Lineare Algebra I - TU Darmstadt/Mathematik
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TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Christian Herrmann
Matthias Bergner
Lars Schewe
Wintersemester
2004/2005
2./3. Dezember 2004
Lineare Algebra I
7. Übung
Aufgabe G1 Bestimme x (und ggf. y und z) in den folgenden Ausdrücken:
(a) 825 + 615 + 34 ≡ x mod 7
(b) x · 7 ≡ 1 mod 11
(c) z = ggT(45, 34) = 45x + 34y
(d) 91x + 26y = 1001
Aufgabe G2 In dieser Aufgabe wollen wir uns ein paar mehr oder weniger bekannte Teilbarkeitsregeln anssehen. Hierzu müssen wir zunächst Darstellung für eine ZahlP
im Dezimali
system festlegen. Wir schreiben für eine Zahl n ∈ Z mit n ≥ 0 wie folgt n = m
i=0 ai · 10 ,
wobei für die ai ∈ {0, . . . , 9} gilt. Mache Dir zunächst klar, dass die ai einfach die Ziffern in
der üblichen Dezimaldarstellung sind. Formuliere folgende Aussagen als Teilbarkeitsregeln
und beweise sie dann:
(a) a0 ≡ n mod 2
(b) 10a1 + a0 ≡ n mod 4
P
(c) m
i=0 ai ≡ n mod 9
Pm
(d) i=0 (−1)i ai ≡ n mod 11
Aufgabe G3 In der obigen Aufgabe
einfach angenommen, dass wir jede ganze
P haben wir
i
Zahl n mit n ≥ 0, in der Form n = m
a
·
10
mit
ai ∈ {0, . . . , 9} darstellen können. Nur,
i=0 i
stimmt diese Annahme? Und vor allem, sind die ai eindeutig bestimmt?
P
i
(a) Zeige, dass jede ganze Zahl n mit n ≥ 0 eindeutig in der Form n = m
i=0 ai · 10 mit
ai ∈ {0, . . . , 9} dargestellt werden kann.
Hinweis: Wie würdest Du vorgehen, wenn Du die Ziffern ausrechnen müsstest? Versuche nun, dieses Vorgehen zu formalisieren.
(b) Allgemeiner,
sei b ≥ 2. Zeige dass jede ganze Zahl n mit n ≥ 0 eindeutig in der Form
P
i
n= m
a
·
i=0 i b mit ai ∈ {0, . . . , b − 1} dargestellt werden kann.
Aufgabe G4 Wir betrachten die Zahl n! = 1 · 2 · · · (n − 1) · n. Wie oft taucht nun der
Faktor 2 in n! auf? Anders formuliert: Finde 2 (n) so, dass 22 (n) | n! und 22 (n)+1 - n!. Gib
ein Verfahren an, mit dem man 2 (n) effektiv ermitteln kann. Teste Dein Verfahren mit
kleinen Zahlen, z.B. n = 10 oder n = 100.
Hinweis: Betrachte n in seiner Binärdarstellung. Zum Vergleich: 2 (100) = 97.
Hausübungen
Aufgabe H1 Die Internationale Standard-Buch-Nummer (ISBN) besteht aus neun Ziffern
d1 , . . . , d9 ∈ {0, . . . , 9} und einer Prüfziffer d10 ∈ {0, . . . , 9, X}, wobei X = 10. Die Prüfziffer
d10 wird nun so bestimmt, dass folgende Gleichung erfüllt wird:
10d1 + 9d2 + · · · + 2d9 + d10 ≡ 0
mod 11.
(1)
Wenn wir nun testen wollen, ob eine ISBN korrekt übermittelt wurde, können wir einfach
diese Gleichung überprüfen. Immer wenn sie nicht erfüllt wird, wissen wir sicher, dass die
ISBN falsch übermittelt wurde. Wie aber steht es mit der Umkehrung, welche Fehler kann
die Prüfziffer nicht entdecken?
(a) Prüfe für die ISBN eines beliebigen Buches die Gleichung (1) nach.
(b) Versuche nun diese ISBN möglichst wenig zu ändern, so dass Dein Ergebnis immer
noch die Gleichung (1) erfüllt.
(c) Nehmen wir nun an, die ISBN würde in einer Stelle i falsch übermittelt. Zeige, dass
dieser Fehler durch die Prüfziffer immer entdeckt werden kann.
(d) Was passiert, wenn wir zwei beliebige Ziffern di und dj vertauschen? Wird dieser Fehler
immer entdeckt?
Aufgabe H2 Eine Möglichkeit verschiedene Körper zu unterscheiden besteht darin ihre sogenannte Charakteristik zu betrachten. Hierzu definieren wir: Sei K ein Körper,
dann sagen wir K habe Charakteristik p, wenn p die kleinste positive Zahl ist, so dass
1| + ·{z
· · + 1} = 0 gilt. Ansonsten sagen wir, K habe Charakteristik 0.
p−mal
(a) Zeige, dass die Charakteristik von Zp gleich p, die von R hingegen gleich 0 ist.
(b) Zeige, dass jeder endliche Körper eine Charakteristik p > 0 hat. Betrachte hierzu die
Folge (ai )i∈ die durch a0 = 0 und ai+1 = ai + 1 definiert ist. Was bedeutet es, wenn
es i und j gibt, so dass ai = aj gilt?
(c) Sei K ein Körper von Charakteristik p. Zeige, dass p immer prim sein muss.
Aufgabe H3 In den ”Neun Büchern arithmetischer Technik” (Übers. Kurt Vogel, Vieweg
1968) einem chinesischen Lehrbuch aus der Han-Zeit (202 v. Chr – 9 n. Chr.) finden wir
folgenden Algorithmus um einen Bruch zu kürzen:
Die Regel lautet: Das, was halbiert werden kann, halbiere es; kann man es nicht
halbieren, dann lege <auf das Rechenbrett> hin den Betrag von Nenner <und> Zähler
des Bruches. Um das Kleinere vermindere das Größere. Verändere <die Zahlen> durch gegenseitiges Subtrahieren <sie> verkleinernd, bis Du die gleichen Zahlen bekommst. Mit der gleichen Zahl kürze es.
Schreibe den Algorithmus in Deinen eigenen Worten auf, so dass die Anweisungen eindeutig
sind. Liefert er immer das korrekte Ergebnis? Wenn Du möchtest, implementiere ihn in einer
Programmiersprache Deiner Wahl; warum wurden Varianten dieses Algorithmus gerne bei
der Implementation in Assembler verwendet?
