Binomialverteilung - Antonkriegergasse

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Mathematik
Internet-Tipp: http://www.zum.de/Faecher/Materialien/gebhardt/stochastik/Kombin.html
Binomialverteilung
Binomialverteilung
Ein Test besteht aus 4 Fragen mit je 5 Antwortmöglichkeiten, von denen nur jeweils eine richtig ist. Ein völlig
ahnungsloser Student kreuzt auf gut Glück bei jeder Frage eine Antwort an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass er genau 3 Fragen richtig (und damit eine Frage falsch) beantwortet hat?
⅘
⅕
⅕
R
⅕
⅕
R
R
⅘
F
⅕
R
F
⅕
⅘
R
F
⅕
⅘
R
F
⅘
F
⅕
R
⅕
R
F
R
⅘
F
F
⅘
⅕
⅘
F
R
F
R
⅘ ⅕
⅘
F
⅕
F
⅘
R
⅘
⅕
R
⅘ ⅕
F
R
⅘ ⅕
F
⅘
R
F
Man sieht:
• Es gibt genau 4 Pfade, die zur richtigen Lösung führen
1 1 1 4
⋅ ⋅ ⋅ (lediglich die Reihenfolge der Fakto5 5 5 5
ren ändert sich, was aber auf das Ergebnis keinen Einfluss hat)
• In jedem Pfad ist die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich groß:
3
⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞
• Wenn man 3 Fragen richtig und 1 falsch hat, berechnet man diese Wahrscheinlichkeit kurz mit ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠
1
• Jetzt wäre es interessant zu wissen, wie man berechnen kann, wie viele verschiedene Pfade es gibt (in unserem Beispiel sind es wie gesagt 4)
Berechnung: wie viele Pfade gibt es?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 richtige Antworten aus insgesamt 4 auszuwählen? Das ist das typische „6 aus
⎛
⎞
45” Problem. Die Antwort ist: Es gibt ⎜ 4 ⎟ Möglichkeiten!
⎝ 3 ⎠
Setzen wir alle bisherigen Erkenntnisse zusammen, bekommen wir folgende Rechnung:
3
⎛
⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 4 ⎞
P(X = 3) = ⎜ 4 ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5 ⎠
1
Ist klar, wie wir auf diese Rechnung gekommen sind? Hier eine Zusammenfassung:
⎛ 4 ⎞
⎜⎝ 3 ⎟⎠ steht da, weil wir aus 4 Antworten 3 richtige brauchen.
1
ist die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Antwort. Hoch 3, weil 3 richtige gefragt sind.
5
4
ist die Gegenwahrscheinlichkeit (falsche Antwort). Hoch 1, weil eine falsche notwendig ist.
5
Und P(X = 3) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 3 annimmt.
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Binomialverteilung
Formel für die Binomialverteilung:
⎛
⎞
P(X = k) = ⎜ n ⎟ ⋅pk ⋅ qn−k
⎝ k ⎠
Wann liegt eine Binomialverteilung vor?
• Es werden mehrere Versuche gemacht.
• Bei jedem Versuch gibt es genau zwei Möglichkeiten (z.B. richtig/falsch).
• Die Wahrscheinlichkeiten für diese zwei Möglichkeiten bleiben den ganzen Versuch hindurch konstant, ändern sich also nicht.
Beispiele
1. In einem Kartenspiel kommen die Farben Herz, Pik, Karo und Treff in gleicher Anzahl vor. Man zieht eine
Karte, notiert die Farbe, gibt die Karte wieder zurück und mischt, danach zieht man wieder u.s.w.
a) Wie groß ist die Chance, bei 5 Zügen 4 mal Herz zu ziehen?
b) Wie groß ist die Chance, bei 10 Zügen 8 mal eine rote Karte zu ziehen?
c) Wie groß ist die Chance, bei 6 Zügen höchstens eine Pik-Karte zu ziehen?
(Höchstens 1 bedeutet 0 oder 1, du musst also P(X=0) und P(X=1) berechnen und addieren.
d) Wie groß ist die Chance, bei 6 Zügen mindestens 2 mal Karo zu ziehen?
(Rechne mit der Gegenwahrscheinlichkeit!)
2. An einem Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel nehmen 4 Personen teil. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat
keiner von ihnen in der ersten Runde Erfolg (also einen 6-er)?
3. Beim Darts-Werfen rechnet man bei 100 Würfen mit 9 Volltreffern. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Werfer von 25 Versuchen mindestens 3 Volltreffer erzielt?
Hausübung
4. Die Fluglinie FlyAway stellt fest, dass 4 % der Fluggäste mit gebuchtem Ticket nicht zum Flug erscheinen.
Um die Auslastung der Sitzplätze zu optimieren, verkauft sie für eine Maschine mit 250 Sitzen 252 Tickets.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese – in der Praxis übliche – Überbuchung gut geht?
(Berechne die Gegenwahrscheinlichkeit, nämlich dass 251 bzw. alle 252 Personen erscheinen)
5. Ein Facelifting bewirkt bei 85 % der PatientInnen ein jüngeres Aussehen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 4 der nächsten 6 PatientInnen jünger aussehen?
6. Ein Serum zeigt mit 0,1 % Wahrscheinlichkeit unangenehme Nebenwirkungen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit werden von 3000 Personen 4 diese Nebenwirkungen spüren?
Anhang für Interessierte: Wieso heißt es Binomialverteilung?
Du kennst die binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Auf der rechten Seite der Gleichung stehen Ausdrücke
mit a und b und jeweils einer Zahl davor (so eine Zahl vor einem Ausdruck heißt Koeffizient). Die Koeffizienten
für „hoch 2“ sind 1 2 1 (die 1-er denkt man sich dazu, also 1a2 + 2ab + 1b2 ). Auch für höhere Potenzen gibt es
binomische Formeln, z.B. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (1 3 3 1) oder (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(1 4 6 4 1). Die Gesetzmäßigkeit, mit der die Ausdrücke mit a und b hingeschrieben werden ist leicht zu durchschauen. Aber wie kommt man zu den Koeffizienten?
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
Ganz einfach: Die Koeffizienten für – sagen wir mal – (a + b)4 sind nämlich ⎜ 4 ⎟ , ⎜ 4 ⎟ , ⎜ 4 ⎟ , ⎜ 4 ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
⎛
⎞
und ⎜ 4 ⎟ . Wenn du das in den Taschenrechner eintippst, bekommst du 1, 4, 6, 4 und 1. Man nennt sie des⎝ 4 ⎠
halb auch Binomialkoeffizienten.
Falls du dich weiter informieren willst, hier zwei Begriffe für eine Internetsuche:
Pascalsches Dreieck und Galton-Brett. Viel Spaß!
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