4.5 Integralrechnung

4.5 Integralrechnung
Inhaltsverzeichnis
1
Checkliste
2
2
Einführungsaufgabe
2
3
Die Lösung des Problems
3
3.1
Untersummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3.2
Das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3
Die Berechnung der Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4
Die Stammfunktion.
7
5
Die Einführung des Integralbegriffs.
8
6
Flächen unterhalb der x-Achse.
10
7
Anwendungen.
12
8
Rotationskörper um die x-Achse.
15
9
Rotationskörper um die y-Achse.
17
10 Gemischte Übungen
18
1
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 2
Integralrechnung
1 Checkliste
Die Ziele des Skriptes lauten folgendermassen:
• Ich kenne das Flächenproblem und weiss, mit welcher Idee man dieses Problem lösen kann.
• Ich weiss, wie das Integralzeichen graphisch interpretiert werden kann.
• Ich weiss, was eine Untersumme ist und kann einfache Untersummen berechnen.
• Ich weiss, was eine Stammfunktion ist und kann sie von einer ganzrationalen Funktion bestimmen.
• Ich kann Integrale von ganzrationalen Funktionen berechnen.
• Ich kann die Stammfunktionen der sin- und cos-Funktion bestimmen.
• Ich kann mit Summen unter dem Integralzeichen umgehen.
• Ich weiss, wie ich Flächen unterhalb der x-Achse berechnen kann.
• Ich kann die Stammfunktion der Exponentialfunktion ermitteln.
• Ich kenne physikalische Anwendungen der Integralrechnung.
• Ich habe verstanden, mit welcher Idee das Volumen eines Rotationskörpers berechnet wird.
• Ich habe verstanden, wie die Volumenformel für einen Rotationskörper um die x-Achse entstanden
ist.
• Ich habe verstanden, wie die Volumenformel für einen Rotationskörper um die y-Achse entstanden
ist.
2 Einführungsaufgabe
Auf der untenstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f (x) = x2 abgebildet.
Frage: Wie gross ist die schraffierte Fläche (Flächenproblem) ?
6
4
2
-2
Idee:
2
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 3
3 Die Lösung des Problems
3.1 Untersummen
Um die Einstiegsaufgabe zu lösen, gehen wir schrittweise vor. Wir teilen die schraffierte Fläche in Rechtecksflächen auf, zuerst in 4 Flächen, dann in 8 Flächen.
-2
6
6
4
4
2
2
2
-2
2
Die Fläche der linken Figur berechnet sich folgendermassen (beachte, dass f (x) = x2 gilt):
Diese berechnete Summe nennen wir Untersumme U4 . Untersumme, weil die Rechtecke immer unter dem
Graphen bleiben, die 4, weil wir in 4 Rechtecke unterteilt haben. Die Fläche der rechten Figur (Untersumme U8 ):
Übungen
1. Berechne die folgenden Untersummen:
a) U3 von x3 im Bereich 0 ≤ x ≤ 2
b) U5 von x4 im Bereich −1 ≤ x ≤ 2
Wir wollen nun die exakte Lösung bestimmen. Dazu muss die Breite der Rechtecke gegen 0 gehen, der
Grenzwert kommt ins Spiel. Für diese Berechnungen brauchen wir das Summenzeichen. Wir repetieren,
was wir schon aus dem Thema Folgen und Reihen wissen und lernen noch einen Teil neu dazu:
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 4
3.2 Das Summenzeichen
Mit dem Summenzeichen können Summen vereinfacht dargestellt werden. Am besten verstehen wir dieses
Zeichen mit Hilfe eines Beispiels:
7
∑ (3k)
k=1
Die Variable k (Index) wird raufgezählt von 1 bis 7 (weil über dem Zeichen eine 7 steht):
7
∑ (3k) = 3 · 1 + 3 · 2 + 3 · 3 + 3 · 4 + 3 · 5 + 3 · 6 + 3 · 7 = 84
k=1
Allgemein notiert:
n
∑ ak = a1 + a2 + ... + an (n ∈ N)
k=1
Übung:
2. Schreibe mit dem Summenzeichen !
a) Die Summe der natürlichen Zahlen von 100 bis und mit 1000.
b) Die Summe der geraden Zahlen von 2 bis und mit 100.
c) 2!+3!+4!+...+50!
d) Die Summe der ungeraden Quadratzahlen von 121 bis und mit 2401.
e) f (0) + f (1) + f (2) + f (3)
f) f (a) + f (2a) + f (3a) + ... + f (na)
g) f (2 · 3) + f (2 · 4) + f (2 · 5) + ... + f (2 · n)
3. Forme so um, dass das Zeichen f nicht mehr in der Summe vorkommt.
a)
b)
n
∑ f (i), mit f (x) = x − 2
k=1
n
1
∑ f (i · n ), mit f (x) = x2
k=1
Faktoren, die nicht vom Index k abhängen, können aus dem Summenzeichen rausgenommen werden.
Wir berechnen noch einmal ∑7k=1 (3i):
7
7
k=1
k=1
∑ (3i) = 3 ∑ k = 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 3 · 28 = 84
Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie oben.
Allgemein notiert:
n
n
k=1
k=1
∑ x · ak = x ∑ ak (n ∈ N, x ∈ R)
Übung:
4. Versuche soviele Faktoren wie möglich aus der Summe zu nehmen.
Integralrechnung
a)
08.01.2007
b)
Theorieblatt 5
c)
n
n
∑ a·b·k
n
∑ a·n·k
k=1
1
∑ n · f (k)
k=1
k=1
Für bestimmte Summen gibt es Formeln. Berechne mit Hilfe des Formeln und Tafeln die folgenden Summen:
5.
b)
a)
c)
9
15
12
∑ (k3 )
∑ (k2 )
∑ (2k)
k=1
k=1
k=1
3.3 Die Berechnung der Fläche
Wir haben jetzt alle Mittel, um die Fläche aus der Einführung zu berechnen. Hier ist sie noch einmal
abgebildet:
6
4
2
-2
2
1. Wir bilden n Rechtecke. Dann beträgt die Breite von einem Rechteck:
2
n
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 6
2. Wir notieren die Untersumme (ich habe sie so notiert, dass wir etwas mit ihr anfangen können):
Un
=
=
=
=
=
!
!
!
!
2
2
2
2
4
2
6
2
2
· f (0) + · f
+ ·f
+ ·f
+ ... + · f (n − 1) ·
(1)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
!
!
!
!
!
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
· f 0·
+ · f 1·
+ · f 2·
+ · f 3·
+ ... + · f (n − 1) ·
(2)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
"
!
!
!
!
!#
2
2
2
2
2
2
f 0·
+ f 1·
+ f 2·
+ f 3·
+ ... + f (n − 1) ·
(3)
n
n
n
n
n
n
"
!
!
!
!#
2
2
2
2
2
f 1·
+ f 2·
+ f 3·
+ ... + f (n − 1) ·
(4)
n
n
n
n
n
!
2 n−1
2
(5)
∑ f k· n
n k=1
=
2 n−1 k2 · 22
∑ n2
n k=1
(6)
=
2 n−1 4k2
∑ n2
n k=1
(7)
=
8 n−1 2
∑k
n3 k=1
(8)
=
=
=
=
=
8 n(n − 1)(2n − 1)
n3
6
8 (n2 − n)(2n − 1)
·
n3
6
8 (2n3 − n2 − 2n2 + n)
·
n3
6
16n3 − 24n2 + 8n
6n3
8n3 − 12n2 + 4n
3n3
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Wir haben eine Formel herausgefunden, mit der wir die Untersumme für eine beliebiges n berechnen
können (aber nur wenn die Vorschrift f (x) = x2 lautet !).
3. Um die exakte Summe zu bilden, müssen wir die Breite der Rechtecke unendlich klein (infinitesimal)
werden lassen. Das heisst, dass n gegen Unendlich geht. Wir erhalten:
8n3 − 12n2 + 4n 8
=
n→∞
3n3
3
A02 = lim Un = lim
n→∞
Der Wert stimmt ungefähr mit dem von U8 überein, womit unsere Berechnung bestätigt wird.
Ersetzen wir bei obiger Rechnung die Zahl 2 jeweils durch x, dann erhalten wir:
A0x =
x3
3
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 7
Frage: Was hat die Formel mit der Ausgangsfunktion f (x) zu tun ?
6. Berechne den exakten Wert der folgenden Flächen:
a) f (x) = x3 , von 0 bis 8
c) f (x)
= x3 ,
b) f (x) = x, von 0 bis 5
d) f (x) = x, von 3 bis 5
von 2 bis 8
4 Die Stammfunktion.
x3
aus dem vorderen Abschnitt können als Funktionsvorschrift auffassen. Wir notieren sie mit
3
F(x) und geben ihr den Namen Stammfunktion.
Die Formel
Wir definieren:
Definition 1 Eine Funktion F(x) heisst Stammfunktion von f (x), wenn gilt:
F ′ (x) = f (x)
Zwei Bemerkungen zur Stammfunktion:
2
• Beachte, dass eine Funktion f (x) nicht zwangsläufig eine Stammfunktion besitzt (z.B. f (x) = ex )
• Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, dann gleich unendlich viele ! So sind für f (x) = x2
x3
x3
x3
nebst F(x) = auch F(x) = − 2, F(x) = + 5, usw. Stammfunktionen.
3
3
3
Übungen
7. Ermittle alle Stammfunktionen F(x) bei den folgenden Funktionen:
a) f (x) = x3
b) f (x) = 1/x
d) f (x) = 1/x2
e) f (x) = 5x3 + x2
√
x5
√
f) f (x) = x
c) f (x) =
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 8
5 Die Einführung des Integralbegriffs.
Die obige Fragestellung tritt z.B. auch in der Physik auf, wie wir später sehen werden. Das Flächenproblem
war der Ausgangspunkt einer ganzen Theorie. Dazu wurde eine neue Symbolik eingeführt.
6
4
2
−2
2
Die schraffierte Fläche können wir mit der neuen Symbolik folgendermassen ausdrücken:
Z2
x2 dx
0
Betrachten wir alle Bestandteile einzeln:
•
Z
Dieses Zeichen heisst Integral und sagt uns, dass wir eine Fläche berechnen wollen. Es wird auch
benutzt, wenn ein Volumen berechnet wird. Ursprünglich wurde an Stelle dieses Symbols ein grosses
... für Summe geschrieben.
• 0 und 2 stehen für den Bereich auf der x-Achse.
• x2 sagt, welchen Grafen wir haben.
• dx heisst Integrator und ist ein Zusatz, der im Moment keine Rolle spielt, weil wir nur im zweidimensionalen Fall rechnen.
• Wir lesen: „Das Integral von 0 bis 2 von x2 “
• Es liegt hier ein bestimmtes Integral vor, weil die Grenzen festgelegt sind.
Das Integral können wir folgendermassen definieren:
Definition 2 Seien a, b ∈ R und a < b. Dazu haben wir eine Funktion mit der Vorschrift f (x) und Un sei
die n-te Untersumme von f (x) von a bis b. Dann definieren wir:
Zb
f (x) dx = lim Un
a
Übungen
n→∞
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 9
8. Gegeben ist die Funktion f : R → R, f (x) = sin(x). Stelle die Fläche von 0.1 bis 0.9 unter der Sinuskurve mit dem Integralzeichen dar.
9. Stelle die folgende Fläche mit dem Integralzeichen dar.
8
f (x) = x2 − 4x
4
-2
2
4
6
-4
Wir haben nun alle Begriffe bereitgestellt, um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
formulieren zu können. Für einfache Fälle (z.B. wenn a > 0 und b > 0) haben wir sogar selber herausgefunden, was der Satz aussagt.
Satz 1 Seien a, b ∈ R, f (x) sei die Vorschrift der Funktion f , deren Stammfunktion F(x) existiere. Dann
gilt:
Zb
a
f (x) = F(x)|ba = F(b) − F(a)
Der Satz ist von erstaunlicher Einfachheit. Um die gesuchte Fläche zu berechnen, brauchen wir bloss
die Stammfunktion zu bestimmen und die Grenzen einzusetzen. Umso erstaunlicher, wenn wir überlegen,
welchen Aufwand wir am Anfang hatten, als wir diesen Satz noch nicht kannten.
• Wir können die Fläche aus dem Einführungsbeispiel also folgendermassen berechnen:
Z2
0
2
x3 23 03 8
8
x dx = = − = − 0 =
3
3
3
3
3
2
0
• Nehmen wir eine andere Stammfunktion:
!2
!
Z2
x3
23
03
23
03
8
8
2
x dx =
+2 = +2−
+2 = +2− −2 = −0 =
3
3
3
3
3
3
3
0
0
Wir sehen, dass die Integrationskonstante weggefallen ist. Es spielt also keine Rolle, welche der Stammfunktionen wir nehmen. Aus diesem Grunde können wir die Integrationskonstante in Zunkunft einfach 0
setzen, was dem weglassen gleichkommt.
Übungen
10. Berechne die folgenden Integrale und überprüfe Dein Ergebnis mit Hilfe einer Skizze.
Integralrechnung
08.01.2007
a)
Theorieblatt 10
b)
Z 4
Z 6
x dx =
0
2x dx =
4
11. Berechne die folgenden Integrale.
a)
Z 2
x2 dx =
Z 4
b)
0
c)
Zπ
sin x dx =
d)
0
e)
Z6
x3 dx =
3
Zπ/2
cos x dx =
−π/2
2
(3x + 3x) dx
f)
3π/2
Z
(sin x + cosx) dx
−π
2
12. Für welche Werte a > 0 gilt:
a)
Z a
x dx = 8
b)
0
Z a
x3 dx = 60
2
13. Bestimme die Variable a ∈ R bei den folgenden Integralen ohne die solve-Funktion des Taschenrechners:
a)
Za
6x5 dx = 12
b)
Z √a
0
−a
(x3 − x) dx = 6
14. Die Parabel mit der Gleichung y = x2 begrenzt mit der y-Achse und der Geraden g : y = 9 ein Flächenstück. Welchen Inhalt hat es ?
15. Auf dem Graph der Funktion f : R → R, f (x) = x3 liegt der Punkt P(1/?). Er wird mit dem Ursprung
0 des Koordinatensystems verbunden. Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von der Strecke
0P und dem Funktionsgraphen von f eingeschlossen wird.
16. Berechne die folgenden Integrale.
a)
Z1
x
e dx =
b)
0
Z1
2x
e dx =
c)
0
Z1
eax dx
Z2
(ax + b)n dx =
0
17. Berechne die folgenden Integrale.
a)
Zπ
0
sin(2x) dx =
b)
Z2
3
(2x + 1) dx =
−2
c)
−2
6 Flächen unterhalb der x-Achse.
Frage: Was erhalten wir, wenn wir das Integral einer Fläche unterhalb der x-Achse berechnen ?
Schauen wir uns dazu ein konkretes Beispiel an:
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 11
f (x) = sin x
0
π
2π
-1
Mit Hilfe der Aufgabe 11 aus den Übungen können wir den Flächeninhalt direkt angeben: 2 · 2 = 4.
Berechnen wir nun das Integral von 0 bis 2π auf die übliche Weise:
Wir erhalten nicht das gewünschte Ergebnis. Warum ? Die folgenden Berechnungen geben uns Aufschluss:
•
Z π
0
sin x dx = − cos x|π0 = − cos π − (− cos0) = 1 + 1 = 2
•
Z 2π
π
sin x dx = − cosx|2π
π = − cos 2π − (− cosπ) = −1 − 1 = −2
Für die Fläche unterhalb des Integrals erhalten wir etwas Negatives. Dies leuchtet ein, wenn wir uns eine
einfache Untersumme wie z.B. U4 überlegen. Wegen den negativen Funktionswerten wäre sie negativ. Da
das Integral auf der Untersumme aufbaut (es ist einfach der Grenzwert), ist dieses auch negativ.
Frage: Wie können wir den Flächeninhalt berechnen, wenn Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse
auftreten ?
Die naheliegende Antwort ist: Wir zerlegen die zu berechnende Fläche in mehrere Teilflächen. Dann können wir bei den negativen Flächen den Betrag nehmen und alles aufsummieren. Bei unserem Beispiel
würde das konkret so aussehen (wir bezeichnen die graue Fläche mit A):
Z 2π
Z π
sin x dx + sin x dx = 2 + | − 2| = 2 + 2 = 4
A=
0
π
Übung
18. Wie gross ist die gesamte schraffierte Fläche (Figur links ohne TR, Figur rechts mit TR) ?
Integralrechnung
08.01.2007
8
Theorieblatt 12
8
f (x) = x3 − x − 2
f (x) = x2 − 4x
4
4
-2
2
4
6
-2
2
-4
-4
7 Anwendungen.
Wir betrachten nun ein paar Anwendungen der Integralrechnung in der Physik.
Beispiel
Die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers lässt sich mit folgender Funktion beschreiben:
v : [0, 5] → t, v(t) = t 2
v(t)
25
20
15
10
5
t
-1
1
2
3
4
5
Wir können die Fläche unter dem Integral mit Hilfe der Integralrechnung berechnen.
Frage: Welche Bedeutung hat die Fläche ?
Um die Frage beantworten zu können, gehen wir einen Schritt zurück. Wir berechnen die Untersumme U5
der Fläche:
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 13
v(t)
25
20
15
10
5
t
-1
1
2
3
4
5
Antwort:
Frage: Wie erhalten wir die genaue Strecke ?
Überlegung: Die Breite der Rechtecke muss wiederum gegen 0 gehen. Dies ist genau die Idee der Integralrechnung.
Antwort: Wir müssen folgendes Integral berechnen:
Z 5
t 2 dt
0
Wir erhalten nun das genaue Ergebnis:
Z 5
0
5
t 3 125
t dt = =
− 0 = 41.67 m
3
3
2
0
Übungen
19. In der Elektrostatik gilt die folgende Formel: Q = I ·t (t in Sekunden). Q ist die Ladung, I die Stromstärke. Zur Repetition: [Q]=As, [I]=A. Es wird nun während 10 min Strom erzeugt, mit folgender
Vorschrift:
I(t) = −t 2 + 600t (t in s, I(t) in A)
Welche Ladung ist nach 10 min vorhanden ?
20. In der Mechanik gilt die folgende Formel: W = F · s Zur Repetition: [W]=Nm, [F]=N. Löse nun die
folgende Aufgabe: Eine Feder mit der Konstante k wird um 3 cmgedehnt. Die Kraft, die zur Dehnung
benötigt wird, ist in der folgenden Vorschrift herauszulesen:
F(x) = kx (x ∈ [0, 5], x in m, F(x) in N)
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 14
21. Für eine harmonische Schwingung gelten die folgenden beiden Formeln (wir betrachten einen Speziallfall):
y(t) =
sin(ωt)
v(t) =
a(t) =
ω cos(ωt)
−ω2 sin(ωt)
a) Berechne den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t = π/2 mit Hilfe der s(t)-Funktion.
b) Berechne den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t = π/2 mit Hilfe der v(t)-Funktion.
c) Berechne den zurückgelegten Weg zum Zeitpunkt t = π/2 mit Hilfe der a(t)-Funktion.
d) Berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = π/2 mit Hilfe der v(t)-Funktion.
e) Berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = π/2 mit Hilfe der a(t)-Funktion.
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 15
8 Rotationskörper um die x-Achse.
Wir betrachten nun einen Körper, der durch Rotation um die y-Achse erhalten werden kann. Wir beginnen
mit folgender Fläche:
4
2
4
6
8
Diese Fläche wird nun um die x-Achse rotiert. Es entsteht nachher ein gerader Kreiskegel, der auf der
untenstehenden Abbildung zu sehen ist.
Um Untersummen zu berechnen, teilen wir den Kegel in Zylinder auf.
4
2
4
6
8
−4
Wir können wiederum eine Untersumme berechnen, diesmal vom Volumen:
• Die Breite einer Scheibe (Zylinder) ist 1 (8:8).
• Der Radius der ersten Scheibe ist f (1) = −1/2 + 4 = 3.5.
• Die Volumenformel für den Zylinder ist h · r2 · π. Das Volumen der ersten Scheibe beträgt somit
1 · 3.52 · π = 38.48.
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 16
• der Radius der zweiten Scheibe ist f (2) = −2/2 + 4 = 3, der dritten Scheibe f (3), usw.
• Die Untersumme beträgt somit: 1 · f (1)2 · π + 1 · f (2)2 · π + 1 · f (3)2 · π + 1 · f (4)2 · π + 1 · f (5)2 · π + 1 ·
f (6)2 ·π + 1 · f (7)2 ·π = 1 ·3.52 ·π + 1 ·32 ·π + 1 ·2.52 ·π + 1 ·22 ·π + 1 ·1.52 ·π + 1 ·12 ·π + 1 ·0.52 ·π =
109.96
Wie können wir diese Situation zurückführen auf die unser bisheriges Wissen ?
ohne Rotation
mit Rotation
Fläche aufteilen in Rechtecke
Fläche aufteilen in Scheiben (Zylinder)
Rechtecksfläche: Breite mal f (x)
Zylindervolumen: Breite mal π mal f (x)2
Breite geht gegen 0:
Grenzen:
Z b
Z
f (x) dx
f (x) dx
Breite geht gegen 0:
Grenzen:
a
Z x2
x1
Z
π · f (x)2 dx
π · f (x)2 dx
Zur Vereinfachung können wir π aus dem Integral herausnehmen, bei Übung Nr.1 beweisen wir diesen
Schritt. Wir können dann folgende Formel aufschreiben:
Vx = π
Z x2
f (x)2 dx
x1
Wir können nun das Volumen des Zylinders berechnen:
x
• f (x) = − + 4
2
!2
!
Z
x
x2
• V = π · f (x) dx = π · − + 4 dx = π ·
− 4x + 16 dx = π ·
2
4
!
!
03
83
2
2
π·
− 2 · 8 + 16 · 8 − π · − − 2 · 0 + 16 · 0 = 134.04
12
12
Z
2
Z
x3
− 2x2 + 16x
12
!8
=
0
Kontrolle:
• Die allgemeine Formel (s. z.B. F+T) lautet: V =
h · r2 · π
.
3
• In unserem Beispiel ist h = 8 und r = 4.
• V = 134.04, stimmt überein.
Übungen
√
22. Durch Drehung des Parabelbogens mit der Gleichung y = x(x ∈ [0, 10]) um die x-Achse entsteht
ein Rotationsparaboloid. Berechne das Volumen dieses Paraboloids.
23. Löse die folgenden beiden Teilaufgaben:
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 17
a) Die Gleichung für einen Kreis mit Radius 3 lautet: 32 = y2 + x2 . Berechne daraus das Volumen
einer Kugel mit Radius 3.
b) Die Gleichung für einen Kreis mit Radius r lautet: r2 = y2 + x2 . Berechne daraus das Volumen
einer Kugel mit Radius r.
9 Rotationskörper um die y-Achse.
Wir betrachten nun einen Körper, der durch Rotation um die y-Achse erhalten werden kann. Wir beginnen
mit folgender Fläche:
8
4
2
4
Diese Fläche wird nun um die y-Achse rotiert. Es entsteht wieder ein gerader Kreiskegel, der auf der
untenstehenden Abbildung zu sehen ist.
Wir wollen wiederum das Volumen des Kegels ausrechnen. Wir haben die fast ganze Arbeit zur Lösung
schon bei der Rotation um die x-Achse gemacht, wir müssen nur noch eine Überlegung machen.
• Bei der Rotation um die x-Achse sind wir der x-Achse entlanggegangen und haben jeweils den Funktionswert auf der y-Achse abgelesen.
• Bei der Rotation um die y-Achse gehen wir der y-Achse entlang und lesen den Funktionswert von
der x-Achse ab. Das ist sehr ungewohnt, die Achsen sind gerade vertauscht.
Frage: Eine Vorschrift f (x) ist gegeben. Wie lautet die Vorschrift des Graphen von der y-Achse aus gesehen
?
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 18
Überlegung: Es wurden die Achsen „vertauscht “. Wir ordnen nicht mehr dem x ein y zu, sondern dem y
ein x. Dies ist gerade die Umkehrung des Vorganges. Damit können wir unsere Frage bereits beantworten.
Antwort: Die Vorschrift lautet f −1 (y) (Umkehrfunktion).
Damit haben wir die Formel für die Rotation um die y-Achse bereits herausgefunden.
Vy = π
Z y2 2
f −1 (y) dy
y1
Damit können wir den Flächeninhalt des Kegels berechnen:
• f (x) = ax + b, wobei a = −8/4 = −2 und b = 8 ist. Wir erhalten: f (x) = −2x + 8
y
y
• y = −2x + 8 ⇒ −2x = y − 8 ⇒ x = − + 4 ⇒ f −1 (y) = − + 4
2
2
y
y
• 0 = − + 4 ⇒ − = −4 ⇒ y = 8 (kann in diesem Fall auch aus der Zeichnung herausgelesen
2
2
werden).
!2
!
!8
Z 8
Z 8
y
y2
y3
− + 4 dy = π
• V =π
− 4y + 16 dy = π
− 2y2 + 16y 2
4
12
0
0
0
!
83
=π
− 2 · 82 + 16 · 8 − 0 = 134.04
12
Das Ergebnis stimmt mit demjenigen aus dem oberen Abschnitt überein, damit haben wir gleich eine
Bestätigung dafür, dass unsere Formeln richtig sind.
1
24. Ein Gefäss entsteht durch die Rotation der Funktion f (x) = x im Bereich zwischen x = 0 und x = 3
4
um die y-Achse.
a) Berechne das Volumen des Gefässes.
b) Das Gefäss wird mit 1.2 Einheiten Wasser gefüllt. Wie hoch ist der Wasserstand ?
25. Der Graph der Funktion f (x) = −4x2 + 6 schliesst mit der x-Achse und der y-Achse im ersten Quadranten eine Fläche ein.
a) Wie gross ist das Volumen, wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert ?
b) Wie gross ist das Volumen, wenn diese Fläche um die y-Achse rotiert ?
10 Gemischte Übungen
26. Beweise folgende Regel:
Z b
c f (x) = c
Z b
( f (x) + g(x)) =
Z b
f (x) =
a
27. Beweise folgende Regel:
Z b
a
28. Beweise folgende Regel:
a
f (x)
a
Z b
f (x) +
a
Z c
a
f (x) +
Z b
g(x)
a
Z b
c
f (x) (a < c < b)
Integralrechnung
08.01.2007
Theorieblatt 19
29. Berechne die allgemeine Formel des gerades Kreiskegels (Höhe h, Radius r) mit Hilfe der Integralrechnung (gerader Kreiskegel: siehe Beispiel Abschnitt 1.8).
a
· x(2 − x) (a ∈ R+ ). Die vom Graphen G f der Funktion f
(a + 2)2
und der x-Achse begrenzte Fläche rotiert um die x-Achse (im Bereich −3 < x < 2) und erzeugt einen
Rotationskörper.
30. Gegeben ist die Funktion f (x) =
a) Skizziere mit Hilfe des TI-89 die Graphen von f (x) für a = 0.5, 0.8, 2, 5 und a = 9. Schätze mit
Hilfe der Zeichnung ab: Wie muss a gewählt werden, damit der dazugehörige Rotationskörper
das maximale Volumen erreicht ?
b) Stelle eine Funktion V (a) auf, welche das Volumen des Rotationskörpers im Bereich von -3 bis
2 (in Abhängigkeit von a) liefert.
c) Berechne mit Hilfe von (b) Für welchen Wert von a ist das Volumen des Rotationskörpers im
Bereich −3 < x < 2 maximal ?
d) Wie lautet in diesem Fall die Funktionsgleichung von f ?
e) Berechne Vmax (Volumen des Rotationskörpers) im Bereich −3 < x < 2 mit Hilfe von b) und c).
31. Betrachtet wird der Graph der Funktion f (x) = (x − a)2 . Dabei ist a ein Parameter, der Werte zwischen 0 und 2 annehmen kann.
4
2
−2
a
a) Wie gross ist die schraffierte Fläche F für a = 0.5 ?
b) Für welches a wird die Fläche F maximal ?
c) Berechne das Rotationsvolumen V bei Rotation von F um die y-Achse für a = 0.5.
d) Für welches a wird das Volumen maximal ?
32. Berechne die Arbeit, die nötig ist, um zwei Kugeln mit einer Ladung von 1C und -1C und einem
Mittelpunktsabstand von 0.1 m auf einen Abstand von 1 m zu bringen (Es wirken keine weiteren
Kräfte auf die Kugeln).