Aufgabenblatt 3 - Universität Augsburg

Algebraische Semantik und Algebraische Systementwicklung
Universität Augsburg
Sommersemester 2009
Prof. Dr. B. Möller
Dipl.-Inf. Roland Glück
Aufgabenblatt 3
Aufgabe 1 (2+1+1 P)
Zeigen Sie, daß für Tests p, q, r ein zweites Distributivgesetz und die Absorptionsgesetze gelten:
• p + (q · r) = (p + q) · (p + r)
• p+p·q = p
• (p + q) · p = p
Aufgabe 2 (3+1+3+8*0.5 P)
Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten Rangierregel
p · ¬q ≤ r ⇔ p ≤ q + r
für Tests p, q, r und folgern Sie daraus
p ≤ q ⇔ p · ¬q ≤ 0
Wie sind diese Aussagen in den Booleschen Halbringen zu interpretieren?
Bemerkung: Die beiden booleschen Halbringe sind B1 = (B, ∨, false,∧,true) und
B2 = (B, ∧, true,∨,false) mit B = {true, false}.
Verwenden Sie nun die Rangierregel, um zu entscheiden, welche der folgenden Aussagen zu der
Aussage
Wenn der Rechner kaputt ist, dann lese ich oder gehe ins Kino.
äquivalent sind:
(a) Wenn ich nicht lese, dann ist der Rechner nicht kaputt oder ich gehe ins Kino.
(b) Wenn der Rechner kaputt ist und ich nicht ins Kino gehe, dann lese ich.
(c) Ich lese oder der Rechner ist nicht kaputt oder ich gehe ins Kino.
(d) Wenn ich ins Kino gehe, dann lese ich nicht und der Rechner ist kaputt.
(e) Wenn der Rechner kaputt ist und ich lese, dann gehe ich nicht ins Kino.
(f) Wenn ich nicht ins Kino gehe und nicht lese, dann ist der Rechner nicht kaputt.
(g) Wenn ich nicht lese und nicht ins Kino gehe und der Rechner kaputt ist, dann ist was faul.
(h) Wenn ich zu kaputt bin, lese ich nicht und der Rechner geht ins Kino.
Aufgabe 3 (4 P)
Ein gerichteter Graph G = (A, E) mit Knotenmenge A und Kantenmange E heißt bipartit, wenn es
eine Partition von A in zwei disjunkte Teilmengen U und V gibt (d.h. A = U ∪ V mit U ∩ V = ∅),
so daß jede Kante aus E genau einen Endpunkt in U und genau einen Endpunkt in V hat, formal
geschrieben, falls gilt:
∀(x, y) ∈ E : x ∈ U ⇔ y ∈
/ U.
Geben Sie eine Formulierung über dem Halbring PAT(A) der Pfadmengen an, die beschreibt,
daß ein Graph bipartit ist. Es könnte nützlich sein, Teilmengen von Knoten mit Hilfe von Tests
darzustellen.
Aufgabe 4 (1+1+2+2 P)
S
In einem Graphen G = (A, E) ist WG = i∈N0 E i die (möglicherweise unendliche) Menge aller
Pfade in G. Stellen Sie folgenden Mengen in Pfadalgebra dar:
(a) Die Menge aller Pfade in G, die einen bestimmten Knoten x enthalten.
(b) Die Menge aller Pfade in G, die in einem bestimmten Knoten x beginnen und in einem
bestimmten Knoten y enden.
(c) Die Menge aller Pfade in G, die in einer bestimmten Teilmenge B ⊆ A der Knotenmenge A
starten und aus ihr herausführen, d.h., im Komplement von B enden.
(d) Die Menge aller Kreise, die aus mehr als einem Knoten bestehen, wobei in diesem Fall G als
schlingenfrei vorausgesetzt ist, d.h., es gelte ∀x ∈ A : (x, x) ∈
/ E.
Hinweis: Auch hier kann es sich lohnen, mit Tests zu arbeiten.
Aufgabe 5 (1+1+2+2+2+2 P)
Seien S ein Testhalbring sowie a, b, c, r, s, t, u ∈ S und p, q ∈ test(S), wobei test(S) die Menge aller
Tests in S ist. Zeigen Sie folgende Gleichungen:
(a) if 1 then a else b = a.
(b) if p then a else a = a.
(c) if p then r else s = if q then t else u.
Dabei ist
- r = if q then a else b,
- s = if q then c else d,
- t = if p then a else c,
- u = if p then b else d.
(d) if p then a else b = if p then p · a else ¬p · b.
(e) if p then (if p then a else b) else c = if p then a else c.
(f) (if p then a else b) · c = if p then a · c else b · c.
Abgabe: Fr. 15.5.09 bis 12:00 im Briefkasten Nr. 32 der Hauspostanlage im Informatik-/Mathematikgebäude (beschriftet mit Möller) oder im Zimmer 484 im Gebäude Physik Süd.