10. Vorticity, Transport in

PAS I
Inhalt 10. Sitzung
Kap. 3. Strömungen in Oberflächengewässern
3.6 Großräumige Bewegungen ohne Reibung
– Barotrope und barokline Druckgradienten
Physik Aquatischer Systeme I
Oberflächenströmungen im Ozean
– Ekman-Spirale
3.7 Vorticity (Wirbelstärke)
– Erhaltung der potentiellen Wirbelstärke
10. Strömungen und Vorticity
W. Aeschbach-Hertig
Institut für Umweltphysik
Universität Heidelberg
2
Barotrope und barokline Druckgradienten
Barotrope und barokline Druckgradienten
Barotroper Druckgradient:
Linien gleicher Dichte (Isopyknen) und gleichen Druckes
(Isobaren) sind parallel.
Barokliner Druckgradient:
Horizontale Dichtegradienten erzeugen Druckgradienten.
Isopyknen und Isobaren schneiden sich.
A
B
L
∆ρ, ∆p
h( x,y )
p ( x,y,z ) = g
∫
z
ρ dz'
⇒
∂p
∂h
= gρ
∂x
∂x
⇒
vg =
1 ∂p g ∂h
=
ρf ∂x f ∂x
Annahme: ∆p(z*) = 0
z
∆p ( z ) = −g ∫ ∆ρ ( z' ) dz'
z*
3
Barokline Druckgradienten und Strömungen
vg ( z) =
⇒
1 ∆p
g
=−
ρf L
ρfL
z
∫ ∆ρ ( z' ) dz'
z*
4
Barokline Druckgradienten
Falls ∆p(z*) ≠ 0: relatives Vertikalprofil der Geschwindigkeit
∂v g
∂z
=−
z
vg (z) = −
g
∆ρ ( z )
ρfL
g
ρfL
und
v g ( z* ) =
1 ∆p ( z* )
ρf L
1 ∆p ( z* )
∫ ⎣⎡ρ ( z' ) − ρ ( z' )⎦⎤dz' + ρf L
z
B
A
z*
Spezialfall: ρA, ρB je konstant (Helland-Hansen &Sandstrøm, 1903):
vg ( z) = −
vg (z) = −
g
ρfL
z
∫ ⎡⎣ρ ( z' ) − ρ ( z' )⎤⎦ dz'
B
g
g⎛ ρ ⎞
( ρ − ρA )( z − z* ) ≈ − ⎜ 1 − A ⎟ H
ρfL B
fL ⎝ ρB ⎠
A
z*
5
6
1
Beispiel: Bestimmung der Zirkulation im Atlantik
Barotrope und barokline Druckgradienten
Im Allgemeinen kommen beide Beiträge vor
Barokliner Beitrag:
Dominant für
Oberflächenströmungen
Barotropter Beitrag:
Dominant für
Tiefenwasserströmungen
Berechnete Strömung
und Dichteschnitt durch
Golfstrom vor der Küste
N-Amerikas
aus: Stewart, 2003
aus Bryden et al., 2005, Nature: 655-657
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Geostrophische N-S Strömung bei 25°N
8
Windgetriebene Oberflächenströmungen
Antrieb von Strömungen durch den Wind
z
u10
Luft
2
τ xz ( 0 ) = −ρL ⋅ c D ⋅ u10
u(z)
τ xz ( z ) = −ρ W ⋅ A z ⋅
∂u
∂z
Wasser
x
Parametrisierung der Schubspannung bei z = 0 mit Windgeschwindigkeit u10 (z = 10 m) und Dragkoeffizient cD (~ 0.001)
aus Bryden et al., 2005, Nature: 655-657
9
10
Randbedingung an der Oberfläche
Bewegungsglg. für Oberflächenströmungen
Kräftegleichgewicht an der Oberfläche:
Ausgangspunkt: 2D-linearisierte Bewegungsgleichungen
2
τ xz ( 0 ) = −ρL ⋅ c D ⋅ u10
= −ρ W ⋅ A z ⋅
Luft
∂u
∂z z =0
∂u
1 ∂p
∂ 2u
=−
+ fv + A h∇h2u + A z 2
∂t
ρ ∂x
∂z
∂v
∂ 2v
1 ∂p
=−
− fu + A h∇h2 v + A z 2
∂t
ρ ∂y
∂z
Wasser
Randbedingungen für Wind in x-Richtung:
Stationäre Strömung in dünner Oberflächenschicht:
ρ ⋅ c ⋅ u2
∂u
= L D 10
∂z z =0
ρW ⋅ A z
0 = fv + A z
∂v
=0
∂z z =0
0 = − fu + A z
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∂ 2u
∂z 2
∂ 2v
∂z 2
12
2
Stationäre, windgetr. Oberflächenströmungen
Die Ekman-Spirale
Lösung der obigen Gleichungen (ohne Herleitung):
Bewegungsgleichungen:
∂ 2u
− fv = A z 2
∂z
π⎞
⎛
u = v 0 ⋅ ebz ⋅ cos ⎜ bz − ⎟
4⎠
⎝
∂ 2v
fu = A z 2
∂z
ρ ⋅c ⋅u
∂u
= L D
∂z z =0
ρW ⋅ A z
mit:
π⎞
⎛
v = v 0 ⋅ e ⋅ sin ⎜ bz − ⎟
4⎠
⎝
v0 =
bz
Randbedingungen:
f
2 Az
2
ρL c Du10
ρw f A z
Bei z = 0 ist die Strömung um 45° zur Windrichtung gedreht
(nach rechts auf N-Halbkugel)
v0 (Wasser, z = 0) ~ 2 - 5 % von u10 (Luft, z = 10 m)
Nach unten (z < 0) nimmt Geschwindigkeit exponentiell ab
und dreht sich weiter nach rechts
Wichtig: Über Ekman-Schicht gemittelter Transport verläuft
senkrecht zum Wind!
∂v
=0
∂z z =0
2
10
b=
13
14
Windantrieb der Ozeanoberflächenströmung (NH)
Die Ekman-Spirale im Ozean (NH)
T
H
Ekman-Transport
senkrecht zum Wind
führt zu Divergenz bei
atmosphärischem Tief
und Konvergenz bei
atmosphärischem Hoch
D ≈ 100 m
15
Windantrieb und Druckgradienten
T
16
Barotrope und barokline Druckgradienten
Abweichung der
Meeresoberfläche vom
Geoid aus Satellitenmessungen in einem NS Schnitt durch den
Golfstrom vor der Küste
N-Amerikas.
H
~1m
Auslenkung: Barotrope
geostrophische
Oberflächenströmung
hat die selbe Richtung
wie der Wind
17
Barotrope und barokline
Beiträge bei Wirbeln.
aus: Stewart, 2003
18
3
Vergleich von Wind und Ozeanströmungen
Ozeanoberflächenströmungen
Wind
Ozeanzirkulation
19
Asymmetrie im Ozean wegen Vorticity-Erhaltung
3.7 Wirbelstärke (Vorticity)
Verschiedene Wirbelstärken
Wichtiges allgemeines Prinzip, um Eigenschaften der
Lösungen der Bewegungsgleichungen abzuleiten.
⎛ ∂w ∂v ⎞
Def.: Wirbelvektor
ζ ≡ ∇×v
⎜ ∂y − ∂z ⎟
⎟
⎜
(Rotation von v)
⎜ ∂u ∂w ⎟
In Komponenten: ζ = ⎜ −
Bem.: Hier fett = Vektor
∂z ∂x ⎟
⎜
⎟
⎜ ∂v − ∂u ⎟
3-D Vektorfeld der Strömung
⎜
⎟
⎝ ∂x ∂y ⎠
Für horizontale Strömungen ist nur z-Komponente ≠ 0.
Übliche Definition für Wirbelstärke (engl. vorticity):
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit (starrer Körper):
ζ = ζz =
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ζ = ∇ × v = ∇ × ( ω × r ) = ω ( ∇ ⋅ r ) − ( ω ⋅ ∇ ) r = 3 ω − ω = 2ω
Im Inertialsystem:
ζ a = ∇ × ( v + Ω × r ) = ∇ × v + ∇ × ( Ω × r ) = ζ + 2Ω
ζ a,z = ζ z + 2ω sin ϕ = ζ + f
f: planetarische Wirbelstärke
ζ: relative Wirbelstärke
ζa: absolute Wirbelstärke
Abschätzung für großräumige horizontale Strömungen:
∂v ∂u
−
∂x ∂y
ζ=
Bem.: ζ positiv: Drehung im Gegenuhrzeigersinn
∂v ∂u U
−
~
∂x ∂y L
⇒
ζ U
= = Ro 1
f fL
21
Vorticity Gleichung und potentielle Vorticity
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Erhaltung der potentiellen Wirbelstärke
ζa ist proportional zum totalen Drehimpuls eines Wirbels.
Da jedoch Wirbel nicht isoliert sind, sondern Drehimpuls
mit der Umgebung austauschen (Reibung!) ist ζa nicht
erhalten. Es gilt die sog. Vorticity Gleichung:
d ⎛f +ζ⎞
⎜
⎟=0
dt ⎝ H ⎠
Link zw. Tiefe (H), Breite (f), und Rotation (ζ).
z.B. Zunahme von H ⇒ Zunahme von ζ.
dζ a
∇ρ × ∇p
= (ζa ⋅ ∇ ) v − ζa (∇ ⋅ v ) +
dt
ρ2
inkompressibel
barotrop
z-Komponente vertikal integrieren über Schicht der Tiefe H …
f +ζ
H
Potentielle Wirbelstärke:
q=
q ist Erhaltungsgröße:
dq d ⎛ f + ζ ⎞
= ⎜
⎟=0
dt dt ⎝ H ⎠
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aus: Stewart, 2003
24
4
Erhaltung der potentiellen Wirbelstärke
d ⎛f +ζ⎞
⎜
⎟=0
dt ⎝ H ⎠
Zusammenfassung
z.B. Wanderung zu höherer nördl. Breite ⇒
Zunahme von f ⇒ Abnahme von ζ.
• Barotrope Druckgradienten:
– Neigung der Oberfläche erzeugt Druckgradienten
• Barokline Druckgradienten:
– horizontale Dichtegradienten erzeugen Druckgradienten
• Windgetriebene Oberflächenströmungen
– Ekman-Spirale: v0 45°, Transport 90° nach rechts von u10
– Oberflächentiefs und -hochs wie in Atmosphäre
– Wirbel wie in Atmosphäre + western boundary current
• Vorticity
– Drehimpulserhaltung, koppelt Tiefe, Breite und Rotation
Weiterführende Literatur: Stewart, 2003
aus: Stewart, 2003
http://oceanworld.tamu.edu/home/course_book.htm
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