Vom Strahlensatz zum Pythagoras

Vom Strahlensatz zum Pythagoras
Mario Spengler
28.05.2008
Zusammenfassung
Eine mögliche Unterrichtsreihe, um die Satzgruppe des Pythagoras unter Umgehung der Ähnlichkeitsabbildungen direkt aus den Strahlensätzen
herzuleiten.
Literaturangaben beziehen sich ausschließlich auf Lambacher Schweizer,
Mathematisches Unterrichswerk für das Gymnasium, LS9, Klett, Stuttgart 2001. Die Abbildungen wurden mit geoGebra erzeugt.
1
Reelle Zahlen
Einführung der Quadratwurzel über Intervallschachtelung
2
Rechengesetze mit Quadratwurzeln
3
Zentrische Streckung
• Definition laut LS9, Seite 104
• Satz 1 zur Geradentreue laut LS9, Seite 107
• Satz 2 zum Längenverhältnis laut LS9, Seite 108
4
Längen, Winkel, Flächen
• Satz 1 zur Längenverhältnis- und Winkeltreue laut LS9, Seite 111
• Satz 2 zum Flächenverhältnis laut LS9, Seite 111
5
Strahlensätze
1. Strahlensatz und 2. Strahlensatz laut LS9, Seite 114,115.
1
2
6
Ähnlichkeit
entfällt als eigenes Thema. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn sie in entsprechenden Winkeln übereinstimmen.
7
Satzgruppe des Pythagoras
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ∆ABC, dessen Höhe F C das Dreieck
in zwei ähnliche Dreiecke ∆AF C und ∆F BC unterteilt. (Beweis über Winkelsummensatz)
Da in allen drei Dreiecken die Innenwinkel gleich groß sind, kann man jeweils
zwei ähnliche Dreiecke so aufeinander legen, dass eine Strahlensatzfigur entsteht.
Das folgende Arbeitsblatt kann kopiert und den Schülern ausgeteilt werden mit
dem Auftrag, die unteren Teildreiecke sorgfältig auszuschneiden, zu colorieren
und auch die Rückseite der Dreiecke innerhalb beschriften.
3
4
7.1
Herleitung des Höhensatzes
Man lege die beiden Teildreiecke nach folgender Skizze so aufeiander, dass der
1. Stahlensatz angewendet werden kann
q
h
=
h
p
7.2
=⇒ q · p = h2
Herleitung der Kathetensätze
Man lege die beiden Teildreiecke nach folgender Skizze so in das große Ausgangsdreieck, so dass der 2. Stahlensatz angewendet werden kann
p
a
q
b
=
=
7.3
a
c
b
c
=⇒ a2 = p · c
=⇒ b2 = q · c
Herleitung des Satzes von Pythagoras
Die Herleitung erfolgt rein algebraisch aus den beiden Kathetensätzen
a2
=
p·c
b2
=
q·c
Addiert man nun beide Gleichungen, so erhält man
a2 + b2 = p · c + q · c = (p + q) · c = c2
8
Ähnlichkeitssätze
Vorausgesetzt ist der Satz vom Umfangswinkel
(Verallgemeinerung des Satzes von Thales)
Soll beispielsweise der Sekantensatz aus folgender Skizze hergeleitet werden, so
sind zunächst keine Parallelen zu erkennen.
5
Da in den beiden Dreiecken ∆P AD und ∆P BC jedoch die Winkel bei Punkt
P übereinstimmen und die Winkel über derselben Sehne AC gleich groß sein
müssen, liegen ähnliche Dreiecke vor. Eine Achsenspiegelung an der Winkelhalbierenden erzeugt die gesuchte Strahlensatzfigur.
P A0
PC
0
PA
PD
= PPD
B =⇒ P C = P B =⇒ P A · P B = P C · P D oder laut LS9, Seite 130:
Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb in einem Punkt P , so sind
die Produkte der vom Scheitel aus gemessenen Sekantenabschnitte gleich groß.
6
9
Kreisumfang und Kreisfläche
Sei es zur Neueinführung, sei es zur Wiederholung: Höhensatz, Kathetensatz
und Pythagoras lassen sich gut anwenden, um Kreisumfang und Kreisfläche
über einbeschriebene Vielecke anzunähern. Gleichzeitig werden Termumformungen, Gleichungen mit Formvariablen und geschachtelte Wurzeln wiederholt. Die
Berechnung des nummerischen Werts geschachtelter Wurzeln stellt für viele
Schülerinnen und Schüler bereits hohe Anforderungen an die Bedienung des
Taschenrechners unter Verwendung der eingebauten Speicher für Zwischenergebnisse.
9.1
Herleitungen
Sind Seite an und Höhe hn des Teildreiecks eines n-Ecks bekannt, so ist nach
dem Kathetensatz die Seite a2n des 2n-Ecks zu berechnen. In der linken Skizze
liegt das große Dreieck im Thaleskreis, seine Basis ist der Kreisdurchmesser.
Dann gilt:
q
(a2n )2 = 2r · (r − hn ) =⇒ a2n = r ·
2−
2
r
· hn
Die Höhe h2n des 2n-Ecks in der rechten Skizze läßt sich nach dem Satz des
Pythagoras berechnen:
p
2
(h2n )2 = r2 − ( a22n )2 =⇒ h2n = 2r · 4 − ( a2n
r )
9.2
Ergebnisse
Elegante Startwerte zu einem Näherungsverfahren zur π-Bestimmung erhält
man, wenn einem Kreis mit dem Radius r ein Quadrat oder ein regelmäßiges
Sechseck einbeschrieben wird. Beim regelmäßigen Sechseck ist an gleich dem
Kreisradius r, die Höhe√eines Teildreiecks berechnet sich nach dem Satz des
Pythagoras zu hn = 2r · 3. Durch rekursives Einsetzen von an und hn werden
die Seiten und Höhen der Teildreiecke des 2n-Ecks berechnet.
7
n
6
12
24
48
96
192
384
an
hn
1·p
r
√
r · q2 − 3
p
√
r· 2− 2+ 3
r
q
p
√
r· 2− 2+ 2+ 3
s
r
q
p
√
r· 2− 2+ 2+ 2+ 3
v
s
u
r
q
u
p
√
t
r· 2− 2+ 2+ 2+ 2+ 3
v
v
u
s
u
r
u
q
u
u
p
√
t
t
r· 2− 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 3
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
r
2
√
· p3
√
· q2 + 3
p
√
· 2+ 2+ 3
r
q
p
√
· 2+ 2+ 2+ 3
s
r
q
p
√
· 2+ 2+ 2+ 2+ 3
v
s
u
r
q
u
p
√
t
· 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 3
v
v
u
s
u
r
u
q
u
u
p
√
t
t
· 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 3
Kreisumfang und Kreisfläche werden durch die n-fache Seitenlänge an bzw.
durch die Fläche von n Teildreiecken bestimmt. Ausgehend vom 6-Eck über 12Eck, 24-Eck, 48-Eck, 96-Eck, 192-Eck erhält man beim 384-Eck bereits eine gute
Näherung für die Zahl π.
n
6
12
24
48
96
192
384
un = n · an
6, 0000 · r
6, 2117 · r
6, 2653 · r
6, 2787 · r
6, 2821 · r
6, 2829 · r
6, 2831 · r
An = n · an2·hn
2, 5981 · r2
3, 0000 · r2
3, 1058 · r2
3, 1394 · r2
3, 1394 · r2
3, 1410 · r2
3, 1415 · r2
Ohne weitere Herleitungen sieht man das Bildungsgesetz der geschachtelten
Wurzeln. So können leicht die Terme für das 768-Eck, 1536-Eck u.s.w. notiert
werden. Die größeren Schwierigkeiten treten im Unterricht erfahrungsgemäß
beim richtigen Umgang mit dem Taschenrechner auf.