Formelsammlung - Realschule Wahlstedt

Realschule Wahlstedt: Mathematik
Formelsammlung
Inhalt:
I
Termumformungen
Potenzen und Wurzeln
Quadratische Gleichungen
Logarithmen
Zinseszins und Wachstum
II
Flächen
Körperberechnungen
Funktionen
III
Trigonometrie
Reihen
Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit
Realschule Wahlstedt:
Mathematik - Formelsammlung
( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b2
( a – b ) 2 = a 2 - 2 ab + b 2
(a+b)(a–b)=a2–b2
Termumformungen
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Potenzen und Wurzeln
a n bn = ( a b )
a m a n = a m+n
(a )
a m : a n = a m−n
m
n
an
a
=
n
b
b
I
a
n −1
n
n
n
= a m ⋅n a = 1
0
1
1
= n =
a
a
n
n
n
an = a
a
m n
n
n
b=nab
n
a
=
b
a =a
( a)
b = m•n a
n
a
b
n
m
1
n
= a =a
n
m
m
n
Quadratische Gleichung
Normalform:
x² + px + q = 0
2
p
2
p
−q=0
2
=> 1 Lösung
2
−q>0
=> 2 Lösg.
p
2
=>
2
−q<0
p
x1 = − +
2
p
2
2
−q
Zerlegung in Linearfaktoren:
( x − x1 )( x − x 2 ) = 0
p
2
2
Satz von Vieta:
x1 + x 2 = −p
L ( x ) = { x1 , x 2 }
=> keine
Lösung
∨
p
x2 = − −
2
x1 x 2 = q
Logarithmen
log a b = x ⇔ a x = b
( a, b > 0 und a ≠ 1)
log a a = 1
log ( a b ) = log a + log b
loga 1 = 0
log
log a
1
= − log a b
b
log a n = n log a
Kn = R
Kn =
qn −1
q −1
R q n −1
q −1
y=a b
x
d
q = 1+
1
log a
n
log x = log10 x
ln x = log e x
(e = 2,718281828459…)
Umrechnung zur Basis 10: log a x =
Kn = K qn
a
= log a − log b
b
log n a =
p
100
log10 x
log10 a
Zinseszins und Wachstum
Endwert einer einmaligen Zahlung K nach n Jahren bei p%
Verzinsung, Anfangswert K, Faktor q, Anzahl der Jahre n
Endwert regelmäßiger nachschüssiger Zahlungen,
Rate R
Endwert regelmäßiger vorschüssiger Zahlungen
Wachstumsfunktion, Anfangswert a, Wachstumsfaktor b,
Vervielfachungsweite d
−q
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Mathematik - Formelsammlung
II
Flächensätze
Satz des Pythagoras
Höhensatz
a² + b² = c²
h² = p q
A=a·b
U = 4a
U = 2(a+b)
b² = c q
A=
Rechtwinkliges Dreieck:
Quadrat Rechteck Parallelogramm
A = a²
a² = c p
Flächen
g h
2
Allgemeines Dreieck: A =
Kathetensatz
Raute
A = a · ha= b · hb
A=
U = 2(a+b)
Drachen
e f
2
A=
U = 4a
a b
2
Trapez
e f
2
A=
U=2(a+b)
a+c
h
2
U = a+b+c+d
Kreis und Kreisteile
Kreis-Umfang
Kreis-Fläche
A = π r2
U=2 π r
π 2
d
4
=
=π d
Kreisausschnitt (Sektor)
A=
π r² α
360°
A=
br
2
b=
πrα
180°
Körperberechnung
Pyramide
1
V = G hk
3
O=G+M
Pyramidenstumpf
V=
Zylinder
M = 2 π r hk
Kegel
M=π r s
Kegelstumpf
M = π s ( r1 + r2 )
Kugel
O = 4π r 2
(
1
h k G1 + G1 G 2 + G 2
3
)
V = G·hk
O = M + 2G
O=G+M
1
V = G hk
3
1
V = π h k r12 + r1 r2 + r2 2
3
(
)
V = 43 π r 3
Kugel-Ausschnitt (-Sektor) Kugel-Abschnitt (-Segment) Kugelkappe
V=
x→y
2
π r2 hk
3
x → f (x)
( x ∈ D,
y = f (x)
y ∈ W)
y = mx + b
1
V = π h k 2 ( 3r − h k )
3
A = 2π r h k
Funktionen
Definition: Die Elemente x einer Definitionsmenge D werden durch
eine Zuordnungsvorschrift f den Elementen y einer Wertemenge W
zugeordnet, so dass jedem Element y D genau ein Element y W
entspricht.
Lineare Funktion: DieGraphen dieser Funktionen stellen Geraden dar,
die durch den Steigungsfaktor m und die Verschiebung b auf der y-Achse
gekennzeichnet sind.
Scheitelpunkt von Parabeln : y = t · [(x – s)² + r] --> S(s/t ·r)
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III
Trigonometrie
Definitionen für spitze Winkel
a Gegenkathete
b
Ankathete
=
cos α = =
c
Hypotenuse
c Hypotenuse
mit γ = 90°)
a Gegenkathete
b
Ankathete
tan α = =
cot α = =
b
Ankathete
a Gegenkathete
Beziehungen zwischen den Kreisfunktionen
sin α = cos(90° − α )
cos α = sin(90° − α )
1
tan α =
, α ≠ 90°
cot α
tan α = cot(90° − α )
1
sin α
cot α =
, α ≠ 0°
tan α =
, α ≠ 90°
tan α
cos α
Sinussatz
Kosinussatz
Flächeninhalt eines
Dreiecks
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
a ² = b ² + c ² − 2bc cos α
1
A = s1 s 2 • sin(s1 / s 2 )
2
a sin α a sin α b sin β
b ² = a ² + c ² − 2ac cos β
=
=
=
b sin β c sin γ c sin γ
c ² = a ² + b ² − 2ab cos γ
a
b
c
s12 = s 2 2 + s32 − 2 s 2 s 2 cos(s 2 / s3 )
=
=
= 2r
sin α sin β sin γ
sin α =
(im rechtwinkligen ABC
Reihen
Arithmetische Reihe:
Arithm. Mittel
an =
a n = a1 + (n − 1)d
n
Summe s n = ( a1 + a n ) oder:
2
n −1
Endglied a n = a1 ⋅ q
Endglied
a n −1 + a n +1
2
Geometrische Reihe:
Geometrische Mittel
a n = a n −1 ⋅ a n +1
Summe ( q >1)
Unendliche geometrische Reihe
Summe
sn =
Kombinatorik/Wahrscheinlichkeit
g
, wobei 0 ≤ w ≤ 1
n
w = 1 − w „Gegenwahrscheinlichkeit“
w=
Vn ( k ) = n k
Vn ( k ) =
n!
, wobei n!=1· 2 · 3 ·… · n
(n − k )!
K n (k ) =
a1 (q n − 1)
q −1
Summe ( q <1)
sn =
n
, wobei
k
n + k −1
k
n
k
=
n!
k ! ( n − k )!
a1 (1 − q n )
1− q
a1
(q < 1, n → ∞)
1− q
Sprechweise:
Nebenbedingung
für n und k:
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ergebnis eintritt,
ist definiert als Quotient aus der Anzahl der
günstigen Fälle g und der Anzahl n der möglichen
Fälle.
Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreten eines
Ereignisses („Gegenereignis“)
Anzahl der Variationen mit Wiederholung von n
n, k beliebig
Elementen zur k-ten Klasse
Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen von …
k≤n
Anzahl der Permutationen von n Elementen
Pn = n!
K n (k ) =
sn =
n
s n = [2a1 + (n − 1)d ]
2
Anzahl der Kombination ohne Wiederholung von n
Elementen
zur k-ten Klasse
Anzahl der Kombination mit Wiederholung von…
n beliebig
(Spezialfall
k=n)
k≤n
n, k beliebig