Zusammenfassung Mathe Stochastik 18.05.10

Mathematik LK
Mark Kremer
Zusammenfassung
Stochastik
18.05.10
Stochastik
Laplace – Versuch
Alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, man muss nur zählen wieviele
Ergebnisse zum Ereignis gehören.
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
P( E ) =
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Bernoulli – Versuch
Es gibt entweder Erfolg oder Misserfolg.
Sreuung – Empirische Standardabweichung
Streuung bezeichnet die Abweichung zum Mittelwert.
Der Mittelwert errechnet sich wie folgt:
x + x 2 + x 4 + x5 + ... + x n
x= 1
n
Dabei gilt:
x ist der Wert für ein bestimmtes Ereignis, bsp. die Sprunghöhe
n ist die Anzahl der gesamten Werte
Für die Streuung an sich gilt:
s=
( x1 − x ) 2 ⋅ n1 + ( x2 − x ) 2 ⋅ n2 + ( x3 − x ) 2 ⋅ n3 + ... + ( xm − x ) 2 ⋅ nm
n
n ist die Anzahl aller Werte n1 etc. ist die Anzahl der jeweilig zugehörigen x1 etc. Werte.
Man Quadriert und zieht die Wurzel, damit alle Werte positiv sind.
Es ergibt sich:
s=
( x1 − x ) 2 ⋅ n1 + ( x2 − x ) 2 ⋅ n2 + ( x3 − x ) 2 ⋅
n3
2 n
+ ... + ( x m − x ) ⋅ m
n
n
n
n
nm
ist die relative Häufigkeit, d.h., dass die Standardabweichung von der relativen Häufigkeit
n
abhängt. (Häufig vorkommende Werte haben stärkere Gewichtung)
Vierfeldertafel
A
A
Summen
B
P(A∩B)
P( A ∩B)
P(B)
B
P(A∩ B ) P( A ∩ B ) P( B )
P(A)
P( A )
1
Nicht abgelesen werden können bedingte Wahrscheinlichkeiten:
PB ( A) = P ( A B ) Die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt, unter der Bedingung, dass B bereits
eingetreten ist. (A geschnitten B)
-1-
Mathematik LK
Mark Kremer
Zusammenfassung
Stochastik
18.05.10
Satz von Bayes & stochastische Unabhängigkeit
Bei der Betrachtung der Pfade eines Baumdiagrammes ergibt sich:
P( A ∩ B)
P ( A)
Wenn allerdings die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe nicht von denen der ersten Stufe
abhängen, dann nennt man dies stochastisch unabhängig.
Formell heißt das: PB ( A) = P ( A) , also P ( A) ⋅ P ( B ) = P ( A ∩ B )
P( A) ⋅ PA ( B ) = P( A ∩ B) im Umkehrschluss ergibt sich, dass PA ( B ) =
Binomialverteilung
Beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße (z.B. X: Anzahl der Erfolge)
bei einem n – stufigen Bernoulliversuch.
Zufallsgröße:
Beschreibt die Funktion, bei der jedem Ergebnis genau eine reele Zahl zugeordnet wird. Die
Zahlen heißen Werte der Zufallsgröße.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Funktion, die jedem Ereignis/Wert einer Zufallsgröße genau eine Wahrscheinlichkeit
zuordnet. Darstellung durch Tabelle, Histogramm oder Term.
Der besagte Term basiert auf folgender Formel:
 n
P ( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n − k
 k
Wenn k Erfolge Vorliegen, braucht man quasi einen Pfad der k Erfolge beeinhaltet, da der
Pfad (sofern k ≠ n) aber auch (n-k) Misserfolge beeinhaltet (also den Rest), muss dies ebenso
bedacht werden. Also gilt für den gesuchten Pfad: p k ⋅ (1 − p ) n − k
Da es, wenn k ≠ n und k ≠ 0 mehr als einen Pfad gibt, bestimmt man durch das n über k die
restliche Anzahl der Pfade.
Zur Erinnerung:
n
n!
  =
 k  k!(n − k )!
Werden aus n verschiedenen Dingen k (Dinge) ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
ausgewählt, so gibt es „n über k“ Möglichkeiten.
Wenn eine höchstens oder mindestens Berechnung durchgeführt wird, muss man die Summe
bilden, da alle Wahrscheinlichkeiten bis zu einem bestimmten Grad gefordert werden.
k  n

 
P ( X ≤ k ) = ∑    ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n − k 
k= 0   k 

Erwartungswert
Der Erwartungswert bei der Binomialverteilung ergibt sich aus n multipliziert mit p.
µ = n⋅ p
Standardabweichung
Wie bei der Statistik, gibt es eine Standardabweichung einer Zufallsgröße, jedoch ist diese
nicht von der relativen Häufigkeit, sondern von einer Wahrscheinlichkeit abhängig P ( X = am
).
-2-
Mathematik LK
Mark Kremer
Zusammenfassung
Stochastik
18.05.10
Allgemein wird diese durch
σ = ( a1 − µ
beschrieben.
) 2 ⋅ P( X
= a1 ) + ( a 2 − µ
) 2 ⋅ P( X
= a 2 ) + ... + ( a m − µ
) 2 ⋅ P( X
= am )
Für die Binomialverteilung bei einer gegebenen n-stufigen Bernoulli-kette, gilt:
σ = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Sigma Umgebung
Die Umgebung um μ, welche symmetrisch ist, wird als Sigma Umgebung betrachtet.
Es liegt eine Binomialverteilung vor, für welche man die Umgebung um μ betrachtet.
Man stellt folglich auf:
P( µ − k ⋅ σ ≤ X ≤ µ + k ⋅ σ ) = p k
Folglich kann k so bestimmt werden, dass z.B. mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% die
Anzahl Erfolge in dem definierten Bereich sind.
Für bestimmte Werte gibt es vorgegebene Regeln, sofern die Standardabweichung größer als
3 ist.
(Siehe Formelsammlung S. 43)
Konfidenzintervalle etc.
Mit diesen Regeln kann man zweierlei Probleme lösen:
1. Man hat eine Stichprobe gegeben und muss auf die Wahrscheinlichkeit (welche
ebenso in ein Intervall gebettet ist) schließen
2. Man hat eine Wahrscheinlichkeit und berechnet die Werte der Zufallsgröße
Die Vorgehensweisen sind ähnlich:
• n ist in beiden Fällen gegeben
• entweder ist dann X oder p gegeben
• man setzt also nur noch ein:
n⋅ p +
n⋅ p −
n ⋅ p ⋅ (1 − p ) = X
n ⋅ p ⋅ (1 − p ) = X
-3-