Grundwissen zur Stochastik

Grundwissen zur Stochastik
Grundwissen zur Stochastik
Inhalt:
ABHÄNGIGE EREIGNISSE ..........................................................................................................2
ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN ........................................................2
ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN........................2
ABSOLUTE HÄUFIGKEIT............................................................................................................2
ALLGEMEINE SUMMENREGEL ...................................................................................................2
AUSLASTUNGSMODELL ............................................................................................................2
BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH ABHÄNGIGER EREIGNISSE .............2
BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH UNABHÄNGIGER EREIGNISSE .........2
BERNOULLI-VERSUCH ..............................................................................................................2
BINOMIALVERTEILUNG .............................................................................................................3
EIGENSCHAFTEN DER RELATIVEN HÄUFIGKEIT ...........................................................................3
ELEMENTARE SUMMENREGEL...................................................................................................3
EMPIRISCHES GESETZ DER GROßEN ZAHLEN ............................................................................3
ERGEBNIS ...............................................................................................................................3
ERGEBNISRAUM .......................................................................................................................3
EREIGNIS.................................................................................................................................4
ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖßE ...............................................................................4
ERWARTUNGSWERT BEI EINER BINOMIALVERTEILUNG................................................................4
GESETZ DER GROßEN ZAHLEN .................................................................................................4
HÄUFIGKEITSINTERPRETATION UND ERWARTUNGSWERT ............................................................4
KOMBINATORISCHE GRUNDBEGRIFFE .......................................................................................4
KOMPLEMENTÄRREGEL ............................................................................................................5
KUGEL-FÄCHER-MODELL .........................................................................................................5
KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG .........................................................................................5
LAPLACE-REGEL .....................................................................................................................5
LAPLACE-VERSUCH .................................................................................................................5
MITTLERE WARTEZEIT ZWISCHEN ZWEI ERFOLGEN ....................................................................5
PFADADDITIONSREGEL .............................................................................................................6
PFADMULTIPLIKATIONSREGEL ..................................................................................................6
RELATIVE HÄUFIGKEIT .............................................................................................................6
SATZ VON BAYES.....................................................................................................................6
SICHERES BZW. UNMÖGLICHES EREIGNIS ..................................................................................6
UNABHÄNGIGE EREIGNISSE ......................................................................................................6
UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN .......................................................................................6
UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN ......................................................6
UNMÖGLICHES EREIGNIS ..........................................................................................................6
VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILUNGEN .........................................6
VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSGRÖßE ...................................................6
VERFEINERUNG .......................................................................................................................7
VERGRÖBERUNG .....................................................................................................................7
WAHRSCHEINLICHKEIT .............................................................................................................7
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG.........................................................................................7
ZUFALLSEXPERIMENT...............................................................................................................7
ZUFALLSGRÖßE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN .....................................................7
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 1 von 7
Grundwissen zur Stochastik
Abhängige Ereignisse
S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse
Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen
Hängt die Wahrscheinlichkeit für das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorherigen Stufe ab, dann heißen diese Ergebnisse voneinander abhängig. Im Baumdiagramm sind
voneinander abhängige Teilergebnisse durch unterschiedliche Teilbäume zu erkennen. Umgekehrt ist Kennzeichen voneinander unabhängiger Teilergebnisse im Baumdiagramm gleiche
Teilbäume.
Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
Stehen die (relativen oder absoluten) Häufigkeiten in den Spalten oder in den Zeilen einer
Vierfeldertafel im gleichen festen Zahlenverhältnis, dann sind die zugehörigen Merkmale
voneinander unabhängig; sonst sind sie voneinander abhängig.
Absolute Häufigkeit
Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl, wie häufig ein Ergebnis aufgetreten
ist. Im einführenden Notenbeispiel wurde beispielsweise in einem Fall sechsmal für 30 Schüler die Note 2 vergeben. S. a. Relative Häufigkeit.
Allgemeine Summenregel
Setzt sich ein Ereignis E aus Ereignissen E1 und E2 zusammen, die sich überschneiden können, d. h. die gemeinsame Ergebnisse enthalten können, dann muss man darauf achten, dass
diese gemeinsamen Ergebnisse nicht doppelt berücksichtigt werden. Für E1 ∩ E 2 ≠ ∅ gilt:
P(E1 ∪ E 2 ) = P (E1 ) + P (E 2 ) − P (E1 ∩ E 2 )
Auslastungsmodell
Während eines gewissen Zeitraums üben n Personen pro Stunde (im Mittel m Minuten) eine
bestimmte Tätigkeit aus. Sofern die Personen dies unabhängig voneinander tun, erscheint es
angemessen, mithilfe eines Binomialmodells die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass
k Personen gleichzeitig diese Tätigkeit ausüben:
k
 n  m  
m
P(X = k) =   ⋅
⋅ 1−
 k  60   60
n −k
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse
Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P( A ∩ B) = PB ( A ) ⋅ P (B) .
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse
Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P(A ∩ B) = P(A)⋅ P(B) . Bei stochastisch abhängigen Ereignisse A und B ist also P( A ) = PB ( A) .
Bernoulli-Versuch
Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Versuch. Diese Ergebnisse bezeichnet man als Erfolg bzw. Misserfolg.
Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt und ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q= 1 - p nicht, so spricht man von einem nstufigen Bernoulli-Versuch.
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 2 von 7
Grundwissen zur Stochastik
Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße
X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet sich nach der Formel:
n  k n− k
P(X = k) =   p q
 k
 n k
n− k
=   p (1− p)
 k
Berechnung mit GTR: 2nd DISTR 0:binompdf(. Dieser Befehl berechnet die Wahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der
Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binompdf(n,p)
für alle k = 0,...,n bzw. binompdf(n,p,k) für ein ganz bestimmtes k.
S. a. Kumulierte Binomialverteilung.
Eigenschaften der relativen Häufigkeit
Eigenschaften der relativen Häufigkeit eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge:
• Die relative Häufigkeit hn eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge mit n Versuchen ist
eine rationale Zahl aus dem Intervall [0;1], d.h. für alle ω ∈ Ω gilt: 0 ≤ hn (A) ≤ 1.
• Die relative Häufigkeit hn eines Ereignisses A (A ≠ ∅) ist gleich der Summe der relativen
Häufigkeiten derjenigen Elementarereignisse, deren Vereinigung A ist. hn (A ) =
∑ h (ω )
n
ω∈A
• Das unmögliche Ereignis ∅ tritt nie ein, d.h. hn (∅) = 0 .
• Das sichere Ereignis Ω tritt dagegen bei jedem Versuch ein. Somit gilt: hn (Ω) = 1
S. a. Relative Häufigkeit.
Elementare Summenregel
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem
Ereignis zusammen. Gehören zum Ereignis E die Ergebnisse a1 ; a2 ;…; am , so gilt für die
Wahrscheinlichkeit P(E ) des Ereignisses E
P(E ) = P (a1 ) + P(a2 ) + ⋯ + P (am )
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der
zu E gehörenden Ergebnisse a1 ; a2 ;…; am .
Empirisches Gesetz der Großen Zahlen
Bei langen Versuchsreihen, also bei häufiger Wiederholung eines Zufallsversuchs, liegen die
relativen Häufigkeiten eines Ergebnisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Ergebnis
Ein Ergebnis (häufig auch Elementarereignis genannt) ist ein Versuchsausgang eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist der Ausgang WZWZ ein mögliches Ergebnis, das zur Note 3 führt.
Ergebnisraum
Unter dem Ergebnisraum versteht man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Jedem Versuchsausgang wird höchstens ein Element aus dem Ergebnisraum Ω
mit Ω = {ω1;ω 2 ;ω 3 ;⋯;ω n } zugeordnet. Die Elemente ω i des Ergebnisraums Ω sind die Erzusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 3 von 7
Grundwissen zur Stochastik
gebnisse des Zufallexperimentes, es gilt ω i ∈ Ω . Im einführenden Notenbeispiel lautet ein
sinnvoll gewählter Ergebnisraum: Ω = {ZZZZ; ZZZW; ZZWZ; ZWZZ; WZZZ; ZZWW; ZWZW;
ZWWZ; WZZW; WZWZ; WWZZ; WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW; WWWW}.
Ereignis
Ergebnisse können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Im einführenden Notenbeispiel
ergibt sich das Ereignis „Note 4“ aus den vier verschiedenen Ergebnissen WWWZ; WWZW;
WZWW; ZWWW.
Erwartungswert einer Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte al, a2,..., am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a1 ) ,
P( X = a2 ) ,..., P( X = am ) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E ( X ) der Verteilung
als Erwartungswert der Zufallsgröße X bezeichnet. Es gilt:
E(X ) = ∑i=1 ai ⋅ P(X = ai ) = a1 ⋅ P(X = a1 ) + ...+ am ⋅ P(X = am )
m
Der Erwartungswert E(X ) wird auch mit µ (lies: mü) bezeichnet. Es gilt also µ = E ( X ) .
Erwartungswert bei einer Binomialverteilung
Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für den
Erwartungswert µ der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt: µ = E ( X ) = n ⋅ p
S. a. Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert.
Gesetz der Großen Zahlen
S. Empirisches Gesetz der Großen Zahlen
Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert
Die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit besagt: Hat ein bestimmtes Ergebnis
eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass nach
einer großen Zahl n von Versuchsdurchführungen das Ergebnis ungefähr n ⋅ p -mal auftreten
wird. Voraussetzung ist, dass die Versuchsbedingungen unverändert gelten müssen.
Bei der Häufigkeitsinterpretation spricht man deshalb auch nur von ungefähr n ⋅ p zu erwartenden Erfolgen. S. a. Erwartungswert einer Zufallsgröße und Erwartungswert bei einer Binomialverteilung.
Kombinatorische Grundbegriffe
Anzahlbestimmungen werden mit den Formeln der Tabelle vorgenommen.
Stichproben vom Umfang k aus einer nelementigen Menge
Mit Zurücklegen
Unter Beachtung der
Reichenfolge
n
k
Berechnung mit GTR
Ohne Beachtung der
Reihenfolge
Ohne Zurücklegen
(n)k =
n!
(n − k)!
Wert 1 ^ Wert 2
MATH PRB 2:nPr
Wert 1 nPr Wert 2
 k + n −1


 k 
 n
 
k 
siehe rechts
MATH PRB 3:nCr
Wert 1 nCr Wert 2
Berechnung mit GTR
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Permutationen (unterscheidbare Murmeln)
Kombinationen (gleichartige Murmeln)
Seite 4 von 7
Grundwissen zur Stochastik
Mit Mehrfachbeset- Ohne Mehrfachbeset- Verteilung von k Kuzung
zung
geln auf n Fächer
Komplementärregel
Schließen sich zwei Ereignisse E1, E2 gegenseitig aus und ergänzen sie sich so, dass es kein
Ergebnis des Zufallsversuchs gibt, das weder zu E1 noch zu E2 gehört, dann ergänzen sich die
Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zu eins: Für E1 ∩ E 2 = ∅ und E1 ∪ E 2 = Ω gilt:
P(E1 ) + P (E 2 ) = 1
Kugel-Fächer-Modell
Gegeben sind n Kugeln, die auf f Fächer zufällig verteilt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dann auf ein beliebig ausgewähltes Fach 0, 1, 2,..., n Kugeln verteilt? Zufallsversuche von dieser Art können als n-stufige Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrschein1
lichkeit
aufgefasst und mit dem Binomialansatz gelöst werden.
f
Kumulierte Binomialverteilung
Bei der kumulierten Binomialverteilung werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Die Verteilung etwa für mindestens k Erfolge berechnet sich nach der Formel:
 n i n − i
P(X ≤ k) = ∑  p q
i= 0  i 
k
Berechnung mit GTR: 2nd DISTR A:binomcdf(. Dieser Befehl berechnet die Summenwahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl
der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binomcdf(n,p) für die Angabe aller Summen von k = 0,...,n bzw. binomcdf(n,p,k) für die
Summe der ersten k Einzelwahrscheinlichkeiten. S. a. Binomialverteilung.
Laplace-Regel
Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit P(E ) eines Ereignisses:
P(E ) =
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
Anzahl aller möglichen Ergebnisse
Laplace-Versuch
Bei einem Laplace-Versuch geht man davon aus, dass alle möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wenn man also jedem Ergebnis die Wahr1
scheinlichkeit p =
zuordnet, dann ist dies eine ModellAnzahl aller möglichen Ergebnisse
Annahme (Laplace-Modell).
Mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen
Der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit entspricht auch die Aussage, dass die
1
1
mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen
ist. Anders formuliert: Im Mittel ist jeder -te
p
p
Versuch erfolgreich. Beispielsweise kommen auf 6 Würfe ungefähr 1 Erfolg. Auf n Würfe
kommen ungefähr n ⋅ p Erfolge.
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 5 von 7
Grundwissen zur Stochastik
Pfadadditionsregel
Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden (im
Baumdiagramm) zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch
Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten.
Pfadmultiplikationsregel
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines
Pfades im Baumdiagramm) gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Relative Häufigkeit
Unter dem Begriff der relativen Häufigkeit versteht man den Quotienten aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl der Versuche. Im einführenden Notenbeispiel musste daher gerechnet
6 1
werden
= = 0,2 = 20% .
30 5
S. a. Eigenschaften der relativen Häufigkeit und Absolute Häufigkeit.
Satz von Bayes
Sei A ein Ereignis, dass unter der Bedingung B gilt, also von B abhängig ist. Dann gilt für die
Wahrscheinlichkeit PB ( A ) für das Ereignis A unter der Bedingung B die Bayes´sche Regel:
P(A ∩ B)
PB (A) =
P(B)
Sicheres bzw. unmögliches Ereignis
Ein Versuchsausgang, der nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis. Ein Versuchsausgang, der dagegen in jedem Fall eintreten wird, heißt sicheres Ereignis. Im einführenden Notenbeispiel ist es sicher, dass jeder Schüler eine Note bekommt.
Standardabweichung
S. Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen und Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße
Unabhängige Ereignisse
S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse
Unabhängigkeit von Ergebnissen
S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen
Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
Unmögliches Ereignis
S. Sicheres bzw. unmögliches Ereignis
Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen
Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Für die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge berechnet sich die Varianz V ( X ) = n ⋅ p ⋅ q und die Standardabweichung σ = V (X) = n ⋅ p ⋅ q .
Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert µ nehme die Werte al, a2,..., am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a1 ) , P( X = a2 ) ,..., P( X = am ) an. Als Varianz V(X) der Zufallsgröße
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 6 von 7
Grundwissen zur Stochastik
X bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert
µ der Zufallsgröße X. Es gilt:
V(X ) = ∑i=1 (ai − µ) ⋅ P(X = ai ) = (a1 − µ) ⋅ P(X = a1 ) + ...+ (am − µ) ⋅ P(X = am )
m
2
2
2
Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße heißt Standardabweichung σ: Es gilt:
σ = V (X)
Verfeinerung
Beispiel Würfel: Der relativ genaue Ergebnisraum Ω ={1;2;3;4;5;6} wird anstelle des ungenaueren Ergebnisraumes Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade}betrachtet. Eine Verfeinerung bedeutet einen Gewinn an Information.
Vergröberung
Beispiel Würfel: Anstelle des relativ genauen Ergebnisraumes Ω ={1;2;3;4;5;6} wird der
ungenauere Ergebnisraum Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade} betrachtet. Eine
Vergröberung bedeutet einen Verlust an Information.
Wahrscheinlichkeit
Unter der Wahrscheinlichkeit versteht man die bestmögliche Prognose für die relative Häufigkeit eines Ausgangs eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist die
1
Wahrscheinlichkeit, das beim Wurf einer Münze Wappen fällt, gerade P(Wappen) = . Das
2
„P“ steht für das englische probability, Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P (ω ) zu jedem Elementarereignis ω über dem Ergebnisraum Ω hat folgende Eigenschaften:
• Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses ist eine rationale Zahl aus dem Intervall
[0;1], d.h. 0 ≤ P (ω ) ≤ 1.
• Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1, d.h.
∑ P (ω ) = 1.
ω∈A
• Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0, d.h. P(∅) = 0 .
• Die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse, d.h. P(A ) = ∑ P (ω ).
ω∈A
S. a. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein (theoretisch) beliebig oft wiederholbarer Versuch, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt. Im einführenden Notenbeispiel konnte
durch den Münzwurf nicht vorhergesagt werden, wie eine bestimmte Note für eine Arbeit
lauten wird. Sicher war nur, dass es eine Note zwischen 1 und 5 geben würde.
Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallsgrößen sind quantitative Merkmale bei Zufallsversuchen. Zu jedem Ergebnis eines
solchen Zufallsversuchs gehört ein Wert der Zufallsgröße. Jeder Wert der Zufallsgröße tritt
mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf. Häufig gibt man die Werte der Zufallsgröße
und deren zugehörige Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle an. Diese Tabelle beschreibt die
(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung der Zufallsgröße. S. a. Wahrscheinlichkeitsverteilung.
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
Seite 7 von 7