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2.3. Stochastik
Grundlagen
Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der
Erhebung eingetreten ist.
Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil diese
in der Grundgesamtheit eingetreten ist.
Werden die Ergebnisse in der Reihenfolge ihres Eintretens aufgeschrieben, nennt man eine
solche Darstellung eine URLISTE.
Bei Verkehrszählungen ist es üblich, STRICHLISTEN z.B. für PKW und LKW
anzufertigen. ||||
Das arithmetische Mittel x wird berechnet als Quotient aus der Summe aller beobachteten
Werte und dem Umfang der Stichprobe.
x  x2  ...  xn
x 1
n
Der Mittelwert lässt sich auch berechnen als Summe der Produkte aus den beobachteten
Werten und den dazugehörigen relativen Häufigkeiten.
x  x1  h1  x2  h2  ...  xn  hn
Bei Zufallsversuchen mit “Ausreißern” liefert der Mittelwert kein geeignetes Ergebnis.
Der ZENTRALWERT oder MEDIAN z halbiert die der Größe nach geordnete Datenreihe.
Bei gerader Anzahl der Daten ist der Median gleich dem Mittelwert der beiden mittleren
Werte.
Der MODALWERT m ist der am häufigsten beobachtete Wert.
Werden Zufallsexperimente (z.B. Würfeln) ausreichend oft durchgeführt, so nähert sich die
relative Häufigkeit für ein Ereignis einem stabilen Wert. Dieser stabile Wert ist die
WAHRSCHEINLICHKEIT P(E) (Empirisches Gesetz der großen Zahlen).
Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer kleiner oder gleich 1.
P( E ) 
Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist immer gleich 1.
Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist immer gleich 0.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E und des Gegenereignisses  beträgt zusammen
immer 1.
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Sind alle Ergebnisse eines Zufallsexperimentes gleichwahrscheinlich (z.B. Würfeln), so gilt:
Anzahl der Ergebnisse , bei denen A e int ritt
P( A) 
Anzahl der möglichen Ergebnisse
(LAPLACE-Formel)
ELEMENTARE SUMMENREGEL
Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der
Wahrscheinlichkeit, dass eines dieser Ergebnisse eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu
einem Ereignis zusammen.
Hat ein Ereignis E die Ergebnisse a1 bis an, so gilt
P (E) = P (a1) + P (a2) + … + P (an)
ALLGEMEINE SUMMENREGEL
PE   PE1   PE2   PE1  E2  für E  E1  E2
KOMPLEMENTÄRREGEL
Wenn E1  E2    und E1  E2  S , dann gilt P (E1) + P (E2) = 1
PFADREGEL 1: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades im Baumdiagramm.
PFADREGEL 2: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der
Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die für dieses Ereignis günstig sind.
Kombinatorische Zählprobleme
FAKULTÄT
0! = 1, 1! = 1
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1
n
BINOMIALKOEFFIZIENT  
k 
 n, k   mit k < n gilt:
n
n!
  
 k  k!n  k !
Ist eine Menge mit n Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen Anordnungen
aller dieser Elemente als PERMUTATION.
Permutationen ohne Wiederholung
Sind in einer Menge alle n Elemente untereinander verschieden, so gibt es n! Permutationen.
Permutationen mit Wiederholung
Sind in einer Menge mit n Elementen r, s, t, … gleiche, so gibt es
n!
Permutationen.
r!s!t!...
Ist eine Menge von n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen
Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge in jeder möglichen Reihenfolge als
VARIATION.
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Variationen mit Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge beliebig oft vorkommen, so gibt
es nk Variationen.
Variationen ohne Zurücklegen
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge nur einmal vorkommen, so gibt es
n!
Variationen.
n  k !
Ist eine Menge mit n verschiedenen Elementen gegeben, so bezeichnet man die möglichen
Anordnungen aus je k Elementen dieser Menge ohne Berücksichtigung ihrer Reigenfolge als
KOMBINATIONEN.
Kombinationen mit Wiederholung
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge beliebig oft vorkommen, so gibt
 n  k  1
 Kombinationen.
es 
 k

Kombinationen ohne Wiederholung
Kann jedes der k Elemente aus einer n-elementigen Menge nur einmal vorkommen, so gibt es
n
  Kombinationen.
k 
Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen
ZUFALLSGRÖßEN sind quantitative Merkmale bei Zufallsvsersuchen. Zu jedem Ergebnis
eines solchen Zufallsversuches gehört ein Wert der Zufallsgröße.
Eine Funktion, die jedem Wert einer Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt
eine WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG.
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte a1; a2; … an mit den Wahrscheinlichkeiten P (a1); P
(a2); … P (an) an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E(X) der Verteilung als
ERWARTUNGSWERT  der Zufallsgröße bezeichnet.
Es gilt: E(X) = a1 · P(X=a1) + a2 · P(X=a2) + ... + an · P(X=an)
Kenngrößen der Streuung um den Mittelwert
Die SPANNWEITE d ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten auftretenden
Wert.
d = xmax - xmin
Die MITTLERE QUADRATISCHE ABWEICHUNG s2 kennzeichnet die Streuung der
Werte um den Mittelwert. Sie wird berechnet mit:
( x  x) 2  n1  ( x 2  x) 2  n2  ...  ( x n  x) 2  nn
s2  1
n
2
2
2
oder
s  ( x1  x)  h1  ( x2  x)  h2  ...  ( xn  x) 2  hn
Eine große Streuung lässt auf einen nicht geeigneten Mittelwert schließen.
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Varianz und Standardabweichung bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert  nehme die Werte a1 …an mit den
Wahrscheinlichkeiten P(X = a1) … P(X = an) an.
Als VARIANZ bezeichnet man die mittlere quadratische Abweichung der Zufallsgröße X
vom Erwartungswert .
V(x) = (a1 – )2 · P(X = a1) + … + (an – )2 · P(X = an)
Die Wurzel aus der Varianz heißt STANDARDABWEICHUNG .
 = V (X )
Bernoulli-Versuche
BERNOULLI-VERSUCH
(1) Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt BERNOULLI-VERSUCH.
Die Ergebnisse bezeichnet man als ERFOLG und MISSERFOLG.
(2) Wird ein Bernoulli-Versuch n mal durchgeführt und ändert sich die Wahrscheinlichkeit p
für einen Erfolg und die Wahrscheinlichkeit q (= p – 1) für einen Misserfolg nicht, so spricht
man von einem n-stufigen Bernoulli-Versuch (BERNOULLIKETTE).
Binomialverteilung
Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt
BINOMINALVERTEILUNG.
SATZ: Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet sich nach der Formel:
n
P( X  k )     p k  q n k
k 
Binomialverteilungen lassen sich auch mit Tabellenkalkulationen berechnen. In Excel dienen
dazu folgende Funktionen:
Binomialverteilung:
=BINOMVERT(k;n;p;FALSCH)
kumulierte Binomialverteilung:
=BINOMVERT(k;n;p;WAHR)
n=
p=
Anzahl der
Erfolge
k
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
0,03125
0,15625
0,31250
0,31250
0,15625
0,03125
P(X<=k)
0,03125
0,18750
0,50000
0,81250
0,96875
1,00000
Wahrscheinlichkeit
für „Erfolg“
weniger als
3 Mal
Wappen
höchstens 3
Mal
Wappen
genau 3
Mal
Wappen
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Anzahl der
Versuche
5
0,5
4
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„Mindestens 1-mal Wappen“ entspricht „höchstens 4-mal Zahl“. Man erhält aus der Tabelle
für k = 4 P(X  k) = 0,96875.
„Mehr als 1-mal Wappen“ (P(X > 1) ist das Gegenereignis zu „höchstens 1-mal Wappen“ P(X
 1). Damit ist (P(X > 1) = 1 – 0,1875 = 0,8125.
Kumulierte Binomialverteilung
In Tafelwerken und anderen Tabellen findet man oft kumulierte Binomialverteilungen.
Beispiel:
Etwa 70 % der Haushalte verfügen über einen Internetzugang.
100 Haushalte werden zufällig befragt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von den 100
Haushalten
genau 60 Haushalte
mehr als 60 Haushalte
mindestens 60 Haushalte
höchstens 60 Haushalte
mehr als 60, aber weniger als 70 Haushalte
einen Internetanschluss?
Wir benutzen die Tabelle für n = 100 und p = 0,7.
Wir finden P(X  60) = 0,0210 und P(X  59) = 0,0125
Durch Subtraktion erhalten wir P(X = 60) = 0,0210 –0,0125 = 0,0085.
Wir erhalten P(X>60) als Gegenereignis zu P(X  60)
P(X>60) = 1 – 0,0210 = 0,9790.
„Mindestens 60“ ist das Gegenereignis zu „höchstens 59“
P(X  60) = 1 – 0,0125 = 0,9875
In der Tabelle finden wir P(X  60) = 0,0210.
Von der Wahrscheinlichkeit für höchstens 69 (P(X  69) = 0,4509) zieht man die
Wahrscheinlichkeit für höchsten 60 (P(X  60 = 0,0210) ab.
P(60 < X < 70) = 0,4509 – 0,0210 = 0,4299
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen
ERWARTUNGSWERT EINER BINOMIALVERTEILUNG
Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulliversuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für den
Erwartungswert  der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt:
 = E(X) = n · p
Das Maximum einer Binomialverteilung liegt in der Nähe des Erwartungswertes.
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VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILUNGEN
Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulliversuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der
Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 – p.
Die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge hat
die VARIANZ V(X) = n · p · q
und
die STANDARDABWEICHUNG   n  p  q
Zwischen dem Radius der Umgebung um einen Erwartungswert und der Wahrscheinlichkeit
der Umgebung gibz es eine eindeutige Zuordnung. Diese ist umso genauer, je größer n ist.
Dabei muss  > 3 sein (Laplace-Bedingung).
Für  > 3 gilt:
P( – r  X   +r)
0,90
0,95
0,99
r
1,64 
1,96 
2,58 
Hypothesentests
Der Alternativtest
Testergebnis
Entscheidung für H1
Entscheidung für H2
H1 ist wahr
Sicherheit 1. Art
Fehler 1. Art
H2 ist wahr
Fehler 2. Art
Sicherheit 2. Art
Realität
Beim Testen von Hypothesen unterscheidet man den Annahmebereich und den Ablehungsoder Verwerfungsbereich. Liegt ein Ergebnis im Verwerfungsbereich, hält man die Hypothese
für falsch.
Beim Testen von Hypothesen können zwei Fehler unterlaufen:
Fehler 1. Art: Eine wahre Hypothese wird verworfen.
Fehler 2. Art: Eine falsche Hypothese wird nicht verworfen.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art wird mit  bezeichnet, diejenige für einen
Fehler 2. Art mit .
Zweiseitiger Hypothesentest
Eine Münze wird 500-mal geworfen. Für „Wappen“ gilt p = 0,5. Es ist also  = 250. Es soll
untersucht werden, ob die Münze in Ordnung ist (Laplace-Versuch).
Wir stellen eine Hypothese auf. Die erste Hypothese wird auch NULLHYPOTHESE genannt.
H0: Die Münze ist in Ordnung. (p = 0,5)
H1: Die Münze ist „gezinkt“. (p  0,5; Gegenhypothese zu H0)
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H0 soll angenommen werden, wenn die Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % beträgt.
Es sind:
n = 500
p = 0,5
V(X) = 125
 = 11,2 > 3 (Laplace-Bedingung erfüllt)
1,96 ·  = 1,96 · 21,95
r = 22
Treten bei 500 Versuchen zwischen 228 und 272 mal „Wappen“ ein, so kann die Münze als
echt angesehen werden. 228 und 272 sind hier die kritischen Werte.
Einseitiger Hypothesentest
Beim zweiseitigen Hypothesentest untersucht man signifikante Abweichungen nach unten
und oben. Oft sind aber nur Abweichungen nach einer Seite (unten (links) oder oben (rechts))
interessant. Dann führt man einen einseitigen (linksseitigen oder rechtsseitigen)
Hypothesentest durch.
Beispiel: 24 von 300 geprüften Schokoladentafeln haben Untergewicht. Zulässig ist das bei
maximal 5 % der Produktion.
n = 300; p = 0,05;  = 15;  = 3,77 > 3
Es geht also bei diesem Zufallsversuch lediglich um eine Abweichung nach oben. Wir führen
einen rechtsseitigen Hypothesentest durch.
Binomialverteilung
H0: p = 0,05
H1: p > 0,05
0,15000
Wir wählen wegen der 90 % die 1,64--Umgebung.
0,11000
0,13000
90 %
1,64 · 3,77 = 6,18
5%
5%
0,09000
r=6
0,07000
Haben mehr als 15 + 6 = 21 Schokoladentafeln
Untergewicht, so liegt ein Produktionsfehler vor.
In diesem Fall ist also die Nullhypothese zu verwerfen.
0,05000
0,03000
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7
Ablehnungsbereich
Gym 9
66
63
60
57
54
51
48
45
42
39
36
33
30
27
24
21
18
15
9
12
6
-0,01000
3
0
0,01000