Aufgaben Komplexe Zahlen

Prof. Dr. K. Melzer Mathe 1 Blatt 3b Komplexe Zahlen II Aufgaben
Aufgabe 1: Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von
12
π 9
1
j π4
j 3π
4
a) e−j 6
b) j + 1 +
c)
2e
−
4e
j
Aufgabe 2: (Teil einer Klausuraufgabe WIB SS
Gegeben ist die komplexe Gleichung
z n = − 12 −
2005)
1 √3j
2
m
Lösen Sie die Gleichung für n = −1 und m = 10.
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil der Lösung.
Aufgabe 3: Welche komplexen Zahlen erfüllen die Gleichung |z + 1| = |z − 1|?
Aufgabe 4: (Teil einer Klausuraufgabe IT, SS 2010) Durch die Ungleichung
z+1
Re
≥2
z−1
wird ein Gebiet in der komplexen Ebene beschrieben. Skizzieren Sie dieses Gebiet.
Aufgabe 5: (Teil einer Klausuraufgabe ITB WS 2010/11) Die folgende Skizze zeigt drei
komplexe Zahlen z1 , z2 und z3 in der Gauß’schen Zahlenebene.
z2
Veranschaulichen Sie die Größen |z1 − z2 | und arg zz1 −
3 − z2
in dieser Skizze.
Aufgabe 6: Lösen Sie die quadratischen Gleichungen über C.
a) 2z 2 − 12z = −26
b) z 2 − 2jz + 3 = 0.
Aufgabe 7: Berechnen Sie alle Nullstellen des Polynoms p(z) = z 4 − 7z 3 + 9z 2 + 17z.
Aufgabe 8: (Klausuraufgabe WIB WS 2008/09)
Für das Polynom p(z) = z 4 + az 3 + bz 2 + cz + d ist Folgendes bekannt:
• a, b, c, d ∈ IR
• j und 1 − j sind Nullstellen von p.
Berechnen Sie aus diesen Angaben a, b, c, d.
Aufgabe 9: (Klausuraufgabe WIB SS 2006)
Gegeben ist das Polynom f (z) = z 4 − 4z 3 + 6z 2 − 16z + 8, z ∈ C
a) Berechnen Sie f (2j).
b) Bestimmen Sie die Linearfaktorzerlegung des Polynoms.