Logistisches Wachstum

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Logistisches Wachstum
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Einführung
Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für
Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Hier wird das Modell des exponentiellen
Wachstums so angepasst, dass es den Verbrauch einer Ressource mit einschließt. Bei einer
Bakterienkultur könnte das beispielsweise der Nährboden, der nur eine begrenzte Größe hat,
sein. Zu Beginn verläuft der Wachstumsprozess somit exponentiell und wenn man sich der
Sättigungsgrenze nähert wird er durch ein beschränktes Wachstumsmodell beschrieben.
Modell
Eine logistische Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
B(t) =
a⋅S
a + e−Skt
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
t : Zeit
B(t): Bestandsgröße nach t Zeitschritten
S: natürliche Schranke
k : Wachstumskonstante
Beispiel
Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Zu Beginn befindet sich eine
Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, nach 10 Tagen sind es bereits 114
Bakterien. Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien.
Bestimme zunächst die Schranke:
Da die Anzahl von 200 nie überschritten werden kann gilt S
= 200 .
Bestimme nun a, indem du die Schranke, sowie den Anfangswert in die Modellgleichung des
logistischen Wachstums einsetzt und nach a auflöst.
B(0)
=
15
15
=
a ⋅ 200
a + e−200k⋅0
15
=
200a
a+1
∣ ⋅(a + 1)
15a + 15
=
200a
∣ −15a
185a
=
15
∣ : 185
a
=
0, 081
Als nächstes kannst du mit Hilfe der zweiten Angabe
berechnen:
B(10)
=
114
114
=
0, 081 ⋅ 200
0, 081 + e−200k⋅10
114
=
16, 2
0, 081 + e−2000k
∣ ⋅(0, 081 + e−2000k )
9, 234 + 114e−2000k
=
16, 2
∣ −9, 234
114e−2000k
=
6, 966
∣ : 114
e−2000k
=
0, 061
ln
−2000k
=
−2, 797
∣ : (−2000)
k
=
0, 0014
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Das logistische Wachstumsmodell lautet dann:
B(t) =
B(10) = 114 die Wachstumskonstante k
16, 2
.
0, 081 + e−0,2797t