# Grundwissen zur Stochastik

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```Grundwissen zur Stochastik
Grundwissen zur Stochastik
Inhalt:
ABH&Auml;NGIGE EREIGNISSE ..........................................................................................................2
ABH&Auml;NGIGKEIT UND UNABH&Auml;NGIGKEIT VON ERGEBNISSEN ........................................................2
ABH&Auml;NGIGKEIT UND UNABH&Auml;NGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN........................2
ABSOLUTE H&Auml;UFIGKEIT............................................................................................................2
ALLGEMEINE SUMMENREGEL ...................................................................................................2
AUSLASTUNGSMODELL ............................................................................................................2
BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH ABH&Auml;NGIGER EREIGNISSE .............2
BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH UNABH&Auml;NGIGER EREIGNISSE .........2
BERNOULLI-VERSUCH ..............................................................................................................2
BINOMIALVERTEILUNG .............................................................................................................3
EIGENSCHAFTEN DER RELATIVEN H&Auml;UFIGKEIT ...........................................................................3
ELEMENTARE SUMMENREGEL...................................................................................................3
EMPIRISCHES GESETZ DER GRO&szlig;EN ZAHLEN ............................................................................3
ERGEBNIS ...............................................................................................................................3
ERGEBNISRAUM .......................................................................................................................3
EREIGNIS.................................................................................................................................4
ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGR&Ouml;&szlig;E ...............................................................................4
ERWARTUNGSWERT BEI EINER BINOMIALVERTEILUNG................................................................4
GESETZ DER GRO&szlig;EN ZAHLEN .................................................................................................4
H&Auml;UFIGKEITSINTERPRETATION UND ERWARTUNGSWERT ............................................................4
KOMBINATORISCHE GRUNDBEGRIFFE .......................................................................................4
KOMPLEMENT&Auml;RREGEL ............................................................................................................5
KUGEL-F&Auml;CHER-MODELL .........................................................................................................5
KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG .........................................................................................5
LAPLACE-REGEL .....................................................................................................................5
LAPLACE-VERSUCH .................................................................................................................5
MITTLERE WARTEZEIT ZWISCHEN ZWEI ERFOLGEN ....................................................................5
RELATIVE H&Auml;UFIGKEIT .............................................................................................................6
SATZ VON BAYES.....................................................................................................................6
SICHERES BZW. UNM&Ouml;GLICHES EREIGNIS ..................................................................................6
UNABH&Auml;NGIGE EREIGNISSE ......................................................................................................6
UNABH&Auml;NGIGKEIT VON ERGEBNISSEN .......................................................................................6
UNABH&Auml;NGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN ......................................................6
UNM&Ouml;GLICHES EREIGNIS ..........................................................................................................6
VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILUNGEN .........................................6
VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSGR&Ouml;&szlig;E ...................................................6
VERFEINERUNG .......................................................................................................................7
VERGR&Ouml;BERUNG .....................................................................................................................7
WAHRSCHEINLICHKEIT .............................................................................................................7
WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG.........................................................................................7
ZUFALLSEXPERIMENT...............................................................................................................7
ZUFALLSGR&Ouml;&szlig;E UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN .....................................................7
zusammengestellt von Hendrik van Duijn
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Grundwissen zur Stochastik
Abh&auml;ngige Ereignisse
S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abh&auml;ngiger Ereignisse
Abh&auml;ngigkeit und Unabh&auml;ngigkeit von Ergebnissen
H&auml;ngt die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorherigen Stufe ab, dann hei&szlig;en diese Ergebnisse voneinander abh&auml;ngig. Im Baumdiagramm sind
voneinander abh&auml;ngige Teilergebnisse durch unterschiedliche Teilb&auml;ume zu erkennen. Umgekehrt ist Kennzeichen voneinander unabh&auml;ngiger Teilergebnisse im Baumdiagramm gleiche
Teilb&auml;ume.
Abh&auml;ngigkeit und Unabh&auml;ngigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
Stehen die (relativen oder absoluten) H&auml;ufigkeiten in den Spalten oder in den Zeilen einer
Vierfeldertafel im gleichen festen Zahlenverh&auml;ltnis, dann sind die zugeh&ouml;rigen Merkmale
voneinander unabh&auml;ngig; sonst sind sie voneinander abh&auml;ngig.
Absolute H&auml;ufigkeit
Unter der absoluten H&auml;ufigkeit versteht man die Anzahl, wie h&auml;ufig ein Ergebnis aufgetreten
ist. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel wurde beispielsweise in einem Fall sechsmal f&uuml;r 30 Sch&uuml;ler die Note 2 vergeben. S. a. Relative H&auml;ufigkeit.
Allgemeine Summenregel
Setzt sich ein Ereignis E aus Ereignissen E1 und E2 zusammen, die sich &uuml;berschneiden k&ouml;nnen, d. h. die gemeinsame Ergebnisse enthalten k&ouml;nnen, dann muss man darauf achten, dass
diese gemeinsamen Ergebnisse nicht doppelt ber&uuml;cksichtigt werden. F&uuml;r E1 ∩ E 2 ≠ ∅ gilt:
P(E1 ∪ E 2 ) = P (E1 ) + P (E 2 ) − P (E1 ∩ E 2 )
Auslastungsmodell
W&auml;hrend eines gewissen Zeitraums &uuml;ben n Personen pro Stunde (im Mittel m Minuten) eine
bestimmte T&auml;tigkeit aus. Sofern die Personen dies unabh&auml;ngig voneinander tun, erscheint es
angemessen, mithilfe eines Binomialmodells die Wahrscheinlichkeit daf&uuml;r zu berechnen, dass
k Personen gleichzeitig diese T&auml;tigkeit aus&uuml;ben:
k
 n  m  
m
P(X = k) =   ⋅
⋅ 1−
 k  60   60
n −k
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abh&auml;ngiger Ereignisse
F&uuml;r zwei stochastisch abh&auml;ngige Ereignisse A und B gilt: P( A ∩ B) = PB ( A ) ⋅ P (B) .
Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabh&auml;ngiger Ereignisse
F&uuml;r zwei stochastisch abh&auml;ngige Ereignisse A und B gilt: P(A ∩ B) = P(A)⋅ P(B) . Bei stochastisch abh&auml;ngigen Ereignisse A und B ist also P( A ) = PB ( A) .
Bernoulli-Versuch
Ein Zufallsversuch mit nur zwei m&ouml;glichen Ergebnissen hei&szlig;t Bernoulli-Versuch. Diese Ergebnisse bezeichnet man als Erfolg bzw. Misserfolg.
Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgef&uuml;hrt und &auml;ndert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q= 1 - p nicht, so spricht man von einem nstufigen Bernoulli-Versuch.
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Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e
X: Anzahl der Erfolge hei&szlig;t Binomialverteilung.
Die Wahrscheinlichkeit f&uuml;r k Erfolge berechnet sich nach der Formel:
n  k n− k
P(X = k) =   p q
 k
 n k
n− k
=   p (1− p)
 k
Berechnung mit GTR: 2nd DISTR 0:binompdf(. Dieser Befehl berechnet die Wahrscheinlichkeit bei Anzahl k f&uuml;r die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der
Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p f&uuml;r jeden Versuch. Eingabe: binompdf(n,p)
f&uuml;r alle k = 0,...,n bzw. binompdf(n,p,k) f&uuml;r ein ganz bestimmtes k.
S. a. Kumulierte Binomialverteilung.
Eigenschaften der relativen H&auml;ufigkeit
Eigenschaften der relativen H&auml;ufigkeit eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge:
• Die relative H&auml;ufigkeit hn eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge mit n Versuchen ist
eine rationale Zahl aus dem Intervall [0;1], d.h. f&uuml;r alle ω ∈ Ω gilt: 0 ≤ hn (A) ≤ 1.
• Die relative H&auml;ufigkeit hn eines Ereignisses A (A ≠ ∅) ist gleich der Summe der relativen
H&auml;ufigkeiten derjenigen Elementarereignisse, deren Vereinigung A ist. hn (A ) =
∑ h (ω )
n
ω∈A
• Das unm&ouml;gliche Ereignis ∅ tritt nie ein, d.h. hn (∅) = 0 .
• Das sichere Ereignis Ω tritt dagegen bei jedem Versuch ein. Somit gilt: hn (Ω) = 1
S. a. Relative H&auml;ufigkeit.
Elementare Summenregel
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem
Ereignis zusammen. Geh&ouml;ren zum Ereignis E die Ergebnisse a1 ; a2 ;…; am , so gilt f&uuml;r die
Wahrscheinlichkeit P(E ) des Ereignisses E
P(E ) = P (a1 ) + P(a2 ) + ⋯ + P (am )
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der
zu E geh&ouml;renden Ergebnisse a1 ; a2 ;…; am .
Empirisches Gesetz der Gro&szlig;en Zahlen
Bei langen Versuchsreihen, also bei h&auml;ufiger Wiederholung eines Zufallsversuchs, liegen die
relativen H&auml;ufigkeiten eines Ergebnisses in der N&auml;he der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.
Ergebnis
Ein Ergebnis (h&auml;ufig auch Elementarereignis genannt) ist ein Versuchsausgang eines Zufallsexperimentes. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel ist der Ausgang WZWZ ein m&ouml;gliches Ergebnis, das zur Note 3 f&uuml;hrt.
Ergebnisraum
Unter dem Ergebnisraum versteht man die Menge aller m&ouml;glichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Jedem Versuchsausgang wird h&ouml;chstens ein Element aus dem Ergebnisraum Ω
mit Ω = {ω1;ω 2 ;ω 3 ;⋯;ω n } zugeordnet. Die Elemente ω i des Ergebnisraums Ω sind die Erzusammengestellt von Hendrik van Duijn
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gebnisse des Zufallexperimentes, es gilt ω i ∈ Ω . Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel lautet ein
sinnvoll gew&auml;hlter Ergebnisraum: Ω = {ZZZZ; ZZZW; ZZWZ; ZWZZ; WZZZ; ZZWW; ZWZW;
ZWWZ; WZZW; WZWZ; WWZZ; WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW; WWWW}.
Ereignis
Ergebnisse k&ouml;nnen zu Ereignissen zusammengefasst werden. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel
ergibt sich das Ereignis „Note 4“ aus den vier verschiedenen Ergebnissen WWWZ; WWZW;
WZWW; ZWWW.
Erwartungswert einer Zufallsgr&ouml;&szlig;e
Eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e X nehme die Werte al, a2,..., am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a1 ) ,
P( X = a2 ) ,..., P( X = am ) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E ( X ) der Verteilung
als Erwartungswert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e X bezeichnet. Es gilt:
E(X ) = ∑i=1 ai ⋅ P(X = ai ) = a1 ⋅ P(X = a1 ) + ...+ am ⋅ P(X = am )
m
Der Erwartungswert E(X ) wird auch mit &micro; (lies: m&uuml;) bezeichnet. Es gilt also &micro; = E ( X ) .
Erwartungswert bei einer Binomialverteilung
Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. F&uuml;r den
Erwartungswert &micro; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e X: Anzahl der Erfolge gilt: &micro; = E ( X ) = n ⋅ p
S. a. H&auml;ufigkeitsinterpretation und Erwartungswert.
Gesetz der Gro&szlig;en Zahlen
S. Empirisches Gesetz der Gro&szlig;en Zahlen
H&auml;ufigkeitsinterpretation und Erwartungswert
Die H&auml;ufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit besagt: Hat ein bestimmtes Ergebnis
eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass nach
einer gro&szlig;en Zahl n von Versuchsdurchf&uuml;hrungen das Ergebnis ungef&auml;hr n ⋅ p -mal auftreten
wird. Voraussetzung ist, dass die Versuchsbedingungen unver&auml;ndert gelten m&uuml;ssen.
Bei der H&auml;ufigkeitsinterpretation spricht man deshalb auch nur von ungef&auml;hr n ⋅ p zu erwartenden Erfolgen. S. a. Erwartungswert einer Zufallsgr&ouml;&szlig;e und Erwartungswert bei einer Binomialverteilung.
Kombinatorische Grundbegriffe
Anzahlbestimmungen werden mit den Formeln der Tabelle vorgenommen.
Stichproben vom Umfang k aus einer nelementigen Menge
Mit Zur&uuml;cklegen
Unter Beachtung der
Reichenfolge
n
k
Berechnung mit GTR
Ohne Beachtung der
Reihenfolge
Ohne Zur&uuml;cklegen
(n)k =
n!
(n − k)!
Wert 1 ^ Wert 2
MATH PRB 2:nPr
Wert 1 nPr Wert 2
 k + n −1


 k 
 n
 
k 
siehe rechts
MATH PRB 3:nCr
Wert 1 nCr Wert 2
Berechnung mit GTR
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Permutationen (unterscheidbare Murmeln)
Kombinationen (gleichartige Murmeln)
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Mit Mehrfachbeset- Ohne Mehrfachbeset- Verteilung von k Kuzung
zung
geln auf n F&auml;cher
Komplement&auml;rregel
Schlie&szlig;en sich zwei Ereignisse E1, E2 gegenseitig aus und erg&auml;nzen sie sich so, dass es kein
Ergebnis des Zufallsversuchs gibt, das weder zu E1 noch zu E2 geh&ouml;rt, dann erg&auml;nzen sich die
Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zu eins: F&uuml;r E1 ∩ E 2 = ∅ und E1 ∪ E 2 = Ω gilt:
P(E1 ) + P (E 2 ) = 1
Kugel-F&auml;cher-Modell
Gegeben sind n Kugeln, die auf f F&auml;cher zuf&auml;llig verteilt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dann auf ein beliebig ausgew&auml;hltes Fach 0, 1, 2,..., n Kugeln verteilt? Zufallsversuche von dieser Art k&ouml;nnen als n-stufige Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrschein1
lichkeit
aufgefasst und mit dem Binomialansatz gel&ouml;st werden.
f
Kumulierte Binomialverteilung
Bei der kumulierten Binomialverteilung werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Die Verteilung etwa f&uuml;r mindestens k Erfolge berechnet sich nach der Formel:
 n i n − i
P(X ≤ k) = ∑  p q
i= 0  i 
k
Berechnung mit GTR: 2nd DISTR A:binomcdf(. Dieser Befehl berechnet die Summenwahrscheinlichkeit bei Anzahl k f&uuml;r die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl
der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p f&uuml;r jeden Versuch. Eingabe: binomcdf(n,p) f&uuml;r die Angabe aller Summen von k = 0,...,n bzw. binomcdf(n,p,k) f&uuml;r die
Summe der ersten k Einzelwahrscheinlichkeiten. S. a. Binomialverteilung.
Laplace-Regel
Bei einem Laplace-Versuch gilt f&uuml;r die Wahrscheinlichkeit P(E ) eines Ereignisses:
P(E ) =
Anzahl der zu E geh&ouml;renden Ergebnisse
Anzahl aller m&ouml;glichen Ergebnisse
Laplace-Versuch
Bei einem Laplace-Versuch geht man davon aus, dass alle m&ouml;glichen Ergebnisse des Zufallsversuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wenn man also jedem Ergebnis die Wahr1
scheinlichkeit p =
zuordnet, dann ist dies eine ModellAnzahl aller m&ouml;glichen Ergebnisse
Annahme (Laplace-Modell).
Mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen
Der H&auml;ufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit entspricht auch die Aussage, dass die
1
1
mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen
ist. Anders formuliert: Im Mittel ist jeder -te
p
p
Versuch erfolgreich. Beispielsweise kommen auf 6 W&uuml;rfe ungef&auml;hr 1 Erfolg. Auf n W&uuml;rfe
kommen ungef&auml;hr n ⋅ p Erfolge.
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Grundwissen zur Stochastik
Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden (im
Baumdiagramm) zusammen, dann erh&auml;lt man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch
Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines
Pfades im Baumdiagramm) gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten l&auml;ngs des zugeh&ouml;rigen Pfades im Baumdiagramm.
Relative H&auml;ufigkeit
Unter dem Begriff der relativen H&auml;ufigkeit versteht man den Quotienten aus absoluter H&auml;ufigkeit und Gesamtzahl der Versuche. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel musste daher gerechnet
6 1
werden
= = 0,2 = 20% .
30 5
S. a. Eigenschaften der relativen H&auml;ufigkeit und Absolute H&auml;ufigkeit.
Satz von Bayes
Sei A ein Ereignis, dass unter der Bedingung B gilt, also von B abh&auml;ngig ist. Dann gilt f&uuml;r die
Wahrscheinlichkeit PB ( A ) f&uuml;r das Ereignis A unter der Bedingung B die Bayes&acute;sche Regel:
P(A ∩ B)
PB (A) =
P(B)
Sicheres bzw. unm&ouml;gliches Ereignis
Ein Versuchsausgang, der nicht eintreten kann, hei&szlig;t unm&ouml;gliches Ereignis. Ein Versuchsausgang, der dagegen in jedem Fall eintreten wird, hei&szlig;t sicheres Ereignis. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel ist es sicher, dass jeder Sch&uuml;ler eine Note bekommt.
Standardabweichung
S. Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen und Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgr&ouml;&szlig;e
Unabh&auml;ngige Ereignisse
S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabh&auml;ngiger Ereignisse
Unabh&auml;ngigkeit von Ergebnissen
S. Abh&auml;ngigkeit und Unabh&auml;ngigkeit von Ergebnissen
Unabh&auml;ngigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
S. Abh&auml;ngigkeit und Unabh&auml;ngigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln
Unm&ouml;gliches Ereignis
S. Sicheres bzw. unm&ouml;gliches Ereignis
Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen
Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. F&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e X: Anzahl der Erfolge berechnet sich die Varianz V ( X ) = n ⋅ p ⋅ q und die Standardabweichung σ = V (X) = n ⋅ p ⋅ q .
Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgr&ouml;&szlig;e
Eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e X mit dem Erwartungswert &micro; nehme die Werte al, a2,..., am mit den Wahrscheinlichkeiten P( X = a1 ) , P( X = a2 ) ,..., P( X = am ) an. Als Varianz V(X) der Zufallsgr&ouml;&szlig;e
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X bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert
&micro; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e X. Es gilt:
V(X ) = ∑i=1 (ai − &micro;) ⋅ P(X = ai ) = (a1 − &micro;) ⋅ P(X = a1 ) + ...+ (am − &micro;) ⋅ P(X = am )
m
2
2
2
Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgr&ouml;&szlig;e hei&szlig;t Standardabweichung σ: Es gilt:
σ = V (X)
Verfeinerung
Beispiel W&uuml;rfel: Der relativ genaue Ergebnisraum Ω ={1;2;3;4;5;6} wird anstelle des ungenaueren Ergebnisraumes Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade}betrachtet. Eine Verfeinerung bedeutet einen Gewinn an Information.
Vergr&ouml;berung
Beispiel W&uuml;rfel: Anstelle des relativ genauen Ergebnisraumes Ω ={1;2;3;4;5;6} wird der
Vergr&ouml;berung bedeutet einen Verlust an Information.
Wahrscheinlichkeit
Unter der Wahrscheinlichkeit versteht man die bestm&ouml;gliche Prognose f&uuml;r die relative H&auml;ufigkeit eines Ausgangs eines Zufallsexperimentes. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel ist die
1
Wahrscheinlichkeit, das beim Wurf einer M&uuml;nze Wappen f&auml;llt, gerade P(Wappen) = . Das
2
„P“ steht f&uuml;r das englische probability, Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P (ω ) zu jedem Elementarereignis ω &uuml;ber dem Ergebnisraum Ω hat folgende Eigenschaften:
• Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses ist eine rationale Zahl aus dem Intervall
[0;1], d.h. 0 ≤ P (ω ) ≤ 1.
• Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1, d.h.
∑ P (ω ) = 1.
ω∈A
• Die Wahrscheinlichkeit des unm&ouml;glichen Ereignisses ist 0, d.h. P(∅) = 0 .
• Die Wahrscheinlichkeit eines m&ouml;glichen Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse, d.h. P(A ) = ∑ P (ω ).
ω∈A
S. a. Zufallsgr&ouml;&szlig;e und Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein (theoretisch) beliebig oft wiederholbarer Versuch, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen l&auml;sst. Im einf&uuml;hrenden Notenbeispiel konnte
durch den M&uuml;nzwurf nicht vorhergesagt werden, wie eine bestimmte Note f&uuml;r eine Arbeit
lauten wird. Sicher war nur, dass es eine Note zwischen 1 und 5 geben w&uuml;rde.
Zufallsgr&ouml;&szlig;e und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zufallsgr&ouml;&szlig;en sind quantitative Merkmale bei Zufallsversuchen. Zu jedem Ergebnis eines
solchen Zufallsversuchs geh&ouml;rt ein Wert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e. Jeder Wert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e tritt
mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf. H&auml;ufig gibt man die Werte der Zufallsgr&ouml;&szlig;e
und deren zugeh&ouml;rige Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle an. Diese Tabelle beschreibt die
(Wahrscheinlichkeits-)Verteilung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e. S. a. Wahrscheinlichkeitsverteilung.
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