Das Potential selbst ist immer relativ zu einem Bezugspunkt
(x0 , y0 , z0 ) definiert und daher um eine additive Konstante unbestimmt. Der Nullpunkt des
Potentials kann willkürlich festgelegt werden. Diese Willkür entspricht der (willkürlichen)
additiven Konstanten im Potential.
Energiesatz: Bei der Herleitung der kinetischen Energie fanden wir folgende
Beziehung für die Arbeit:
W = T2 − T1 .
Für konservative Felder gilt auch noch die andere Beziehung zwischen denselben
Punkten P1 und P2 :
W = V1 − V2 .
Daraus folgt
T2 + V2 = T1 + V1 .
(17.14)
Das ist der Energieerhaltungssatz (kurz: Energiesatz), wobei T + V = E die
Gesamtenergie des Massenpunktes repräsentiert.
Ausführlich geschrieben lautet der Erhaltungssatz der Energie:
P2
P1
1
1 2
F · dr = mv12 + − F · dr
mv2 + − 2
2
P0
(17.15)
P0
oder
1
1
mv22 + V2 = mv12 + V1
2
2
oder
E2 = E1 .
Die Voraussetzungen für diesen Energieerhaltungssatz für die Bewegung eines
Massenpunktes sind:
1. Die Grundannahmen und Grundgesetze der Newtonschen Mechanik (z. B.
nichtrelativistische Behandlung der Masse).
2. Konservative Kraftfelder, d. h. die Kräfte lassen sich als der negative Gradient
eines Potentials schreiben. Dann gilt in zeitlich konstanten Kraftfeldern: E =
T + V = const.
Äquivalenz von Kraftstoß und Impulsänderung: Wirkt auf einen Massenpunkt
während eines Zeitintervalls t = t2 − t1 eine Kraft, so nennt man das Zeitintegral
über diese Kraft einen Kraftstoß:
t2
t1
F (t) dt = Kraftstoß.
(17.16)
17 Grundbegriffe der Mechanik
131
Der Kraftstoß ist der Impulsänderung bzw. der Impulsdifferenz äquivalent. Das
sehen wir folgendermaßen:
Aus der Definition des linearen Impulses p = mv und aus der 2. Newtonschen
Grundgleichung folgt:
t1
F dt =
t2
t1
t2
d
(mv) dt = d(mv) = mv2 − mv1 = p2 − p1 . (17.17)
dt
t1
Eine wirkende Kraft hat also eine Impulsänderung zur
Folge, und zwar nur des Betrages, wenn F in Richtung
F in
von p1 liegt, bzw. von Betrag und Richtung, wenn beliebigem Winkel zu p1 steht.
F während der Zeit Δt, so ändert sich der
Wirkt die Ktaft Impuls um F Δt = p2 − p1 . Nach dem Stoß bewegt sich
die Masse geradlinig mit p2 weiter.
p1=mv1
m
m
F.
Δt
t2
p2=mv2
p1
p 2- p 1=F .Δt
Situation vor (oben) und nach
(unten) dem Kraftstoß.
Impulsstoß durch zeitabhängiges Kraftfeld
Aufgabe 17.1
Ein Teilchen mit der Masse m = 2 g bewegt sich in dem zeitabhängigen homogenen Kraftfeld:
2
F = 24 t , 3 t − 16, − 12 t dyn.
s
s2 s
cm
Hierbei ist 1 dyn = 1 g · 2 = 10−5 N und 1 N = 1 Newton =
s
m
1 kg · 2 .
s
Die Anfangsbedingungen sind:
F ( t 1)
F ( t 2)
Kraftfeld zu verschiedenen Zeiten t1
und t2 : überall im Raum gleich
(homogen), aber zeitlich veränderlich.
Es gilt also für eine feste Zeit t :
r(t=0) = r0 = (3, − 1, 4) cm
rot F (t ) = 0,
und
v(t=0) = v0 = (6, 15, − 8)
cm
.
s
weil F (t ) räumlich konstant ist. Es gibt
daher ein zeitabhängiges Potential.
Man gebe folgende Größen an:
1. Die kinetische Energie zur Zeit t = 1 s und t = 2 s.
2. Die vom Feld geleistete Arbeit, um das Teilchen von r1 = r(t=1 s) nach r2 = r(t=2 s) zu
bewegen.
3. Den linearen Impuls des Teilchens in r1 und r2 .
4. Den Impuls, den das Feld dem Teilchen im Zeitintervall t = 1 s bis t = 2 s erteilt hat.
132
II Newtonsche Mechanik
Lösung:
F = ma = m
1. v ergibt sich aus v =
dv =
F
m
dv
zu:
dt
dt + v0 .
Mit den Angaben der Aufgabe erhält man für v also:
3
t2
cm
cm
t 3 t2
t
+ (6, 15, − 8)
v(t) = 4 3 , 2 − 8 , − 3 2
s
s
s
s 4s
s
und
3
4
v(t=1 s) = 10, 7 , − 11
cm
,
s
cm
.
s
Daraus erhält man für die Energie:
v(t=2 s) = (38, 2, − 20)
1
1
mv 2 = m v 2 ,
2
2
T2 = 1848 erg.
T1 = 281 erg,
T =
2. Die vom Feld verrichtete Arbeit ist gleich der Differenz der kinetischen Energien:
W = T2 − T1 = 1567 erg.
3. Der Impuls des Teilchens ist p = mv :
cm
1
,
p1 = 20, 15 , − 22 g ·
2
s
cm
.
p2 = (76, 4, − 40) g ·
s
4. Der vom Feld erhaltene Impuls ergibt sich aus der Differenz der Impulse p2 und p1 :
cm
1
.
p = p2 − p1 = 56, − 11 , − 18 g ·
2
s
Aufgabe 17.1
Kraftstoß
Aufgabe 17.2
Ein Eisenbahnwaggon der Masse m = 18 000 kg startet auf einem Ablaufberg der Höhe
3 m. Wie ändert sich der Impuls des Waggons und welche mittlere Kraft wird auf ihn beim
Aufprall auf einen Prellbock am Fuß des Ablaufberges ausgeübt, wenn er innerhalb von
0,2 s
a) zum Stillstand kommt,
b) zurückprallt auf eine Höhe von 0,5 m?
Diskutieren Sie die Impulserhaltung.
17 Grundbegriffe der Mechanik
133
Lösung:
Beim Aufprall hat der Waggon einen Impuls p1 , der sich aus der potentiellen Energie beim
Start vom Ablaufberg ergibt:
1
m v12 = mgh
2
⇒
p1 = mv1 = m(2gh)1/2e1 .
Im Fall a) ist der Impuls p2 nach dem Aufprall gleich Null, also
Δp = p1 − p2 = m(2gh)1/2e1
= 138 096,5 m · kg · s−1 · e1 ;
die innerhalb Δt = 0,2 s wirkende mittlere Kraft ist dann:
F = Δp = 690 482,4 N.
Δt
Im Fall b) ist der Impuls p2 gegeben durch
p2 = mv2 = −m(2gh )1/2e1 ,
wobei h die beim Zurückprallen gewonnene Höhe ist. Die Impulsänderung ist dann:
Δp = p1 − p2 = me1 (2gh)1/2 + (2gh )1/2
= 194 474,1 m · kg · s−1 e1 .
Für die mittlere Kraft erhalten wir:
F = Δp = 972 370,7 N.
Δt
Der Waggon alleine stellt kein abgeschlossenes System dar: Die vom fest verankerten
Prellbock ausgeübte Reaktionskraft ist eine äußere Kraft, daher kann der Impuls nicht
erhalten sein.
Aufgabe 17.2
Das ballistische Pendel
Aufgabe 17.3
Die Geschwindigkeit einer Gewehrkugel kann mit Hilfe des
ballistischen Pendels gemessen werden. Dieses besteht aus einem Faden, dessen Gewicht vernachlässigt werden kann, und
einem daran befestigtem Gewicht der Masse mG . Die Gewehrkugel (Masse mK , Geschwindigkeit vK ) wird in den Klotz geschossen und bleibt stecken. Man mißt die vom Mittelpunkt der
Masse mG zurückgelegte Bogenlänge s.
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Klotzes vG nach
dem Stoß, und
b) bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Gewehrkugel vK ,
wenn die folgenden Größen gegeben sind: mG = 4 kg,
l = 1,62 m, mK = 0,055 kg, s = 6,5 cm.
θ
θ
l
m G+ m K
mK
mG
y
Ballistisches Pendel und Gewehrkugel.
h
134
II Newtonsche Mechanik
Aufgabe 17.3
Lösung:
a) Aus dem Impulserhaltungssatz folgt:
mK vK = (mG + mK )vG
(1)
und daraus für die Geschwindigkeit vG des Klotzes, direkt nach dem Stoß
mK
vG =
·v .
mG + mK K
Für die kinetische Energie erhält man sofort
T =
mK
1
2
(m + mK ) · vG
=
2 G
mG + mK
1
2
mK vK
.
2
(2)
(3)
Diese Energie ist identisch mit der um den Faktor mK /(mG +mK ) reduzierten kinetischen
Energie der Gewehrkugel. Man mag sich wundern, warum die kinetische Energie des
2 ist. Wo steckt die Verlustenergie
Klotzes nicht gleich der der Kugel 12 mK vK
1
mG
1
1
mK
2
2
2
mK vK
mK vK
=
?
−
ΔE = mK vK
2
mG + mK 2
mG + mK 2
Sie muß offensichtlich der Wärme der beim Steckenbleiben des Geschosses entstehenden Wärme entsprechen. Für mG mK wandelt sich fast die gesamte Geschoßenergie
in Wärme um.
Es ist noch ein zweiter Punkt beachtenswert: Zur Berechnung der Geschwindigkeit vG
des Klotzes gingen wir vom Impulssatz (1) aus und nicht etwa, wie zunächst denkbar,
2 = 1 (m + m )v 2 ). Welche dieser beiden Möglichkeiten ist
vom Energiesatz ( 12 mK vK
K G
G
2
nun richtig? Die Tatsache, daß es überhaupt zwei Möglichkeiten zu geben scheint,
liegt in der unvollständigen Aufgabenstellung begründet. Im Grunde müßte noch der
Prozentsatz der in Wärme umgewandelter Energie gegeben sein. Ohne Kenntnis dieses
Bruchteils können wir jedoch auch so argumentieren: Aus Erfahrung wissen wir, daß
beim Steckenbleiben der Kugel keine kleineren Teile des Klotzes (kleinste Stücke,
Moleküle) wegfliegen, sondern der Klotz sich als Ganzes bewegt. Der Klotz selbst
wird durch Reibung der Kugel auch wärmer. Es muß also auf alle Fälle der Impulssatz
streng gelten, denn die Wärme als ungeordnete Molekülbewegung trägt im Mittel keinen
Impuls weg, wohl aber Energie. Mit anderen Worten, nachdem der Impulssatz (1) streng
erfüllt ist, können wir uns sehr wohl vorstellen, daß die Verlustenergie ΔE in Wärme umgewandelt wurde. Hätten wir streng den Energiesatz ohne Wärmeentwicklung
1
1
2
2
2 mK vK = 2 (mG + mK )vG gefordert, so ergäbe sich ein Verlustimpuls, von dem wir
nicht wüßten, was mit ihm geschehen würde.
b) Aus der Abbildung in der Aufgabenstellung ergibt sich für die Höhe des Blocks
h = l(1 − cos θ ) = 2l sin2
θ
2
und im Grenzfall kleiner Auslenkungen θ
2
2
θ
y
y2
h = 2l
= 2l
= ,
2
2l
2l
wobei sin θ = y/l und sin θ = θ .
(4)
(5)
17 Grundbegriffe der Mechanik
135
Die Änderung der potentiellen Energie des Blocks nach dem Auftreffen der Kugel ist
nach dem Energieerhaltungssatz (bei maximalem Ausschlag)
1
mK
2
m v .
(6)
ΔV = g(mG + mK )h = T =
mG + mK 2 K K
Aus den Gleichungen (5) und (6) erhält man dann für
gh =
m2K
y2
2
vK
=g
2
2l
2(mG + mK )
(7)
und in der Näherung mG + mK ≈ mG folgt die Geschwindigkeit der Kugel vK :
g
m
.
vK = G y
mK
l
(8)
Einsetzen der in der Aufgabenstellung gegebenen Variablen ergibt
m
9,81
4
−2
vK =
· 6,5 · 10
= 11,6 .
0,055
1,62
s
Aufgabe 17.3
Drehimpuls und Drehmoment sind immer in bezug auf
einen festen Punkt, den Drehpunkt, definiert. Ist r der
Vektor von diesem Punkt zum Massenpunkt, so ist der
Drehimpuls gegeben durch
L = r × p.
y
p
m
r
(17.18)
Legen wir das Koordinatensystem in den Bezugspunkt,
so ist r der Ortsvektor des Massenpunktes, p ist sein
linearer Impuls.
x
L =r x p
Zur Definition des Drehimpulses:
L = r × p.
L ist ein axialer Vektor.L definiert eine Achse durch den Drehpunkt, die Drehachse,
die senkrecht auf der von r und p aufgespannten Ebene steht.
Entsprechendes gilt auch für das Moment der Kraft, das
definiert ist als
D = r × F
y
(17.19)
und auch Drehmoment genannt wird.
F
m
r
Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem
Drehmoment:
L˙ = D,
denn
D=r x F
Zur Definition des
D = r × F.
Drehmomentes: L˙ = dL = d (r × mv) = dr × mv +r × d(mv)
dt
dt
dt
dp
= r × = v × mv +r ×
F,
dt
weil v × mv = 0.
x
dt
(17.20)
136
II Newtonsche Mechanik
Das Moment der angreifenden Kraft (r × F ) ist gleich der zeitlichen Änderung des
Drehimpulses.
−−−→
˙
Ist speziell D = r × F = 0 = L, so folgt daraus, daß L = const. sein muß. Dies ist
der Drehimpulserhaltungssatz. r × F ist aber nur dann Null (die Trivialfäller = 0,
F = 0 ausgeschlossen), wennr und F in gleicher bzw. in entgegengesetzt gleicher
Richtung liegen. Eine Kraft, die ausschließlich in Richtung bzw. in entgegengesetzt
gleiche Richtung des Ortsvektors wirkt, nennt man Zentralkraft.
Daraus folgt:
Für Zentralkräfte gilt der Drehimpulserhaltungssatz:
−−→
L = −
D = 0.
const.,
weil
Satz von der Erhaltung des linearen Impulses: Solange keine Kräfte wirken, ist
der lineare Impuls p eine konstante Größe. Allgemein gilt
F = d(mv) = m dv ;
dt
dt
und daher folgt für F = 0.
m
dv
= 0.
dt
Daraus wiederum ergibt sich:
−−−→
mv = p = const.
Der Impulserhaltungssatz ist identisch mit der Lex prima von Newton.
Zusammenfassung: Voraussetzung der Erhaltungssätze von Energie, Drehimpuls und linearem Impuls für einen Massenpunkt in der Newtonschen Mechanik
(vgl. Einleitung) sind
a) Energieerhaltung: Wenn die Kräfte, die auf einen Massenpunkt wirken,
F = −∇V ), dann bleibt die Gesamtenergie
konservativ sind (Gradientenfeld: E = T + V des Massenpunktes erhalten.
b) Drehimpulserhaltung: Der Gesamtdrehimpuls L ist zeitlich unveränderlich,
wenn das angewendete (äußere) Drehmoment Null ist, d. h. wenn es sich um
F = 0).
Zentralkraftfelder handelt (r × c) Erhaltung des Impulses: Ist die gesamte äußere Kraft Null, so bleibt der
Gesamtimpuls erhalten (äquivalent mit der Lex prima von Newton).
Der Flächensatz: (siehe dazu auch den Abschnitt 26 über Planetenbewegungen,
insbesondere die Keplerschen Gesetze) Die Voraussetzungen und Inhalte der drei
Erhaltungssätze (Gesamtenergie, linearer Impuls, Drehimpuls) wurden bereits formuliert. Der Drehimpulserhaltungssatz gilt nur in Zentralkraftfeldern, wie sie z. B.
bei den Planetenbewegungen auftreten. Die Erhaltung des Drehimpulses bedeutet
sowohl die Konstanz seiner Richtung als auch die seines Betrages.