FluidII - Zusammenfassung





Bernoulligleichung für Potentialströmungen
 1
p
2
zeitabhängig
      U  B  t 
unabhängig vom Ort!!!
t 2

Potentialströmungen
gültig im ganzen Potential- B(t) Bernoulli Konstante
Definition:
strömungsfeld
  x,t  :u  x,t   
Stationärer Fall:

Folgerung:
 : rot u  rot   0
p  x   u 2  U  x    konst.
p nicht linear  nicht
2
Richtung eines Fluidmarkers bleibt unverändert
superponierbar!
H  x
zu allen Zeiten und an jedem Ort.
2
Definition:
Zirkulation Γ eines Geschwindigkeitsfeldes
Druckbeiwert
u
p p
cP   2   1  2
u(x) bzgl. einer geschlossenen Kurve C:
u
Stokes
2 u
Fluiddynamik 2
Verfasst mit dankbarer Mithilfe von Tim Good!!!
  C,u  
 u  dx


S
rotu  ndS    ndS
S
C
Zirkulation
eines Potentialfeldes
  C,u    u  dx    rot u   n  dS  0
C
xS : u  xS   0
    xS   nicht   0
Staustromlinie: Stromlinie
durch Staupunkt

S
 Staupunkt
Staupunkt
Für Potentialströmungen ist Γ = 0 solange keine
Singularitäten innerhalb C liegen (sonst ist Satz Ebene inkompressible Strömungen
von Stokes nicht gültig
Definition: Stromfunktion


u
,v  
Konti implizit erfüllt (Satz von
y
x
Inkompressible Potentialströmung
Schwarz…)
u 
0
Massenerhaltung
u v w
 
 
div u 
x

y

z
0
 x 
 2  2  2
u     y   div u  div     2  2  2  
x y
z
  z 
0  d 


dx 
dy
x
y
dy
 Neumann-RB:
u , 
 x y 

  n  G  geg.
n
stückweise RB sind vorzugeben, um eine eindeu- Potentiallinie
tig bestimmte Lösung zu erhalten.
 φ=konst.
für Potenti-  auf G Aussage über u :   G  uG
 stehen senkrecht auf den
alströmunStromlinien
speziell: feste Wände als Berandung:
gen
uW  geg. n  uW  0,
 jede Wandkontur ist eine Stromlinie  2D 
oder Stromfläche  3D 
 umgekehrt: Stromlinien als feste Wände auffassbar
 Druckverteilung in einer Potentialströmung
u
1
Impulserhaltung, NSGl.
  u   u   p  u  f
(inkompressible Strömung) t

Terme vereinfachen sich für 
  
  
Potentialströmungen zu:
t
 t 
 der Reibungsterm νΔu
verschwindet identisch,
auch für ν≠0)
 u2 
 u   u      u  rot u
 2 
0
  konst.
u  grad  div u   rot  rot u   0
0

0
z
dy
u
  konst.

dx
v
: Stromfunktion, u  rot  0 ,0 , 
0
f  U  konservatives Feld 
Prinzipiell sind auch reibungsbehaftete Potentialströmungen
denkbar. Es muss aber gelten: utang|Wand = uWand
Differenzierbarkeit von F(z)
F  z0     f  z 0 
F ( z0 )  lim
in z0, für alle Wege ξ
 0

Bezeichnung der Ableitung
F   z0  
Polare Darstellung
Gemäss Definition
der Diff’barkeit:
F  r,     r,   i  r, 
dz  dr  ei  ri  ei d
Überlagerungen
Zusammenfassung
Geschwindigkeit
 


u

,
v

x y
y
x
 1 
1 

ur 

, u 

r r 
r 
r
Parallelströmung und
Quelle/Senke
  u  iv  d  x  iy 
C




   udx  vdy   i   u dy v dx 

C
C  
 y

udx
x



Zylinderumströmung:
Parallelströmung + Dipol
ergibt Strömung um Kreiszylinder mit Radius
Potential und Stromfunktion
in Polarkoordinaten
C
QC 
Wenn keine Singularitä-   C   u  dx   dx  d 



ten innerhalb von C: Γ=0
C
C
C
F  z    u  iv  z
Keilströmung
(vgl. auch Skript S.60f)

Q
, u  0
2r
Q x
Q y
u
, v
2 r 2
2 r 2
i
F  z    ln z    
2
i

w z  
, u r  0 , u 
2z
2r
m
F z 
m  
z
Q
m
w  z    2 , m  lim0 
z

F  z   C  z n  C,n   , n  12 , C  0
w  z   Cnr n 1  Cnr n 1eine i
cos n, u  Cnr
 r2 

 u 1  02  cos 
r
 r 
u 
 r2 
1 
 u 1  02  sin 
r 
 r 
u max  2u
r  r0 ,   0 und r  r0 ,   


 2
2
u   uw
2

 p  u2 1  4 sin 2 
2
Druckverteilung


Zylinderumströmung + Wirbel
(vgl. Skript S. 64)

r  i
F  z   u  z    ln z
z  2

Druckverteilung
(folgt aus Bernoulli)
 r 2  i
w  z   u 1  02  
 z  2z
2
 2 
  
pw    p  u   2u sin  
 
2 
2 r  

Auftriebsformel von
Fy  u  b
Kutta-Joukowsky
b: Ausdehnung  z. Strömung
Kräfte auf umströmte Körper
1. Die Kraft Fx in Anströmrichtung  Widerstand  auf einen parallel und
stationär angeströmten Körper in einer Potentialströmung verschwindet.
Fx  0
 D'Alembertsches Paradoxon 
2. Die Kraft senkrecht zur Anströmrichtung  Auftrieb  einer ebenen Potential-
  Cr n cos n,   Cr n sin n
u  w  Cnr n 1
ur 
2
0
ur 
ur  Cnr

r2 
  u  r  0  sin 
r 

Staupunkte
Q
Q e  i

2z 2 r
n 1

r2 
  u  r  0  cos 
r 

pw     p 
Linienquelle/ -senke
Q
Q
F z 
ln z 
ln  rei   Q 
Q>0: Quelle, Q<0: Senke
2
2
Potentialwirbel (Linienwirbel)
Für r  0
rot(u)  ∞
Dipol
 r2 
w  z   u 1  02 
 z 
Maximale Geschwindigkeit
w  z   u  iv , u  u , v  v
w z 

r2 
F  z   u  z  0 
z 

Geschwindigkeiten
Standardsingularitäten
Komplexes Potential
F  z     i
Parallelströmung
Q
ln z
2
Q
w  z   u 
2z
F  z   u z 
r0  m / u
 C    d 
reelle
Zirkulation
z0
Fre Fim Fre
F

,
  im
x
y y
x
Fre  0, Fim  0
Wandbedingung, Spiegelung
Berücksichtigung des Einflusses einer ebenen Wand in einer
Potentialströmung ( nur tangentiale Geschw.komponente):
1.
Singularitäten an Wand spiegeln.
2.
Überlagern des Feldes um ursprüngliche Singularität
plus des virtuellen Feldes der gespiegelten Singularität
 F   z0 
Fre
F
F  F
F
1  F
 i im   re  i im   im  i re
x
x
i  y
y  y
y
Cauchy-Riemannsche DGs
oder
dF
dz
dF  

i
 u  iv
dz x
x
     i
 i
 i
 e   ur  iu  e
r 
 r

w z 
Für r  0
div(u)  ∞
 Eine reguläre Funktion beschreibt eine konforme Abbildung (winkeltreu und lokal ähnlich [Längenverhältnisse
bleiben erhalten]).
 Eine reguläre Funktion ist unendlich oft differenzierbar.
Komplexe Funktion
F ( x, y)  Fre  x, y   Fim  x, y  i

Fd  z   F e  i z
Drehung
Komplexe Geschwindigkeit
Komplexe Darstellung ebener PS
tangentiale Komponente ist i.A.  0
0 ,rot  u  0
T
v
 vdx  udy,

  0
dx u
x  s   u  x  s  ,t 
 Eigenschaften der Lösungen
2
Volumenstrom
 linear: Lösungen Φi sind superponierbar.
 zwischen zwei Stromlinien V12  b   d   b   2  1 
 ΔΦ = 0 ohne Zeitableitung  instationäre Potentialströ1
mung als Abfolge von stationären Lösungen auffassen
 b: Breite in z-Richtung
 b   u  n  dS
 elliptische DG  RB auf allen Rändern des betrachteten
S
Gebietes erforderlich.
Ebene Potentialströmung 0  div u  div grad   
 Randbedingungen
  0,   0
0  rot u  rot rot  grad div  
T
allgemeine  Dirichlet-RB, falls Funktion vorgegeben: G  geg.
   
Laplace-Gleichung
0 ,Konti
Translation von Singularitäten, Drehung
Verschiebung in der komple- Fs  z   F  z   
xen Ebene
 F  x  a  i  y  b 
 : Potential, u  
 Komplexe Zirkulation
Q(C):
C   w  z  dz 
Quellergiebigkeit (VoC
lumenstrom, der durch C
nach aussen durchtritt)
u   v   rot  0   div u  0
0

 
 
Stromlinien
 Niveaulinien ψ = konstant
 Integralkurven des Geschwindigkeitsfeldes:
 Komplexes Potential
Definition: Komplexes F  z     i
Potential
F  z   Fre  i Fim  0
strömung ist gegeben durch: Fy  u  b
n 1
sin n
Ebene Profilumströmungen
Drehungsbehaftete Strömungen
L: Sehnenlänge
f: Wölbungshöhe
(Maximalwert)
d: Profildicke
(Maximalwert)
α: Anstellwinkel
Dimensionsloser Widerstandsbeiwert
Dimensionsloser Auftriebsbeiwert
cW 
Fx
bL 2 u2
cA 
Fy
u  x,t  ,   rot u: Drehung eines Fluidelements  Rotation, vorticity 
  rot u    u in Zylinderkoordinaten:
1 u z u

r  z
u 
1  ru
z     r 
r  r
 
r 
1
     i  f  z 
 Konforme Abbildung z  x  iy 
 regulär, f’(z)  0
 f invertierbar, winkeltreu, lokal
massstabsgetreu
Strömung: F(z) Potential G    : F  z    
 komplex 
 wdz    iQ
C
w  u  iv 
 komplex , 
dG dF dz
1


 w
d  dz d 
f
 w d    wdz  

C
komplex
C
 Zirkulation invariant!!  Auftrieb bleibt gleich
 Joukowski Abbildung   z  a 2 z
 Singularitäten Verfahren
Prinzip: Überlagerung von differentiellen Singularitäten (Quellen, Senken, Wirbel, … , diskret oder kontinuierlich verteilt)
entlang gegebener Kurven.
 Profilkontur  Staustromlinie
Bei kleinem Anstellwinkel α und schlanken Profilen (f/l  1)
kann man verschiedene Effekte separat behandeln:
 Dickeneffekt Quell-Senkenverteilung auf der Profilsehne
 Wölbungs- für Auftrieb: Wirbel benötigt  vereinfaeffekt
chende Näherung: Wirbel auf entlang gerader
Verbindungslinie verteilen
 Anstelleffekt Wirbel entlang Geraden im Winkel α verteilen  α  0 Γ  0, cA  0
 Numerische Lösung der Laplace-Gleichung
Approximativ, mittels diskretem Punktegitter.
Finites Differzenverfahren:
 2 i 1, j  2i , j  i 1, j
2
(plus zusätzliche RBen)
x 2
 x 
Instationäre Potentialströmungen
φ als Lösung der Laplace-Gleichung
mit momentanen RBen + Geometrie
Zusatzkraft, gegen die bei instationärer Strömung Arbeit verrichtet wird
(Fluidmasse wird beschleunigt)
u
 0,   x,t  , u  
t
FZusatz  m*  x
Fges   mKörper  m*   x
m* : virtuelle Masse
x  t  : Bahn  Position  des Körpers
Virtuelle Masse
f: Vorfaktor, Mass für Instationarität
Zylinder: f=1, Quader: f=1.19,
Kugel: f=0.5

C S
u  dx     udS
S
V   u  ndS
Wirbel und Drehung
 Starrkörperwirbel
Kreisfrequenz
2D-Geschwindigkeitsfeld
m*  f  VKörper  Fluid
vom Körper verdrängte Fluidmasse
  2 T
T: Umlaufzeit
u  x     y x 0 
T
uP  r, ,z    0 r 0  P
Berechnung von Profilumströmungen:
dF
dz
ur u z

z
r
S
cA cW
Definition: Gleitzahl
Kuttasche Abflussbedingung
Γ = ΓKutta
f
Für kleine Anstellwinkel c  2    2 f    
,
A
a


L
L
α und Wölbungshöhen f

Nullauftriebswinkel für gewölbte Profile:   2 f L
w  z   u  iv 
 C  
Zirkulation:
 Γ = Wirbelfluss durch S)
 Γ ist Galilei invariant
Volumenstrom:
bL 2 u2
 
T
u   x
Wirbelstärke:

1
 gilt allgemein!
2
 0 


  rot u   0 
 2 


Starrkörper Winkelgeschwindigkeit  Wirbelstärke
 Potentialwirbel
Geschwindigkeitsfeld
  y r2 
 0 
 r  0 , r 
x2  y 2

u  x   x r2
 0




 , uP  r, ,z    c r 
 0 




  2c
Zirkulation für eine den Ursprung umschliessende Kurve:
  0 , r  0 (Potentialströmung)
Wirbelstärke
 Rankine Wirbel
Brauchbar als einfache Näherung für realen Wirbel:
 Festkörperrotation im Kern, r  r0 , u r
1
 Potentialwirbel im Aussenbereich, u
r
 Realer Wirbel
Geglättete Rankine Wirbel. Wirbelstärke verläuft auch bei r0
stetig differenzierbar
 Eigenschaften des Wirbelstärkefeldes
 -Feld ist quellenfrei  div   0 
  ist Galilei-invariant (das u-Feld hingegen nicht!)
 Es gibt keinen Wirbel ohne Rotation (umgekehrt schon!)
 Wirbellinie, Wirbelröhre, Wirbelfaden
Wirbellinie (s: Kurvenparameter) x s  0  x , dx   x s , t

 0
  
Intergralkurven des Wirbelstärkeds
dx dy dz
feldes ω, in jedem Punkt parallel


zum Wirbelstärkevektor ω
x  y z
Wirbelröhre: gebildet von Wirbellinien, die durch eine gemeinsame geschlossene Kurve C gehen.
Wirbelfaden: wenn sich die Wirbelstärke über den Querschnitt
der Wirbelröhre nicht ändert
 Gesetz von Biot-Savart

Azimutale Geschwindigkeit um einen
u 
2 r
unendlich langen Wirbelfaden mit Zirkulation Γ im Abstand r
 ds  r
Durch ein der Raumkurve C folgendes
u  x 
4 C r 3
Wirbelfadenstück mit Zirkulation Γ induziertes Geschwindigkeitsfeld

Beitrag eines endlich langen, geraden
u 
 cos 1  cos  2 
4 r
Wirbelfadenstücks im Abstand r
 Kelvinscher Wirbelsatz (dynamische Aussage)
Reibungsfreies und barot  1 p   0
Liefert Zusammenhang zwischen Geschwindigkeits- und Wir- Annahmen
rotropes Strömungsfeld mit f  -U
belstärkefeld.
konservativen Kräften
 inkompressible Strömung   c  div u  0
Annahmen:  drehungsfreies  konservatives  ä. Kraftfeld f  U Zirkulation
m  t    u  dx
Cm  t 
entlang Cm(t)
WTG:

In
einer reibungsfreien, barotropen Strömung
d m t 
  u        u  
0
mit konservativen äusseren Kräften ist die
t
dt
Diffusion 
W
Zirkulation Γm(t) einer geschlossenen materiterm
D
ellen Kurve Cm(t) zeitlich konstant.
Dt
 Zirkulation einer Wirbelröhre od. eines Wirbelfadens bleibt
 Wirbelstreckungsterm W
räumlich und zeitlich konstant.
Wirbelstreckungsterm, zerlegt
u
u
W     u  
    Fluidelemente, die zu einem Zeitpunkt eine Wirbellinie/in parallele und senkrechte
s
s
röhre gebildet haben, tun dies für alle Zeiten
Komponente zur Wirbelstärke
 Wird ein reibungsfreies Fluid aus der Ruhe in Bewegung
u
Stauchung oder Streckung des Streckung
0
versetzt und wirken nur konservative Kräfte, so bleibt
Wirbelelements wird gestreckt
s
Strömung immer drehungsfrei!
 Zu- oder Abnahme von |ω| Stauchung
u
0
(Drehimpulserhaltung)
s
Wirbelsystem eines Tragflügels
u
Kippen des Wirbelelements
0
Umströmung der Flügelspitze: Ausgleich der Druckunters
schiede zwischen Saug- und Druckseite
 Spezialfall: ebene Strömung
Einfachstes Modell: Hufeisenwirbel überlagert mit ParallelWirbelstreckungsterm
u 
0
strömung (bewegt sich mit Flügel mit). Im Inneren des Hufeifür den ebenen Fall
u   v  ,    0      u  0  W  0
senwirbels: Abwind induziert. Der Flügel fliegt in seinem
 0 
 
eigenen Abwind
u∞
D 
  2  2  Effektivgeschwindigkeit ist




  u   w  
u
v
   2  2  massgebend (insbesondere für
Dt
t
t
x
y
y 
 x
wirksame Kräfte)
ueff
vAbwind
Verallgemeinerter Wirbelstre- W    2 u
In Richtung von ueff wirkt
Feff
ckungsterm für mit Ω rotiekeine Kraft (wenn reibungsu∞
rende Bezugssysteme
frei), normal dazu wirkt der
 Barotrope und barokline Strömung
Auftrieb (Jutta-Joukowski)
ueff
vAbwind
Barotrope Strömung: Dichte
1

    p   rot  p   0
Kraftanteil horizontal: „indunur vom Druck abhängig


zierter Widerstand, immer mit
  p  0
Auftrieb!
p x 
Druckfunktion für barotrope
dp
Kraftanteil vertikal: entspricht Gewicht des Flugzeugs bei
P
x

  
Strömungen
stationärem Flug
  p
p
Induzierter Widerstandsbeiwert
F
Beispiele für barotrope Strmg.  inkompressible (ρ=konst)
cw ,ind  ind
A: Flügelfläche
Baroklin = nicht barotrop
1 2
 isotherme (T=konst)
u A
b: Flügelbreite
 isentrope (s=konst)
2 
Widerstandbeiwert für Flügel mit
 WTG für Strömungen mit veränderlichen Dichten
c A2
c2
 A
elliptischer Zirkulationsverteilung cw ,ind 
Annahmen  kompressible Strömung, ρ = ρ(x)
2
b



 reibungsfrei
b2
A

: Streckung
A
 
D  
1
      u  3    p 
Dt   




Wirbeltransportgleichung (WTG)
0
Wirbelstreckung W
baroklines Drehmoment D
D0
Für barotrope Strömung:
Wirbelstärke, Erhaltungssätze
   udx     ndS
   udx     ndS
1
2
C1
S1
C2
S2
 Helmholtzscher Wirbelsatz (statische Aussage)
Zirkulation in verschiedenen Querschnitten entlang
Γ1 = Γ2
einer Wirbelröhre ist konstant:
 Wirbelröhren od. Wirbelfäden enden nicht mitten im Strömungsfeld. (In sich geschlossen, oder bis zum Rand)
 Liegt eine geschlossene Kurve CM ganz im Mantel einer
Wirbelröhre, so ist Γ=0 (CM lässt sich stetig auf einen Punkt
zusammenziehen)
 Analog zu Konti-Satz für inkompressible Strömung: Der
Wirbelfluss Γ längs einer Wirbelröhre ist konstant. Verengt
sich also der Querschnitt, muss die (mittlere) Wirbelstärke
im Inneren ansteigen.
Prandtl-Meyer-Expansion
Kompressible Strömungen
Basics aus Thermo- und Fluiddynamik
sin 1 
Skript Seiten 81ff.
1
 Stromfadentheorie (quasi-1D-Strömung: nur allmähliche
sin  2 
Ma2
Änderung mit x, Eigensch. über Querschnitt A(x) konstant)
 reibungsfrei
 adiabat
Prandtl-Meyer-Funktion
 isentrop (ausser über Verdichtungsstösse)
 thermisch-kalorische ideales Gas (perfektes Gas)
Ruhegrössen, Ruhezustand dort,
u  x   0 : T0 , p0 , 0
wo
Kritische Grössen, kritischer Zu- u  x   a  x 
Kraftbeiwerte
stand dort, wo
T  T , p  p ,    cD: Wellenwiderstand
cr
Machzahl
*
Ma  x  
Lavalzahl
La  x  
cr
u  x
*
cr
u  x
a*
Strömungsgrössen
Skript Seiten 86ff.
Senkrechter Verdichtungsstoss
Skript Seiten 89ff.
Prandtl-Relation
u1  u2  a*2
Verdichtungsstoss ist nur im Überschallbereich möglich, führt
immer vom Überschall in den Unterschall.
Laval-Düse
A x
A*
1
 2 1
1   1

1
Ma 2  x   1 
Ma  x     1



Stromdichte
Stromdichte
Grösster Wert erreicht im
kritischen Querschnitt A*
m
A
 u A*

* u*
A
u 
Schierfer Verdichtungsstoss
Modellsituation: Keil oder Rampe
in Überschallströmung Ma1
 : Umlenkwinkel
 : Stosswinkel
 Stumpfer Körper:
Kugel oder Keil mit  < max(Ma1)
Machscher Winkel:
 1 
  arcsin 

 Ma1 
 Spitzer Körper
Gerade Stossfront, an der die ankommende Parallelströmung
um den einheitlichen Winkel  umgelenkt wird.
cos   i sin   e i  z  r  e i
cos  
Ma  1
dMa

  1
 Ma
1 
Ma 2 
 2

b  a    Mab     Maa 
1
d 
cL 
*
a  x
Tools
Kommt Euler, kommt Rat
1
Ma1
cD 
4
Ma2  1
4 2
Ma2  1

1 i
e  e i
2

ei  1  0

sin  
1 i
e  ei
2i
 a  b cos     a  b  i sin    ae
i
 y
  z   arctan  
x

 bei
z  x2  y 2
Differentialoperatoren für Polarkoord.
Differentiel 

ler Vek r
toroperator
Divergenz
1 

r 
div u    u 
 

x 
T
1 
1 u u
 r  ur     x
r r
r 
x
Gradient
Rotation
 a 
 r 


1 a 
grad a  a  
 r  


a 


 x 
 1 u u

x


 
x
 r 

 u u

rot u    u   r  x

 x r

 1    ru  u  
 r 
 
  
 r  r
LaplaceOperator
T
1     1  2  2
    r    2  2  2
r r  r  r 
x
Wichtige
Beziehung
div grad  f ( x, y, z )   0
Integrabilitätsbedingung
Ges :
div rot  f ( x, y, z )   0

Geg : u  x, y   x , v  x, y    y
Bed : u y  xy   yx  vx
Kartesische Differentialoperatoren
Differentiel 
ler Vek
 x
toroperator
Divergenz

y
div u    u 
T
 

z 
u v w
 
x y z
Gradient
Rotation
 a 
 
 x 
 a 
grad a  a   
y
 
 a 
 
 z 
 w v 
 y  z 


 u w 
rot u    u   
z x 


 v  u 
 x y 


LaplaceOperator
 
T
 2  2  2


x 2 y 2 z 2