Matura 2013 - Kantonsschule Romanshorn
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Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 MATHEMATIK – 3 Std. Maturandin, Maturand (Name, Vorname) Klasse 4 Md – hcs .............................................................. Datum: Montag, 10. Juni 2013 Name: Vorname: Punkte: Note: Vorbemerkungen: 1 Zeit: 180 Minuten 2 Max. erreichbare Punktzahl: 72 Punkte 3 Erlaubte Hilfsmittel: 4 Beachten Sie • Lösen Sie die Aufgaben direkt auf diesem Bogen auf der entsprechenden Doppelseite. • Nutzen Sie bei Platzmangel die hintersten leeren Seiten und vermerken Sie dies bei der entsprechenden Aufgabe. • Lassen Sie rechts 2 cm Rand frei, schreiben Sie NICHT mit Bleistift. • Runden Sie alle Ergebnisse sinnvoll. • Streichen Sie falsche Lösungen deutlich durch. • Die Aufgaben können in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. • Alle Teilaufgaben sind voneinander unabhängig lösbar. • Die Punktzahlen der Aufgaben können Sie der Tabelle entnehmen, verschaffen Sie sich zunächst einen Überblick. Total sind 72 Punkte möglich. • In der Regel ergeben ca. 60 Punkte eine Sechs, 36 Punkte eine Vier. • Wo nicht anders vermerkt, setzen Sie den Taschenrechner beliebig ein, aber: • Der Lösungsweg muss ersichtlich sein ! Taschenrechner (TI-Voyage 200, TI-92, TI-89) Fundamentum Mathematik und Physik oder Formelsammlung DMK Viel Glück! leer lassen Aufg 1 Aufg 2 Aufg 3 Aufg 4 Aufg 5 Aufg 6 total von 12 von 13 von 12 von 11 von 10 von 72 von 14 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 1) Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion und Flächenberechnung Total 12 P a) Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion ohne Taschenrechner € 6P Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion für die Funktion x2 − 4x + 4 f(x) = durch. Berechnen Sie dazu: x +1 - den Definitionsbereich - die Nullstellen ohne Hilfe des Taschenrechner - die erste Ableitung ohne Hilfe des Taschenrechners und damit ... - die Hoch– und Tiefpunkte ohne Hilfe des Taschenrechners - die Gleichungen der Asymptoten mit Hilfe des Taschenrechners (notieren Sie den Lösungsweg) - das Verhalten bei den Polstellen bzw. die Limites bei den Definitionslücken - Wendepunkte mit Hilfe des Taschenrechners. - Skizzieren Sie mit Hilfe der obigen Daten den Graphen von f(x) in einem sinnvollen Bereich. Achten Sie auf eine saubere Darstellung und vollständige Beschriftung. b) Kurvendiskussion mit dem Taschenrechner – Modell eines Heissluftballons Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ; 6P . Mit dem Graphen der Funktion f soll die Randkurve eines Heissluftballons modelliert werden (hierbei ist der Ballon um 90° gedreht, die x-Achse ist die Symmetrieachse des Ballons, Längenangaben in m). Untersuchen Sie die Funktion f mit Hilfe des Taschenrechners, um die untenstehenden Grössen zu berechnen: i) Der Durchmesser der unteren Öffnung des Ballons. ii) Die Höhe des Ballons von der unteren Öffnung bis zum oberen Ende. iii) Die Höhe, auf der der Ballon die maximale Breite besitzt, gemessen von der unteren Öffnung. iv) Die maximale Breite des Ballons. v) Das Volumen der gesamten Ballonhülle. 1P 1P 1P 1P 2P Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 2) Vektorgeometrie – Gerade und Ebene 14 P x 6 4 Gegeben sind die Gerade g: y = 8 + t ⋅ 3 und die Ebene E mit der z 2 2 Koordinatengleichung E: 2x + 3y + 7z + 12 = 0. a) Die Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S. Bestimmen € des Schnittpunkts S. Sie die Koordinaten 2P b) Berechnen Sie den Abstand des Punkts P(6|8|2) von der Ebene E. 1P c) Der Punkt P(6|8|2) wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts P'. 3P d) Stellen Sie die Gleichung der Geraden g' auf, die durch die Spiegelung von g an E entsteht. 2P e) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Geraden g und der Ebene E. 2P f) 2P Berechnen Sie den Abstand des Nullpunkts N(0|0|0) von der Geraden g. g) Eine weitere Ebene F sei in Parameterform gegeben durch x 2 −3 0.5 F: y = 8 + u ⋅ 2 + v ⋅ 2 . Begründen Sie zunächst, dass die z −4 0 −1 Ebenen E und F sich nicht schneiden. Bestimmen Sie dann die Lagebeziehung der Ebenen E und F. € 2P Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 3) Tontaubenschiessen – Binomialverteilung, Bäume und Wahrscheinlichkeiten 13 P Zwei Sportschützen schiessen auf Tontauben. Schütze A trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 22%, Schütze B trifft mit 27%. Beide Schützen treten nun gegeneinander an. a) In einem ersten Wettbewerb schiessen beide gleichzeitig. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Tontaube von beiden gleichzeitig verfehlt? b) Im zweiten Wettbewerb schiesst jeder der beiden Schützen für sich alleine. Dabei hat jeder der beiden zwölf Versuche. i) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Schütze A genau zwei Mal trifft? ii) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Schütze A kein einziges Mal trifft? iii) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Schütze A mindestens viermal trifft? c) Im dritten Wettbewerb schiessen beide nun abwechselnd, wobei A beginnt. Der Schütze, der als erstes trifft, hat den Wettbewerb gewonnen. i) Erstellen Sie für diesen Wettbewerb ein aussagekräftiges Baumdiagramm. ii) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wettbewerb nach zwölf Versuchen (jeder Schütze sechs) noch nicht zu Ende ist? iii) Berechnen Sie, welcher der beiden Schützen die grösseren Gewinnchancen hat. d) In einem vierten Wettbewerb wird nur ein einziges Mal geschossen. Dabei wird vom Schiedsrichter zuerst ein Würfel geworfen um zu bestimmen, wer schiessen darf. Fällt eine Eins, Zwei, Drei oder Vier, so darf Schütze A schiessen, fällt eine Fünf oder eine Sechs, so schiesst Schütze B. Die Tontaube wurde bei einem Versuch verfehlt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war dabei A der Schütze? 1P 1P 1P 1P 2P 1P 3P 3P Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 4) Vektorgeometrie – Pyramide Auf einem Messegelände soll eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche aufgestellt werden. Die Grundfläche ist durch die Punkte A(–12|–9|0), B(9|–12|0), C(12|9|0) und D gegeben. Die Spitze liegt bei S(0|0|9) (Längenangaben in m). 12 P a) Geben Sie die Koordinaten des Punktes D an. 2P b) Bestimmen Sie von der Pyramide.... i) die Grundfläche ii) das Volumen 2P c) Zu einem bestimmten Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen parallel zum 1 Vektor v = 2 . −2 i) Berechnen Sie den Winkel, den die Sonnenstrahlen zur Horizontalen einnehmen. ii) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schattenpunktes S’, den die € Sonnenstrahlen von der Spitze S auf dem Boden bilden. d) Im Innern der Pyramide soll ein gerader Balken als Stütze abgebracht werden. Der Balken wird in der Mitte der Strecke angebracht und steht senkrecht auf dem Dreieck BCS. Falls Sie bei a) keine Lösung gefunden haben, rechnen Sie weiter mit dem Punkt D(–9|12|0). i) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene, die durch B, C und S gegeben ist. ii) Bestimmen Sie die Länge des Stützbalkens. 2P 2P 2P 2P Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 5) Bergwanderung, Kurvendiskussion mit Taschenrechner Das Höhenprofil einer Bergwanderung kann näherungsweise durch den Funktionsgraphen im Bild unten dargestellt werden. Die Wanderung beginnt im Ursprung O(0|0) des Koordinatensystems. Eine Raststelle befindet sich in einem flachen Wegstück bei R(2|2.4) (hier ist die Steigung Null), an der steilsten Stelle S(4|3.2) der Wanderung vom Rastplatz R zum Gipfel G steht ein kleines Berghotel (alle Angaben in Kilometern). a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, ausgehend vom Ansatz f(x) =ax4 + bx3 + cx2 + dx + e 11 P 3P Rechnen Sie nun in jedem Fall mit der folgenden Funktion weiter: f(x) = –0.05x4 + 0.6x3 – 2.4x2 + 4x Berechnen Sie mit dem Taschenrechner, notieren Sie aber Ihre Lösungsschritte ausreichend. b) Welche Steigung hat die Funktion im Punkt S? 1P c) Geben Sie die Gleichung der Tangente im Punkt S an den Graphen an. 1P d) Welchen Winkel schliesst die Gerade y = 0.8x mit der positiven x– Achse ein? 2P e) Handelt es sich bei S tatsächlich um die steilste Stelle der Wanderung? Begründen Sie Ihre Antwort. 2P f) Auf welcher Höhe über dem Ursprung O befindet sich der Wanderer während der gesamten Wanderung durchschnittlich? 2P Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 6) Zwei unabhängige Aufgaben, je 5 P (Teil b ist auf der nächsten Seite) a) Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeit Beim Glücksspiel mit einem einarmigen Banditen betätigt man alle drei Walzen gleichzeitig. Diese rotieren und zeigen nach einer bestimmten Zeit eines der Symbole an. In einem Casino sind die drei Walzen wie folgt belegt: Walze 1 Walze 2 Walze 3 i) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf allen drei Walzen gleichzeitig die „7“ erscheint? ii) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass auf allen drei Walzen die gleiche Frucht erscheint? iii) Für ein Glücksspiel zahlt man 2 Franken Einsatz und darf dann drei Mal hintereinander die Walze 1 betätigen (die anderen beiden Walzen werden nicht benötigt). Für die Kombination "7", "Banane", "Birne" in genau dieser Reihenfolge gewinnt man 100 Franken. Für die Kombination "Apfel", "Banane", "Birne" in einer beliebigen Reihenfolge gewinnt man 1 Franken. In allen anderen Fällen verliert man den Einsatz. Beschreiben Sie das Spiel mit einer Zufallsvariablen X und stellen Sie eine Prognose für den zu erwartenden Gewinn oder Verlust bei einem Spiel. 1P 1P 3P MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn b) Extremalaufgabe 5P Biologen untersuchen das strategische Verhalten von Mäusen. Dafür bewerten sie verschiedene Wegstrecken mit Risikopunkten. Die Maus sitzt an der Stelle X, sie ist sehr hungrig. An der Stelle K liegt ein grosses Stück Käse. Der Weg über die schraffierte Fläche ist allerdings so gestaltet, dass jeder dm mit 4 Risikopunkten bewertet ist. Der Weg entlang des schwarzen Balkens ist für die Maus ungefährlicher und deshalb nur mit 2 Risikopunkten pro dm belegt. Welchen Weg sollte die Maus wählen, um mit möglichst wenig Risikopunkten zum Käse zu gelangen? X 3 dm 10 dm K (Käse) Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013 Kantonsschule Romanshorn 1 MATURITÄTSPRÜFUNGEN 2013
