met210-111-VI-3-2_2D-Windsysteme_Gradientwind

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
VI Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
VI.3 Zweidimensionale Windsysteme
1.
2.
3.
Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung
Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal)
Weitere 2-dimensionale Windsysteme
–
–
–
Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)
Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)
Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)
3
VI.3.2 Gradientwind
Zunächst wird nochmals der geostrophische Wind als
Spezialfall bei gradlinigen Isobaren abgeleitet.

1 p
s: 0 
 fR,s
 s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n

1 p
s: 0 
 s

1 p
n: 0 
 fv h
 n
Zusätzliche Annahmen:
- keine Reibung
- keine Zentrifugalbeschleunigung, vh2/R=0 → R=±∞ ,
also gradlinige Isobaren!
 Stromlinie n || Isobaren
1 p
 vh  vg  
f n
• Der geostrophische Wind weht parallel zu den
Isobaren mit dem Tief (auf der NH) links.
• Er ist direkt proportional zum Druckgradienten.
T
n
n
p 3 p
p 2 p
Vg
p 1 p
f Vg
p
H
s
4
Gradientwind – gekrümmte Stromlinien
Annahmen
• Stationarität
• keine Bahnbeschleunigung

1 p
s: 0 
 fR,s
 s
 v h2
1 p
n:
 
 fv h
R
 n
T

n
Zusätzliche Annahme
- keine Reibung
1 p
s: 0 
 Stromlinien || Isobaren
 s
n:
vh2
1 p
 
 fvh
R
 n
R0
 p  0
s n
1  1 p vh2 
vh  
 

f   n R 
vh  vG  vg
Im Tief kompensieren Coriolis und
Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam
den Druckgradient.
H


1  1 p vh2 
 vh   
 
f   n R 
  fv

g


R0
p
 n  0
n

 1 p vh2 
1
s vh  
 

f   n R 
vh  vG  vg
Im Hoch wirkt Coriolis entgegen der
Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere
Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!
5
Zentrifugalterm – Formale Lösung

1 p
s: 0 
 s

n:
v h2
1 p
 
 fv h
R
 n
Größenabschätzung des
„Korrekturterms“ 1/f vh2/R
bei Annahme von v=10 m/s
Formale Bestimmung von vG
(quadratische Gleichung)
Es gibt also 2 Lösungen.
 Stromlinie n || Isobaren



2 
1
1 p v G 
 v h  vG   


f 
n R
 fv

g


1 v h2
1
10  10
 4
 1 m/s
f R 10 1.000.000
2
vG  
fR
 fR  R p
   
2
 n
 2 
Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0,
so gewinnt man insgesamt 3x3x2=18 Lösungen für den
Gradientwind.
6
Physikalische Lösungen (1)
• Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen
wir erst qualitative Überlegungen anstellen.
• Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber
senkrecht zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.
• Mit gegebener Geschwindigkeit (und damit gegebenem fC) fest gibt es 4
Möglichkeiten, wie sich fP und fZ dazu orientieren können:

vh
+ = - fC
fP fZ
+ = - fC
fP fZ
+ = - fC
fP fZ
+ = - fC
fP fZ
H
T
T
H
normales
Hoch
normales
Tief
anormales
Tief
anormales
Hoch
fC
hohe Druckgradienten
schwache Krümmung (fC»fZ)
niedrige Druckgradienten
starke Krümmung (fC~/< fZ)
Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter
Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über
stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.
7
Physikalische Lösungen (2) Die untere Darstellung zeigt als

vh
fC
Kurven die Coriolisbeschleunigung
(f=10-4s-1), die ZentrifugalbeD
A
B
C
schleunigung und deren Summe
= - fC
=
f
=
f
+
=
f
+
+
+
C
C
fP fZ C bei einem Wirbel mit 250 km
fP fZ
fP fZ
fP fZ
Radius.
H
T
Die vertikalen Balken geben bei
H
T
anormales
anormales
gegebenem, festem DruckHoch
Tief
normales
normales
gradienten die Positionen der
Hoch
Tief
hohe Druckgradienten niedrige Druckgradienten
linken vier Fälle wieder.
schwache Krümmung
starke Krümmung
• Hochs sind nur bis zum
Kreuzungspunkt von fC und fZ
möglich da fC>fZ sein muss.
• Bei hohen Geschwindigkeiten ist
nur ein (normales wie anormales)
Tief möglich.
• Anomale Systeme können nur
durch Störungen erzeugt werden,
da sie nicht durch langsam
zunehmende Druckgradienten
erreicht werden können.
|vh2/R|
Wirbel mit
R=250 km
|vh2/R|+ |fvh|
|fvh|
5x10-3
m/s²
C
D
B ,A
0
0
20
40
m/s 8
Zusammenfassung
2
Analyse der 2x3x3 Lösungen von
fR
 fR  R p
vG  
   
2
 n
 2 
• R=0
• ∂p/∂n=0
R>0
R<0
→ vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)
→ vG=-fR/2±|fR/2|
→ vG≤0 triviale oder unphysikalische Lösung
→ vG=0 triviale Lösung
→ vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal
Ohne Druckgradient kann die Strömung nur antizyklonal sein!
Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4
unphysikalisch sein müssen
∂p/∂n>0
∂p/∂n<0
R>0
R<0
+√
vG<0
anormales Tief
-√
vG<0
vG<0
+√
normales Tief
anormales Hoch
-√
vG<0
normales Hoch
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Diskussion - Besonderheit bei Hochs
Diskussion
2
fR
 fR  R p
vG  
   
2
 n
 2 
• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet, da
Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.
• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte
auftreten (Staubteufel, Badewanne)
2
• Besonderheit des Hochs (R<0^∂p/∂n<0)
fR
R p
 fR 
vG 
   
(Wurzelargument muss positiv sein):
2
2
 n


2
2
f R 
R p
R p
 fR 
 
  
 

 n
 n
 2 
 2 
p
f2

 R
n
4
Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen.
Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.
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Übungen zu VI.3.2
1.
2.
In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche
ein Druckgradient von 2 hPa/100km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50°
und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der
Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle). Bei allen Fällen
sei angenommen, daß die Luftdichte 1 kg/m3 beträgt.
Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der
Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan,
Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.
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