Leseprobe - Christiani

6
Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall
Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte
im Rechenbuch Metall
Lern- Industriefeld mechaniker
Kapitel im Rechenbuch
Werkzeugmechaniker
Kapitel im Rechenbuch
1
Fertigen von Bauelementen mit handgeführten Werkzeugen
1.6.1 Längen
1.6.2 Flächen
1.6.3 Volumen
1.6.4 Masse
1.6.5 Gewichtskraft
3.1.1 Maßtoleranzen
4.3.1 Umformen, Biegen
Fertigen von Bauelementen mit handgeführten Werkzeugen
1.6.1 Längen
1.6.2 Flächen
1.6.3 Volumen
1.6.4 Masse
1.6.5 Gewichtskraft
3.1.1 Maßtoleranzen
4.3.1 Umformen, Biegen
2
Fertigen von Bauelementen mit Maschinen
3.1.1 Passungen
2.1.1 Konstante Bewegungen
4.1.1 Drehen (vc; n; f)
4.1.2 Bohren (vc; n; f)
4.1.3 Fräsen (vc; n; f)
4.7.4 Kostenrechnen
Fertigen von Bauelementen mit Maschinen
3.1.1 Passungen
2.1.1 Konstante Bewegungen
4.1.1 Drehen (vc; n; f)
4.1.2 Bohren (vc; n; f)
4.1.3 Fräsen (vc; n; f)
4.7.4 Kostenrechnen
3
Herstellen von einfachen Baugruppen
2.4 Kräfte
2.5 Hebel
2.8 Einfache Maschinen
Herstellen von einfachen Baugruppen
2.4 Kräfte
2.5 Hebel
2.8 Einfache Maschinen
4
Warten technischer
Systeme
1.7 Diagramme
7.1 Ohmsches Gesetz
7.4 Schaltung v. Widerständen
Warten technischer
Systeme
1.7 Diagramme
7.1 Ohmsches Gesetz
7.4 Schaltung v. Widerständen
5
Fertigen von Einzelteilen 3.2.1 Prozesskennwerte Stichproben
mit Werkzeugmaschinen 4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)
4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)
4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)
6
Installieren und in
Betrieb nehmen steuerungstechnischer
Systeme
6.1 Pneumatik u. Hydraulik
6.2 Logische Verknüpfungen (1)
9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung
Herstellen technischer
Teilsysteme des Werkzeugbaus
4.3.1 Biegen, Rückfedern
4.3.2 Tiefziehen
4.4 Exzenter- und Kurbelpressen
7
Montieren von technischen Teilsystemen
5.3 Festigkeitsberechnungen
2.5.2 Lagerkräfte
5.2.1 Zugversuch
Fertigen mit numerisch
gesteuerten Werkzeugmaschinen
1.4 Berechnungen im Dreieck (1)
4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (1)
8
Fertigen auf numerisch
gesteuerten Werkzeugmaschinen
1.4 Berechnungen im Dreieck
4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen
Planen und in Betrieb
nehmen steuerungstechnischer Systeme
6.1 Pneumatik und Hydraulik
6.2 Logische Verknüpfungen
7.1 Ohmsches Gesetz
7.2 Leiterwiderstand
9
Instandsetzen von tech- 2.6 Reibung
5.1 Wärmetechnik (2)
nischen Systemen
4.7.4 Kostenrechnung (2)
Herstellen von formgebenden Werkzeugoberflächen
4.1.7 Hauptnutzungszeit beim Schneiden
2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad
7.6 Wechselspannung und Wechselstrom
Formgeben von Bauele- 4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)
menten durch spanende 4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)
4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)
Fertigung
4.1.4 Indirektes Teilen
10
Herstellen und in Betrieb nehmen von technischen Systemen
2.2 Zahnradmaße
Fertigen von Bauele2.3 Übersetzungen
menten in der rechner2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungs- gestützten Fertigung
grad
7.6 Wechselspannung und Wechselstrom
7.7 El. Leistung
7.8 El. Energiekosten
1.4 Berechnungen im Dreieck
4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (2)
11
Überwachen der
Produkt- und Prozessqualität
3.2 Qualitätsmanagement
9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am
Bsp. eines Stirnradgetriebes
Herstellen der technischen Systeme des
Werkzeugbaus
4.2 Trennen durch Schneiden
5.2 Werkstoffprüfung
5.3 Festigkeitsberechnungen
12
Instandhalten von technischen Systemen
5.2 Werkstoffprüfung
5.3 Festigkeitsberechnungen
In Betrieb nehmen und
Instandhalten von technischen Systemen des
Werkzeugbaus
3.2 Qualitätsmanagement (1)
7.7 El. Leistung
7.8 El. Energiekosten
9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug
13
6.2 Logische Verknüpfungen (2)
Sicherstellen der Betriebsfähigkeit automati- 9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung
sierter Systeme
9.10 Projekt: Elektropneumatik
Planen und Fertigen
technischer Systeme
des Werkzeugbaus
4.5 Spritzgießen
9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug
9.6 Projekt: Tiefziehwerkzeug
14
Planen und Realisieren
technischer Systeme
9.1 Projekt: Vorschubantrieb einer CNCFräsmaschine
9.2 Projekt: Hubeinheit
Ändern und Anpassen
technischer Systeme
des Werkzeugbaus
3.2 Qualitätsmanagement (2)
9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am
Bsp. eines Stirnradgetriebes
15
Optimieren von technischen Systemen
9.3 Projekt: Zahnradpumpe
9.4 Projekt: Hydraulische Spannklaue
–
–
Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall
7
Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall
Lern- Zerspanungsfeld mechaniker
1
Fertigen von Bauelementen mit handgeführten Werkzeugen
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Kapitel im Rechenbuch
1.6.1 Längen
1.6.2 Flächen
1.6.3 Volumen
1.6.4 Masse
1.6.5 Gewichtskraft
3.1.1 Maßtoleranzen
4.3.1 Umformen, Biegen
Fertigen von Bauele3.1.2 Passungen (1)
menten mit Maschinen 2.1.1 Konstante Bewegungen
4.1.1 Drehen (vc; n; f)
4.1.2 Bohren (vc; n; f)
4.1.3 Fräsen (vc; n; f)
4.7.4 Kostenrechnen
Herstellen von ein2.4 Kräfte
fachen Baugruppen
2.5 Hebel
2.8 Einfache Maschinen
1.7 Diagramme
Warten technischer
7.1 Ohmsches Gesetz
Systeme
7.4 Schaltung v. Widerständen
Herstellen von Bauele- 3.1 Passungen (2)
menten durch spanende 4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)
4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)
Fertigungsverfahren
4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)
Warten und Inspizieren 4.7.1 Standzeit, -menge, -weg
4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit
von Werkzeugmaschi5.3.3 Flächenpressung
nen
2.5.2 Lagerkräfte
2.6 Reibung
6.1 Pneumatik und Hydraulik
In Betrieb nehmen
steuerungstechnischer 6.2 Logische Verknüpfungen
9.3 Projekt: Zahnradpumpe
Systeme
Feinwerkmechaniker
Fertigen von Bauelementen mit handgeführten Werkzeugen
Fertigen von Bauelementen mit Maschinen
Herstellen von einfachen Baugruppen
Warten technischer
Systeme
Herstellen von Drehund Frästeilen
Programmieren und
Fertigen auf numerisch
gesteuerten Werkzeugmaschinen
Kapitel im Rechenbuch
1.6.1 Längen
1.6.2 Flächen
1.6.3 Volumen
1.6.4 Masse
1.6.5 Gewichtskraft
3.1.1 Maßtoleranzen
4.3.1 Umformen, Biegen
3.1 Passungen (1)
2.1.1 Konstante Bewegungen
4.1.1 Drehen (vc; n; f)
4.1.2 Bohren (vc; n; f)
4.1.3 Fräsen (vc; n; f)
4.7.4 Kostenrechnen
2.4 Kräfte
2.5 Hebel
2.8 Einfache Maschinen
1.7 Diagramme
7.1 Ohmsches Gesetz
7.4 Schaltung v. Widerständen
3.1 Passungen (2)
4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)
4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)
4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)
1.4 Berechnungen im Dreieck
4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen
4.7.5 Maschinenstundensatz
4.7.6 Deckungsbeitrag
5.2.1 Zugversuch
5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches
Gesetz
5.1.2 Längen- und Volumenänderung
5.3.3 Flächenpressung
2.5.2 Lagerkräfte (1)
2.6 Reibung
6.1 Pneumatik und Hydraulik
Programmieren und
4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen
Planen und in Betrieb
6.2 Logische Verknüpfungen
Fertigen mit numerisch 3.2.1 Qualitätsmanagement
nehmen steuerungsgesteuerten Werkzeugtechnischer Systeme
9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung
maschinen
9.10 Projekt: Elektropneumatik
Instandhalten von Funk- 2.5.2 Lagerkräfte (2)
Herstellen von Bauele- 4.1.5 Schleifen (th)
4.7.1 Standzeit, -menge, -weg
tionseinheiten
menten durch Feinbear- 4.1.7 Abtragen und Schneiden (th)
4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit
3.1.3 ISO-Passungen
beitungsverfahren
5.3.3 Flächenpressung
4.1.5 Schleifen (th)
Optimieren des Ferti2.7.3 Mechanische Leistung
Feinbearbeiten von
4.1.7 Abtragen und Schneiden
gungsprozesses
Flächen
3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit
4.7.3 Auftragszeit
4.1 Spanende Fertigung (Schnittleistung,
4.7.4 Kostenrechnung
Hauptnutzungszeit)
4.7 Fertigungsplanung
3.2.4 Statistische Prozesslenkung
Planen und OrganisieHerstellen von Bauteilen 4.5 Spritzgießen
(Urliste, Histogramm, Qualitäts9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug
ren rechnergestützter
und Baugruppen aus
regelkarte, Standardabweichung,
9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug
Fertigung
Kunststoff
Prozessbewertung).
3.2.1 Prozesskennwert aus StichprobenVorbereiten und Durch- 4.1 Spanende Fertigung: Schnittdaten,
Planen und Organisieprüfung
führen eines Einzelfertiren rechnergestützter
Schnittkräfte
gungsauftrages
Fertigung
9.4: Projekt Hydraulische Spannklaue
4.7.5 Maschinenstundensatz
4.7.6 Deckungsbeitrag
3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit
9.11 Projekt: Zerspanungsmechanik
Organisieren und
Instandhalten tech4.1 Spanende Fertigung (Schnittleistung,
Überwachen von Ferti- 9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am
nischer Systeme
Hauptnutzungszeit)
Beispiel eines Stirnradgetriebes
gungsprozessen in der
4.7 Fertigungsplanung
Serienfertigung
–
–
Fertigen von Schweiß- 4.6.2 Schmelzschweißen
konstruktionen1)
8.14 Fügen (Lötverbindungen)
–
–
Montieren, Demontieren 2.7 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad
und in Betrieb nehmen 3.2 Qualitätsmanagement
technischer Systeme1)
7 Elektrotechnik
8.8 + 8.9 Qualitätsmanagement
–
–
Programmieren automatisierter Systeme und 9.10 Projekt: Elektropneumatik
1)
Anlagen
1) Schwerpunkt Maschinenbau
Herstellen technischer
Teilsysteme
8
Mathematische und physikalische Begriffe
Mathematische und physikalische Begriffe
Begriffe
Erklärung
Beispiele
Physikalische
Größen
Physikalische Größen sind objektiv messbare Eigenschaften
von Zuständen und Vorgängen. Eine physikalische Größe ist
das Produkt eines Zahlenwertes mit einer Einheit.
Bei der Länge • = 30 mm ist
30 der Zahlenwert und mm
(Millimeter) die Einheit.
Basisgröße
Man unterscheidet Basisgrößen und Basiseinheiten. Sie sind
im internationalen Einheitensystem (Sl = Système International) festgelegt.
Basisgröße
Größen und Einheiten
Basiseinheit
Formelzeichen
•
m
Länge
Masse
Basiseinheit
Zeichen
Meter
Kilogramm
Abgeleitete
Größen und
abgeleitete
Einheiten
Die abgeleiteten Größen und deren Einheiten setzen sich aus
den Basisgrößen und deren Einheiten zusammen.
Umrechnung
von Einheiten
Einheiten können in größere oder kleinere Einheiten oder andere Maßsysteme umgerechnet werden.
m
kg
Kraft = Masse · Beschleunigung
1 N 1 kg ·
1 kg 1 kg ·
m
kg · m
1
s2
s2
1 000 g
1 000 g
1 kg
1 ˜ 1 dm3 10 d ˜ 0, 001 m3
Gleichungen und Formeln
Gleichungen
Gleichungen beschreiben die Abhängigkeit mathematischer
oder physikalischer Größen voneinander.
Formeln
Technische oder physikalische Gleichungen mit Formelzeichen
bezeichnet man als Formeln.
16 + 9 = 100 – 75
x + 15 = 25
s=v·t
฀ ฀
Formelzeichen Formelzeichen bestehen aus kursiv gedruckten Buchstaben
und kennzeichnen Größen. Sie ersetzen Wörter und dienen
zum Rechnen mit Formeln.
Größengleichungen
Größengleichungen stellen Beziehungen zwischen physikalischen Größen dar. Sie sind unabhängig von der Wahl
der Einheit und können Zahlenwerte, z.B. T, mathematische
Zeichen, z.B. , enthalten.
Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung.
Zahlenwertgleichungen
Die Zahlenwerte aller Formelzeichen sind an vorgegebene Einheiten gebunden. Der Zahlenwert des Ergebnisses erhält die
gewünschte Einheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte der Gleichung in den jeweils vorgeschriebenen Einheiten eingesetzt
werden. Kennzeichnung in diesem Buch: graue Umrandung.
฀฀
m für Masse
A für Fläche
d
P
4·A
T
Q ·p
600
P in kW
Q in ˜/min
p in bar
Zahlenwerte
Konstanten
Konstanten sind gleichbleibende Zahlenwerte oder Größen
bei Berechnungen in der Mathematik und Physik.
T = 3,141 592 654... (Kreiszahl)
c £ 300 000 km/s (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)
Koeffizienten
Koeffizienten sind Größen, die den Einfluss einer Stoffeigenschaft auf einen physikalischen Vorgang kennzeichnen.
E = 0,000 012 1/K
(E = Längenausdehnungskoeffizient für Stahl)
Runden
Es gilt DIN 1333: Ist die über die angegebene Stellenzahl
hinausgehende Ziffer = 5 oder > 5, wird aufgerundet. Ist die
Ziffer < 5, wird abgerundet.
25,5 N
18,79 kg
164,4 cm3
£ 26 N
£ 18,8 kg
£ 164 cm3
Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme
1
1.1
Grundlagen der technischen Mathematik
Zahlensysteme
Beim Rechnen wird allgemein das dezimale Zahlensystem verwendet. Die elektronische Datenverarbeitung (EDV) und die Automatisierungstechnik
bauen jedoch auf dem dualen und hexadezimalen
Zahlemsystem auf, weil die elektronischen Bauelemente nur binäre1) Informationen, d. h. die Zustände 0 und 1, verarbeiten können.
Zahlensysteme setzen sich aus der Basis und den
Zeichen zusammen (Tabelle 1).
Bezeichnungen:
z10 Kurzzeichen für eine Dezimalzahl2)
z2 Kurzzeichen für eine Dualzahl3)
z16 Kurzzeichen für eine Hexadezimalzahl2)
1.1.1 Dezimales Zahlensystem
Beim dezimalen Zahlensystem werden die Ziffern
0 bis 9 verwendet. Alle Zahlen können als Zehnerpotenzen geschrieben werden.
Beispiel:
Dezimalzahl z10 = 857
z10 = 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100
= 800 + 50 + 7 = 857
Die Zehnerpotenzen werden nicht geschrieben,
sondern nur die Faktoren (Tabelle 2).
1.1.2 Duales (binäres)
Zahlensystem
Beim dualen Zahlensystem werden lediglich die
Ziffern „0“ und „1“ verwendet. Alle Zahlen werden
als Potenzen der Basis 2 dargestellt (Tabelle 2).
Umwandlung von Dezimal- in Dualzahlen
Beispiel:
Lösung:
Die Dezimalzahl z10 = 14 ist in eine Dualzahl
umzuwandeln.
Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche Zweierpotenz dividiert (Tabelle 3). Der
verbleibende Rest wird wiederum durch die
höchstmögliche Zweierpotenz dividiert, usw.
Die Zweierpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren: z2 = 1110
Umwandlung von Dual- in Dezimalzahlen
Beispiel:
Lösung:
9
Die Dualzahl z2 = 1101 ist in eine Dezimalzahl
umzuwandeln.
Sämtliche Ziffern der Dualzahl erhalten unterschiedliche Zweierpotenzen. Die letzte
Ziffer wird mit der Potenz 20, die vorletzte
mit 21, die davor mit 22 usw. multipliziert.
Danach werden die Potenzwerte berechnet
und addiert (Tabelle 4).
1) binär (lat.) aus zwei Einheiten bestehend
2) hexa (griech.) = sechs, dezimal (lat.) = 10
3) dual (lat.) aus zwei Einheiten bestehend
Tabelle 1: Zahlensysteme
Zahlensystem
Dual
Dezimal
Hexadezimal
Basis
2
10
16
Zeichen
0, 1
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E, F
Tabelle 2: Dezimal-, Dual- und Hexadezimalzahlen
Zahlen im
Dezimalsystem
Zehnerpotenzen
101 100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
Zahlen im
Hexadezimalsystem
Sechzehnerpotenzen
162 161 160
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
0
Zahlen im Dualsystem
Zweierpotenzen
24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
23
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
22
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
21
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
20
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
Tabelle 3: Umwandlung einer Dezimalzahl in
eine Dualzahl
Rechenvorgang
14 : 23 = 14 : 8 = 1 (Rest 6)
23
1
16 : 22 = 16 : 4 = 1 (Rest 2)
22
10 :
1
= 10 : 1 = 0 (Rest 0)
Ergebnis: z2 =
20
1
12 : 21 = 12 : 2 = 1 (Rest 0)
20
21
0
1
1
1
0
Tabelle 4: Umwandlung einer Dualzahl in eine
Dezimalzahl
z2
Zweierpotenz
Potenzwert
z10 =
1
1
0
1
1 · 23
1 · 22
0 · 21
1 · 20
8
4
0
1
+
+
+
8
4
0
1
z10 = 13
Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme
10
1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem
Bei Mikroprozessoren verwendet man häufig auch das hexadezimale Zahlensystem. Bei diesem werden
neben den Ziffern 0 bis 9 auch die Buchstaben A bis F benützt. Es hat den Vorteil, dass weniger Zeichen
benötigt werden, als dies beim dezimalen und dualen Zahlensystem der Fall ist.
Die Zahlen werden in Potenzen der Basis 16 angegeben (Tabelle 2, vorherige Seite), z. B. z16 = 1A (≙ z10
= 26).
Umwandlung von Dezimalzahlen in
Hexadezimalzahlen
Beispiel:
Lösung:
Die Dezimalzahl z10 = 2007 ist in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln.
Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche 16er-Potenz dividiert. Der verbleibende Rest wird wiederum durch die höchstmögliche 16er-Potenz dividiert usw. Ist der
Rest schließlich nicht mehr ganzzahlig durch
16 teilbar, wird er in einer entsprechenden
Hexadezimalziffer ausgedrückt (Tabelle 1).
Umwandlung von Hexadezimalzahlen in
Dezimalzahlen
Beispiel:
Lösung:
Die Hexadezimalzahl z16 = A2F ist in eine Dezimalzahl umzuwandeln.
Sämtliche Ziffern der Hexadezimalzahlen
erhalten unterschiedliche 16er Potenzen
gemäß Tabelle 2. Die letzte Ziffer wird mit
der Potenz 160, die vorletzte mit der Potenz
161, die davor mit der Potenz 162 usw. multipliziert. Danach werden die Potenzwerte
berechnet und addiert.
Aufgaben
Tabelle 1: Umwandlung einer Dezimalzahl in
eine Hexadezimalzahl
Rechenvorgang
162
7
2007 : 162 = 7 Rest 215
16er-Potenzen
161
160
215 : 161 = 13 (≙ D) Rest 7
D
7 : 160 = 7
7
z16 =
7
D
7
Tabelle 2: Umwandlung einer Hexadezimalzahl
in eine Dezimalzahl
z16
A1)
2
16er-Potenz
10 · 162
2 · 161
2 560
Potenzwert
32
Dezimalzahl z10 = 2 560 + 32 + 15 = 2 607
1) A ¥ 10;
F2)
15 · 160
15
2) F ¥ 15
Zahlensysteme
1. Umwandlung von Dezimalzahlen (Tabelle 3). Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie in Hexadezimalzahlen umzuwandeln.
Tabelle 3
a
b
c
d
e
f
g
h
i
Dezimalzahl
24
30
48
64
100
144
150
255
2 000
2. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 4). Wandeln sie die folgenden Dualzahlen in Dezimalzahlen
um.
Tabelle 4
Dualzahl
a
b
c
d
e
f
100
10 10
1 11 11
11 00 11
11 11 00 00
11 11 11 11
3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen (Tabelle 5). Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzahlen und
in Dualzahlen umzuwandeln.
Tabelle 5
a
b
c
d
e
f
Hexadezimalzahl
68
A0
96
8F
ED
FF
4. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 6). Die Dualzahlen sind in Hexadezimalzahlen umzuwandeln.
Tabelle 6
a
b
c
d
e
f
Dualzahlen
10 10 10
11 10 00
11 00 11 00
11 10 00 11
10 01 00 10
10 00 01 11
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
1.2
11
Grundrechnungsarten
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. In diesem Abschnitt werden außerdem das Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und das Bruchrechnen behandelt.
Die Einführung der Rechenregeln wird mit Zahlenbeispielen erläutert. Die daraus abgeleiteten Beispiele
aus der Algebra führen in das technische Rechnen mit Formeln ein.
1.2.1 Variable
In der Algebra werden Variable (Platzhalter) eingesetzt, die beliebige Zahlenwerte darstellen können
(Tabelle 1). Als Variable werden meist Kleinbuchstaben verwendet.
Tabelle 1: Schreibweisen von Variablen
Zeichen
Beispiele
Das Multiplikationszeichen zwischen Zahl 3 · a = 3a
a · b = ab
und Variable kann weggelassen werden
Der Faktor 1 wird meist nicht geschrieben 1 · b = b
1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm)
Mathematische Ausdrücke können mit Klammern zusammengefasst werden. Die in Klammern stehenden Werte müssen zuerst berechnet werden. Die Rechenregeln sind in Tabelle 2 beschrieben.
Tabelle 2: Klammerausdrücke
Rechenregel
Pluszeichen vor der Klammer
Klammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelassen
werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben unverändert.
Minuszeichen vor der Klammer
Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur aufgelöst
(weggelassen) werden, wenn alle Glieder in der Klammer entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.
Zahlenbeispiel
16 + (9 – 5)
= 16 + 9 – 5
= 20
16 – (9 – 5)
= 16 – 9 + 5
= 12
Algebraisches Beispiel
a + (b – c)
= a+b–c
a – (b – c)
= a–b+c
1.2.3 Strich- und Punktrechnungen
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können auf Grund ihrer Rechenzeichen in Strich(–, +) und Punktrechnungen (·, :) unterteilt werden.
Strichrechnungen
Zu den Strichrechnungen zählen die Addition und die Subtraktion. Die Rechenregeln für Strichrechnungen können Tabelle 3 entnommen werden.
Tabelle 3: Rechenregeln für die Strichrechnungen
Rechenregel
Vertauschungsgesetz
Zahlen und Buchstaben können vertauscht werden.
Zusammenfassung
Einzelne Glieder können zu Teilsummen zusammengefasst werden.
Summieren von Variablen
Nur gleiche Variable können addiert oder subtrahiert werden.
Zahlenbeispiel
3–9+7
= 7+3–9
= –9 + 3 + 7
= 1
3+7–9
= (3 + 7) – 9
–
Algebraisches Beispiel
a–b+c
= a+c–b
= –b + a + c
a+b–c
= (a + b) – c
18a – 3a + 2b – 5b
= 15a – 3b
12
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
Punktrechnungen
Multiplikationen und Divisionen bezeichnet man als Punktrechnungen. Die Rechenregeln für die Multiplikation sind in der Tabelle 1 zusammengestellt.
Tabelle 1: Rechenregeln für die Multiplikation
Rechenregel
Vertauschungsgesetz:
Faktoren dürfen vertauscht werden.
Zahlenbeispiel
3·4·5=4·3·5
= 5·3·4=5·4·3
Vorzeichenregeln
2 · 5 = 10
Gleiche Vorzeichen
(–2) · (–5) = +10 = 10
Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird
das Produkt positiv; + mal + = +; – mal – = +
3 · (–8) = –24
Ungleiche Vorzeichen
(–3) · 8 = –24
Haben zwei Faktoren verschiedene Vorzeichen, so
wird das Produkt negativ; – mal + = –; + mal – = –
Algebraisches Beispiel
a·b·c=b·a·c
= c·a·b=c·b·a
a · x = ax
(–a) · (–x) = +ax = ax
a · (–x) = –ax
(–a) · x = –ax
Produkte mit Klammern
a · (b + 2b)
7 · (4 + 5)
Faktor mit Klammer:
= a · 3b
Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multi- = 7 · 4 + 7 · 5
= 3ab
= 63
pliziert, in dem man jedes Glied der Klammer mit
dem Faktor multipliziert. Wenn möglich, sollte man oder:
7 · (4 + 5)
zuerst den Inhalt der Klammer zusammenfassen
= 7 · 9 = 63
und dann den Wert der Klammer mit dem Faktor
multiplizieren.
(3 + 5) · (10 – 7)
(a + b) · (c – d)
Klammer mit Klammer
Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multi- = 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7) = ac – ad + bc – bd
pliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer = 30 – 21 + 50 – 35
mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. = 24
oder:
Bei Zahlen können auch zuerst die Klammeraus(3 + 5) · (10 – 7)
drücke berechnet und danach kann das Produkt
= 8 · 3 = 24
gebildet werden.
Die Rechenregeln für die Division sind in Tabelle 2 dargestellt. Das Rechenzeichen für die Division ist
der Doppelpunkt (:) oder der Bruchstrich.
Tabelle 2: Rechenregeln für die Division
Rechenregel
Bruchstrich entspricht Klammer
Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusammen
wie eine Klammer und ersetzt das Divisionszeichen.
Vertauschungsgesetz gilt nicht!
Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden.
Zahlenbeispiel
Algebraisches Beispiel
34
(3 4) : 2 3, 5
2
a b a b
2
2 2
3:4 w 4:3
3 4
w
4 3
a :b w b :a
a b
w
b a
Vorzeichenregel
Gleiche Vorzeichen
15
15 : 3 5
Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, so ist das
3
Ergebnis positiv.
15
+ geteilt durch + = +
(15) : (3) +5
3
– geteilt durch – = +
Ungleiche Vorzeichen
15
15 : (3) –5
Haben Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen, so ist
–3
das Ergebnis negativ.
15
+ geteilt durch – = –
(15) : 3 –5
3
– geteilt durch + = –
Klammerausdrücke
(16 – 4) : 4
Klammer geteilt durch Wert
Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buchstabe, = 16 : 4 – 4 : 4
Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes einzelne Glied in = 4 – 1 = 3
oder
der Klammer durch diesen Wert dividiert. Man kann auch den
(16 – 4) = 12 : 4 = 3
Klammerausdruck erst berechnen und danach dividieren.
a a
b b
–a a
–b b
a
a
–
–b
b
–a
a
–
b
b
a –b a b a
– –1
b
b b b
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
13
Gemischte Punkt- und Strichrechnungen
Kommen in einer Rechnung sowohl Strich- als auch Punktrechnungen oder Klammern vor, so ist die
Reihenfolge der Lösungsschritte zu beachten. Die Rechenregeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt.
Tabelle 1: Rechenregeln für gemischte Punkt- und Strichrechnungen
Reihenfolge der Lösungsschritte
Zahlenbeispiele
Algebraische Beispiele
1. Punktrechnungen
2. Strichrechnungen
8 · 4 – 18 · 3
= 32 – 54
= –22
3a · 2b – 4a · 6b
= 6ab – 24ab
= –18ab
16 20 18
446 2
4
5
3
16a 3b 6c
4a 3 3 4a
4
b 2c
8 · (3 – 2) + 4 (16 – 5)
= 8 · 1 + 4 · 11
= 8 + 44 = 52
a · (3x + 5x) – b · (12y – 2y)
= a · 8x – b · 10y
= 8ax – 10by
Klammerausdrücke sowie gemischte
Punkt- und Strichrechnungen:
1. Klammern
2. Punktrechnungen
3. Strichrechnungen
Aufgaben
Gemischte Punkt- und Strichrechnungen
Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 5 sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma zu
runden.
1. a) 217,583 – 27,14 · 0,043 + 12
c) 7,1 + 16,27 + 14,13 · 17,0203
e) 857 – 3,52 · 97,25 – 16,386 + 1,1
b) 16,25 + 14,12 · 6,21
d) 74,24 – 1,258 · 12,8
f) 119,2 + 327,351 – 7,04 · 7,36
2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2
b) 34,89 + 241,17 : 21,35 – 12,46 : 2,2
3. a) 243 : 0,04 – 92,17 – 13,325 + 124,3 : 3,5
b) 507 : 0,05 – 261,17 – 114,325 + 142,3 : 18,4
4. a) 18 · (–5) + (–3) · (–7)
96 65
c)
16 15
b) 120 : (–6) – (–15) : 5
148 85
d)
37
17
5.
24, 75 15 38, 7 2, 08 44, 2 · 13,1
12, 6
0, 36
20, 05 1, 7
15,1 3, 7
c) (23, 7 2, 8) ·
16, 9
a)
23, 4 8, 6 13, 8 22, 7
· 20, 6
2, 4
27 3, 5
25 · (20,1 16, 58)
d)
(34, 85 2, 97) · 4, 6
b) 34, 2 ·
Die Ergebnisse der Aufgaben 6 bis 8 sind zu berechnen.
6. a) 3a · 4b – 10a · 2b
c) –8m · 2n + 7,5m · (–2n)
7.
30x 15x
10y
2y
7, 5x 33x
c)
2, 5y 22y
a)
8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x)
b) 25x · (–10y) + 13x · (–5y)
d) (–16a) · (–5c) – (–5a) · (–2c)
12m 30m
15n 1, 5n
2x 15x
d)
8y 60y
b)
b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x)
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
14
1.2.4 Bruchrechnen
Der Bruchterm ist ein Zahlenverhältnis und besteht aus dem Zähler
Zähler 3
Bruchterm 0, 75
und dem Nenner. Der Nenner ist die Bezugsgröße und gibt die GeNenner 4
samtheit der Teile an. Der Zähler bezeichnet die Anzahl der Teile.
Das Bruchrechnen wird in der technischen Mathematik z. B. bei Teilkopf-, Kegel- oder Wechselräderberechnungen angewandt. Es wird hier nur so weit behandelt, als es für die genannten Anwendungen
notwendig ist. In Tabelle 1 sind verschiedene Arten von Brüchen aufgeführt.
Tabelle 1: Brucharten
Art
Beispiel
Kennzeichen
Wert
Echter Bruch
1
3
Zähler < Nenner
<1
Unechter Bruch
5
4
Zähler > Nenner
>1
1
4
Ganze Zahl und ein
echter Bruch
>1
Dezimalkomma
<1
Gemischte Zahl
Dezimalbruch
1
0,75
Bild
1
1 3
5
2 4
1
Erweitern, Kürzen und Umwandlung von Bruchtermen
Brüche können erweitert, gekürzt oder umgewandelt werden. Dabei bleibt ihr Wert unverändert (Tabelle 2).
Tabelle 2: Rechenregeln für Bruchterme
Rechenregel
Erweitern
Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert.
Kürzen
Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl (bzw. denselben Buchstaben) dividiert.
Summen oder Differenzen
Summen oder Differenzen sind vor dem Kürzen oder
Erweitern zu berechnen.
Zahlenbeispiel
Algebraisches Beispiel
1 1· 6 6
4 4 · 6 24
a a·c
b b·c
6
6:6 1
24 24 : 6 4
a · c (a · c ) : c a
b · c (b · c ) : c b
18 24
3
6
3
260 20 280 140
140
c b
c b
kann nicht gekürzt werden.
Umwandlung eines Bruches in einen Dezimalbruch
3
3 : 8 0, 375
Ein Bruch wird in einen Dezimalbruch umgewandelt, in8
dem man den Zähler durch den Nenner dividiert.
Umwandlung eines Dezimalbruches in einen Bruch
Ein endlicher Dezimalbruch wird in einen Bruch verwan48 12
0, 48 delt, indem man in den Zähler alle Ziffern nach dem
100 25
Komma schreibt. Der Nenner erhält eine 1 mit so vielen
Nullen wie der Zähler Stellen hat.
Aufgaben
Bruchrechnen
1. Die folgenden Brüche sind so zu erweitern, dass sich der Nenner 24 ergibt.
a) 3/4
b) 1/2
c) 5/4
d) 5/12
e) 6/8
2. Die folgenden Brüche sind so weit als möglich zu kürzen.
a) 3/21
b) 4/48
c) 33/66
d) 36/45
e) 40/132
3. Die folgenden Brüche sind in Dezimalbrüche umzuwandeln.
a) 3/21
b) 4/48
c) 33/66
d) 36/45
e) 40/132
4. Die folgenden Dezimalbrüche sind in Brüche zu verwandeln.
a) 0,937 5
b) 0,375
c) 0,85
d) 0,2
e) 0,333
–
–
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
15
1.2.5 Potenzieren
5 · 5 · 5 = 53 = 125
Basis
Bild 1: Potenz
Potenzen mit positiven Exponenten
Beispiele: Fläche des Quadrats
(Bild 2)
A = • · • = •2
= 5 mm · 5 mm = (5 mm)2 = 25 mm2
Volumen des Würfels V = • · • · • = •3
(Bild 3)
= 5 mm · 5 mm · 5 mm = (5 mm)3
= 125 mm3
Potenzwert
;
2
2
5
5
Man unterscheidet Potenzen mit positiven und Potenzen mit negativen Exponenten.
Exponent
;
Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz;
der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz
(Bild 1) besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten
(Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst
multipliziert werden muss.
5
;
Bild 2: Quadrat
;
Bruch:
33 3 · 3 · 3 27
b3 b · b · b b3
Klammer:
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
Potenzen mit negativen Exponenten
1
42
42
1
a n ;
an
153 1
;
153
1
min1;
min
;
5
Bild 3: Würfel
Werte
Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen
Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine
Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben werden.
Beispiele:
5
;
(5a)2 = 52 · a2 = 5 · 5 · a · a = 25a2
3
3
;
oder
5
(5a)2 = 5a · 5a = 25a2
Beispiele: Produkt:
5
Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis
von Potenzen sein.
15 km · h1 15
km
h
1 kWg· h
g · kW · h
Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen)
Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer
1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden (Bild 4 und Tabelle 1).
Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1
und 10 angegeben.
Beispiele: 4 200 000 = 4,2 · 1 000 000 = 4,2 · 106
0,000 0042 = 4,2 · 0,000 001 = 4,2 · 10–6
Die Schreibweise 4,2 · 106 ist übersichtlicher als 0,42 · 107 oder 42 · 105.
<1
1
1
1
1000 100 10
>1
1
10 100 1000
10 – 3 10 – 2 10 – 1 100 101 102 103
Bild 4: Zehnerpotenzen
Tabelle 1: Zehnerpotenzen
Schreibweise als
ausgeschrieZehner- Vorsatz
bene Zahl
potenz bei
Einheiten
1 000 000
106
Mega (M)
100 000
105
–
10 000
104
–
1 000
103
kilo (k)
100
102
hekto (h)
101
10
deka (da)
100
1
–
10–1
0,1
deci (d)
10–2
0,01
centi (c)
10–3
0,001
milli (m)
0,000 1
10–4
–
0,000 01
10–5
–
0,000 001
10–6
mikro (µ)
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
16
Beim Rechnen mit Potenzen gelten besondere Regeln (Tabelle 1):
Tabelle 1: Potenzieren
Rechenregel
1. Addition und Subtraktion von
Potenzen
Potenzen dürfen nur dann addiert
oder subtrahiert werden, wenn sie
sowohl denselben Exponenten als
auch dieselbe Basis haben.
2. Multiplikation von Potenzen mit
gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die
Exponenten addiert und die Basis
beibehält.
3. Multiplikation von Potenzen mit
gleichem Exponenten
Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert
und den Exponenten beibehält.
4. Division von Potenzen mit
gleicher Basis
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre
Exponenten subtrahiert und die
Basis beibehält.
5. Division von Potenzen mit
gleichen Exponenten
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man
ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
6. Multiplikation von Potenzen mit
einem Faktor
Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst
der Wert der Potenz berechnet
werden.
7. Potenzwert mit dem Exponenten
Null
Jede Potenz mit dem Exponenten
Null hat den Wert 1.
Zahlenbeispiel
2 · 52 + 4 · 52
= 52 · (2 + 4)
= 52 · 6
2
1
1
3 2
32 32 32
Algebraisches Beispiel
axn + bx n
a3 + a3 = 2a3
= (a + b) · xn
7
4
3
3 · d n
dn dn dn
a
b a b
xn xn
xn
(a b) · x n
32 · 33
= 3·3·3·3·3
= 35
x4 · x2
= x·x·x·x·x·x
= x6
oder:
oder:
32 · 33
= 3(2 + 3) = 35
x4 · x2
= x (4 + 2) = x 6
42 · 62
= (4 · 6)2
= 242
= 576
6x 2 · 3y 2
= 18x 2y 2
= 18(x · y)2
43
4·4·4
4
4·4
42
oder:
43 : 42 = 43 – 2 = 41 = 4
Formel
xm · xn = xm + n
x n · y n = (xy)n
m3 m · m · m
m
m·m
m2
oder :
m3
m3 · m2
m2
m32 m1 m
m3 : m2 xm
x m · x n
xn
x mn
2
152 ¤ 15 ³
52
32 ¥¦ 3 µ́
25
a3 ¤ a ³
b 3 ¥¦ b µ́
3
6 · 103
= 6 · 1 000
= 6 000
7
· 102
an ¤ a ³
b n ¥¦ b µ́
–
–
7
0, 07
100
104
1044 100 1
104
(m + n)0 = 1
n
a0 = 1
a «0
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
17
1.2.6 Radizieren (Wurzelziehen)
Das Radizieren1) oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten (Bild 1). Der Radikand steht
unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen.
Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in
wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll.
Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt
werden. Der Radikand erhält im Exponenten einen Bruch. Der Zähler entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten.
Wurzelexponent
Wert der Wurzel
2
16 = 4
Radikand
Bild 1: Darstellung einer Wurzel
1
Beispiel:
Schreibweisen einer Wurzel
9 2 91 9 2
n
Quadratwurzel
16 (sprich Quadrat-Wurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet,
man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16
ergibt.
16 = 4, denn 4 · 4 = 16
Beispiel:
Quadratwurzel
Der Wurzelexponent 2 bei der Quadratwurzel wird meist weggelassen.
Beispiel:
2
16 16 4
2
1
a n a1 a 2
2
2
a 2 a 2 a1 a
42 4 · 4 16 4
Kubikwurzel
3
27 (sprich 3. Wurzel aus 27 oder Kubikwurzel aus 27) bedeutet,
Kubikwurzel
dass man eine Zahl sucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert
den Wert 27 ergibt.
Beispiel:
3
3
27 = 3, denn 3 · 3 · 3 = 27
3
a 3 a 3 a1 a
Tabelle 1: Radizieren
Rechenregel
Zahlenbeispiel
1. Addition und Subtraktion von
Wurzeln
2 6 3 6
Wurzeln dürfen nur dann addiert oder
subtrahiert werden, wenn sie gleiche
(2 3) 6
Exponenten und Radikanden haben.
5 6
Man addiert (subtrahiert) die Faktoren
und behält die Wurzel bei.
2. Radizieren eines Produktes
9 · 16 144 12
Ist der Radikand ein Produkt, so kann
oder
die Wurzel entweder aus dem Produkt
9 · 16 9 · 16
oder aus jedem einzelnen Faktor ge 3 · 4 12
zogen werden.
3. Radizieren einer Summe oder
9 16 25 5
Differenz
oder
Ist der Radikand eine Summe oder
52 42 25 16
eine Differenz, so kann nur aus dem
Ergebnis die Wurzel gezogen werden.
93
4. Radizieren eines Quotienten
9
0, 36 0, 6
Ist der Radikand ein Quotient (Bruch),
25
so kann die Wurzel aus dem Quotioder
enten oder aus Zähler und Nenner
9
9 3
getrennt gezogen werden.
0, 6
25
25 5
1) radix (lateinisch) Wurzel
Algebraisches Beispiel Formel
8 m 3 m
(8 3) m
5 m
a m b m
(a b) m
3
a ·b 3a · 3b
n
ab n a · n b
3
a b 3 (a b)
n
a b n (a b)
4
a
b
n
a na
b nb
4
4
a
b
Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten
18
Aufgaben
Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen)
1. Potenzschreibweise. Die Ausdrücke der Aufgaben a bis f sind in Potenzform zu schreiben.
a) 4a · 2a · a
b) 16 dm · 2 dm · 4 dm
d) 6a 5b 1
·
· b
2 3a 5
e)
0, 5 cm ·
c) 2,5 m · 6 m · 1,3 m
f) 16 m2 : 8 m
1
3
cm · cm
10
4
2. Zehnerpotenzen. Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln.
a) 100; 1 000; 0,01; 0,001; 1 000 000; 1/1 000 000
b) 55 420; 1 647 978; 356 763; 33 200
c) 0,033; 0,756; 0,0021; 0,000 02; 0,000 000 1
d) 1/10; 5/100; 7/1 000; 33/100; 321/1 000
3. Potenzschreibweise. Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen.
a) Lichtgeschwindigkeit c = 299 790 000 m/s
b) Umfang des Äquators U = 40 076 594 m
c) Mittlerer Abstand der Erde von der Sonne R = 149,5 Millionen km
d) Oberflächen der Erde O = 510 100 933 km2
4. Addition und Subtraktion. Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.
a) 5b 3 + 7b 3 + 3b 3
c)
15x 4 y
–
3x 2 y 3
b) 9m 3 – 9n 3 + 12n 3 – 5m 3 – n 3
–
5x 4y
d) 2,6a 2 + 5,9a 3 – 3,1a 3 + 19,7a 2 – a 3
5. Multiplikation und Division. Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.
b) a 5 · a 4
a) 42 · 43
f) 51a 4 b 3 : 17a 2 b 3
g)
c) 2x 2 · 4x · 5x 3
493
h)
73
572
d) 0,5b 3 · 1,3b 2
i)
192
6, 8a 2
e) 441x 6 : 21x 2
k)
0,17a 2
(4a)x
ax
6. Berechnung von Wurzeln. Folgende Wurzeln sind zu berechnen bzw. vereinfacht zu schreiben.
a)
49 ;
100 ;
b)
a2 ;
9a 4 ;
121;
a·
3
169 ;
8m 3 ;
3
1000 ;
a) x = 8;
y=6
25
;
49
(a b)2 ;
7. Wurzeln mit Variablen. Wie groß ist
1, 21;
0, 36 ;
225
;
16
3
0, 008
a2
;
b2
9c 2
4b 2
x 2 y 2 für die folgenden Werte?
b) x = 10 m;
y = 7,5 m
c) x = 0,48 cm;
c 2 b 2 für die folgenden Werte?
b = 12
b) c = 2,5 m; b = 1,5 m
y = 0,36 cm
Wie groß ist
a) c = 15;
c) c = 0,2 dm;
b = 0,16 dm
8. Addition und Subtraktion. Die Wurzeln sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.
a)
a a;
b) 2 m 7 m ;
c) 2m b 3n b
d) 5 9 3 9 ;
e) c c 2 c
9. Multiplikation und Division. Die Ausdrücke sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.
a)
4·
9
e)
4x 2
· y2
b)
42 ·
7
c)
5a · 20a
d) 16 · 49
f)
81m4
· n2
g)
32 : 8
h)
7ax : 7a
Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen
1.3
Technische Berechnungen
Technische Zusammenhänge werden häufig in mathematischen
Formeln ausgedrückt, die dann zur Lösung von Problemstellungen,
zum Beispiel zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Kräften, Beanspruchungen und Zeiten, angewandt werden.
Beispiel: Formel zur Berechnung der
mechanischen Leistung
P
Formeln bestehen aus
Formelzeichen
Operatoren
(Rechenvorschriften)
Konstanten
Zahlen
Beispiele:
P für die Leistung
s für den Weg
t für die Zeit
= ist gleich (Gleichheitszeichen)
· Multiplikation
– (Bruchstrich), Division
T (Zahl Pi = 3,141592654...)
4,10,112...
Beim Lösen von Aufgaben gelten die allgemeinen Rechenregeln
der Mathematik (Seite 11). Anstelle der Platzhalter werden bekannte
physikalische Größen (Seite 20) in die Formel eingesetzt. Anschlie
ßend kann die gesuchte Größe berechnet werden.
Das Ergebnis ist ein Zahlenwert mit einer Einheit (eine sog. Grö
ße), zum Beispiel: 4 m; 12,6 s; 145 N/mm2. Die Einheiten werden
vor, während oder nach der Berechnung so umgeformt, dass der
Rechengang möglich wird oder im Ergebnis die gewünschte Einheit
steht (Seite 19).
1. Beispiel: Leistung. Wie groß ist die Leistung in W (Watt) für die Kraft
F = 220 N, den Weg s = 0,5 m und die Zeit t = 12 s?
Lösung:
siehe Tabelle 1.
F ·s
t
1.3.1 Formeln (Größengleichungen)
Tabelle 1: Rechnen
mit
Formeln
Lösungsschritt
Ausgangsformel
Rechengang
P
F ·s
t
Einsetzen
220 N · 0, 5 m
der beP
12 s
kannten
Größen
BerechN·m
nung der
9,16
gesuchten
s
Größe
Umrechnung der
N·m 1 W · s
·
9,16
Einheit
s
N·m
N·m
6
= 9,16 W
s
in W (Watt)
Tabelle 2: Formelumstellung
Beschreibung
Umstellung von Formeln
Steht in einer Formel die gesuchte Größe nicht allein auf einer Seite, so kann sie erst nach einer Umstellung der Formel berechnet
werden (Seite 24).
2. Beispiel: Formelumstellung. Die Formel für die mechanische Leistung P
ist nach der Zeit t umzustellen.
Lösung:
siehe Tabelle 2.
1.3.2 Zahlenwertgleichungen
In Zahlenwertgleichungen sind die üblichen Umrechnungen von
Einheiten bereits in die Formeln eingearbeitet. Beachte:
Die Zahlenwerte der Größen dürfen nur in den vorgeschriebenen Einheiten in die Gleichung eingegeben werden.
Die Einheiten der einzelnen Größen werden bei der Berechnung
nicht mitgeführt.
Die Einheit der gesuchten Größe (Ergebnis) ist vorgegeben.
s
s
s
19
3. Beispiel: Drehmoment M. Die Hauptspindel einer Drehmaschine wird mit
der Leistung P = 25 kW angetrieben. Wie groß ist das Drehmoment bei einer Drehzahl n = 710/min?
Lösung:
9 549 · P 9 549 · 25
M
N·m 336, 23 N·m
n
710
Lösungsschritt
Formel
beide Formelseiten
mit t multiplizieren,
rechte Seite kürzen
beide Formelseiten
durch P dividieren,
linke Seite kürzen
umgestellte Formel:
P
F ·s
t
F ·s
P ·t ·t
t
P ·t F ·s
P P
F ·s
t
P
Beipiel: Zahlenwertgleichung
Drehmoment
M
9 549 · P
n
vorgeschriebene Einheiten
Bezeichnung
Einheit
M
Drehmoment
N·m
P
Leistung
kW
n
Drehzahl
1/min
Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen
20
1.3.3 Größen und Einheiten
In technischen Berechnungen sind die Formelzeichen aller Formeln Platzhalter für physikalische Größen (Bild 1). Sie bestehen
aus einem
s
s
Beispiel: Längenangabe
Beispiel: Längenangabe
Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt
wird, und aus einer
Einheit,
zum Beispiel m, kg, s, N.
Die Größen, ihre Kurzzeichen und ihre Einheiten
sind in DIN 1301 festgelegt (Tabelle 1).
Tabelle 1: Größen und Einheiten (Auszug)
Größe
Bezeichnung
Formelzeichen
•
Länge
Fläche
A
V
Volumen
Winkel
E, F ...
Masse
m
V
Dichte
Kraft
Gewichtskraft
Leistung
Zeit
Drehzahl
Beschleunigung
F
FG
P
t
n
a
Kurzzeichen
m
m2
m3
°
kg
kg/m3
N
N
N · m/s
s
1/min
m/s2
125 mm
Zahlenwert
Bild 1: Physikalische Größe
Basiseinheit der Größe
Name
Meter
Quadratmeter
Kubikmeter
Grad
Kilogramm
Kilogramm pro Kubikmeter
Newton
Newton
Newton mal Meter pro Sekunde
Sekunde
Eins pro Minute
Meter pro Sekunde2
In allen Kapiteln des Rechenbuches sind die nötigen Formelzeichen
und ihre Einheiten unter „Bezeichnungen“ zusammengefasst.
Beispiel: Längenangabe
Beispiel: Längenangabe
15 µm
Kennzahl K
Große und kleine Zahlenwerte in physikalischen Größen lassen
sich durch Vorsatzzeichen übersichtlicher darstellen (Tabelle 2). Die
Vorsatzzeichen stehen ohne Zwischenraum vor der Einheit, zum
Beispiel µm, kN, mm, cm.
Bezeichnungen
Z Zahlenwert der physikalischen Größe
K Kennzahl der physikalischen Größe
x Umrechnungsfaktor
Aus der Kennzahl K und dem Umrechnungsfaktor x (Tabelle 2) kann
der Zahlenwert der physikalischen Größe berechnet werden.
1. Beispiel: Das Lager eine NC-Drehmaschine wird mit der Kraft F = 12 kN
belastet. Wie groß ist die Kraft in N?
Z = x · K; x = 103 nach Tabelle 2
Z = x · K =103 · 12 = 12 000
F = 12 000 N
2. Beispiel: Die Masse einer Stange von 2 355 g ist in kg zu berechnen.
Lösung:
Z = x · K; x = 10–3 nach Tabelle 2
Z = 10–3 · 2 355 = 2,355
m = 2,355 kg
Vorsatzzeichen
Einheit
Bild 2: Schreibweise mit Vorsatzzeichen
Zahlenwert
Z=x·K
1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte
Lösung:
Einheit
Tabelle 2: Vorsatzzeichen
und Umrechnungsfaktoren
Vorsatzzeichen
P
n
µ
m
c
d
da
h
k
M
G
T
Bezeichnung
PikoNanoMikroMilliZentiDeziDekaHektoKiloMegaGigaTera-
Faktor x
10–12
10–9
10–6
10–3
10–2
10–1
101
102
103
106
109
1012